Mathematiques de base pour economistes

Dimension: px

Commencer à balayer dès la page:

Download "Mathematiques de base pour economistes"

Timothée Rousseau
il y a 6 ans
Total affichages :

1 Mathematiques de base pour economistes

2 springer Paris Berlin Heidelberg New York Barcelone Hong Kong Londres Milan Singapour Tokyo

3 Yadolah Dodse Mathematiques de base pour economistes Springer

4 Yadolah Dodge Professeur honoraire Universite de Neuchatel Suisse ISBN : Springer Paris Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag France, Paris, 2007 pour I'edition brocliee Imprime en France Springer-Verlag France est membre du groupe BertelsmannSpringer Science + Business Media GmbH Cet ouvrage est soumis au copyright. Tous droits reserves, notamment la reproduction et la representation, la traduction, la reimpression, 1'expose, la reproduction des illustrations et des tableaux, la transmission par voie d'enregistrement sonore ou visuel, la reproduction par microfilm ou tout autre moyen ainsi que la conservation des banques de donnees. La loi fran aise sur le copyright du 9 septembre 1965 dans la version en vigueur n'autorise une reproduction integrale ou partielle que dans certains cas, et en principe moyeimant les paiements des droits. Toute representation, reproduction, contrefa^on ou conservation dans une banque de donnees par quelque procede que ce soit est sanctionnee par la loi penale sur le copyright L'utilisation dans cet ouvrage de designations, denominations commerciales, marques de fabrique, etc., meme sans specification ne signifie pas que ces termes soient libres de la legislation sur les marques de fabrique et la protection des marques et qu'ils puissent etre utilises par chacun. La maison d'edition decline toute responsabilite quant a 1'exactitude des indications de dosage et des modes d'emplois. Dans chaque cas il incombe a I'usager de verifier les informations donnees par comparaison a la litterature existante. Couverture : Jean-Franjois Montmarche DANGER LE PHOTOCOPILLAGE TUE LE LIVRE v:

5 Dedie a la memoire de Naser, mon frere.

6 Table des matieres I Analyse 1 1 Prologue Introduction Les ensembles Operations sur les ensembles Produit cartesien et cardinalite Les variables Relations et fonctions Fonction inverse Fonctions explicites et implicites 15 2 Representation graphique des fonctions Introduction Coordonnees cartesiennes Les droites Applications economiques des droites Differents types de fonctions Applications economiques des fonctions 39 3 Suites, limites et premiere derivee Introduction Suites Convergence et divergence des suites Limite d'une fonction Proprietes de la limite d'une fonction Quelques limites import antes Continuite des fonctions Types de discontinuite 66

7 viii Table des matieres 3.9 Proprietes des fonctions continues Definition de la premiere derivee Regie generale de derivation Interpretation geometrique de la premiere derivee Derivees des fonctions algebriques Les differentielles 79 4 Applications des derivees Introduction Croissance et decroissance des fonctions Minima et maxima des fonctions Courbure des fonctions Points d'infiexion des fonctions Formes indeterminees Etude complete d'une fonction Applications economiques des derivees Integrales Introduction Integrale indefinie Table d'integrales Integration par changement de variable Integration par parties Applications economiques des integrales indefinies Integrale definie Integrales impropres Applications economiques des integrales definies Les series Introduction Definitions Demonstration par recurrence (induction) Convergence et divergence d'une serie Series geometriques Series a termes positifs Series alternees Convergence absolue 167

8 Table des matieres ix 6.9 Series de puissances Serie de Maclaurin Serie de Taylor Fonctions de plusieurs variables Introduction Definitions Representations graphiques des fonctions de deux variables Derivees partielles Applications economiques des derivees partielles Minima et maxima d'une fonction de deux variables Multiplicateurs de Lagrange Applications economiques des multiplicateurs de Lagrange Integrales doubles et multiples 205 II Algebre lineaire Calcul matriciel Introduction Matrices Addition de matrices Multiplication des matrices Multiplication d'une matrice par un scalaire Transposee d'une matrice DifFerents types de matrices Trace d'une matrice carree Partition des matrices Determinant d'une matrice Proprietes du determinant Inverse d'une matrice Inverse d'une matrice partagee Systemes d'equations lineaires Introduction Rang d'une matrice Transformations elementaires Systemes d'equations lineaires 251

9 X Table des matieres 10 Vecteurs et espaces vectoriels Introduction Les vecteurs Interpretation geometrique des vecteurs Longueur d'un vecteur Produit scalaire de deux vecteurs Vecteurs orthogonaux Dependance lineaire Combinaison lineaire Proprietes des vecteurs 276 lo.loespaces vectoriels 276 lo.llbases Valeurs et vecteurs propres Diagonalisation de matrices carrees Approche matricielle du calcul differentiel Introduction Calcul differentiel sous forme matricielle Matrice hessienne Matrice hessienne bordee 306 III Mathematica Introduction a Mathematica Introduction Le logiciel Visualisation de fonctions Calculatrice numerique Calculatrice analytique Definition d'une fonction Epilogue Quelques corriges d'exercices 339

Preface Ce livre contient des elements fondamentaux de mathematiques et est destine aux etudiants de premiere annee en sciences economiques, gestion, finance et sciences sociales.

10 Preface Ce livre contient des elements fondamentaux de mathematiques et est destine aux etudiants de premiere annee en sciences economiques, gestion, finance et sciences sociales. Son contenu est de ce fait conforme aux besoins mathematiques des matieres enseignees dans ces branches. Ce hvre est egalement un hen entre les cours elementaires d'economie, de statistique et de recherche operationneue. II est essaye dans ce hvre d'enseigner les elements de base des mathematiques avec des exemples, chaque fois que cela est possible. Ce texte est ecrit pour ceux qui ont pen de connaissances en mathematiques. II contient neanmoins les elements necessaires et sufrsants pour aborder la deuxieme annee du degre universitaire. De courtes demonstrations sont donnees tout au long du livre. Toutefois, les references citees a la fin du livre sont suffisantes pour qu'un lecteur interesse puisse approfondir les sujets traites. Ce livre est compose de treize chapitres regroupes en trois parties et presentes avec de nombreux exemples. Dans la partie analyse, le chapitre 1 presente quelques elements essentiels de la theorie des ensembles, des variables et des relations entre les variables. Ces concepts de base sont indispensables pour la suite du cours. Le chapitre 2 considere la representation graphique des equations algebriques permettant une visualisation des relations entre les variables. Le chapitre 3 aborde le domaine du calcul diff'eren-

tiel. Les notions de suites, limites et premiere derivee y sont expliquees. Le chapitre 4 traite des applications des derivees, c'est-a-dire de ce qu'on pent etudier a Taide des derivees.

11 tiel. Les notions de suites, limites et premiere derivee y sont expliquees. Le chapitre 4 traite des applications des derivees, c'est-a-dire de ce qu'on pent etudier a Taide des derivees. Le chapitre 5 considere Toperation inverse de la derivee a savoir Tintegration. L'integration est utile notamment pour calculer Taire qui se situe sous une courbe. Le chapitre 6 aborde les series mathematiques. Les fonctions vues jusqu'au chapitre 6 sont toutes des fonctions d'une seule variable. Le chapitre 7 donne quelques elements concernant les fonctions de deux ou plusieurs variables et leurs applications, notamment dans le domaine economique. Le chapitre 8 introduit la partie d'algebre lineaire et fournit les elements de base du calcul matriciel en presentant differents types de matrices et quelques operations usuelles sur celles-ci. Une application du calcul matriciel est la resolution de systemes d'equations lineaires et fait Tobjet du chapitre 9. Le chapitre 10 traite des vecteurs et espaces vectoriels alors que le chapitre 11 aborde le calcul differentiel sous forme matricielle (matrice hessienne). La 3^ partie est constituee d'un chapitre sur un logiciel mathematique puissant : Mathematica qui permet de resoudre tons les problemes exposes dans ce livre. Finalement, une page historique est presentee dans le chapitre 13. Je tiens a remercier vivement Sylvie Gonano pour son etroite collaboration a la redaction du manuscrit qui est a I'origine de la premiere edition (1987). Depuis, ce livre a ete edite par '^Presses Academiques Neuchdter en 1989 et en Ce manuscrit a servi de support au cours de mathematiques dispense aux etudiants en sciences economiques et sociales de PUniversite de Neuchatel. Le livre actuel resulte de modifications et d'ajouts appportes au manuscrit original. Pour ce travail essentiel, j'exprime ma gratitude a mes couaborateurs : Arash Dodge, Gerard Geiser, Frangois Lefebvre, Tatiana Mantuano, Alexandra Fragniere, et particulierement a Gerard Antille qui a accompli un tres grand travail de correction et de verification du texte et des commentaires. Enfin, les parties historiques du chapitre 13 sont le fruit de discussions avec Farhad Mehran. Yadolah Dodge Universite de Neuchatel 30 Mars 2002

Documents pareils

Pratique de la défibrillation cardiaque implantable

Pratique de la défibrillation cardiaque implantable Springer Paris Berlin Heidelberg New York Hong Kong Londres Milan Tokyo Pierre Bordachar Wilhelm Fischer Stéphane Garrigue Sylvain Reuter Philippe Ritter