3 ème Chapitre A 4 EQUATIONS A UNE INCONNUE 1. I) Equation à une inconnue du 1 er degré. Exemple : Résoudre les équations suivantes :

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1 3 ème Chapitre A 4 EQUATIONS A UNE INCONNUE 1 I) Equation à une inconnue du 1 er degré. Exemple : Résoudre les équations suivantes : 4 ( 5x 3 ) + 8x 7 = 3 ( 3 2x ) x x 7 = 9 6x x 19 = 14 6x 12x + 6x = x = 33 x = x = x 5 x x = 8x (6x 5) 3 ( x + 2 ) + 45x = 8x (6x 5 ) 3 ( x + 2 ) + 45x = 8x 60 30x 25 3x x = 8x 60 27x 31 = 8x 60 27x 8x = x = Je développe et réduis chaque membre de l équation. 2- J isole l inconnue d un seul côté et tout le reste de l autre en respectant les règles de bases des équations 1- Je mets tous les termes de l équation au même dénominateur 2- Je peux alors supprimer le dénominateur commun dans chacun des deux membres de l équation. 3- Je procède ensuite comme pour l exemple précédent. x = x+1 7 = x 3 2 2( 9x + 1 ) = 7 ( x 3 ) 18x + 2 = 7x 21 18x 7x = x = 23 Dans ce cas plus simple, cela revient à écrire l égalité des produits en croix.

2 3 ème Chapitre A 4 EQUATIONS A UNE INCONNUE 2 x = 11 23! Remarque : En troisième, on sait résoudre toutes les sortes d équations à une inconnue du 1 er degré. Il existe des cas particuliers pour lesquels on trouve soit une infinité de solutions, soit aucune solution. 9x 6 = 3 ( 3x + 2 ) 12 9x 6 = 9x x 6 = 9x 6 9x 9x = = 0 Ceci est toujours vrai quelles que soient les valeurs de x donc toutes les valeurs de x possibles sont solutions donc cette équation admet une infinité de solutions 5 ( 2x + 9 ) = x 10x + 45 = x 10x 10x = = 48 Ceci est toujours faux, quelles que soient les valeurs de x, donc cette équation n admet aucune solution. II) Equation «produit nul». 1) Propriété d un produit nul. Df : Un produit de facteurs est nul si et seulement si un au moins de ses facteurs est nul. Cela signifie deux propriétés réciproques l une de l autre : Si un produit de facteur est nul, alors un au moins de ses facteurs est nul. et Si un produit de facteurs a au poins un de ses facteurs nul, alors il est nul.

3 3 ème Chapitre A 4 EQUATIONS A UNE INCONNUE 3 2) Résolution d une équation «produit nul» Exemples Résoudre : ( 2x 3 ) ( 5 x ) = 0 Un produit de facteurs est nul si et seulement si un au moins de ses facteur est nul. 2x 3 = 0 ou 5 x = 0 2x = 3 ou 5 = x x = 3 2 ou x = 5 Cette équation admet deux solutions : x = 3 2 et x = 5 x ( 6 2x ) = 0 Un produit de facteurs est nul si et seulement si un au moins de ses facteur est nul. x = 0 ou 6 2x = 0 6 = 2x x = 6 2 x = 3 Cette équation admet deux solutions : x = 0 et x = 3 ( 3x 2 ) ² = 0 ( ( 3x 2 ) ( 3x 2 ) = 0 ) Un produit de facteurs est nul si et seulement si un au moins de ses facteur est nul. 3x 2 = 0 3x = 2 x = 2 3 Cette équation admet une seule solution.

4 3 ème Chapitre A 4 EQUATIONS A UNE INCONNUE 4! Remarque : L équation x ² = a avec a > 0 peut se mettre sous la forme d une équation produit : x ² = a x ² a = 0 x ² ( a ) ² = 0 ( x a ) ( x + a ) = 0 Un produit de facteurs est nul si et seulement si un au moins de ses facteur est nul. x a = 0 ou x + a = 0 x = a ou x = a cette équation admet deux solutions : x = a et x = a III) Tester des valeurs de l inconnue pour une équation donnée. Les valeurs de x suivantes sont-elles solutions de l équation ( 2x 3 ) ² 1 = x + 2x ( 3 x ) 1) Pour x = 0 ( 2x 3 ) ² 4 = ( ) ² 4 = ( 3) ² 4 = 9 4 = 5 3x + 2x ( 3 x ) = ( 3 0 ) = donc x = 0 n est pas solution de l équation 1- Je remplace x par la valeur proposée dans chaque membre, séparément. 2- Je compare les deux résultats obtenus : Si ils sont différents, la valeur proposée n est pas solution de l équation. Si il sont identiques, la valeur proposée est solution de l équation. 2) Pour x = 1 ( 2x 3 ) ² 4 = ( ) ² 4 = ( 2 3 ) ² 4 = ( 1 ) ² 4 = 1 4 = 3

5 3 ème Chapitre A 4 EQUATIONS A UNE INCONNUE 5 3x + 2x ( 3 x ) = ( 3 1 ) = ( 4) = 3 6 = 3 x = 1 est solution de l équation. IV) Résolution d un problème à l aide d équations du 1 er ou 2 ème degré à une inconnue. Exemples 1- Un bidon plein de lait pèse 34 kg. Le même bidon, quand il est à moitié plein, pèse 17.5 kg. Combien pèse le bidon vide? J appelle x la masse du bidon vide en kg. x est un nombre positif inférieur à La masse du lait quand le bidon est rempli est : 34 x La masse du lait quand le bidon est à moitié plein est : 17.5 x Elle vaut la moitié de 34 x Donc l équation du problème est : 17.5 x = 34 x 2 2(17.5 x ) = 34 x 35 2x = 34 x = x + 2x 1 = x 1- Je nomme et définis précisément l inconnue. 2- J exprime toutes les grandeurs du problème en fonction de l inconnue. 3- Je pose l équation du problème. 4- Je résous l équation posée. 5- Je vérifie que la ou les solutions trouvées correspondent aux conditions, exprimées au début, concernant l inconnue. 6- Je réponds à la question posée. Le bidon vide pèse 1 kg.

6 3 ème Chapitre A 4 EQUATIONS A UNE INCONNUE 6 2- ABCD est un carré de 6 cm de côté. E est un point du segment [AB]. Où faut-il placer E sur [AB] pour que l aire du carré ABCD soit le triple de l aire du triangle ADE? Je pose x = EB x est un nombre positif exprimé en cm tel que 0 < x < 6. A E 6 cm x B AE = 6 x AE AD A ADE = = 6 ( 6 x ) = 2 2 A ADE = 3 ( 6 x ) A ABCD = 6 ² = 36 D C L équation du problème est 36 = 3 3 ( 6 x ) 36 = 9 ( 6 x ) 36 9 = 6 x 4 = 6 x 4 + x = 6 x = 6 4 x = 2 Il faut placer E à 2 cm de B. 3- A Trouver x pour que le triangle ABC soit rectangle en B. x 1 x + 1 x est positif. Donc x est supérieur à 1 x 1 est positif x + 1 est positif B x C Puisque ABC est rectangle en B je peux appliquer le théorème de Pythagore : AC ² = AB ² + BC ² ( x + 1 ) ² = (x 1) ² + x ² ( x + 1 ) ² (x 1) ² x ² = 0 x ² + 2x + 1 ( x ² 2x + 1 ) x ² = 0 x ² + 2x + 1 x ² + 2x 1 x ² = 0 x ² + 4x = 0

7 3 ème Chapitre A 4 EQUATIONS A UNE INCONNUE 7 x ( x + 4 ) = 0 ce produit est nul si x = 0 ou si x + 4 = 0 Donc si x = 0 ou si x = 4 Comme x est supérieur à 1, la seule solution est x = 4. V) Système d équation à deux inconnues ( du premier degré.). 1) Equation du premier degré à deux inconnues. Exemples : 5x + 3y = 1 Si x = 0 alors y = 1 3y = 1 y = 1 3 Donc le couple ( 0 ; 1 ) est solution de l équation. 3 Si x = 1 5 alors y = y = 1 3y = y = 0 y = 0 3 y = 0 Donc le couple ( 1 ; 0 ) est solution de l équation. 5 On peut prendre les valeurs que l on veut pour une des inconnues, et trouver une valeur de l autre qui permet de vérifier l équation. Une équation du premier degré à une inconnue admet une infinité de couples solutions. On ne peut pas tous les nommer, mais on peut les représenter par un graphique dans un repère orthonormé. Exemples Soient les équations 5x + 3y = 1 et 2x y = 3

8 3 ème Chapitre A 4 EQUATIONS A UNE INCONNUE 8 x x y y Construire les graphiques sur un même repère, et trouver graphiquement les coordonnées du point d intersection des deux droites Vérifier si le couple donné est solution des deux équations en même temps. 2) Couple solution d un systèmes de deux équations à deux inconnues. Résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues c est trouver toutes les valeurs des inconnues qui vérifient les deux équations à la fois. En classe de troisième, la plupart des systèmes étudiés admettent un couple solution unique. Exemple : Le couple ( 5 ; 2 ) est il solution du système 2x + y = 4? x + y = 3 Je remplace x par 5 et y par 2 dans le premier membre de chacune des équations et je les calcule pour voir si ces équations sont vérifiées : 2x + y = = 10 2 = 8 x + y = 5 2 = 3 Les deux équations ne sont pas vérifiées simultanément pour x = 5 et y = 2, donc le couple ( 5 ; 2 ) n est pas solution de ce système. Le couple ( 1 ; 2 ) est il solution du système 2x + y = 4? x + y = 3 2x + y = = = 4 x + y = = 3 Les deux équations sont vérifiées pour x = 1 et y = 3 donc le couple ( 1 ; 2 ) est solution du système.

9 3 ème Chapitre A 4 EQUATIONS A UNE INCONNUE 9 3) Résolution d un système de deux équations du premeir degré à deux inconnues. Pour résoudre un système de deux équations du premier degré à deux inconnues, on élimine l une des inconnues pour se ramener à un système dont l une des équations est une équation du premier degré à une seule inconnue. Il existe deux méthodes d élimination de cette inconnue. a) Méthode d élimination par substitution. x + 3y = 10 3x + 5y = 18 3x + 5y = 18 3 ( 10 3y ) + 5 y = y + 5y = 18 4y = y = 12 y = 12 4 y = 3 1- Exprimer, dans l une des deux équations, une inconnue en fonction de l autre. ( On choisit parmi les 4 possibilités celle qui est la plus simple.) 2- Réécrire le système en remplaçant dans l autre équation l inconnue choisie, par l expression obtenue dans l étape 1.On obtient une équation du premier degré à une inconnue. 3.- Résoudre l équation du premier degré à une inconnue pour trouver la valeur de cette inconnue. 4- Remplacer cette inconnue par sa valeur trouvée à l étape 3 dans l équation à deux inconnue et calculer la deuxième inconnue. 5- Donner le couple solution du système. x = y = 3 x = 1 y = 3 Le couple solution est ( 1 ; 3 )

10 3 ème Chapitre A 4 EQUATIONS A UNE INCONNUE 10 b) Méthode d élimination par combinaison. x + 3y = 10 ( 3) 3x + 5y = 18 3x 9y = 30 3x + 5y = 18 x + 3y = 10 9y + 5y = x + 3y = 10 4y = 12 x + 3y = 10 y = 3 x = 10 y = 3 x = 1 y = 3 le couple solution est ( 1 ; 3 ) 1- Choisir l inconnue que l on veut éliminer. Multiplier les deux membres d une ou de chacune des deux équations par des nombres choisis de façon à obtenir des coefficients de cette inconnue opposés dans chacune des deux équations. 2- Additionner membre à membre les deux équations obtenues à l étape 1. On obtient une équation du premier degré à une inconnue. Réécrire un systèmes contenant l équation obtenue, et l une des deux équations de départ. 3- Résoudre l équation du premier degré à une inconnue, pour trouver la valeur de cette inconnue 4 et 5- Finir comme pour la méthode par substitution. c) Problème se résolvant à l aide d un système de deux équations à deux inconnues. Les étapes sont les mêmes que dans des problèmes utilisant des équations à une inconnue. Exemple : On veut répartir 6 kg de confiture dans 14 pots. Certains pots contiennent 500g et d autres 375g. Combien utilise-t-on de pots de chaque sorte? J appelle x le nombre de pots de 500g et y le nombre de pots de 375g. Les nombres x et y sont positifs, et inférieurs à 14.

11 3 ème Chapitre A 4 EQUATIONS A UNE INCONNUE 11 La masse de confiture contenue dans les pots de 500g est 500 x La masse de confiture contenue dans les pots de 375g est 375y La masse totale de confiture est de 6000g Le nombre total de pots est x + y Le système à résoudre est le suivant : x + y = x + 375y = x + 375y = ( 14 y ) + 357y = y + 375y = y = 1000 y = y = 8 x = 14 8 y = 8 x = 6 y = 8 On utilise 6 pots de 500g et 8 pots de 375g.