Chapitre 2 : Fonctions cosinus et sinus

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1 Chapitre 2 : Fonctions cosinus et sinus

2 I) Rappels sur les fonction cosinus et sinus Dans un repère orthonormée (O,I,J), tout réel x admet un unique point M sur le cercle trigonométrique (cercle d'origine O et de rayon 1) - La fonction qui à tout réel x associe l'abscisse du point M est appelée fonction cosinus - La fonction qui à tout réel x associe l'ordonnée du point M est appelée fonction sinus Les formules de symétries cos ( x) = cos ( x ) sin ( x ) = sin ( x ) cos ( x ) = cos ( x) sin ( x ) = sin ( x) cos (+ x ) = cos ( x) sin (+x ) = sin ( x ) Les formules du passage de cosinus à sinus et inversement cos ( 2 x ) = sin ( x) sin ( 2 x ) = cos ( x ) cos ( 2 + x ) = sin ( x ) sin ( 2 +x ) = cos ( x ) Formules d'addition cos (a b) = cos (a )cos (b)+sin (a )sin (b) sin (a b) = sin (a)cos (b ) sin (b)cos (a ) cos (a+b) = cos (a )cos (b) sin (a )sin (b) sin (a+b) = sin (a)cos (b )+sin (b)cos (a ) Formules de duplication cos (2a) = 2cos (a )² 1 sin (2a) = 2cos (a )sin (b ) = 1 2sin (a )²

3 II) Etude des fonctions cosinus et sinus Proposition (périodicité) Pour tout réel x, x et x+2 ont pour image le même point M sur le cercle. Ainsi : cos ( x+2 )=cos ( x) et sin ( x+2)=sin ( x ) On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période 2 Exemples sin ( 4 +2 ) =sin ( = 2 4 ) 2 cos ( 7 3 ) =cos ( 3 +2 ) =cos ( 3 ) = 1 2 Proposition (parité) Soit x un réel et M son point sur le cercle. Le réel x a pour point sur le cercle le point M' qui est symétrique à M par rapport à l'axe des abscisses. Ainsi : cos ( x)=cos ( x ) et sin ( x )= sin ( x ) On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire Remarque De manière générale, une fonction telle que pour tout x f ( x )= f ( x) est une fonction paire, et une fonction telle que pour tout x f ( x )= f ( x ) est une fonction impaire Exemples La fonction carré est une fonction paire car f ( x )=( x) ²=x² = f ( x ) La fonction inverse est une fonction impaire car f ( x )= 1 x = 1 x = f ( x ) Exemple Déterminer la parité de la fonction f ( x )=x+sin ( x ) f ( x )= x+sin ( x )= x sin (x )= ( x+sin ( x ))= f ( x ) donc f est impaire f ( x ) = x+sin ( x ) = x sin ( x) ( sin ( x )= sin ( x ) car la fonction sin est impaire) = ( x+sin ( x )) = f ( x) donc la fonction f est impaire

4 Exemple Déterminer la parité de la fonction f(x)=x²+cos(x) f ( x )=( x) ²+cos ( x ) = x² +cos ( x ) (car ( x ) ²= x² et la fonction cos est paire) = f ( x ) donc la fonction f est paire Remarque La fonction f ( x )=x²+sin (x ) n'est ni paire ni impaire Théorème (dérivation) Les fonctions cos et sin sont dérivables sur R. Pour tout réel x, on a : cos' (x )= sin (x ) et sin ' ( x )=cos ( x ) Exemples Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : 1) f ( x )=2 cos ( x ) f ' ( x )= 2sin ( x ) 2) f ( x )=3sin ( x ) f ' ( x )=3cos (x ) 3) f ( x )= 4cos ( x )+5 sin ( x ) f ' ( x )=4sin ( x )+5cos ( x ) 4) f ( x )=x cos ( x) f ' ( x )=cos ( x ) xsin ( x ) (uv)'=u' v+uv' sin ( x) cos ( x ) x sin ( x ) 5) f ( x )= f ' ( x )= x x² ( u u' v uv' v )'= v²

5 III) Représentation graphique Tableaux de variations des fonctions cosinus et sinus sur l'invervalle [0; ] On sait que cos' (x )= sin (x ), or la fonction sin est positive sur l'intervalle [0 ; ] x 0 cos' (x )= sin (x ) - cos ( x ) 1-1 sin ' ( x )=cos ( x ), or la fonction cosinus est positive sur [ 0 ;+ 2 ] puis négative sur [ 2 ; ]. x 0 2 sin ' ( x )=cos ( x ) + 1 sin ( x) 0 0 Représentation graphique des fonctions cosinus et sinus La fonction cosinus est décroissante sur [0 ; ] et est paire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Ainsi, on peut en déduire sa représentation sur [ ;0]. De plus, la fonction cosinus est 2 périodique, donc elle se repète tous les intervalles de longueurs 2 De même, la fonction sinus est impaire, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'origine et elle est 2 périodique.

6 Remarques - La fonction cosinus est symétrique par rapport à l'axe des abscisses : cosinus est paire - Imparité de sin : la fonction sinus est symétrique par rapport à l'origine : sinus est impaire - Périodicité : les fonctions cosinus et sinus se répètent tous les intervalles de longueur 2 - La fonction cosinus est la fonction sinus décalée de 2 : c'est la formule sin ( 2 x ) =cos ( x )

7 Exemple (Etude de fonctions utilisant cosinus et sinus) Déterminer le tableau de variation des fonctions suivantes : 1) f la fonction définie sur R par f ( x )=2 sin ( x) x f ' ( x )=2cos ( x ) 1 f ' ( x ) 0 cos ( x ) 1 d'après le cercle trigonométrique 2 x 3 3 signe de f ' f x [ 3 ; 3 ] ) Soit f la fonction définie sur R par f ( x )= 2cos ( x) x f ' ( x )=2sin ( x) 1 f ' ( x ) 0 sin ( x) x 6 6 signe de f ' x [ 6 ; 5 6 ] f

8 Exemple (Etude de la fonction cos(x)sin(x)) Déterminons le tableau de variation de la fonction f ( x )=cos ( x )sin (x ) sur l'intervalle [ 0; 2 ] Dérivée de la fonction f f ( x )=cos ( x )sin (x )=uv avec u=cos ( x ) et v=sin ( x ) f ' ( x )=u' v+uv'= sin ( x )sin (x )+cos ( x )cos ( x ) = sin ² ( x)+cos ² ( x ) = (1 cos ² ( x ))+cos ² (x ) = 2cos ² ( x) 1 (un petit secret : f ' ( x )=cos (2 x ) ) Signe de la dérivée f ' ( x ) 0 2cos ² ( x) 1 0 cos ² (x ) 1 2 cos ( x ) 1 2 ou cos ( x ) 1 2 qui est impossible car cos ( x ) 0 sur [ 0 ; 2 ] cos ( x ) 2 2 on multiplie par 2 en haut et en bas : x [ 0 ; 4 ] d'après le cercle trigonométrique. x signe de f ' + 0,5 f = = 2 2 Parité de la fonction f f est une fonction impaire car f ( x )=cos ( x ) sin ( x ) = cos ( x ) ( sin (x ) ) (car cos est paire et sin est impaire) = cos ( x)sin ( x ) = f ( x) On peut obtenir la courbe de f sur l'intervalle [ 2 ;0 ] en prenant la symétrie de centre l'origine. Période de la fonction f f est une fonction périodique car f ( x+)=cos ( x+)sin ( x+ ) = cos ( x) ( sin ( x )) = cos ( x )sin (x ) = f(x) On peut obtenir la courbe de f sur tout autre intervalle de longueur

9 Annexe : Représentation graphiques de quelques fonctions utilisant cosinus et sinus

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