Introduction à l'algèbre linéaire

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1 Itroductio à l'algèbre liéaire Das tout le chapitre, K est u corps commutatif (e pratique et gééralemet K = ou ). 1. Espaces vectoriels 1.1 Structure d'espace vectoriel Défiitio 1.1 O dit qu'u esemble (E,+,.) est u espace vectoriel sur K, ou u K-espace vectoriel, si et seulemet si : (E, +) est u groupe commutatif c'est-à-dire : La loi + est ue loi de compositio itere sur E : x, y E, x + y E. (O peut dire aussi que la loi + est ue applicatio de E E vers E) La loi + est associative : x, y, z E, (x + y) + z = x + (y + z). La loi + admet u (uique) élémet eutre : e E / x E, x + e = e + x = x. Tout élémet admet u (uique) symétrique pour la loi + : x E, x E / x + x = x + x = e. La loi + est commutative : x, y E, x + y = y + x. La loi. est ue loi de compositio extere sur E à domaie d'opérateurs K c'est-à-dire : x E, k K, k.x E. (O peut dire aussi que la loi. est ue applicatio de K E vers E) La loi. verifie : α, β K et u, v E, (α + β).u = α.u + β.u α.(u + v) = α.u + α.v α.(β.u) = (α β).u 1.u = u Exemples 1.2 L'esemble des vecteurs du pla ou l'esemble des vecteurs de l'espace. [X] est u -e.v. mais 'est pas u -e.v. [X] est u -e.v. mais aussi u -e.v. Tout corps commutatif est u espace vectoriel sur lui-même. E particulier est u -e.v. est u -e.v. mais aussi u -e.v. et de la même faço, est u -e.v., u -e.v. et u -e.v. {0} est u -e.v. Fracis Wlaziski 1

2 Remarques 1.3 Par abus, o e ote pas la loi "." O dit aussi que E est u K-e.v. sas préciser les lois. O parlera d'espace vectoriel réel pour les -e.v. et d'espace vectoriel complexe pour les -e.v. Si E est u K-e.v., les élémets de E sot appelés des vecteurs et ceux de K sot appelés des scalaires. L'élémet eutre du groupe (E, +) est appelé vecteur ul et est oté 0 ou 0 E ou plus simplemet 0. Faire attetio aux lois. U espace vectoriel 'est jamais vide puisque 0 E. Le vecteur x tel que x + x = x + x = e est appelé opposé de x et est oté x. Soiet u et v deux vecteurs d'u K-e.v. E. O défiit u v par u + ( v) où v désige le symétrique de v pour la loi itere de E. Défiitio 1.4 Soiet f et g deux foctios à valeurs das ou (ou autre) et soit λ u élémet de (ou ). O défiit la foctio appelée somme de f et g otée f + g par (f + g)(x) = f (x) + g(x) x (ou ). O défiit la foctio λ.f par (λ.f)(x) = λ f (x). Remarque 1.5 O défiit les mêmes opératios sur les suites (qui sot des foctios) : pour tout etier, (u + v) = u + v (λ.u) = λ u Exemples 1.6 E = {foctios défiies sur } mui des lois usuelles est u -e.v. F = {suites à valeurs das } mui des lois usuelles est u -e.v. Propriété 1.7 Soit E u espace vectoriel sur K. Pour tout scalaire α et pour tout vecteur u, o a : 0 K u = 0 E. α 0 E = 0 E. α u = 0 E α = 0 K ou u = 0 E. Démostratio 0 K u = (0 K + 0 K ) u = 0 K u + 0 K u. Puisque (E, +) est u groupe 0 K u existe. O a doc 0 K u 0 K u = 0 K u + 0 K u 0 K u c'est-à-dire 0 E = 0 K u. α 0 E = α (0 E + 0 E ) = α 0 E + α 0 E. Puisque (E, +) est u groupe α 0 E existe. O a doc α 0 E α 0 E = α 0 E + α 0 E α 0 E c'est-à-dire 0 E = α 0 E. ( ) Voir deux premiers poits. ( ) Si α = 0 K l'implicatio est juste. Si α 0 K, puisque K est u corps α 1 existe. O a doc : α u = 0 E α 1.(α u) = α 1.(0 E ) (α 1 α) u = 0 E 1.u = 0 E u = 0 E. Fracis Wlaziski 2

3 Propriété 1.8 Soit E u espace vectoriel sur K. Pour tout scalaire α et pour tous vecteurs u et v, o a : α ( u) = ( α) u = (α u). α (u v) = α u α v. Démostratio Il faut motrer que α( u) + α u (= α u + α( u)) = 0 E (E est abélie) et ( α)u + α u = 0 E. α( u) + α u = α ( u + u) = α 0 E = 0 E. ( α)u + α u = ( α + α) u = 0 K u = 0 E. α (u v) = α (u + ( v)) = α u + α ( v) = α u + ( α v) = α u α v. Remarques 1.9 O a doc ( 1).u = (1.u) = u. Si E est u espace vectoriel sur K, E est égalemet u espace vectoriel sur tout sous-corps K' de K. Par exemple, u -espace vectoriel est aussi u -espace vectoriel. Si K' K, ces deux espaces vectoriels doivet être cosidérés comme différets. Propriété 1.10 Soiet E 1, E 2,..., E ue famille de espaces vectoriels sur u même corps K. Soit E l'esemble produit E = E 1 E 2... E. E est u espace vectoriel sur K lorsqu'o le muit des lois suivates : u = (u 1, u 2,..., u ) E, v = (v 1, v 2,..., v ) E, λ K i) u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,..., u + v ). ii) λ u = (λ u 1, λ u 2,..., λ u ). Remarque 1.11 Ces lois sot appelées lois produit usuelles. Démostratio Pas de difficulté particulière, il suffit de vérifier les 10 poits de la défiitio : c'est doc u peu log à rédiger. Exemple mui des lois précédetes c'est-à-dire : (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) λ(x 1, y 1 ) = (λx 1, λy 1 ) est doc u -e.v. Remarques 1.13 Attetios aux lois. Si E est u K-espace vectoriel, E ( 2) est doc mui d'ue structure de K-espace vectoriel. O e déduit la structure d'espace vectoriel de K = {(x 1, x 2,..., x ) où x i K}. Fracis Wlaziski 3

4 1.2 Combiaiso liéaire Défiitio 1.14 Soiet (A, +) u mooïde additif et (a i ) i I ue famille d'élémets de A. O dit que la famille (a i ) i I est à support fii si l'esemble des idices i de I tels que a i 0 est fii. Pour ue telle famille, o peut cosidérer a i, qui est appelée somme à support fii. O ote parfois A (I) l'esemble des familles à support fii d'élémets de A. Défiitio 1.15 Soiet E u espace vectoriel sur K, I u esemble o vide, (u i ) i I ue famille de vecteurs de E, et (λ i ) i I ue famille à support fii d'élémets de K. La somme λ i u i est appelée combiaiso liéaire (C.L.) des vecteurs u i avec les coefficiets λ i. Exemple 1.16 Soit F = (1, X, X 2,..., X p,... ) = (X i ) i. La famille F est ifiie mais tout polyôme est ue C.L. de cette famille. Remarques 1.17 Si u = λ i u i est ue C.L. des u i alors il existe J I tel que J fii et u = λ i u i. O peut gééralemet cosidérer u réidicage de faço à obteir ue relatio du type : u = λ i u i = λ 1 u 1 + λ 2 u λ u 0 E appartiet à l'esemble des C.L. de toute famille o vide d'élémets de E. Exemples 1.18 Soit u u vecteur o ul du pla. Ue C.L. de u est u vecteur coliéaire à u. {C.L. de u} = {k u / k } = {tous les vecteurs coliéaires à u}. Soit u et v deux vecteurs o coliéaires de l'espace. Ue C.L. de u et v est u vecteur coplaaire à u et v. {C.L. de u et v} = { u v /, } = {tous les vecteurs coplaaires à u et v}. O cosidère l'esemble {1, X, X 2 } das [X]. Ue C.L. de {1, X, X 2 } est u polyôme de la forme a + bx + cx 2. {C.L. de {1, X, X 2 }} = {a bx cx 2 / a,b,c } = {tous les polyômes à coefficiets das de degré 2} = 2 [X]. Remarques 1.19 x 1 est ue C.L. des (x i ),. Si i 0 I, x i0 est ue C.L. des (x i ) i I. x E appartiet à l'esemble des C.L. de toute famille d'élémets de E dot il fait partie. icj Fracis Wlaziski 4

5 2. Sous-espaces vectoriels 2.1 Défiitios et caractérisatios Défiitio 2.1 Soit E u espace vectoriel sur K. Soit F ue partie de E. O dit que F est u sous espace vectoriel (s.e.v.) de E si, mui des lois iduites, F est u espace vectoriel. Remarques 2.2 O dit parfois sous-espace plutôt que s.e.v. {0} et E sot deux s.e.v. de E, appelés sous-espaces triviaux. Exemples 2.3 est u s.e.v. de cosidéré comme -e.v. 'est pas u s.e.v. de cosidéré comme -e.v. Les vecteurs d'u pla formet u s.e.v. des vecteurs de l'espace. Propriété 2.4 Soiet E u espace vectoriel sur K et F ue partie de E. F est u s.e.v. de E si et seulemet si 1. F. 2. u, v F, u + v F (F est stable par additio). 3. λ K, u F, λ u F (F est stable par multiplicatio par u scalaire). ou ecore si et seulemet si 1' F. 2' u, v F, λ, µ K, λ u + µ v F. ou ecore si et seulemet si 1'' F. 2'' (λ i ) i I famille à support fii d'élémets de K, (x i ) i I F, λ i x i F (F est stable par C.L.). Démostratio Das u premier temps, o motre que les 3 premières propriétés sot bie équivaletes à F s.e.v. c'est-à-dire que F est u e.v. pour les lois iduites. Puis o motre l'équivalece etre la coditio formée des 3 premières propriétés et celles costituées des suivates. La coditio F est vérifié das les trois cas doc 'iterviet pas. 2' 2 et 3 (2) Il suffit de predre λ = µ = 1 (3) Il suffit de predre µ = 0. 2 et 3 2' O a λ K, u F, λ u F et µ K, v F, µ v F d'après 3 ). Et doc λ u + µ v F d'après 2 ). 2'' 2' Il suffit de predre ue famille à 2 élémets. 2' 2'' Par récurrece sur le ombre d'élémets das la famille à support fii. Fracis Wlaziski 5

6 Remarques 2.5 Das les caractérisatios précédetes, o 'oubliera pas la coditio F. E gééral, il suffit de vérifier que le vecteur ul 0 de E appartiet à F. E effet, tout s.e.v. de E cotiet au mois 0. Voyos pourquoi ue C.L. doit être fiie pour qu'u s.e.v. soit stable par C.L. Soit, par exemple, E {suites umériques} et F {suites umériques qui coverget vers 0}. F est u s.e.v. de E. p Cosidéros les suites (u p ) p de terme gééral u p, 1 pour 1. Toutes ses suites appartieet à F. Soit v la suite défiie par v u p. pm0 p p k So terme gééral est v u 1,p =. pm0 pm0 = pd+ lim p+1 k=0 = pd+ lim 1 1 = t 1 d Doc v F. Si F est u s.e.v. de E et si G est u s.e.v. de F, alors G est u s.e.v. de E (avec les mêmes lois). Exemples 2.6 Pour tout etier aturel, [X] = {P [X] / deg P } est u s.e.v. de [X]. Plus gééralemet, pour tout etier aturel, l'esemble K [X] des polyômes de degré iférieur ou égal à est u s.e.v. de K[X]. Soit I u itervalle de, o réduit à u poit. Soit F (I, K) l'espace vectoriel de toutes les foctios de I das K. Les sous-esembles suivats sot des s.e.v. de F (I, K) : L'esemble C (I, K) = C 0 (I, K) des foctios cotiues de I das K. L'esemble D (I, K) des foctios dérivables de I das K. L'esemble C k (I, K) des foctios de classe C k de I das K. L'esemble C (I, K) des foctios ifiimet dérivables de I das K. 2.2 Opératios etre s.e.v. Propriété 2.7 Soit (F i ) i I ue famille o vide de s.e.v. d'u K-e.v. E. Alors 3 F i est u s.e.v. de E. Démostratio 3 i I, 0 F i. Doc 0 F i et F i. 3 Soiet u,v F i et λ, µ K. Puisque u F i, o a : u F i, i I. 3 De même, v F i, i I. Doc i I, λu + µv F i c'est-à-dire λu + µv F i. Exemple Soit F (, ) l'esemble des foctios de das. Mui des lois usuelles c'est u -e.v. Pour tout etier supérieur ou égale à 1, soit C ( ) le s.e.v. de F (, ) des foctios cotiûmet dérivable fois. O a alors 3 cn C ( ) = C ( ). Fracis Wlaziski 6 3

7 Défiitio et propriété 2.9 Soit X ue partie (quelcoque) d'u K-espace vectoriel E. O appelle sous-espace egedré par X et o ote Vect(X) ou <X> le plus petit (au ses de l'iclusio) des s.e.v. de E qui cotiet X. Remarques 2.10 Vect(X) est l'itersectio de tous les s.e.v. de E qui cotieet X. E effet, soit G l'itersectio de tous les s.e.v. de E qui cotieet X. Doc G est iclus das tout s.e.v. de E qui cotiet X. O sait que G est aussi lui-même u s.e.v. et c'est écessairemet le plus petit. Das le cas d'ue famille fiie A = (a 1,a 2,...,a ), o ote parfois Vect(A) = < a 1,a 2,...,a >. Si X est vide, Vect(X) {0}. Défiitio 2.11 Soit A ue famille fiie de vecteurs d'u K-e.v. E. Si Vect(A) = E, o dit que A est u système géérateur de E. Propriété 2.12 Soit X ue partie o vide d'u K-espace vectoriel E. Vect(X) est l'esemble des combiaisos liéaires d'élémets de X. Démostratio Uiquemet das le cas où X = {x i, 1 i }. (Idem si X famille ifiie alors simplemet somme à support fii). Soit F = {C.L. des élémets de X}. Nous allos motrer que F = Vect(X). 1ère étape : Vect(X) F c est-à-dire F est u s.e.v. qui cotiet X. O a F = { λ i x i, λ i K} = {λ 1 x 1 + λ 2 x λ x, λ i K}. E premier lieu, o motre que X F. O a x 1 = 1.x x x x x 2 = 0.x x x x etc... Puisque X est o vide et puisque X F, o a doc F. Soiet λ, µ K et soiet u, v F. u F u = λ 1 x 1 + λ 2 x λ x, avec λ i K i = 1,. v F v = λ' 1 x 1 + λ' 2 x λ' x, avec λ' i K i = 1,. λ u + µ v = λ(λ 1 x 1 + λ 2 x λ x ) + µ(λ' 1 x 1 + λ' 2 x λ' x ). = λλ 1 x 1 + λλ 2 x λλ x + µλ' 1 x 1 + µλ' 2 x µλ' x. = (λλ 1 + µ λ' 1 ) x 1 + (λλ 2 + µλ' 2 ) x (λλ + µλ' ) x. O a doc bie λ u + µ v F. 2ème étape : F Vect(X). Vect(X) est le plus petit s.e.v. de E qui cotiet X. Puisque Vect(X) est stable par combiaiso liéaire, Vect(X) doit coteir toutes les C.L. d'élémets de x c'est-à-dire F Vect(X). Or F est u s.e.v., doc, de par la défiitio de Vect(X), o a Vect(X) = F. Fracis Wlaziski 7

8 Coséqueces 2.13 L'espace egedré par u vecteur o ul du pla est la droite vectorielle des vecteurs qui lui sot coliéaires. L'espace vectoriel egedré par deux vecteurs o coliéaires de l'espace est le pla vectoriel des vecteurs qui leur sot coplaaires. L'espace egedré par ue famille de vecteurs coplaaires de l'espace dot deux sot o coliéaires est le pla vectoriel egedré par de ces deux vecteurs. Remarques 2.14 La plupart des s.e.v. que ous allos étudier sot egedrés par des élémets de l'espace lui-même. Ce qui explique l'erreur que l'o peut faire e faisat l'amalgame etre les s.e.v., les s.e.v. egedrés par ue famille et les combiaisos liéaires. Cotre exemple : C 1 ( ) comme s.e.v. de C 0 ( ). Soiet u = (1, 0, 1) et v = (2, 3, 1) das 3 et F = < u,v >. Soiet x = (1, 3, 2), y = (3, 3, 0) et z = (0, 3, 3) das 3 et G = < x,y,z >. O a F = G car x = v u, y = u + v et z = 2u v doc toute C.L. de (x,y,z) est ue C.L. de (u,v) et v = 2x + z et u = (y x) / 2 doc toute C.L. de (u,v) est ue C.L. de (x,y,z). Remarque 2.15 E gééral, la réuio de deux sous espaces vectoriels 'est pas u sous espace vectoriel. Défiitio 2.16 Soit E u K-e.v. Soiet E 1 et E 2 deux s.e.v. de E. La somme de E 1 et E 2 qui est otée E 1 + E 2 est l'esemble des élémets de E de la forme x 1 + x 2 où x 1 E 1 et x 2 E 2. Remarques 2.17 Avec les otatios de la défiitio précédete, E 1 + E 2 = {x 1 + x 2 où x 1 E 1 et x 2 E 2 } = {x E / x 1 E 1, x 2 E 2 et x = x 1 + x 2 }. x E 1 + E 2 x 1 E 1 et x 2 E 2 / x = x 1 + x 2. E 1 + E 2 = E 2 + E 1. E 1 + {0} = {0} + E 1 = E 1. Pour tout s.e.v. E 3 de E, (E 1 + E 2 ) + E 3 = E 1 + (E 2 + E 3 ). E 1 + E 1 = E 1. Exemple 2.18 Das 3, si F = {λ u 1 ; où u 1 = (1,1,0) et } = < u 1 > et G = {µ u 2 ; où u 2 = ( 1,1,0) et } = < u 2 >, alors F + G = < u 1, u 2 >. Propriété 2.19 Soit E u K-e.v. Soiet E 1 et E 2 deux s.e.v. de E. La somme de E 1 et E 2 est le s.e.v. egedré par la réuio de E 1 et E 2. C'est-à-dire E 1 + E 2 = Vect(E 1 E 2 ). Fracis Wlaziski 8

9 Démostratio Soit S = {x 1 + x 2 / x 1 E 1 et x 2 E 2 }. Vect(E 1 E 2 ) est le plus petit s.e.v. de E qui cotiet E 1 E 2. Il ous faut doc motrer que E 1 E 2 S Vect(E 1 E 2 ) et que S est u s.e.v. 0 E 2 car E 2 est u s.e.v de E. Doc x 1 E 1, x 1 = x doc x 1 S c'est-à-dire E 1 S 0 E 1 car E 1 est u s.e.v de E. Doc x 2 E 2, x 2 = 0 + x 2 doc x 2 S c'est-à-dire E 2 S. D'où E 1 E 2 S. Vect(E 1 E 2 ) est l'esemble des CL des élémets de E 1 E 2. Soit x S, x 1 E 1 et x 2 E 2 tels que x = x 1 + x 2. E 1 E 1 E 2 doc x 1 E 1 E 2 et E 2 E 1 E 2 doc x 2 E 1 E 2. x 1 + x 2 est doc ue CL de E 1 E 2 d'où x 1 + x 2 Vect (E 1 E 2 ). 0 E 1 et 0 E 2, S doc S est o vide. Soiet λ,µ K et soiet x = x 1 + x 2 / x 1 E 1 et x 2 E 2 et x' = x' 1 + x' 2 / x' 1 E 1 et x' 2 E 2. λx + µx' = λ(x 1 + x 2 ) + µ(x' 1 + x' 2 ) = λx 1 + λx 2 + µx' 1 + µx' 2 = λx 1 + µx' 1 + λx 2 + µx' 2 Or λx 1 + µx' 1 E 1 car E 1 est u s.e.v de E et λx 2 + µx' 2 E 2 car E 2 est u s.e.v de E doc λx + µx' S. Propriété 2.20 Soit F = (F 1, F 2,..., F ) ue famille fiie de ( *) s.e.v. d'u K-e.v. E. Soit F = F 1 + F F l'esemble des vecteurs de la forme u 1 + u u où u i F i pour tout i = 1,. F est u s.e.v. de E, appelé somme des F i. Démostratio F = F 1 + F F = {u E / u = u 1 + u u où u i F i, i = 1, }. O a i = 1,, 0 F i car F i s.e.v. O a 0 = doc 0 F. C'est-à-dire F. Soiet λ, µ K et u, v F. u F u = u 1 + u u où u i F i pour tout i = 1,. v F v = v 1 + v v où v i F i pour tout i = 1,. λ u + µ v = λ (u 1 + u u ) + µ (v 1 + v v ) = i u i i v i = (λ u 1 + µ v 1 ) + (λ u 2 + µ v 2 ) (λ u + µ v ). + Or puisque F i est u s.e.v., i = 1,, o a λ u i + µ v i F i. C'est-à-dire λ u + µ v F. Remarques 2.21 Avec les otatios de la propriété, F peut être oté F i. O peut étedre la défiitio de somme à ue famille (F i ) i I quelcoque de s.e.v. de E. Das ce cas, la somme des F i est l'esemble F des sommes à support fii u i, où pour tout i de I, u i F i. E gééral, ue réuio de sous-espaces vectoriels de E 'est doc pas u sous-espace de E. Propriété 2.22 Soit F = (F 1, F 2,..., F ) ue famille fiie de ( *) s.e.v. d'u K-e.v. E. La somme F = F 1 + F F est le plus petit sous-espace vectoriel de E coteat tous les F i. C'est le s.e.v. de E egedré par la réuio des F i c'est-à-dire F = Vect(F 1 F 2... F ). Fracis Wlaziski 9

10 Démostratio O a F i F, pour tout etier i = 1,. Tout s.e.v. de E coteat tous les F i doit être stable par somme. Remarque 2.23 Soiet u 1, u 2 et u 3 trois vecteurs d'u K-e.v. E. O a : < u 1, u 2 > + < u 3 > = < u 1 > + <u 2, u 3 > = < u 1, u 2, u 3 >. Cette propriété peut être facilemet étedue à plus de trois vecteurs. 2.3 Sommes directes Remarque 2.24 Das 3, soiet F = {(x,y,z) 3 / x = 0} et G = {(x,y,z) 3 / y = 0}. Tout vecteur v = (a,b,c) 3 peut s'écrire par exemple v = (0,b,c/2) + (a,0,c/2). Doc F + G = 3. Le vecteur u = (1,1,1) peut s'écrire (0,1,0) + (1,0,1) mais aussi (0,1,1) + (1,0,0). La décompositio de u 'est pas uique. Défiitio 2.25 Soiet F et G deux s.e.v. d'u K-e.v. E. O dit que la somme F + G est directe et o ote F G si et seulemet si tout élémet de F + G admet ue décompositio uique e la somme d'u élémet de F et d'u élémet de G. Exemples 2.26 Das [X], o cosidère F = {λ 1, où λ } et G = {µ X, où µ }. F + G est l'e.v. des polyômes de degré 1. La décompositio de tout vecteur de F + G e la somme d'u vecteur de F et d'u vecteur de G est uique. Das l'esemble des vecteurs de 2, o cosidère F = {(x,0) 2 / x } et G = {(0,y) 2 / y }, o a F + G = 2 et la décompositio est uique. Das l'esemble des vecteurs de 3, o cosidère F = {(0,y,0) 3 / y } et G = {(0,0,z) 3 / z }, o a F + G = {(x,y,z) 3 / x = 0} et la décompositio est uique. Propriété 2.27 Soiet F et G deux s.e.v. de E. La somme F + G est directe si et seulemet si F G = {0}. Démostratio ( ) {0} F G (toujours). Soit u F G, o a u = 0 + u = u + 0. Avec das le premier cas, 0 F et u G et das le deuxième cas u F et 0 G. De part l'uicité de la décompositio, o a u = 0. ( ) O suppose qu'u vecteur u de F + G se décompose sous la forme u = u 1 + u 2 et u = u' 1 + u' 2 avec u 1, u' 1 F et u 2, u' 2 G. O a doc u 1 u' 1 = u' 2 u 2. Or u 1 u' 1 F et u' 2 u 2 G. Puisque F G = {0}, o obtiet u 1 u' 1 = 0 = u' 2 u 2. C'est-à-dire u' 1 = u 1 et u' 2 = u 2 : la décompositio est uique. Fracis Wlaziski 10

11 Défiitio 2.28 Soit F = (F 1, F 2,..., F ) ue famille fiie de ( 3) s.e.v. d'u K-e.v. E. O dit que la somme F = v = v i, où pour tout i = 1,, v i F i. F i est directe si tout vecteur v de F s'écrit de maière uique sous la forme O dit que v i est la composate de v sur F i relativemet à cette somme directe. / La somme F est alors otée F = F i = F 1 F 2... F. Remarque 2.29 Si (F i ) i I ue famille quelcoque de s.e.v. d'u K-e.v. E. O a ue défiitio similaire : la somme F = F i est directe si tout vecteur v de F s'écrit de maière uique sous la forme d'ue somme à support fii u i, où pour tout i de I, u i F i. / La somme F est alors otée F = F i. Propriété 2.30 Soit F = (F 1, F 2,..., F ) ue famille fiie de ( 2) s.e.v. d'u K-e.v. E. La somme F = F i = F 1 + F F est directe si et seulemet si : (u 1, u 2,..., u ) F i, o a u 1 + u u = 0 u i = 0 i = 1,. Démostratio ( ) Soit (u 1, u 2,..., u ) F. O a : u 1 + u u = 0 = avec 0 F i. De part l'uicité de la décompositio, o obtiet le résultat. ( ) Supposos que l'o ait deux décompositios pour u même vecteur u de F 1 + F F. Nous allos motrer que ces deux décompositios sot les mêmes. O suppose doc : u = u 1 + u u = u' 1 + u' u' avec u i,u' i F i i = 1,. O obtiet alors (u 1 u' 1 ) + (u 2 u' 2 ) (u u' ) = 0 avec u i u' i F i i = 1,. D'où u i u' i = 0 i = 1,. C'est-à-dire u i = u' i i = 1,. Remarque 2.31 O peut étedre ce résultat à ue famille (F i ) i I quelcoque de s.e.v. de E. Das ce cas, la somme F = F i est directe si et seulemet si : Pour toute famille (u i ) à support fii (u i F i pour tout i), u i = 0 i I, u i = 0. Remarques 2.32 Si la somme F i est directe, et si J est ue partie de I, alors F i est directe. E particulier, pour tous les idices disticts i et j, F i F j = {0}. Fracis Wlaziski 11 icj

12 La réciproque est fausse. Pour moter que F 1, F 2,..., F sot e somme directe, avec 3, il e suffit pas de vérifier que pour tous idices disticts i et j, F i F j = {0}. Ce serait ecore pire de se coteter de vérifier que F 1 F 2... F = {0}. Ue erreur classique cosiste à écrire que la somme F + G est directe si et seulemet si l'itersectio F G est vide! L'itersectio de deux s.e.v. de E 'est e effet jamais vide car elle cotiet toujours 0. Il faut e fait vérifier que l'itersectio F G se réduit à {0}. 2.4 Sous-espaces supplémetaires Défiitio 2.33 Soiet F et G deux s.e.v. de E. O dit que F et G sot supplémetaires das E si E = F G. Cela sigifie que tout vecteur u de E s'écrit d'ue maière uique u = v + w, avec v F et w G. O dit alors que F est u supplémetaire de G das E et que G est u supplémetaire de F das E. Exemple 2.34 Das 2, o cosidère les droites vectorielles obteues par rotatio de des vecteurs i, j. 4 O motre que ces droites sot supplémetaires. Théorème 2.35 Soit F u s.e.v. de E. Alors F possède au mois u supplémetaire das E. Remarques 2.36 Ce résultat est admis pour l'istat. Il sera démotré das le cas particulier des espaces vectoriels de dimesio fiie. Si la somme F G est directe, alors F et G sot supplémetaires das F G. U même sous-espace F de E possède e gééral ue ifiité de supplémetaires das E. Il y a cepedat deux cas d'uicité : Si F = E, le seul supplémetaire de F das E est {0}. Si F = {0}, le seul supplémetaire de F das E est E lui-même. O e cofodra pas supplémetaire et complémetaire! Le complémetaire d'u sous-espace F de E est u esemble sas grad itérêt e algèbre liéaire : ce 'est pas u s.e.v. de E car il e cotiet pas le vecteur ul. Exemples 2.37 Das l'espace vectoriel M (K) des matrices carrées d'ordre à coefficiets das K, les sous-espaces S (K) et A (K) formés respectivemet des matrices symétriques et atisymétriques sot supplémetaires. Das l'espace vectoriel F (, ) de toutes les foctios de das, les sous-espaces P(, ) et I(, ) formés respectivemet des foctios paires et impaires sot supplémetaires. Fracis Wlaziski 12

13 3. Applicatios liéaires 3.1 Défiitios et otatios Défiitio 3.1 Soiet E et F deux espaces vectoriels sur u même corps K. Soit f ue applicatio de E das F. O dit que f est liéaire si et seulemet si : u,v E, λ K, f (u + v) = f (u) + f (v) et f (λ u) = λ f (u). Défiitios 3.2 O ote L K (E, F) ou L (E, F) s'il 'y a pas d'ambiguïté sur le corps K l'esemble des applicatios liéaires du K-e.v. E das le K-e.v. F. U edomorphisme d'u K-e.v. E est ue applicatio liéaire de E das lui-même. O ote L K (E) ou L (E) l'esemble des edomorphismes de E. U isomorphisme est ue applicatio liéaire bijective. U automorphisme d'u K-e.v. E est u isomorphisme de E das lui-même. O ote GL(E) l'esemble des automorphismes de E. Exemples 3.3 Soiet E et F deux espaces vectoriels sur K. L'applicatio ulle de E das F est liéaire. L'applicatio idetité Id E est ue applicatio liéaire et bijective de E das E (automorphisme). Pour tout scalaire α, l'applicatio h α : u x α u est u edomorphisme de E. Pour tous scalaires α et β, h α o h β = h αβ. Si α = 0, h α est simplemet l'applicatio ulle. Si α 0, h α est u automorphisme et (h α ) 1 = h 1/α. O dit que h α est l'homothétie vectorielle de rapport α. Soit I u itervalle de, o réduit à u poit. L'applicatio qui, à ue foctio f de I das, associe sa dérivée f' est ue applicatio liéaire de l'espace vectoriel des foctios dérivables sur I das F (I, ). La restrictio de cette applicatio à E = C ( ) est u edomorphisme de E. : C 0 ( ) est liéaire. 1 g g(t) dt 0 f : 'est pas liéaire. E effet, f (2 5) 49 et f (2) f (5) 29. x x 2 Remarques 3.4 Si f est ue applicatio liéaire, o dit aussi que f est u morphisme d'espaces vectoriels. f est liéaire de E das F si et seulemet si, u,v E, α,β K, f (α u + β v) = α f (u) + β f (v). Si f est liéaire, alors f ( λ i u i ) = λ i f (u i ) pour toute combiaiso liéaire. Das le cas fii : f ( λ i u i ) = f (λ 1 u 1 + λ 2 u λ u ) = f (λ 1 u 1 ) + f (λ 2 u 2 ) f (λ u ) = λ i f (u i ). Si f est liéaire de E das F, alors f (0 E ) = 0 F. E effet, f (0 E ) = f (0 K.0 E ) = 0 K.f (0 E ) = 0 F. Cette remarque est parfois utilisée pour motrer qu'ue applicatio 'est pas liéaire. Fracis Wlaziski 13

14 3.2 Opératios sur les applicatios liéaires Propriété 3.5 Soiet E et F deux espaces vectoriels sur u même corps K. Soiet f et g deux applicatios liéaires de E das F, et α, β deux scalaires. Alors α f + β g est aussi ue applicatio liéaire de E das F. O e déduit que L (E, F) est u espace vectoriel sur K. Démostratio (Rappel : Par défiitio, (f + g)(x) = f (x) + g(x) et (kf)(x) = k.f (x)). Soiet λ, µ K et soiet x, y E. (α f + β g) (λ x + µ y) = (α f)(λ x + µ y) + (β g)(λ x + µ y) = α f (λ x + µ y) + β g(λ x + µ y). = α (λ f (x) + µ f (y)) + β (λ g(x) + µ g(y)) = αλ f (x) + αµ f (y) + βλ g(x) + βµ g(y). = λ (α f (x) + β g(x)) + µ (α f (y) + β g(y)) = λ (α f + β g)(x) + µ (α f + β g)(y). Propriété 3.6 Soiet E, F et G trois espaces vectoriels sur u même corps K. Si f : E F et g : F G sot liéaires, alors g o f est ue applicatio liéaire de E das G. Démostratio Soiet λ, µ K et soiet x, y E. (g o f)(λ x + µ y) = g(f (λ x + µ y)) = g(λ f (x) + µ f (y)) = λ g(f (x)) + µ g(f (y)) = λ(g o f)(x) + µ(g o f)(y). Remarques 3.7 Soiet E, F et G trois espaces vectoriels sur u même corps K. Si f L (F, G) et si g,h L (E, F) alors f o (g + h) = f o g + f o h. E effet : x E, [f o (g + h)](x) = f [(g + h)(x)] = f [g(x)+ h(x)]= f [g(x)]+ f [h(x)] = (f o g)(x) + (f o h)(x) Soit f u edomorphisme de E et u etier aturel. Alors f = f o f o... o f ( fois) est u edomorphisme de E. k C k=0 Das l'algèbre L (E), o peut utiliser la formule du biôme (f + g) = (f k o g k ), à coditio que les applicatios f et g commutet. Par exemple, les applicatios h λ commutet avec tous les edomorphismes de E. Propriété 3.8 Soit f u isomorphisme de E sur F. Sa bijectio réciproque f 1 est u isomorphisme de F sur E. Démostratio f est bijective (doc surjective) d'où, pour tous z,t F, il existe x,y E tels que f (x) = z et f (y) = t. C'est-à-dire f 1 (z) = x et f 1 (t) = y. Doc λ, µ K, f 1 (λz + µt) = f 1 [ λf(x) + µf(y)] = f 1 [ f(λx + µy)] = λx + µy = λf 1 (z) + µf 1 (t). Fracis Wlaziski 14

15 Remarque 3.9 Si f et g sot deux automorphismes d'u K-e.v. E, alors f 1 et g o f sot ecore des automorphismes de E. O e déduit que (L (E), +, o,.) est ue algèbre sur K. E gééral, cette algèbre 'est pas commutative. E particulier, GL(E) est u groupe (e gééral, o commutatif) pour la loi de compositio des applicatios. 3.3 Noyau et image Propriété 3.10 Soiet E et F deux espaces vectoriels sur K. Soit f u morphisme de E das F. Si E' est u sous-espace de E, alors f (E') est u sous-espace de F. Si F' est u sous-espace de F, alors f 1 (F') est u sous-espace de E. Démostratio Soit E' u s.e.v. de E. 0 E E' car E' s.e.v. de E et f (0 E ) = 0 F doc f (E'). Soiet y, y' f (E'). x E' / y = f (x) et x' E' / y' = f (x'). λ, µ K, λ y + µ y' = λ f (x) + µ f (x') = f (λ x + µ x'). Or λ x + µ x' E' car E' s.e.v. doc λ y + µ y' f (E'). Soit F' u s.e.v. de F. 0 F F' car F' s.e.v. de F et f (0 E ) = 0 F doc f 1 (F'). Soiet x, x' f 1 (F') c'est-à-dire f (x) F' et f (x') F'. λ, µ K, f (λ x + µ x') = λ f (x) + µ f (x'). Or λ f (x) + µ f (x') F' car F' s.e.v. doc f (λ x + µ x') F'. C'est-à-dire λ x + µ x' f 1 (F'). Défiitios 3.11 Soiet E et F deux espaces vectoriels sur K. Soit f u morphisme de E vers F. L'esemble f (E) = {v F / u E et v = f (u)} = {f (u), u E} est u s.e.v. de F. O l'appelle image de f et o le ote Im f. L'esemble f 1 ({0 F }) {u E, f(u) = 0 F } est u s.e.v. de E. O l'appelle oyau de f et o le ote Ker f. Remarques 3.12 Avec les otatios de la défiitio, o a : f surjective Im f F. O peut parfois motrer qu'ue partie d'u espace vectoriel e est u s.e.v. e l'iterprétat comme le oyau ou l'image d'ue applicatio liéaire. Par exemple, soit f u edomorphisme de l'espace vectoriel E, et soit λ u scalaire. Notos E λ l'esemble des vecteurs u de E tels que f (u) = λ u. O costate que f (u) = λ u (f λ Id)(u) = 0 u Ker(f λ Id). O e déduit que E λ est u s.e.v. de E. C'est le cas e particulier pour Iv(f) = E 1 (vecteurs ivariats) et pour Opp(f) = E 1 (vecteurs chagés e leur opposé par f). Fracis Wlaziski 15

16 Propriété 3.13 Soiet E et F deux espaces vectoriels sur K. Soit f u morphisme de E das F. f est ijective si et seulemet si so oyau Ker(f) se réduit à {0 E }. Démostratio ( ) x Ker f f (x) = 0 F f (x) = f (0 E ). f ijective x = 0 E Ker f = {0}. ( ) x, x' F / f (x) = f (x') f (x) f (x') = 0 F f (x x') = 0 F. Or Ker f = {0} doc x x' = 0 E x = x'. Remarque 3.14 Autremet dit, f est ijective si et seulemet si ( u E) f (u) = 0 F u = 0 E. 3.4 Projectios et symétries vectorielles Défiitio 3.15 Soiet F et G deux s.e.v. supplémetaires de E. Pour tout vecteur u de E :!v F,!w G tels que u = v + w. L'applicatio p : u x p(u) = v est appelée la projectio sur F, parallèlemet à G. L'applicatio s : u x s(u) = v w est appelée la symétrie par rapport à F, parallèlemet à G. Remarques 3.16 Avec les otatios précédetes, p est u edomorphisme de E qui vérifie p o p = p. L'image de p est F et so oyau est G. F est aussi le s.e.v. des vecteurs ivariats par p. s est u automorphisme de E, et s o s = Id. Aisi s est ivolutif : s 1 = s. O a la relatio s = 2p Id, qui s'écrit ecore p = 1 (s + Id). 2 G est le sous-espace des vecteurs chagés e leur opposé par s. F est le sous-espace des vecteurs ivariats par s. Si o ote p' la projectio sur G parallèlemet à F, et s' la symétrie par rapport à G parallèlemet à F, alors p + p' = Id, p o p' = p' o p = 0 et s + s' = 0, s o s' = s' o s = Id. Exemple 3.17 O cosidère la somme directe E = E {0}. O pose F = E et G = {0}. Soiet p la projectio sur F parallèlemet à G s la symétrie par rapport à F parallèlemet à G. p' la projectio sur G parallèlemet à F s' la symétrie par rapport à G parallèlemet à F. O obtiet : p = Id (c'est le seul cas où ue projectio vectorielle est ijective) et s = Id. p' = 0 et s' = Id (e effet x = x + 0). Fracis Wlaziski 16

17 Défiitio 3.18 Soit E u espace vectoriel sur K. O appelle projecteur de E tout edomorphisme p de E tel que p o p = p. Propriété 3.19 Si p est u projecteur de E, alors E = Ker p Im p. L'applicatio p est la projectio sur Im p parallèlemet à Ker p. Démostratio Soit p u projecteur de E. Pour tout u E, o a u = u p(u) + p(u). O a bie p(u) Im p. p(u p(u)) = p(u) p(p(u)) = p(u) p(u) = 0 doc u p(u) Ker p. C'est-à-dire E = Ker p + Im p. Il reste à vérifier que Ker p Im p = {0}. Soit u Ker p Im p. u Im p t E / u = p(t). u Ker p p(u) = 0 p(p(t)) = 0 p(t) = 0 u = Familles libres, géératrices, bases Toutes les sommes cosidérées das cette partie sot à support fii. 4.1 Familles libres Défiitio 4.1 Soit E u espace vectoriel sur K. O dit qu'ue famille (u i ) i I d'élémets de E est libre, ou ecore que les vecteurs de cette famille sot liéairemet idépedats si, pour toute famille (λ i ) i I de K (I) (c'est-à-dire à support fii), ous avos : λ i u i = 0 i I, λ i = 0. Das le cas cotraire, c'est-à-dire s'il existe ue famille (λ i ) i I K (I) de scalaires o tous uls telle que λ i u i = 0, o dit que la famille (u i ) i I est liée, ou ecore que les vecteurs qui la composet sot liéairemet dépedats. Exemple 4.2 Soiet u = (1, 1) et v = (2, 3) das 2. λ.u + µv = 0 λ (1, 1) + µ (2,3) = 0 (λ,λ) + (2µ,3µ) = 0 (λ + 2µ, λ + 3µ) = (0,0) + 2 = = 0 λ = µ = 0 Fracis Wlaziski 17

18 Remarques 4.3 O e doit pas cofodre o tous uls et tous o uls. La famille (u 1, u 2,..., u ) est libre si (λ 1, λ 2,..., λ ) K, λ i u i = 0 λ 1 = λ 2 =... = λ = 0. La famille (u 1, u 2,..., u ) est liée si : Il existe scalaires λ 1,..., λ, l'u au mois état o ul, tels que λ i u i = 0. Si, par exemple, λ 1 0, alors u 1 = 1 λ i u i. 1 i=2 Ue famille de vecteurs est liée si et seulemet si l'u des vecteurs qui la compose peut s'écrire comme ue combiaiso liéaire des autres. Ue famille réduite à u seul vecteur u est libre si et seulemet si u est o ul. Ue famille de deux vecteurs u et v est liée si et seulemet si u et v sot coliéaires, ou ecore proportioels, c'est-à-dire s'il existe u scalaire λ tel que u = λ v ou v = λ u. Cela e se gééralise pas aux familles de plus de deux vecteurs. Attetio à e pas dire que u et v sot liés si et seulemet si il existe u scalaire λ tel que u = λ v, car c'est faux si v = 0 et u 0 (e revache c'est vrai si v 0). Toute sous-famille d'ue famille libre est libre. Cela équivaut à dire que toute sur-famille d'ue famille liée est liée. E particulier toute famille coteat 0, ou deux vecteurs coliéaires, est liée. Exemples 4.4 Les vecteurs u = ( 1,1) et v = (1,1) de 2 sot liéairemet idépedats. Les vecteurs u = ( 1,1,1), v = ( 1,2,3) et w = (2, 1,0) de 3 sot liéairemet dépedats car w = v 3 u. (X,X 2 ) formet ue famille libre de [X]. (X 2 ) formet ue famille libre de [X]. (si,cos) est ue famille libre de C 0 ( ) (Il suffit de predre x = 0 et x = π / 2 par exemple). Das l'espace vectoriel K[X] des polyômes à coefficiets das K, toute famille de polyômes dot les degrés sot différets deux à deux est libre. C'est le cas pour la famille (P ) si deg P 0 < deg P 1 <... < deg P <... O parle alors de famille de polyômes à degrés écheloés. Propriétés 4.5 Soiet E et F deux espaces vectoriels sur K et f u morphisme de E das F. Soit (u i ) i = 1, p ue famille fiie d'élémets de E. Si la famille (u i ) i = 1, p est liée, alors la famille (f (u i )) i = 1, p est liée. Si la famille (f (u i )) i = 1, p est libre, la famille (u i ) i = 1, p est libre. Si la famille (u i ) i = 1, p est libre et si f est ijective, alors la famille (f (u i )) i = 1, p est libre. Démostratio Si ue famille (quelcoque, voir remarque 4.4) (u i ) i I est liée, l'u des u i est ue C.L. des autres. C'est-à-dire il existe u esemble J fii tel que J I, i 0 I \ J et ue famille (λ j ) j J d'élémets de K tels que λ j u j. u i0 = jcj O a doc f ( ) = f ( λ j u j ) = λ j f (u j ). C'est-à-dire f ( ) C.L. des (u i ) d'où (f (u i )) i I liée. u i0 jcj jcj u i0 \{i 0 } Fracis Wlaziski 18

19 Cotraposée. Soit (v 1, v 2,..., v ) ue famille libre de E. λ 1 f (v 1 ) + λ 2 f (v 2 ) λ f (v ) = 0 f (λ 1 v 1 + λ 2 v λ v ) = 0 λ 1 v 1 + λ 2 v λ v Ker f. λ 1 v 1 + λ 2 v λ v = 0 car f est ijective λ 1 = λ 2 =... = λ = 0 car (v 1, v 2,..., v ) est libre. Doc (f (v 1 ), f (v 2 ),... f (v )) est libre. Remarque 4.6 O peut étedre ces résultats à ue famille quelcoque (u i ) i I : Toute applicatio liéaire trasforme ue famille liée e ue famille liée. Ue applicatio liéaire ijective trasforme ue famille libre e ue famille libre. 4.2 Familles géératrices Défiitio 4.7 Soit E u espace vectoriel sur K. O dit qu'ue famille (u i ) i I d'élémets de E est géératrice de E, ou ecore que les vecteurs de cette famille egedret E si et seulemet Vect({u i, i I}) = E, c'est-à-dire : v E, (λ i ) i I K (I) / v = λ i u i. Remarques 4.8 La famille (u 1, u 2,..., u ) est géératrice das E si, pour tout vecteur v de E, il existe scalaires λ 1,..., λ tels que v = λ i u i. Exemples 4.9 (1,0,0), (0,1,0) et (0,0,1) egedret 3. (1,0,0), (1,1,0) et (1,1,1) egedret 3. (1,0,0), (1,1,0), (1,1,1) et (1,2,1) egedret 3. {1, 1 + X, 1 + X + X 2 } egedre E = {P [X] / deg P 2} = {ax 2 + bx + c où a,b,c }. E effet, ax 2 + bx + c = a(1 + X + X 2 ) + (b a)(1 + X) + (c b)(1). Remarques 4.10 Toute sur-famille d'ue famille géératrice de E est ecore géératrice. Soiet E u espace vectoriel sur K et F u s.e.v. strict de E (F K E). Soit (u i ) i I ue famille de vecteurs de F. Le caractère libre ou o de cette famille e déped pas de l'espace vectoriel, F ou E, auxquels ils sot cesés apparteir (c'est faux si l'o chage de corps, par exemple (1,0) et (i,0) sot libres das cosidéré comme -e.v. mais pas comme -e.v.). E revache, si cette famille est géératrice das F, elle e l'est pas das E. Il faudra doc préciser das quel espace vectoriel ue famille de vecteurs est géératrice surtout lorsqu'il y a u risque d'ambiguïté. Propriété 4.11 Soiet E et F deux espaces vectoriels sur K et f L K (E,F). Soit (u i ) i = 1, p ue famille fiie de E. Si la famille (u i ) i = 1, p est géératrice (de E) alors la famille (f (u i )) i = 1, p est géératrice de Im f. Si la famille (u i ) i = 1, p est géératrice (de E) et si f est surjective, alors la famille (f (u i )) i = 1, p est géératrice de F. Fracis Wlaziski 19

20 Démostratio Cas famille quelcoque (voir remarque 4.12). Soit v Im f. Il faut motrer que v est ue C.L. des (f (u i )) i I. Par défiitio, v Im f u E / v = f (u). Puisque (u i ) i I est ue famille géératrice de E, il existe u esemble J fii tel que J I et (λ j ) j J famille de K tels que u = λ j u j. Doc v = λ j f (u j ). jcj Si f surjective, f (E) = Im f = F. Remarque 4.12 jcj O peut étedre ces résultats à ue famille quelcoque (u i ) i I : o peut doc dire qu'ue applicatio liéaire surjective trasforme ue famille géératrice de l'esemble de départ e ue famille géératrice de l'esemble d'arrivée Bases Défiitio 4.13 Soit E u espace vectoriel sur K. O dit qu'ue famille (u i ) i I d'élémets de E est ue base de E si elle est à la fois libre et géératrice de E. Exemples importats 4.14 (1) est ue base de. Elle est appelée la base caoique de. ((1,0),(0,1)) est la base caoique de 2. ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)) est la base caoique de 3. {1,X,X 2 } est la base caoique de 2 [X]. (X k ) k est la base caoique de [X]. Propriété 4.15 Ue famille (u) = (u 1, u 2,..., u ) est ue base de E si et seulemet si, pour tout vecteur v de E, il existe u -uplet uique (λ 1,..., λ ) de K tel que v = 1 coordoées, de v das la base (u i ) i = 1,. O ote alors [v] u. Démostratio λ i u i. Les coefficiets λ i sot appelés composates, ou Puisqu'ue base est ue famille libre et géératrice, il suffit de motrer que das le cas d'ue famille géératrice, o a l'équivalece etre la liberté et l'uicité de la décompositio. ( ) Supposos qu'u vecteur v admet deux décompositios : ( ) v = λ i u i = µ i u i où λ i, µ i K, i = 1,. O obtiet doc (λ i µ i ) u i = 0. Puisque (u) est ue famille libre, o a doc λ i µ i = 0 i = 1, c'est-à-dire λ i = µ i. O suppose que tout vecteur v de E peut s'écrire de maière uique comme ue combiaiso liéaire des vecteurs u i. O a λ i u i = 0 = 0u 1 + 0u u. La décompositio état uique cela implique bie que, i I, λ i = 0 et doc que (u) est libre. Fracis Wlaziski 20

21 Remarques 4.16 Ue famille (quelcoque) (u i ) i I est ue base de E si et seulemet si tout vecteur v de E peut s'écrire de maière uique comme ue combiaiso liéaire des vecteurs u i. Si (i, j, k) formet ue base de E, et si les coordoées d'u vecteur v das cette base sot (a, b, c) (c'est-à-dire si v = ai + bj + ck), alors (j, k, i) formet ue base de E das laquelle les coordoées de v sot (b, c, a). Coclusio : deux bases se déduisat l'ue de l'autre par modificatio de l'ordre des vecteurs doivet être cosidérées comme différetes. La famille des polyômes (X k ) k = (1, X, X 2,..., X i,... ) est ue base de K[X]. O l'appelle la base caoique de K[X]. La famille des polyômes (X k ) k = 0, = (1, X, X 2,..., X ) est la base caoique de K [X]. Propriété 4.17 Soit (e) = (e 1, e 2,..., e ) ue base d u K-e.v. E avec 1. Soiet u 1, u 2,...,u p p( 1) vecteurs de E de coordoées respectives [u 1 ] e, [u 2 ] e,...,[u p ] e K das (e). (u 1, u 2,...,u p ) libre ([u 1 ] e, [u 2 ] e,...,[u p ] e ) libre. (u 1, u 2,...,u p ) egedre E ([u 1 ] e, [u 2 ] e,...,[u p ] e ) egedre K. Propriétés 4.18 Soiet E et F deux espaces vectoriels sur K. O suppose que E est mui d'ue base (e i ) i I. Pour toute famille (v i ) i I de vecteurs de F, il existe ue uique applicatio liéaire f de E das F telle que i I, f (e i ) = v i. De plus : f est ijective si et seulemet si la famille (v i ) i I est libre. f est surjective si et seulemet si la famille (v i ) i I est géératrice de F. f est bijective si et seulemet si la famille (v i ) i I est ue base de F. Démostratio Soit g est ue applicatio liéaire de E vers F où E est de dimesio fiie et soit (e) = (e 1, e 2,..., e ) ue base de E. Pour tout x E, il existe (x 1, x 2,..., x ) K telle que x = x 1 e 1 + x 2 e x e = x i e i. D'où g(x) = g(x 1 e 1 + x 2 e x e ) = g(x 1 e 1 ) + g(x 2 e 2 ) g(x e ) = x 1 g(e 1 ) + x 2 g(e 2 ) x g(e ). C'est-à-dire g(x) = g( x i e i ) = g(x i e i ) = x i g(e i ). Cela sigifie que si l'o coaît les (g(e i )),, o coaît g : ue applicatio liéaire est défiie de maière uique par la doée des images des vecteurs d'ue base. Nous avos vu (propriétés 4.5 et 4.10) que : (f ijective (v i ) i I libre) et (v i ) i I est géératrice de Im f. Pour obteir les trois poits, il reste juste à motrer que : (v i ) i I libre f ijective. Soit x = x i e i Ker f. f (x) = 0 x i f (e i ) = 0 x i v i = 0 x i = 0 i = 1, car (v i ) i I libre x = 0. Doc Ker f = {0} c'est-à-dire f ijective. Remarque 4.19 U morphisme f de E vers F est u isomorphisme si et seulemet si f trasforme ue base de E e ue base de F. L'applicatio f trasforme alors toute base de E e ue base de F. Fracis Wlaziski 21

22 5. Espaces vectoriels de dimesio fiie 5.1 Notio de dimesio fiie Défiitio 5.1 Soit E u K-espace vectoriel. O dit que E est de dimesio fiie si E possède ue famille géératrice fiie. Remarques 5.2 Avec cette défiitio, l'espace réduit à {0} est de dimesio fiie. Si u espace vectoriel 'est pas de dimesio fiie, il est dit de dimesio ifiie. C'est le cas de l'espace vectoriel K[X] des polyômes à coefficiets das K. Propriété 5.3 De toute famille géératrice d'u espace vectoriel o ul de dimesio fiie, o peut extraire ue base. Remarque 5.4 O a précisé E {0} car das l'espace {0} il 'y a même pas de famille libre! Démostratio Soit {e 1, e 2,..., e } ue famille géératrice de vecteurs de E. Pour tout vecteur o ul x de E, x est ue C.L. des (e i ),, il existe doc ue famille (λ i ), d'élémets de K tels que x = λ 1 e 1 + λ 2 e λ e = λ i e i. Puisque x est o ul, il existe j 1 = 1, tel que λ j1 0 et e j1 0. O pose e' 1 = e j1 et B 1 = {e' 1 } et G 1 = {e 1, e 2,..., e } \ {e' 1 } = {e 1, e 2,..., e } \ B 1. Puisque e' 1 est o ul, B 1 est libre. Si B 1 est géératrice, le théorème est démotré. Si B 1 'est pas géératrice, il existe e j2 G 1 tel que {e j1, e j2 } soit ue famille libre. E effet, das le cas cotraire, tous les élémets de G 1 seraiet coliéaires à e j1. Ce serait aussi le cas de x. Or ous sommes das le cas où B 1 'est pas géératrice. O pose e' 2 = e j2 et B 2 = {e' 1, e' 2 } et G 2 = {e 1, e 2,..., e } \ {e' 1, e' 2 } = {e 1, e 2,..., e } \ B 2. Si B 2 est géératrice, le théorème est démotré Si B 2 'est pas géératrice, il existe e j3 G 2 tel que {e j1, e j2, e j3 } soit ue famille libre. E effet, das le cas cotraire, tous les élémets de G 2 seraiet des C.L. de {e j1, e j2 }. Ce serait aussi le cas de x. Or ous sommes das le cas où B 2 'est pas géératrice. O cotiue aisi. O costruit ue suite de famille libre : B 1 C B 2 C..._ {e 1, e 2,..., e } jusqu'à obteir ue famille géératrice. Puisque {e 1, e 2,..., e } est ue famille fiie. Ce processus se termie. Plus précisémet, ous avos : Théorème 5.5 Das tout espace vectoriel E de dimesio fii o réduit à {0}, il existe des bases. Fracis Wlaziski 22

23 Propriété 5.6 Soit E u espace vectoriel sur K. Soit (e i ), = {e 1, e 2,..., e } ue famille de vecteurs de E. Si (e i ), est géératrice das E, toute famille coteat plus de vecteurs est liée. Démostratio Soit {v 1, v 2,..., v m } ue famille de m (> ) vecteurs de E. Si l'u des v i est ul, la famille (v i ),m est liée et la démostratio est termiée. O suppose doc que i =1,, v i 0. Puisque la famille (e i ), est géératrice, il existe doc ue famille (λ 1,i ), d'élémets de K tels que v 1 = λ 1,1 e 1 + λ 1,2 e λ 1, e = λ 1,i e i. Puisque v 1 0, il existe u etier j compris etre 1 et tel que λ 1,j 0. Sas perte de gééralité (o reverra la situatio), o peut supposer que λ 1,1 0. O a alors e 1 = 1 (v. 1 1,2 e 2 1,3 e , e ) 1,1 Pour tout vecteur x = µ i e i de E, o a doc : 1 x = µ 1 e 1 + µ 2 e µ e = (v + µ 2 e µ e 1 1,2 e 2 1,3 e , e ) 1,1 = 1 1,1 v 1 + i=2 i 1,i 1,1 e i Nous obteos doc que x est ue C.L. de {v 1, e 2,..., e } c'est-à-dire {v 1, e 2,..., e } famille géératrice de E. (Si, par exemple, o avait choisi λ 1,2 0 à la place de λ 1,1, o aurait obteu {v 1, e 1, e 3,..., e } famille géératrice de E.) O cotiue aisi. Puisque {v 1, e 2,..., e } est ue famille géératrice de E, il existe doc ue famille (λ 2,i ), d'élémets de K tels que v 2 = λ 2,1 v 1 + λ 2,2 e λ 2, e. Si λ 2,1 = λ 2,2 =... = λ 2, = 0, o aurait v 1 = λ 2,1 v 1 ce qui sigifie que la famille {v 1, v 2,..., v m } est liée et cela termierait la démostratio. Sio, il existe u etier j compris etre 2 et tel que λ 2,j 0. Sas perte de gééralité, o peut supposer qu'il s'agit de λ 2,2. O obtiet e 2 = 1 (v. 2 2,1 v 1 2,3 e , e ) 2,2 Pour tout vecteur x de E, puisque {v 1, e 2,..., e } est ue famille géératrice de E, x est ue C.L. de {v 1, e 2,..., e }. Puisque e 2 est ue C.L. de {v 1, v 2, e 3,..., e }, x est ue C.L. de {v 1, v 2, e 3,..., e }. C'est-à-dire {v 1, v 2, e 3,..., e } est ue famille géératrice de E. O cotiue aisi de suite jusque v. Soit, das ue des étapes, o obtiet que la famille est liée ce qui termie la démostratio. Soit o obtiet que la famille {v 1, v 2,..., v } est ue famille géératrice de E. Das ce cas, puisque m >, v +1 existe et v +1 est doc ue C.L. de {v 1, v 2,..., v }. La famille {v 1, v 2,..., v m } est doc liée. Corollaire 5.7 Soit E u espace vectoriel sur K. Soit (e i ), = {e 1, e 2,..., e } ue famille de vecteurs de E. Si (e i ), est libre, aucue famille de mois de vecteurs 'est géératrice das E. Fracis Wlaziski 23

24 Démostratio Si o avait ue famille de mois de vecteurs qui soit géératrice, o pourrait e extraire ue base. Toute famille coteat plus de vecteurs serait doc lié. Théorème 5.8 Si E est u K-espace vectoriel de dimesio fiie o réduit à {0}, alors toutes les bases de E sot fiies et elles ot le même ombre d'élémets. Ce ombre est appelé dimesio de E et est oté dim E. Démostratio Soit (e) = (e 1, e 2,..., e ) ue base de vecteurs de E. Soit (e') ue autre base de E. Si (e') possédait plus de vecteurs, elle e serait pas libre. Si (e') possédait mois de vecteurs, elle e serait pas géératrice. Remarques 5.9 Par covetio, dim {0} = 0. O appelle droite vectorielle tout espace vectoriel E de dimesio 1. Tout vecteur o ul u de E costitue alors ue base de E, et E = {λ u, λ K}. O appelle pla vectoriel tout espace vectoriel E de dimesio 2. Deux vecteurs u et v o proportioels formet alors ue base de E et E = {λ u + µ v, λ K, µ K}. La dimesio d'u espace vectoriel E déped du corps de base. Si E est u espace de dim sur, c'est u espace de dimesio 2 sur. Par exemple, est ue droite vectorielle sur et u pla vectoriel sur. Pour éviter toute ambiguïté, o ote parfois dim K (E). Exemples 5.10 K est u espace vectoriel sur K, de dimesio. Ue base de K est la famille (e k ) 1 k, où e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e = (0,..., 0, 1). O l'appelle la base caoique de K. Les coordoées de u = (x 1,..., x ) das cette base sot (x 1,..., x ), car u = x k e k. L'esemble K [X] des polyômes à coefficiets das K et de degré iférieur ou égal à est u espace vectoriel sur K, de dimesio + 1. Ue base de K [X] est (1, X, X 2,..., X ). Si E et F sot deux K-espaces vectoriels de dimesios respectives et p, alors l'espace vectoriel des applicatios liéaires de E das F est de dimesio p. Si E et F sot deux K-e.v. de dimesios respectives et p, alors o a dim(e F) = + p. Plus gééralemet, pour ue famille E 1, E 2,..., E m d espaces vectoriels sur le même corps, o a : dim(e 1 E 2... E m ) = m dim(e i ) et dim(e m ) = m dim(e). k=1 Théorème 5.11 Théorème de la base icomplète Soit E u K-espace vectoriel de dimesio fiie 1. Soit (e) ue famille géératrice fiie de E. Soit (u) ue famille libre de E, o géératrice. Alors il est possible de compléter la famille (u) à l'aide de vecteurs de la famille (e), de maière à former ue base de E. Fracis Wlaziski 24

25 Propriété 5.12 Soit E u K-espace vectoriel de dimesio fiie 1. Soit (u) = (u 1, u 2,..., u ) ue famille de élémets de E. (u) est ue base (u) est libre (u) est géératrice. Démostratio Il suffit de motrer (u) libre (u) base (u) géératrice (u) base Si (u) est ue famille libre, d'après le théorème de la base icomplète, o peut compléter (u) e ue base. Mais toute base de E cotiet vecteurs. Doc o e peut pas ajouter de vecteur pour obteir ue base. C'est doc que (u) est déjà ue base. Si (u) est ue famille géératrice, o peut e extraire ue base. Or cette base doit coteir élémets!!! Remarque 5.13 La dimesio d'u espace vectoriel de dimesio fiie est doc : Le ombre miimum d'élémets d'ue famille géératrice de cet e.v. Le ombre maximum d'élémets d'ue famille libre de cet e.v. 5.2 Sous-espaces de dimesio fiie Propriété 5.14 Soit F u s.e.v. d'u K-e.v. E de dimesio fiie. Alors F est de dimesio fiie et dim(f) dim(e). O a l'égalité dim(f) = dim(e) si et seulemet si F = E. Démostratio Soit = dim E. Si F = {0}, o obtiet trivialemet le résultat. Si F {0}, soit (e' 1, e' 2,..., e' p ) ue base de F. (e' 1, e' 2,..., e' p ) est ue famille libre de F et doc de E. O obtiet doc p. Si p =, (e' 1, e' 2,..., e' p ) est ue famille libre de E possédat élémets, c'est doc ue base de E. Défiitio 5.15 Soit (u i ),p = (u 1, u 2,..., u p ) ue famille de p vecteurs d'u espace vectoriel E sur K. O appelle rag de la famille (u i ),p et o ote rg (u 1, u 2,..., u p ) la dimesio du s.e.v. de E egedré par cette famille. C'est-à-dire, rg (u 1, u 2,..., u p ) = dim (Vect{u 1, u 2,..., u p }). Fracis Wlaziski 25

26 Remarques 5.16 rg (u 1, u 2,..., u p ) est le ombre maximal de vecteurs libres de la famille (u 1, u 2,..., u p ). O a rg (u 1, u 2,..., u p ) p, avec l'égalité si et seulemet si la famille (u) est libre. Si dim(e) =, alors rg (u 1, u 2,..., u p ), avec l'égalité si et seulemet si la famille (u i ),p est géératrice das E. Exemples 5.17 O cosidère das 3 la famille A das les cas suivats : a. A = {(1,2, 3) ; ( 2, 4,6)} rg(a) = 1 b. A = {(1,2, 3) ; ( 1,0,5)} rg(a) = 2 c. A = {(1,2, 3) ; ( 1,0,5) ; (0,2,2)} rg(a) = 2 d. A = {(1,2, 3) ; ( 1,0,5) ; (0,2,3)} rg(a) = 3 e. A = {(1,2, 3) ; ( 1,0,5) ; (0,2,3) ; (4, 1,5)} rg(a) = 3 f. A = {(1,2, 3) ; ( 1,0,5) ; (0,2,2) ; (1,4, 1)} rg(a) = 2 Propriété 5.18 Soiet F et G deux s.e.v. de dimesios fiies d'u K-e.v. E. Das le cas gééral, dim(f + G) = dim(f) + dim(g) dim(f G). Si F et G sot e somme directe, alors dim(f G) = dim(f) + dim(g). Démostratio Supposos que dim(f) = p, dim(g) = q et dim(f G) = r. Plus précisémet, soit (ε 1, ε 2,..., ε r ) ue base de F G. (ε 1, ε 2,..., ε r ) est ue famille libre de F G et doc de F et G. O peut compléter cette famille e ue base de F et e ue base de G. Soiet (ε 1, ε 2,..., ε r, a r+1, a r+2,..., a p ) ue base de F et (ε 1, ε 2,..., ε r, b r+1, b r+2,..., b q ) ue base de G. O cosidère la famille (B) = (ε 1, ε 2,..., ε r, a r+1, a r+2,..., a p, b r+1, b r+2,..., b q ). Nous allos motrer que (B) est ue base de F + G. Puisque (B) cotiet r + (p r) + (q r) = p + q r élémets, cela termiera la démostratio. Famille géératrice : Tout vecteur x de F + G s'écrit comme somme d'ue C.L. d'ue base F et d'ue C.L. d'ue base G. x = λ 1 ε 1 + λ 2 ε λ r ε r + λ r +1 a r+1 + λ r +2 a r λ p a p + µ 1 ε 1 + µ 2 ε µ r ε r + µ r +1 b r+1 + µ r +2 b r µ q b q. x est doc ue C.L. de (B) est ue famille géératrice de F + G. Famille libre : λ 1 ε 1 + λ 2 ε λ r ε r + λ r +1 a r+1 + λ r +2 a r λ p a p + λ p +1 b r+1 + λ p +2 b r λ p+q b q = 0. Si o pose u = λ 1 ε 1 + λ 2 ε λ r ε r, v = λ r +1 a r+1 + λ r +2 a r λ p a p et w = λ p +2 b r λ p+q r b q, o a u + v + w = 0. Doc w = u v avec w F et u v G. D'où w F G. w est doc ue C.L. des (ε 1, ε 2,..., ε r ) i.e. : w = µ 1 ε 1 + µ 2 ε µ r ε r. De w = λ p +1 b r+1 + λ p +2 b r λ p+q b q = µ 1 ε 1 + µ 2 ε µ r ε r et puisque (ε 1, ε 2,..., ε r, b r+1, b r+2,..., b q ) est ue base de G, o tire que λ p +1 = λ p +2 =... = λ p+q = 0 c'est-à-dire w = 0. Doc u + v = 0 avec (ε 1, ε 2,..., ε r, a r+1, a r+2,..., a p ) ue base de F. Ce qui sigifie que λ 1 = λ 2 =... = λ p = 0. Fracis Wlaziski 26