Limites de fonctions, cours, terminale S
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1 Limites de fonctions, cours, terminale S F.Gaudon 23 février 204 Table des matières Limites nies à l'inni 2 2 Limites innies à l'inni 2 3 Limites en un réel 3 4 Opérations sur les limites 4 4. Addition, multiplication, quotient Limites de fonctions composées Comparaison et limites 4 6 Cas des fonctions eponentielles et logarithme népérien 5 6. Eponentielle Fonction logarithme népérien
2 Limites nies à l'inni Soit f une fonction dénie sur un intervalle [a; + [ où a R. Soit l un réel. f admet pour limite l en + (resp. ) si pour tout intervalle contenant l, il eiste un réel 0 tel que pour tous les réels supérieurs à 0 (resp. pour tous les réels inférieurs à 0 ), f() appartient à cet intervalle. On note alors lim + f() = l (resp. lim f() = l). On dit aussi que f() tend vers l quand tend vers + (resp. tend vers ). lim + = 0 et lim = 0 Pour tout entier naturel k > 0, lim + = 0 k et lim = 0 k Pour tout entier naturel non nul k, lim + = 0 k et lim = 0 k Soit l R et soit C la courbe représentative d'une fonction f dans un repère. On dit que la droite d'équation y = l est asymptote horizontale à la courbe C en + (resp. ) si lim + f() = l (resp. lim f() = l. Eemples : lim + = 0 et lim l'hyperbole en + et en. = 0 donc la droite d'équation y = 0 est une asymptote horizontale à 2 Limites innies à l'inni f admet pour limite + en + (resp. en en + ) si pour tout intervalle ]M; + [ (resp. ] ; M]) où M est un réel, il eiste un réel 0 tel que pour tous les réels supérieurs à 0, f() ]M; + [ (resp. f() ] ; M]). On note alors lim + f() = + (resp. lim + f() = ). On dit aussi que f() tend vers + (resp. tend vers ) quand tend vers +. Remarque : On dénit de même les limites en. http: // mathsfg. net. free. fr 2
3 Propriétés : Pour tout entier naturel k non nul, lim + k = + lim = lim 2 = + lim 3 = lim + = + 3 Limites en un réel On considère dans ce paragraphe une fonction f dénie sur un ensemble D f et a D f où a est l'etrémité d'un intervalle de D f. f admet pour limite à droite l R (resp. + ) en a si pour tout intervalle ]u; v[ contenant l il eiste un réel 0 > a tel que pour tout ]a; 0 [ on a f() ]u; v[ (resp. si pour tout intervalle ]u; + [, il eiste 0 tel que pour tout ]a; 0 [ on a f() ]u; + [). On note alors lim > a f() = l (resp. lim > a f() = + ). f admet pour limite à gauche l R (resp. + ) en a si pour tout intervalle ]u; v[ contenant l, il eiste un réel 0 < a tel que pour tout ] 0 ; a[ on a f() ]u; v[ (resp. si pour tout intervalle ]u; + [, il eiste 0 tel que pour tout ] 0 ; a[ on a f() ]u; + [). On note alors lim < a f() = l (resp. lim < a f() = + ). Eemple : lim > 0 = + et lim < 0 =. Soit a un réel, C la courbe représentative d'une fonction f dans un repère. On dit que la droite d'équation = a est asymptote verticale à C si la limite à droite ou la limite à gauche de f en a est + ou. Soit f une fonction telle que f = g où g et h sont deu autres fonctions. h Si g tend vers une limite non nulle et h tend vers 0 en un réel a, alors f tend vers l'inni, le signe restant à déterminer. Eemples : La courbe de la fonction ln admet une asymptote verticale d'équation = 0. lim > + = 2 et lim > = 0 +. lim < + = 2 et lim < = 0. donc lim > + = + et lim < + = D'où la droite d'équation = est asymptote verticale à la courbe C. http: // mathsfg. net. free. fr 3
4 4 Opérations sur les limites 4. Addition, multiplication, quotient Dans ce qui suit, a est un réel ou a = + ou a =. lim a f() l R l R l R + + lim a g() l R + + lim a (f + g)() l + l + + indéterminée lim a f() l R l R + 0 lim a g() l R lim a (fg)() ll + indéterminée 4.2 Limites de fonctions composées Théorème : Eemple : lim a f() l R + ou l R lim a g() l R + ou + ou f lim a l g l indéterminée 0 a, b et c désignent des réels ou + ou. Soient f et g des fonctions. Si lim a f() = b et lim X b g(x) = c alors lim a g(f()) = c. Soit h dénie sur R par On a lim = + et lim X + X = donc lim + h() =. 5 Comparaison et limites Si f et g sont deu fonctions telles que pour assez grand, f() g() et lim + g() = + alors lim + f() = +. Remarque : Si pour assez grand, f() g() et si lim + g() = alors lim + f() = Preuve : Soit [A; + [ avec A un nombre réel. Puisque lim + g() = +, il eiste O tel que pour tout 0, g() [A; + [. Comme, pour assez grand f() g(), il eiste un réel tel que pour tout, f() g(). 0n en déduit que pour ma( 0 ; ), f() [A; + [ ce qui justie que lim + f() = +. Théorème des gendarmes : Si f, g et h sont des fonctions et l est un nombre réel tel que : pour assez grand, g() f() h() ; lim + g() = l et lim + h() = l. Alors lim + f() = l. http: // mathsfg. net. free. fr 4
5 6 Cas des fonctions eponentielles et logarithme népérien 6. Eponentielle lim + e = + lim e = 0. Preuve : Soit h dénie sur [0; + [ par h() = e. On a pour tout > 0, h () = e. h () > 0 si et seulement si e > 0 c'est à dire e > donc > 0. On en déduit que h est croissante sur [0; + [. Comme par ailleurs h(0) = 0, on a donc pour tout > 0, h() 0 c'est à dire e. Comme lim + = +, par comparaison on obtient lim + e = +. On pose X =. On a lim e = lim X + e X = lim X + e X. D'après le cas précédent, lim X + e X = + donc lim X + = e X 0. Propriété (croissances comparées) : lim + e = + lim e = 0 lim 0 e = Remarque : Pour tout entier naturel k non nul, lim + e k = + et lim k e = 0. Preuves : admises 6.2 Fonction logarithme népérien Propriétés : lim + ln() = + lim 0 + ln() = lim + ln() = 0 lim 0 ln(+) = Preuves : On pose = e X pour > 0. On a alors lim + ln() = lim X + ln(e X ) = lim X + X = +. http: // mathsfg. net. free. fr 5
6 On pose = X pour 0 On a alors lim 0 + ln() = lim X + ln( ) = lim X + ln(x) =. On pose X = ln() ce qui équivaut à = ep(x). On a alors lim + ln() = lim X + X e X = lim + e X X = 0. lim 0 ln(+) ln() 0 = f (0) = avec f() = ln( + ) et f () = +. http: // mathsfg. net. free. fr 6
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