Évaluation : Statistique et Probabilités (2 heures) Énoncé et corrigé.

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Sarah Petit
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1 Université Paris Est Créteil, ESIPE Licence première année Statistiques descriptives et probabilités Année B. de Tilière 13 décembre 2016 Évaluation : Statistique et Probabilités (2 heures Énoncé et corrigé. Le barème est donné à titre indicatif. Exercice 1. [Probabilités] ( points 1 Soit Ω un univers et A l ensemble des événements de Ω. Une probabilité sur (Ω, A est une application de A dans [0, 1] qui satisfait à deux axiomes. Énoncer ces deux axiomes. 2 Soient A et B deux évènements de A tels que P(A = et P(B = 1. Montrer que 5 Solution de l exercice 1. 1 Voir définition cours p P(A B 1. 2 Montrons l inégalité de gauche. Comme conséquence de la définition d une probabilité, on a : P(A B = P(A + P(B P(A B. Or P(A B 1, ce qui implique P(A B P(A + P(B 1. Dans notre cas cela donne P(A B = 1 20, et montre la première inégalité. Pour la deuxième, on utilise que A B B, ce qui implique P(A B P(B = 1. Exercice 2. [Dénombrement] ( points 1 Combien y a-t-il d anagrammes du mot PROBA? du mot STAT? 2 Huit nouveaux professeurs vont être envoyés dans quatre écoles. 1

2 Combien y a-t-il d affectations possibles? (sans contrainte sur le nombre de professeurs par école. Qu en est-il si chaque école recevra exactement deux professeurs? Solution de l exercice 2. 1 Il y a 5! = 120 anagrammes du mot PROBA. Il y a! 2! = 12 anagrammes du mot STAT. 2 Réponse à la première question : 8 = (chaque professeur a le choix entre 8! quatre école. Réponse à la deuxième question : = ( !2!2!2 2( 2( 2( 2 = 2520 (nombre de choix pour les deux professeurs de la première école, puis pour ceux de la deuxième école parmi ceux restants, etc.. Exercice 3. [Dénombrement et probabilités] ( points Une forêt abrite vingt cerfs. Cinq sont capturés, marqués et relâchés. Un peu plus tard, quatre cerfs sont de nouveau capturés. Quelle est la probabilité que deux d entre eux soient marqués? N.B. : Ne pas oublier de déterminer un univers Ω adapté à cette problématique, puis de dire quel est l ensemble des événements A considérés sur Ω, et finalement de préciser la probabilité choisie sur (Ω, A ainsi que les conséquences de ce choix sur les calculs que vous êtes amenés à faire. Solution de l exercice 3. On choisit comme univers Ω l ensemble des manières de capturer cerfs parmi 20. Ainsi, card(ω = ( 20 (tirage sans remise non ordonné. Étant donné que Ω est de cardinal fini, on le munit de la tribu A = P(Ω des parties de Ω. On suppose que les cerfs sont capturés au hasard, de sorte que l on munit (Ω, A de la probabilité uniforme, notée P. Ainsi, pour tout événement A de A, on a : P(A = card(a card(ω = card(a ( 20. On s intéresse à l événement A : parmi les cerfs capturés, 2 sont marqués, alors card(a = ( 5 15 ( 2( 2. En effet, il y a 5 2 manières de choisir 2 cerfs parmi les 5 qui sont marqués et, pour chacun de ces choix, il a ( 15 2 manières de choisir 2 cerfs parmi les 15 qui ne sont pas marqués. La réponse cherchée est donc : P(A = ( 5 ( ( 20 =

3 Exercice. [Statistique à deux variables] (2 points Soient X et Y deux variables. Démontrer que : Var(X + Y = Var(X + Var(Y + 2 Cov(X, Y. Solution de l exercice. Voir démonstration du point 3 Proposition.3 dans le cas particulier où a = b = 1. Exercice 5. [Statistique à deux variables] (6 points On s intéresse à une petite partie des données fournies par la dernière enquête PISA, Source : Synthèse des convictions, de l engagement et de la motivation des élèves en sciences, OCDE La variable X représente le score moyen en sciences, la variable Y représente le pourcentage d élèves envisageant d exercer une profession scientifique. On restreint les données aux premiers pays du classement (sur 70 pays. A titre informatif uniquement, le score moyen sur tous les pays (aussi ceux qui ne sont pas considérés ici est de 93 et le pourcentage moyen sur tous les pays est de 2.5%. Numéro Pays Score moyen en sciences (X Élèves envisageant d exercer une profession scientifique (Y (en % 1. Singapore Japan Estonia Chinese Taipei Finland Macao (China Canada Viet Nam Hong Kong (China B-S-J-G (China Korea New Zealand Slovenia Australia United Kingdom Germany Netherlands Switzerland Ireland Belgium Denmark Poland Portugal Norway United States Austria France

4 On a calculé les quantités suivantes : X(u = , X(u 2 = , X(uY (u = Y (u = 632.9, Y (u 2 = , 1 Calculer la moyenne arithmétique de chacune des variables X et Y. 2 Calculer la variance et l écart-type de chacune des variables X et Y. 3 Calculer la covariance de X et Y. Calculer le coefficient de corrélation de X et Y. Quelle conclusion pouvez-vous en tirer? 5 Donner l équation de la droite de régression au sens des moindres carrés. Solution de l exercice 5. 1 Les moyennes arithmétiques sont égales à x = 1 ȳ = 1 2 Les variances sont égales à ( 1 Var(X = X(u 2 ( 1 Var(Y = Y (u 2 X(u = Y (u = x 2 = ȳ 2 = , , , Les écarts-types sont égaux à : σ X = Var(X 15.5, σ Y = Var(Y La covariance de X et Y est égale à ( 1 Cov(X, Y = X(uY (u xȳ = ,

5 Le coefficient de corrélation entre X et Y est égal à, r(x, Y = Cov(X, Y σ X σ Y = On peut en conclure qu il n y pas de corrélation linéaire manifeste entre les données. Un ajustement linéaire peut être fait pour essayer de dégager un tendance, mais il ne serait pas souhaitable de l utiliser pour prévoir des comportements. 5 Équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés. D après le cours, on a : pente = r(x, Y σ Y = σ X , ordonnée à l origine = ȳ pente x = L équation de la droite de régression par la méthode des moindres carrés est : y = 0.03 x

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