2.7 Théorèmes de l énergie et applications.

Transcription

1 3 CHAPITRE. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE.7 Théorèmes de l énergie et applications. Dans tout ce paragraphe, les déformations sont supposées réduites aux déformations élastiques il n y a ni défaut d usinage, ni effet thermique, ni plasticité. On va ici, sur l exemple du treillis, donner un certain nombre de méthodes performantes qui constituent l ossature du calcul de structures par ordinateur et que l on retrouve lorsque l on calcule des poutres, des arcs, des plaques, des coques et des structures tridimensionnelles..7.1 Rappels et notations. Les données des problèmes réguliers que nous considérons sont : les charges, de composantes P1, P, P 3,, P n l, les liaisons imposées, de composantes q d n l+1, qn l+ d,, qd n. On appelle déplacements cinématiquement missibles, un système de déplacements qui vérifient toutes les données du problème relatives aux déplacements seuls, i.e. qα arbitraires α = 1,, n l et q i = qi d i = n l + 1,, n. On appelle efforts intérieurs statiquement missibles, un système de tensions N = 1,, b solution du système statique i.e. vérifiant toutes les données du problème relatives aux seuls efforts extérieurs. Pour un problème hyperstatique d ordre h, les efforts intérieurs SA mettent la représentation : N n l = P α N Pα + h X H N H..7. Formulation globale du comportement élastique. Soit, pour un problème donné, un système de b déformations ε et un système de b tensions N. On dit que ces systèmes sont élastiquement liés si N = ES ε pour chaque = 1,, b. i.e. la loi de comportement est vérifiée dans chaque barre. On peut donc caractériser globalement la loi de comportement par l inégalité : b 1 L ES ε N. ES =1 Cette somme de termes positifs n est nulle que si chaque terme l est i.e. les efforts intérieurs N et les déformations ε sont élastiquement liés dans chaque barre. Développons cette inégalité : b 1 L ES ε + 1 L N L ε N. ES =1 H=1

2 .7. THÉORÈMES DE L ÉNERGIE ET APPLICATIONS. 33 Introduisons : l énergie élastique globale des déformations : W ε 1, ε,, ε b = b =1 1 L ES ε l énergie élastique globale des efforts intérieurs : b W 1 N 1, N,, N b = L N ES la puissance globale des efforts intérieurs N dans les déformations ε : =1 P int N, ε = La formulation globale du comportement devient : b L ε N =1 W ε 1,, ε b + W N 1,, N b + P int N, ε l égalité ayant lieu si et seulement si les efforts intérieurs N et les déformations ε sont élastiquement liés dans chaque barre. On voit facilement que si N et ε sont élastiquement liés N = ES ε donc W ε 1,, ε b = W N 1,, N b = 1 P int N, ε..7.3 Théorèmes de l énergie. Inégalité fondamentale. On considère des tensions statiquement missibles et des déplacements cinématiquement missibles qui seront nos déplacements virtuels. Pour trouver la solution nous disposons de : l équilibre on prend son énoncé exprimé en puissance virtuelle P int N, ε + ˆP ext =.1 pour tout champ de tensions S.A. et tout champ de déplacements CA

3 34 CHAPITRE. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE le comportement exprimé sous sa forme globale W ε + W N + P int N, ε. W ε + W N + P int N, ε = si N et ε sont élast qt liés le fait que le problème soit régulier ou encore ˆP ext = ˆP ext n l n l P α q α + P α q α n i=n l+1 n i=n l+1 R i q d i Par combinaison de ces trois inégalités , on obtient : W ε + W N + P int N, ε }{{} + ˆP ext }{{} n l P α q α W ε + W N R i q d i =.3 n Ri qi d P int N, ε }{{} ˆP ext }{{} i=n l+1 n l P α q α n i=n l+1 R i q d i l égalité ayant lieu si et seulement si les efforts intérieurs N et les déformations ε sont élastiquement liés dans chaque barre. On peut définir deux nouvelles expressions : énergie potentielle des déplacements CA du problème V q = W ε n l P α q α qui ne fait intervenir que les déplacements CA énergie potentielle des efforts intérieurs SA du problème V N = W N + qui ne fait intervenir que les efforts intérieurs SA n i=n l+1 R i q d i

4 .7. THÉORÈMES DE L ÉNERGIE ET APPLICATIONS. 35 On a alors le théorème suivant : Théorème 1 approche globale des structures. L énergie potentielle de tout système de déplacements CA est supérieure à l énergie potentielle de tout système d efforts intérieurs SA V N V q. Théorème du travail. Si l on a affaire à la solution du problème N, q α, les efforts intérieurs N et les déformations ε sont élastiquement liés dans chaque barre, ce ne sont plus des inégalités mais des égalités que l on manipule. On a alors : N qα V = V. On en déduit le théorème suivant : Théorème dit du travail. Le travail des efforts extérieurs solution dans le champ des déplacements solution est égal au double de l énergie élastique globale de la solution. ε N W = W = P ext solution = n l P α qα + n i=n l+1 Ri q d i Théorèmes de l énergie potentielle. Puisque la solution est CA, on en tire que V N qα V N Puisqu elle est aussi SA N V V q q Et puisque on a N q V = V V N N q V = V V q N, q. D où les deux théorèmes suivants :

5 36 CHAPITRE. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE Théorème 3 dit de l énergie complémentaire. Parmi tous les efforts intérieurs SA pour un problème donné, la solution maximise l énergie potentielle V. Théorème 4 pour la résolution en déplacements. Parmi tous les déplacements CA pour un problème donné, la solution minimise l énergie potentielle V. Les théorèmes de Castigliano. Les théorèmes suivants, de démonstration délicate, sont très simples à mettre en œuvre et très utiles pour la résolution de problèmes de structures. Nous allons faire apparaître les variables dont dépendent les énergies potentielles : V q = W ε q α, qd j V N = W N P α, X H + n l n i=n l+1 P α q α R i P α, X H q d i On sait que la solution est telle qu elle minimise V donc dv =, et qu elle maximise V donc dv =. De plus, pour la solution, les deux énergies potentielles sont égales. Cette énergie potentielle de la solution ne dépend que des données P1,, P n l, qn l+1, d, qn d. C est une grandeur avec une signification physique. Nous la notons D après ce qui précède : dπ = dv, les déplacements qα données étant variables, Π P 1,, P n l, q d n l+1,, q d n. étant fixés égaux aux déplacements solution q α, les dπ = dv, les tensions X H étant fixées égales aux tensions solution XH, les données étant variables, d où dπ = dv = W qα, qj dq d di n l q α dp α i = dv = j q d i W P j P α, X H + n i=n l+1 Ri P j P α, X H q d i dp j + i Ri dq d i

6 .7. THÉORÈMES DE L ÉNERGIE ET APPLICATIONS. 37 l identification des dérivées partielles conduit à : Ri= W qi d qα, qj d q α = W P j, X H P a i Ri P a q d i Théorème de Castigliano n 1. Le déplacement q α sous la charge P α, solution d un problème, est la dérivée partielle de l énergie potentielle de la solution par rapport à la variable P α, au signe près. q α = W P j, X H P α i Ri P α q d i. Théorème de Castigliano n. La réaction de liaison Ri correspondant au déplacement imposé qi d, solution d un problème, est la dérivée partielle de l énergie potentielle de la solution par rapport à la variable qi d. Si les données en déplacement sont nulles, les qi d n apparaissent pas explicitement. Il est donc impossible de dériver par rapport à ces variables. D où le théorème suivant : Théorème de Castigliano n 3. Lorsque les données en déplacement sont homogènes qi d =, le déplacement q α sous la charge P α, solution d un problème, est la dérivée partielle de l énergie élastique globale des efforts intérieurs solution par rapport à la variable P α. Ce théorème est d une très grande utilité pratique. Il permet, quand on a calculé les efforts intérieurs solution, d obtenir directement sans passage par une intégration cinématique les déplacements sous les charges qui sont généralement les informations cinématiques dont on a besoin en priorité. Remarque : Si l on souhaite connaître le déplacement d un point où aucune charge n est appliquée, on introduit une charge fictive Q, on calcule les efforts intérieurs et on applique le théorème de Castigliano n 3, on annule ensuite la charge fictive.

7 38 CHAPITRE. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE.7.4 Théorèmes d unicité, de superposition et de réciprocité. Théorème d unicité. Soit un problème régulier. La différence de deux solutions est par linéarité solution du problème homogène associé au problème donné. Donc la puissance des efforts extérieurs associée est nulle. On en déduit théorème du travail que pour la différence N, ε de deux solutions d un problème régulier, on a W N = W ε =. W et W sont, par définition, des formes quratiques définies positives. Donc N = et ε =. Si de plus l assemblage avec ses liaisons est rigide alors qα =. D où Théorème d unicité. Pour un problème régulier, les efforts intérieurs solution et les déformations solution sont uniques. Si de plus l assemblage est rigide, il y a unicité de la solution en déplacements. Sinon les déplacements solution sont définis à un mouvement de solide rigide près. Théorème de superposition. Théorème de superposition. La solution correspondant au chargement combinaison linéaire de deux chargements est la combinaison linéaire correspondante des solutions relatives à chacun des deux chargements. Théorème de réciprocité Maxwell-Betty Théorème de réciprocité Soient un chargement P 1 α et la solution en déplacements correspondante q 1 un chargement P α et la solution en déplacements correspondante q α P α 1 q α = α P α q 1 α α. Soient α. Alors Autrement dit : le travail des efforts extérieurs 1 dans les déplacements solution sous les efforts est égal au travail des efforts dans les déplacements solution sous les efforts 1. Démonstration sur un treillis.

8 .7. THÉORÈMES DE L ÉNERGIE ET APPLICATIONS. 39 Appliquons le PPV aux efforts correspondant au chargement 1 avec pour déplacements virtuels les solutions du problème. Les efforts intérieurs N 1 et les déformations sont élastiquement liés dans chaque barre, car solutions ε 1 α P α 1 q α = P int = L N 1 ε = ε 1 L ε ES = L ε 1 ε ES = L N ε1 = P int = α P α q α 1 On peut établir une version plus générale de ce théorème : Agéométrie et matériau fixés, si l on a deux jeux de données : P α 1 q α + α i R 1 i q i = P q1 + j R j q 1 j.7.5 Application : résolution en efforts intérieurs. Commentaires sur le théorème 3. Soit un problème hyperstatique d ordre h où les données en déplacements sont homogènes q d i =. Alors V N = W N. Le théorème 3 affirme que, parmi tous les efforts intérieurs SA représentés par N n l = P α N Pα + h η=1 la solution minimise l énergie élastique des déformations Ceci s écrit : = W X I N = W N = b =1 X η N η, = 1,, b, b 1 L N. ES =1 W N = N X I b =1 L ES N N I, I = 1,, η.

9 4 CHAPITRE. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE Soit encore : = b =1 L ε NI. Ceci revient à écrire les relations de compatibilité directement sur les efforts intérieurs grâce à la loi de comportement. Exemple : On reprend l exemple du "trois barres", avec une charge verticale P = P e y, P>. N1 N N3 = P + X la solution élastique maximise l énergie potentielle. 1 V = W + car les données en déplacements sont nulles ou, si l on préfère, minimise W parmi tous les efforts intérieurs SA. W N = 3 1 L N L = P XP X ES ES =1 Le minimum de cette fonction est donné par : = W X = L ES P + c est à dire P = X 1 + X d où les efforts intérieurs solution N1 N = P + 1 P = P 1 N3 1.

10 .7. THÉORÈMES DE L ÉNERGIE ET APPLICATIONS. 41 Supposons les barres élastiques fragiles même limite à la rupture en traction K. La barre 3 est la plus sollicitée. Elle casse donc en premier lorsque N3 atteint K soit quand la charge extérieure atteint la valeur P = + K. À cet instant, la barre 3 casse N3= X = et la charge P est entièrement reportée sur les barres 1 et qui sont soumises à P = 1 + K > K. Elles cassent instantanément. La charge de sortie du domaine élastique est également la charge limite de la structure pour laquelle celle-ci s effondre par un mécanisme de rupture simultanée des trois barres. Enfin, on peut définir la raideur élastique de la structure k, comme le coefficient de proportionnalité entre la charge P et le déplacement sous la charge q. on compare la structure à un ressort Première méthode : système cinématique. q ε = L = N P ES = ES D où P = k q ES avec k = 1 + L. Deuxième méthode : théorème de Castigliano n 3. N LP W =. ES Il en résulte que q = W LP P = ES D où P = k q ES avec k = 1 + L. Troisième méthode : théorème du travail. W N = P q. Donc LP ES D où P = k q ES avec k = 1 + L. = P q

11 4 CHAPITRE. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE.7.6 Application : approche globale des structures. Principe. Soit le problème où toutes les barres ont la même rigidité ES. P = P e y, P > Soit q la flèche sous la charge P. Par linéarité, la solution du problème est telle que P = k q où k est la raideur caractérisant globalement la structure. Ici, le théorème 1 s écrit : W N N ε W = W P q W ε Pq Compte tenu du théorème du travail : W N ε W P q= 1 }{{} P q= P k W ε Pq = 1 P q W N P k W ε Pq. On va montrer que, étant donné un N, on peut mettre W N sous la forme P k S S pour statique, et que, étant donné un q, on peut mettre W ε Pq sous la forme P C pour cinématique. On obtiendra un encrement de la raideur exacte : k C k S k k C. Sans résoudre le problème on voit que tout champ d efforts intérieurs SA conduit à une borne inférieure et que tout champ de déplacements CA conduit à une borne supérieure de la raideur exacte. Dans l exemple traité la valeur exacte peut être facilement calculée, il n en est pas toujours de même pour des structures plus complexes, l encrement ayant alors un grand intérêt.

12 .7. THÉORÈMES DE L ÉNERGIE ET APPLICATIONS. 43 Détermination de la valeur exacte de k. Déterminons tout d abord un système d efforts intérieurs SA. A : R x + N = R y = A 1 : R 1x + N 1 + N 13 = R 1y + N 1 = A : N N 1 + N 1 N 3 = A 3 : R 3x N 13 N 3 + R 3y + N 3 + N 34 = A 4 : N 4 N 34 + N 45 = N 34 N 45 = A 5 : N 35 N 45 = N 45 P = N 3 + N 4 = N 34 + N 35 = on obtient un système hyperstatique de degré, avec si l on choisit N 1 et N 13 comme variables hyperstatiques : N N1 N13 N3 N4 N34 N35 N45 1 = P + X + Y Le treillis est hyperstatique de degré. Mais puisque A 1 et A 3 sont fixes, ε 13 = donc N 13 =. La barre est inactive. On peut donc considérer le treillis hyperstatique de degré 1 obtenu en supprimant cette barre X =. Le Y solution minimise W N par rapport

13 44 CHAPITRE. TREILLIS PLANS DANS LE DOMAINE ÉLASTIQUE à Y. D où : W N = 1 L N ES = l P Y + Y + X + Y + 8P + P + P + P ES W Y = l P Y = ES Y = Les efforts intérieurs solution sont alors : N N1 N13 N3 N4 N34 N35 N45 Le théorème de Castigliano donne : d où k = ES 18lP , P. = P 1 q= W P = 18lP ES Obtention de bornes inférieures par l approche statique. Idée : on se donne des efforts intérieurs SA pour le problème considéré. On calcule W et on le met sous la forme P /k S. Pour construire les efforts intérieurs SA on peut supprimer des liaisons q i = q d i puisque modifiant les données en déplacements, on ne modifie pas les données statiques qui seules contribuent à définir les efforts intérieurs SA. L idée mécanique est donc de remplacer la structure par une structure moins liée donc de raideur moindre mais plus facile à traiter. Premier essai. On supprime l appui fixe en A 3. Le problème devient isostatique. X = 3P ; Y = P

14 .7. THÉORÈMES DE L ÉNERGIE ET APPLICATIONS. 45 N N1 N13 N3 N4 N34 N35 N = P 1 L W N = 1 N ES = l P = P ES k S ES k S = ES l l Deuxième essai. On remplace les appuis fixes en et par des appuis mobiles d axes horizontal. Troisième essai. On remplace l appui fixe en par un appui mobile horizontal. Le treillis devient hyperstatique de degré 1.. N importe quel Y minimise, le maximum étant obtenu pour la solution réelle. Soit :. Alors Obtention de bornes supérieures par l approche cinématique. Idée : on se donne des déplacements CA pour le problème considéré. On calcule et on le met sous la forme. On en tire une borne supérieure pour le k. Pour construire les déplacements CA on n a pas le droit de toucher aux liaisons existantes puisque ces données cinématiques définissent les déplacements CA, mais on peut en ajouter autant que l on veut. Quant aux charges, elles ne jouent aucun rôle dans la construction des conditions CA. L idée mécanique est donc de remplacer la structure par une structure plus liée donc de raideur plus grande pour laquelle les calculs sont plus rapides. Premier essai. Tous les noeuds sont fixes sauf qui peut se déplacer verticalement. Soit ce déplacement., toutes les autres déformations étant nulles.. La meilleure approximation est obtenue pour la solution du nouveau problème c est-à-dire : d où Deuxième essai. Tous les noeuds sont fixes sauf et qui peuvent se déplacer verticalement. Soit et ces déplacements., toutes les autres déformations étant nulles. La meilleure approximation est obtenue pour la solution du nouveau problème c està-dire : d où Un exemple de structure avec dénivelé d appui et contact unilatéral. Soit la structure Toutes les barres ont le même module de rigidité à la traction/compression. L appui en