T.P. 5 : premières applications de Python aux calculs numériques et algorithmes de dichotomie.

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1 T.P. 5 : premières applications de Python aux calculs numériques et algorithmes de dichotomie. 1 Recherche de zéro d une fonction continue (première approche) On se donne une fonction f C([a, b], R explicite telle que f(a).f(b) < 0. Le T.V.I. dit qu il existe un c ]a, b[ tel que f(c) = 0. Le problème est d avoir une approximation numérique de c. 1.1 La méthode de dichotomie Dans cette méthode, on calcule f(m) pour m = a+b 2. Si f(a) et f(m) sont de même signe, on recommence le même calcul en remplaçant l intervalle [a, b] par [m, b] et sinon par l intervalle [a, m]. En réitérant le procédé, la longueur de l intervalle est à chaque fois divisée par deux. a) Question avec papier et stylo : Si on veut trouver un zéro de f avec une précision ε donnée, exprimer le nombre n d étapes qui sera nécessaire en fonction de a, b et ε. b) Ecrire une fonction en Python, qui prend comme argument : une fonction f, des réels a et b, et une précision epsilon, qui renvoie : un message d erreur si f(a).f(b) > 0 un zéro de f dans [a, b] à la précision ε, calculé par la méthode de dichotomie. c) Appliquer la fonction précédente à f = sin, a = 3, b = 4 et ε = d) Améliorer la fonction précédente pour que l affichage du zéro se fasse avec le même nombre de chiffres après la virgule que la précision souhaitée. N.B. en Python, pour afficher un flottant x avec par exemple 7 chiffres après la virgule, la syntaxe est la suivante : {:.7f}.format(x) Cette syntaxe compliquée sera expliquée au cours du chap Une autre méthode de recherche de zéro : la méthode de la fausse position Dans cette méthode, on note A = (a, f(a)), B = (b, f(b)) et on cherche le point d intersection (x 0, 0) du segment [A, B] avec l axe des abscisses. On sait le calculer via l équation de (AB). On peut considérer x 0 comme une première approximation du zéro de f que l on cherche. Ensuite, on itère le procédé en l appliquant sur l intervalle [a, x 0 ] si f(x 0 ) est du même signe que f(b) et sur [x 0, b] sinon : on obtient un nouveau point (x 1, 0). Reprendre les questions b) et c) du 1.1 en remplaçant la méthode de dichotomie par cette méthode. Attention : on pourra s interroger sur le test d arrêt! 1

2 2 Excursion graphique avec numpy et matplotlib Le but (modeste!) : savoir tracer le graphe de sin sur [0, 2π]. Le principe : matplotib trace un graphe à partir d un tableau de valeurs qu il faut d abord fabriquer. Modules utilisés : numpy et matplotlib.pyplot. Alternative : importer le gros module pylab qui contient les deux. 2.1 Obtention d un tableau de valeurs avec numpy Les tableaux en numpy ont été présenté au chap. 5. Il suffit de savoir ici que numpy dispose d un type array (comme tableau en anglais), dont les entrées par défaut sont des flottants. Un array peut être réduit à une ligne comme A=np.array([1,2]) Il peut être formé de plusieurs lignes comme M=np.array([[1,2],[3,4]]) On obtient un joli affichage avec print(a) et print(m). Pour tracer un graphe de fonctions, on va d abord créer un array contenant toutes les valeurs en abscisses où l on va faire calculer la fonction. Une fonction de numpy permet de créer une subdivision régulière d un intervalle [a, b] en N points : np.linspace(a,b,n) (attention du coup le pas est (b a)/(n 1)). Ensuite il est bon de connaître : Un autre paradigme de numpy (hérité de Matlab et SciLab) : les fonctions peuvent agir directement sur les tableaux. Autrement dit on peut utiliser le code suivant : X=np.linspace(0,2*np.pi,256) Y=np.sin(X) # et surtout pas math.sin! On aura alors deux tableaux à une ligne chacun : X pour les valeurs en abscisses et S pour les valeurs en ordonnées correspondantes. 2.2 Le plot de matplotlib On va utiliser le sous-module pyplot du module matplotlib. On l importe donc via import matplotlib.pyplot as plt # abrev. standard On va utiliser la fonction plot de ce (sous)-module. Par défaut, pour deux arrays X et Y à une ligne plot(x,y) va tracer des segments entre les points (X[i],Y[i]) successifs. Pour mieux comprendre : import matplotlib.pyplot as plt # abrev. standard X=np.array([1,2,3]) Y=np.array([3,2,4]) plt.plot(x,y) # crée la courbe mais ne l affiche bizarrement pas plt.show() # affiche la courbe plt.savefig("essai-courbe.pdf",format= pdf )# fabrique un pdf. Pour le graphe de sin sur [0, 2π] : Essayez en faisant varier le nombre de points de la subdivision! X=np.linspace(0,2*np.pi,256) Y=np.sin(X) plt.plot(x,y) # si on veut voir les points de (X,C) : plt.show() # provoque l affichage plt.plot(x,c, o ) 2

3 3 Excursion : la dichotomie ne sert pas qu en analyse : jeu de devinettes 3.1 Premier programme : La machine choisit un nombre aléatoire entre 1 et 1000 qu elle ne vous dit pas (le nombre mystère). Elle vous demande de rentrer un nombre, et elle vous dit si votre nombre est plus grand ou plus petit que son nombre mystère et vous recommencez jusqu à ce que vous ayez gagné. Elle vous dit alors Bravo, vous avez gagné en (nombre de coups) coups 3.2 Deuxième programme : Vous échangez les rôles avec la machine. Là c est plus intéressant car vous devez définir la stratégie de la machine. Remarque : vous pouvez aussi fusionner les deux programmes pour qu au départ le joueur choisisse s il devine ou si la machine devine. 3.3 Exercice suppl. : dichotomie et recherche dans une liste triée (seulement pour les plus rapides) Une technique importante : diviser pour régner! Au T.P. sur les listes, on a écrit des algorithmes qui renvoient, pour une liste L et un élément a, à quel indice apparaît a dans L (et donc font la même chose que la méthode index sur les listes). Ici, on fait l hypothèse beaucoup plus forte que L est une liste d entiers déjà triée dans l ordre croissant. L idée est la suivante : on coupe le tableau en deux par le milieu et on détermine si la valeur a que l on cherche est dans la moitié gauche ou la moitié droite, en la comparant simplement à la valeur centrale. Puis on répète le processus sur la portion sélectionnée. Exercice à faire : Programmez en Python une fonction recherche_dichoto qui prend comme arguments une liste L d entiers, déjà triée dans l ordre croissant, et un entier n et qui trouve à quel indice n apparaît dans L ou bien renvoie None si n n apparaît pas. Indication : On pourra utiliser deux variables g et d pour gauche et droite qui délimitent la portion du tableau dans laquelle a doit être cherchée. Ainsi, on initialise g=0 et d=len(l)-1. Ensuite on joue sur m=(g+d)//2 (pourquoi avec un double slash)? 4 Retour à l analyse : calculs numériques d intégrales 4.1 Méthode des rectangles Soient f C([a, b], R) et n N. a) Rappelez la formule donnant une somme de Riemann de f pour une subdivision régulière du segment [a, b] en n segments. b) Appliquer cette formule pour obtenir une valeur approchée de en Python qui prendra comme arguments f,a,b,n. a b f à l aide d une fonction 3

4 4.2 Méthode des trapèzes Reprendre le paragraphe précédent en remplaçant les rectangles des sommes de Riemann par des trapèzes. 4.3 Test comparatifs des deux méthodes pour le calcul de ln(2) a) Fabriquer une fonction test qui prend pour argument un entier n et compare la valeur log(2) donnée par la fonction log du module math avec les valeurs log(2) obtenues par la méthode des trapèzes et celles des rectangles. b) Sauriez-vous obtenir le tableau suivant : 1 c) Comparer de même les valeurs obtenues pour le calcul de π = 4 1 t2 dt, en comparant 0 au math.pi. Combien faut-il d itérations de rectangle pour avoir six bonnes décimales de π? 5 La méthode d Euler pour la résolution des E.D. 5.1 Une forme très générale pour les E.D. du premier ordre normalisées On peut écrire une E.D. du premier ordre sous la forme générale y (x) = F (x, y(x)), où F est une fonction de deux variables. Ceci est beaucoup plus général que les seules E.D.L. du premier ordre que nous avons vues en cours. Pour une E.D.L. du premier ordre normalisée : y (x) = a(x)y(x) + b(x) définie sur un intervalle I, on peut l écrire sous la forme précédente en posant F (x, u) = a(x)u+b(x) pour tout u R et tout x I. 4

5 5.2 Le principe de la méthode d Euler Cadre général : On fixe un problème de Cauchy : y (x) = F (x, y(x)), avec la C.I. y(x 0 ) = y 0 Autrement dit, on se donne la fonction F, et le couple (x 0, y 0 ). Notre exemple : on prendra l E.D. très simple y (x) = x.y(x), pour la C.I. y(0) = 1. Autrement dit, (x 0, y 0 ) = (0, 1) et F (x, u) x.u. Retour à la théorie générale : On suppose que la fonction F est telle qu il y ait une et une seule fonction solution à l E.D. pour la condition initiale y(x 0 ) = y 0 (il y a des conditions pour cela, cf. cours de 2ème année). Le principe de la méthode d Euler est le suivant : sur un petit intervalle [x 0, x 0 + p] où p s appelle le pas, et p est pris petit, on va approcher la fonction solution y qu on ne connaît pas par la fonction affine définissant la tangente au graphe de y, au point d abscisse x 0, autrement dit par z 0 x y 0 + y (x 0 )(x x 0 ). L essentiel : on connaît y (x 0 ) = F (x 0, y 0 ). En notant M 0 = (x 0, y 0 ), on considère alors le segment [M 0, M 1 ] sur le graphe de la fonction affine z 0 où M 1 = (x 1, y 1 ) est le point d abscisse x 1 = x 0 + p. Ensuite, au point M 1 = (x 1, y 1 ) on considère le segment partant de M 1 et de pente cette fois F (x 1, y 1 ). 1. On poursuit ce segment jusqu au point M 2 d abscisse x 0 + 2p. En itérant ce procédé, on obtient une courbe continue qui est une succession de segments [M k, M k+1 ] avec M k = (x k, y k ), et dont on espère qu elle n est pas trop loin de la solution y de l E.D. Question 1 Donner la formule de récurrence donnant y k+1 en fonction de y k et x k pour chaque k. Question 2 Ecrire une fonction Python qui prend comme argument F,p,x0,y0,n où n est le nombre de points qu on veut tracer et tracer la solution approchée au pb. de Cauchy correspondant avec la méthode d Euler. On la testera sur l exemple donné ci-dessus, en traçant sur le même graphe la solution exacte. 1. Cette pente est celle de la tangente au graphe de la solution de l E.D. qui passerait par M 1 5