II confinement d objets quantiques

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1 1 Centrale-MP-016 II confinement d objets quantiques II-A- Confinement d électrons dans une boîte quantique II-A-1-a) En mécanique on a un confinement dans le cas d une énergie potentielle du type : E p = 1 kx et d énergie cinétique E c = 1 mx L énergie d un solide de masse m est alors : E m = 1 mx + 1 kx. On en déduit en dérivant l équation d évolution : mx + kx = 0 Dans un tel système on a E c (t) + E p (t) = E m = cste En électricité un circuit LC est un circuit qui confine la charge. L énergie du circuit est q C. E él = 1 Lq + 1 L équation d évolution de la charge est Lq + q = 0 C II-A-1-b) L équation de Schrödinger est : le cas de l électron : ψ m x ψ + V(x)ψ(x, t) = i ce qui donne dans ψ 1D m x + 1 m ω x ψ 1D (x, t) = i ψ 1D t La fonction d onde a un sens physique par sa norme. La probabilité de trouver l électron entre x et x + dx est : dp = ψ 1D (x, t) dx II-A-1-c) Un état stationnaire est du type : ψ 1D (x, t) = φ(x)g(t) ce qui donne en remplaçant dans l équation de Schrödinger : d φ m soit g(t) + 1 dx m ω x φ(x)g(t) = iφ(x)g (t) 1 d φ + 1 m φ(x) dx m ω x = i g (t) = E ce qui donne pour la fonction g(t) : g(t) g(t) = exp ( E i t) = exp ( i E t) On en déduit que ψ 1D (x, t) = φ(x) Dans un état stationnaire, la densité de probabilité ne dépend pas du temps. II-A-1-d) Il s agit d états liés, l électron étant piégé par la boîte quantique. La probabilité de trouver l électron dans la boîte est de 1 donc : + φ(x) dx = 1 II-A-1-e) L énoncé nous donne φ o (x) = ( m ω π )1/4 exp ( m ωx ). Dans cet état on a : + < x >= x φ(x) o dx ce qui donne : + < x >= x ( m ω π )1/ exp ( m ωx ) dx = 0 t

2 D après le formulaire la densité de probabilité d écart type σ et d espérance < x > est f(x) = 1 exp ( 1 σ π (x <x> ) ) σ En identifiant avec ( m ω π )1/ exp ( 1 m ωx ) on en déduit σ = m ω (accord à un facteur près) Ce qui donne l extension caractéristique de la distribution en position de l électron : x = m ω = 3,0 nm II-A-1-f) La relation d indétermination spatiale d Heisenberg est : x. p x ce qui donne : p x m ω. Comme l énoncé nous dit que < p x >= 0 et que < x >= 0 on en déduit : < x >= et < p m ω x m ω ce qui donne pour l énergie de l état fondamental : E o = 1 <p x > m + 1 m ω < x > soit en remplaçant : E o = ce qui donne : E o = Contrairement à la mécanique classique cette énergie n est pas nulle. Cette valeur est liée au confinement spatial et à la relation d Heisenberg. II-A-1-g) Cette fois on a la fonction d onde ψ D (x, t) = φ(x)χ(y)g(t) et l équation de Schrödinger : ψ D ψ D + 1 m x m y m ω (x + y )ψ D (x, t) = i ψ D t en remplaçant : ce qui donne m χ(y)g(t)φ (x) φ(x)g(t)χ (y) + 1 m m ω (x + y )φ(x)χ(y)g(t) = iφ(x)χ(y)g (t) soit : φ (x) χ (y) m φ(x) m χ(y) + 1 m ω (x + y ) = i g (t) g(t) On en déduit toujours que E = i g (t). La solution pour g(t) reste inchangée et est : g(t) On a φ (x) χ (y) m φ(x) m χ(y) φ (x) m φ(x) g(t) = exp ( i E t) + 1 m ω (x + y ) = E équation qu on peut écrire: + 1 m ω x = E 1 m ω y + χ (y) m χ(y) On a une équation en x égale à une équation en y donc égale à une constante E x. D où les deux équations : φ (x) m φ(x) Avec E = E x + E y + 1 m ω x = E x et m χ (y) χ(y) + 1 m ω y = E E x = E y II-A-1-h) L énoncé nous dit que les états stationnaires unidimensionnels ont des énergies de type E x = E o + n x ce qui donne à deux dimensions : E nx,n y = (1 + n x + n y ) Le niveau fondamental d énergie E 0 = n est pas dégénéré et correspond à n x = 0, n y = 0

3 3 Le niveau E 1 = a une dégénérescence de car il correspond à n x = 1, n y = 0 et n x = 0, n y = 1 D une façon générale, le niveau E n = (n + 1) a une dégénérescence de n + 1 c est-à-dire au nombre de combinaison d entiers n x et n y tel que n x + n y = n II-A-- Propriétés optiques de la boîte II-A--a) On peut citer les diodes laser qui émettent dans l infra-rouge. II-A--b) On éclaire l échantillon par une source de fréquences variables et on mesure l absorbance en fonction de la fréquence. On observe des pics d absorption pour certaines fréquences correspondant à des niveaux d énergie hν n,p = E n E p II-A--c) On doit vérifier la relation ω c < ω/ ce qui donne eb s m < ω/ soit B s < ωm = 6,5 T e Le champ magnétique ne dépassant pas sur le graphique 10 T, cette condition est bien vérifiée. II-A--d) A cette température l énergie thermique est ~10 J. L énoncé nous donne ω = rad. s 1 ce qui correspond à une énergie ~10 0 J. On est donc dans la situation où. Seul le niveau fondamental est peuplé. II-A--e) La modélisation linéaire des courbes f abs en fonction de B s est très bonne : Comme ω c = eb s m et B s < 10 T, on a ω c <, rad. s 1 ce qui donne ω = rad. s et ω c < 1, rad. s. Dans l expression de Ω = ω + ω c /4 on peut négliger le terme ω c /4 et écrire Ω~ω. Dans ce cas on a E o =, E = c, E + = + c Les fréquences correspondant aux pics d absorption correspondent aux transitions : f = E E o = ω ω c = ω e B h π 4π π 4πm s et f + = E + E o = ω + ω c = ω + e B h π 4π π 4πm s ce qui correspond bien aux deux droites observées. Les pentes mesurées des droites valent ± Hz. T 1 et les pentes théoriques valent ± e = ±. 4πm 1011 Hz. T 1. L accord est excellent. En revanche les deux courbes devraient se croiser pour B s = 0 pour une valeur f = ω = π 14,5. THz ce qui n est pas le cas.

4 4 II-A-3) Anisotropie de la boîte quantique Le potentiel de confinement proposé est V (x, y) = 1 m ω (1 + ε)x + 1 m ω (1 ε)y. Du coup les niveaux fondamentaux ne sont plus les mêmes suivant x et y : E ox = 1 + ε~(1 + ε ) et E oy = 1 ε~(1 ε ) Pour le premier niveau excité, l énergie reste inchangée : E o = E ox + E oy = En revanche pour les autres niveaux excités on a : E x = (n x + 1 )(1 + ε ) et E y = (n y + 1 )(1 ε ) ce qui donne pour l énergie : E = E x + E y = (n x + n y + 1) + ε (n x n y ) Cette fois les couples (1,0) et (0,1) correspondent à des énergies différentes : E 1,0 = + ε et E 1,0 = ε Il y a donc deux transitions différentes en champ nul : f 1,0 = E 1,0 E o h = ω π (1 + ε ) et f 0,1 = E 0,1 E o h = ω π (1 ε ) C est bien ce qu on observe sur la figure 5 avec f 1,0 = ω π (1 + ε ) = 15,15 THz et f 0,1 = ω (1 ε ) = 13,75 THz. π On peut calculer l ordre de grandeur de l anisotropie : ε = f 1,0 f 0,1 f moy ~0,1 II-A-4) Rôle de la dimension z II-A-4-a) Le confinement dans la direction z est modélisé par un puits infini de largeur D. On a l équation de Schrödinger : m d φ dz = E zφ(z) de solutions : φ(z) = Acos ( m E z z ) + Bsin ( m E z z ) Les conditions aux limites sont : φ(z = 0) = 0 ce qui donne φ(z) = Bsin ( m E z z ) et φ(z = D) = 0 ce qui impose sin ( m D E z ) = 0, soit m D E z,n = nπ avec n N. Les énergies des états stationnaires sont donc : E z,n = n π avec n m N D II-A-4-b) On considère que le mouvement est gelé suivant z si on peut ne s intéresser qu aux premiers niveaux dans la direction x ou y c est-à-dire si E z. Il faut donc π m D soit : D π m ω II-4-c) on a vu dans la question II-A-1 que x = D << x L échelle verticale de la figure 4 est dilatée. m ω. La condition précédente est :

5 5 II-4-d) On a vu que la fonction d onde s écrit : φ n (z) = B n sin ( nπz ). La probabilité de trouver l électron entre z = 0 et z = D est de 1. On a : 1 = donne : B n = D L expression des états stationnaires de l électron est : φ n (z) = sin (nπz ) D D z= z=0 D B n sin ( nπz D ) dz ce qui II-4-e) Une corde de Melde de longueur D, fixée à ses deux extrémités est parcourue par des ondes stationnaires de type : y n (x, t) = Y n sin ( nπx D ) sin(ω nt) La longueur de la corde est liée à la longueur d onde par la relation λ n = D n. Mais l analogie s»arrête là car pour une corde de Melde, il s agit d ondes alors que pour le puits les électrons sont à la fois des ondes et des particules et la fonction d onde est liée une probabilité de présence. II-4-f) φ n (z) φ n (z) n = 1 n = n = 3 On constate la présence de nœuds, c est-à-dire des points tels que la probabilité de présence de l électron est nul.

6 6 II-A-4-g) Si n est très grand, le nombre de nœuds et de ventres est élevés. On tendra vers une probabilité de présence plus uniforme et on revient alors à la mécanique classique. II-B-Oscillateur harmonique quantique en équilibre thermique. II-B-1) La probabilité p n vérifie la statistique de Boltzmann donc : p n = Aexp ( E n soit : p n = Aexp ( E o+n ). La somme de toutes les probabilité vaut 1, soit : 1 = n= n=0 p n = n= Aexp ( E o+n n=0 ce qui donne : 1 = Aexp ( E o ) n= exp ( n = Aexp ( E o ) 1 n=0 d où l expression de A : A = exp (+ E o ) (1 exp ( 1 exp( )). On en déduit l expression de la probabilité : p n = (1 exp ( n )) exp ( ) Remarque : on peut également utiliser la relation E o = ce qui donne A = exp (+ ) (1 exp ( )) soit A = sh ( ce qui donne p n = sh ( exp ( E o+n II-B-) Le rapport r entre la probabilité d occupation de l état E n+1 et celle de l état E n est : r = p n+1 p n = exp( (n+1) ce qui donne : exp( n r = exp ( A basse température, r tend vers 0 car seul l état fondamental est peuplé. A haute température, r tend vers 1 car tous les états sont peuplés à égalité. n= n= II-B-3) < E >= n=0 E n p n = A E n exp ( E n n=0 = A n=0 E n exp( βe n ) en posant β = 1 On a donc < E >= A d Or n= n=0 exp( βe n ) = 1 = 1 A n= exp( βe dβ n=0 n). = 1 sh( sh( β ). On obtient donc: < E >= sh ( d dβ ( 1 < E >= sh( β n= )) = sh ( cotanh ( sh( β ) sh ( β ) ce qui donne :

7 7 II-B-4) Dans le cadre de l oscillateur harmonique classique, on utilise le théorème d équirépartition de l énergie. On a deux degrés de liberté, un d énergie cinétique et un d énergie potentielle donc < E >= ce qui correspond à la courbe en pointillé de la figure 6. En revanche la courbe en très plein correspond à l oscillateur de la mécanique quantique et à la solution < E >= cotanh ( ). On peut remarquer qu à hautes températures les deux courbes deviennent identiques car si on peut linéariser l expression précédente : < E >=.

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