Cours 2. L effet Doppler

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1 Cours 2: L effet Doppler 1 Cours 2. L effet Doppler

2 Cours 2: L effet Doppler 2 Attention! Cours exceptionnel mardi prochain, le 26 janvier, de 16h15 à 17h45, dans Amphi G. Pas de cours jeudi prochain.

3 Cours 2: L effet Doppler 3 Résumé du cours un : Fonctionnement du cours Je m attends à ce que vous étudier par vous-même. Je présente la matière que vous devez étudier. C est normal de ne pas comprendre tous dans la salle de classe. Je présenterai dix cours de 1,5 h. Vous pouvez me couper à il n import quel instant ; lever la main. Vous pouvez m envoyer un mail avec des questions : robert.scott@univ-brest.fr Vous pouvez trouver les notes du cours et les diaporamas sur mon site web : et aussi les autres documents : les anciennes épreuves, etc. Autres résources : Bouquins :

4 Cours 2: L effet Doppler 4 (i) Introduction à la Relativité, (1997), par James Smith. (ii) Pour les ambitieux, Quatre conférences sur la théorie de la relativité : faites à l Université de Princeton (1921), par Albert Einstein. (iii) Pour ceux qui lisent anglais : Special Relativity : The M.I.T. introductory physics series, par A.P. French. Vidéos : (i) Vulgarisation bien faite, amusante : e-penser : https: // (ii) Cours de Standord University par Leonard Susskind (en anglais) :

5 Cours 2: L effet Doppler 5 Résumé du cours un : Notions clées : La relativité restreinte : une théorie de la structure de l espace et du temps. La relativité restreinte n est pas difficile mais subtile : il faut désapprendre les évidences. En particulier, le temps est une coordonnées dans une structure à quatre dimensions qui s appelle l espace-temps. Les jumeux de Langevin : deux horloges identiques, parfaites, une reste stationnaire dans un référentiel galiléen (référentiel inertiel), l autre part à grand vitesse puis revient. L horloge qui reste stationnaire enregistre d avantage du temps. En jettant un coup d oeil à l histoire des idées de la structure de l espace et du temps nous voyons que les anciennes évidences semblent bizarres aujourd hui. On va voir que mêmes les

6 Cours 2: L effet Doppler 6 évidences des notions de la cinématique classique (de Newton et Galilée) ne sont qu une approximation de la notion moderne. (Remarque : Ceci n est pas un cours de l histoire. Il s agit d un cours de la physique. Je utilise l histoire pour donner un contexte.) 5 minutes de https: // Nous étudierons (i) la cinématique classique (de Newton et Galilée) (ii) les ondes mécaniques (iii) la lumière (iv) la relativité restreinte (v) gravitation (s il y a du temps)

7 Cours 2: L effet Doppler 7 Résumé du cours un : Le principe de relativité de Galilée Toutes les lois de la mécanique sont les mêmes pour deux observateurs inertiels se déplaçant avec une vitesse relative constante. De manière plus précise : aucune expérience de mécanique ne peut mettre en évidence un mouvement uniforme. Implication : Il n y a pas un référentiel préférer dans l univers. Il n y a que un ensemble des référentiels inertiels, liées par les transformations de Galilée. Nous avons démontré que l accélération et la distance sont invariantes par une transformation de Galilée.

8 Cours 2: L effet Doppler 8 Résumé du cours un : Fonction d onde Par exemple la fonction ψ(x, t) = A cos(kx ωt), onde plan en 1 dimension (1) Pour que ψ(x, t) =constante, on a que (kx ωt) = constante = b. C est une équation d une droite dans le plan x-t : t = k ω x + b ω, (2) Interprétation physique : Il faut se déplacer dans la direction Ox à une vitesse c = ω/k pour que kx ωt = constante, pour que ψ(x, t) = constante. Alors, les crêtes se déplacer dans la direction Ox à une vitesse c = ω/k!

9 Cours 2: L effet Doppler 9 t k x - w t = b k w x Figure 1 Le lieu où (kx ωt) = constante est un point qui se déplace avec le temps dans la direction Ox.

10 Cours 2: L effet Doppler 10 y a x + b y = c a b x Figure 2 L ensemble des points dont les coordonnées (x, y) vérifient une équation de la forme ax + by = c, avec a, b, c R, est une droite.

11 Cours 2: L effet Doppler 11 L effet Doppler

12 Cours 2: L effet Doppler 12 L effet Doppler : idée intuitive On appelle effet Doppler le changement de fréquence dû au mouvement de la source ou de l observateur. Le son est plus aigu lorsqu on approche la source ; le son est plus grave lorsqu on s éloigne de la source. Voir Nous utiliserons une analyse mathématique pour comprendre ce phénomène.

13 Cours 2: L effet Doppler 13 Les paramètres de l onde Considérons une source ponctuelle de l onde. La frèquence mesurée dans le repère de la source est appelée fréquence propre. La frèquence propre est déterminée par la source. Par contre, la vitesse de phase c = ω/k, par rapport au milieu qui assure la propagation est déterminée par le milieu. Pour déterminer la fréquence mesurée par un observateur il faut distinguer les cas où la source est au repos et l observateur en mouvement et celui où la source se déplace alors que l observateur est immobile.

14 Cours 2: L effet Doppler 14 Mouvement par rapport à quoi? Dan ce cas, par rapport au milieu qui assure la propagation.

15 Cours 2: L effet Doppler 15 y v Dt y v Dt y O O O source Figure 3 Source stationaire : O est stationaire par rapport à la source. O s éloigne de la source avec vitesse v, où c > v. O s approche à la source avec vitesse v. Les cercles sont les lignes de phase ϕ =constante, par exemple, les crêtes.

16 Cours 2: L effet Doppler 16 Source immobile et observateur en mouvement L observateur O et la source S sont immobiles alors que O s éloigne de la source à la vitesse v tandis que O s en approche à la même vitesse. La source produit des ondes circulaires à un rythme régulier. L intervalle de temps entre la production de deux crêtes consécutives est la période de l onde, la distance entre deux crêtes consécutives est la longueur d onde. Le nombre de crêtes passant en un point par unité de temps est la fréquence observée en ce point. A l instant t = 0, O, O et O coïcident. Durant un intervalle t les nombres de crêtes atteignant O, O et O sont respectivement

17 Cours 2: L effet Doppler 17 N, N et N. Les fréquences correspondantes sont : ν = N t, ν = N t, ν = N On suppose que la vitesse de l observateur est inférieuse à celle de l onde. Durant l intervalle t la distance OO devient v t. Les crêtes qui se trouvent entre O et O ont été observées par O mais pas par O. Leur nombre est v t/λ. On a donc : ou soit N = N v t λ N t = N t v λ t ν = ν v λ = ν vν (1 λν = ν v ). (3) c

18 Cours 2: L effet Doppler 18 Rappel : Nous avons supposé que la vitesse de l observateur est inférieuse à celle de l onde. Dans le cas contraire aucune crête n atteindrait pas O (même si O pourrait atteindre d autres crêtes).

19 Cours 2: L effet Doppler 19 Source immobile et observateur en mouvement (vers la source) Les crêtes se trouvant entre O et O ont été prises en compte par le premier mais pas par le second. On a donc : ou soit N = N + v t λ N t = N t + v λ ν = ν + v λ = ν + vν (1 λν = ν + v ). (4) c

20 Cours 2: L effet Doppler 20 Source immobile et observateur en mouvement : vitesse de phase La longeur d onde étant la même pour tous les observateurs [pourquoi?] on a : c = λν = λν(1 v/c) = c v (5) c = λν = λν(1 + v/c) = c + v (6) Ces expressions correspondent à la transformation de Galilée des vitesses. [Pouvez-vous penser à une autre façon, très simple et direct, de trouver les équations (5) et (6) ci-dessus? Indice : penser à la transformation de Galilée des vitesses et des longueurs.]

21 Cours 2: L effet Doppler 21 Source en mouvement et observateur au repos

22 Cours 2: L effet Doppler 22 y y O x O x Figure 4 O et O stationaires par rapport au milieu matériel, la source s approche à O avec vitesse v et s éloigne de O avec vitesse v. La source initialement était au point cyan quand elle a émis la crête qui est maintenant le grand cercle cyan. Plus récemment la source était au point noir quand elle a émis la crête qui est maintenant le petit cercle noir.

23 Cours 2: L effet Doppler 23 Source en mouvement et observateur au repos Les observateurs O et O étant au repos par rapport au milieu matériel ils mesurent la vitesse c pour l onde : λ ν = λ ν = c λ est la distance entre deux crêtes successives atteignant O. Durant une période T la source se déplace vers la droite par une distance vt. Donc λ est inférieure à λ (λ est la longueur d onde produite par un source immobile de même fréquence) par vt : λ = λ vt.

24 Cours 2: L effet Doppler 24 On peut écrire : soit λ = λ v ν = λ vλ νλ λ = λ ( 1 v ). c

25 Cours 2: L effet Doppler 25 Source en mouvement (s éloigne du observateur) et observateur au repos La distance λ entre deux crêtes successives atteignant O est supérieure à la λ (longueur d onde produite par un source immobile de même fréquence) car la seconde crête a été produite plus loin. On a : soit λ = λ + vt = λ + vλ νλ = λ + vλ c λ = λ ( 1 + v ). c La fréquence étant inversement proportionnelle à la longueur

26 Cours 2: L effet Doppler 26 d onde (λ ν = c) on a : ν = ν 1 v c, et ν = ν 1 + v. c

27 Cours 2: L effet Doppler 27 Source en mouvement et observateur au repos Dans tous les cas la fréquence augmente lorsque la source et l observateur se rapprochent et elle diminue lorsqu ils s éloignent. Cepandant, le décalage de fréquence n est pas le même selon que c est la source ou l observateur qui se déplace par rapport au milieu dans lequel l onde se propage. Si la vitesse de la source est petite par rapport à celle de l onde on peut écrire : v/c 1 v c et 1 1 v/c 1 + v c.

28 Cours 2: L effet Doppler 28 Dans ce cas le mouvement de la source produit le même décalage que celui de l observateur.