1 ère S Chapitre 15 Les angles orientés

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1 ère S hapitre 5 Les angles orientés I Introdction ) onnaissances sr les angles géométriqes y x y : angle saillant x ) orrespondance Le périmètre de est égal à P : sommet [x) et [y) : côtés xy : angle rentrant 80 n sait mesrer des angles en degrés n connaît le ocablaire des angles géométriqes(angles adjacentes : por des angles géométriqes saillants, angles ayant n côté et donc n sommet commn et sités de part et d atre de ce côté commn, angles opposés par le sommet, angles spplémentaires, angles complémentaires, angles adjacents spplémentaires, angles adjacents complémentaires, angles opposés par le sommet) et les propriétés des mesres en degrés (anges opposés par le sommet, somme des mesres des angles d n triangle, angles alterne-internes ; théorème de l angle inscrit) long 80 rad (N : La notion d angle aig, obts o droit n est alable qe por les angles géométriqes saillants) ) Dans ce chapitre n a apprendre ne noelle nité de mesre d angle : le radian n a considérer n noea type d angle : angle orienté de ecters II Le radian ) Définition est n cercle de centre et de rayon (ne nité de longer ayant été choisie) et sont dex points qelconqes de La mesre en radian de l angle géométriqe est égale à la longer de l arc ) ngles remarqables Mesres en degrés Mesre en radians 0 tres alers tiles Mesres en degrés Mesre en radians ) Exercices 5 onertir 0 en radians 0 80 x rad rad

2 0 x 8 0 x 9 onertir radian en degrés 80 x rad 57,95 rad rad x III rientation d plan ) Plan orienté n dit qe le plan est orienté lorsqe l on décide de torner dans le sens contraire des aigilles d ne montre à aigilles sr tos les cercles d plan Sens positif trigonométriqe direct 5 ) Longer d n cercle Hypothèses : est n cercle de centre et de rayon R et sont dex points qelconqes de x rad Sens négatif antitrigonométriqe indirect Dans tot le reste d chapitre, le plan est orienté x rad R ) ercle trigonométriqe Définition n appelle cercle trigonométriqe n cercle orienté de rayon R Rayon d cercle R Longer de l arc x R x long R x Par définition d radian R N : ette formle est également alable por n grand arc ) Parcors sr n cercle entre dex points

3 IV Ensemble des mesres en radians d n angle orienté ) Position d problème et sont dex ecters non nls d plan es dex ecters forment n angle orienté de ecters noté ; ) Définition est n cercle trigonométriqe de centre n note et les points de tels qe : soit colinéaire et de même sens qe soit colinéaire et de même sens qe l ordre ) Exemple n s intéresse à l angle orienté ; ; 90 R périmètre d cercle ; ; Les mesres en radians de l angle orienté ; sont tos les nombres de la forme k aec k n écrira : o ; k ; (k ) n ne met pas l nité (le radian est sos-entend) Por mesrer l angle orienté ;, on considère les trajets sr le cercle qi ont de à Un trajet a ne longer l n décide qe : Si l on a torné dans le sens positif, alors +l est ne mesre en radians de l angle orienté ; (o ; ) Si l on a torné dans le sens négatif, alors l est ne mesre en radians de l angle orienté ; (o ; ) 0 ) Propriété Si x est ne mesre d n angle orienté ; ( et sont dex ecters non nls), alors les mesres en radian de cet angle orienté sont tos les nombres de la forme x k, k 5 ) orollaire x et y sont dex mesres en radians d n même angle orienté de ecters si et selement si x y est n mltiple entier de 5

4 ) Rappels sr les ensembles de nombres : ensemble des entiers natrels (c est-à-dire positifs o nls) 0 ;; ; : ensemble des entiers relatifs (positifs o négatifs) ; ; 0 ;; V Mesre principale d n angle orienté ) Définition La mesre principale en radians d n angle orienté de ecter est la mesre en radians de l angle orienté comprise dans l interalle ] ] ) Interprétation n note x la mesre en radians de l angle géométriqe ( x0 ; ) : ensemble des décimax relatifs Exemples :,5 ;,075 La partie décimale doit s arrêter x x : ensemble des nombres rationnels (nombres qi peent s écrire comme qotient de dex entiers relatifs) Nombres qi peent s écrire x y ( x et * y ) Exemples : 0, ; 0,8 ; : ensemble des nombres réels x est la mesre principale de l angle orienté ; as particlier : et sont diamétralement opposés x est la mesre principale de l angle orienté ; Exemples :, «est incls dans» est la mesre principale de l angle orienté ; 0,07, 7 ) Méthode pratiqe por déterminer la mesre principale d n angle orienté Exemple et sont dex ecters non nls tels qe ; 5 Déterminer la mesre principale en radians de l angle orienté ; n encadre 5 (a nmérater) par dex mltiples entiers de (dénominater)

5 n a tiliser car est pair por décomposer 5 5 ; Donc est la mesre principale en radians de l angle orienté ; Exemple et sont dex ecters non nls tels qe ; Déterminer la mesre principale en radians de l angle orienté ; n encadre (a nmérater) par dex mltiples entiers de (dénominater) ) ngle orienté de dex ecters orthogonax et sont dex ecters orthogonax non nls (c est-à-dire qe lers directions sont orthogonales) er cas e cas ngle droit direct VI Le plan orienté mni d n repère orthonormé direct ) Définition d n repère orthonormé direct n dit q n repère, i, j ngle droit indirect est orthonormé direct por exprimer q il érifie les conditions : : i j (por l nité de longer choisie) n dit qe i et j sont normés o nitaires : i ; j n a tiliser car est pair por décomposer j i ; Donc est la mesre principale en radians de l angle orienté ; ) Définition d cercle trigonométriqe attaché a repère ercle de centre et de rayon orienté dans le sens direct ' j i 9 ' 0

6 ( ; 0) (0 ; ) ( ; 0) (0 ; ) ) Définition de l image d n réel x sr le cercle trigonométriqe ) Images de et alers associées Por tot réel x, il existe n niqe point M sr le cercle trigonométriqe tel qe x soit ne mesre en radians de l angle orienté ; M n dit qe M est l image de x sr le cercle trigonométriqe M est l image de x sr le cercle trigonométriqe signifie qe ; M n a donc ne application x M(x) VII Images sr le cercle trigonométriqe des alers remarqables x 5 M ' 5 M 5 5 M M ) Images de et alers associées ' ' M M ' rad 0 l'n des angles d'n triangle éqilatéral Pointe sèche d compas en M M n reporte a compas (principe de constrction d ne rosace o d n hexagone réglier inscrit dans n cercle) rad 0 l'n des angles d'n demi-triangle éqilatéral 90 0 complémentaire de l'n des angles d'n demi-triangle éqilatéral n reporte le rayon Pointe sèche d compas en ) Images de et alers associées M ' M ' M M rad 5 la moitié d'n angle droit onstrction des bissectrices (compas o carreax)

7 VIII rientation d ne figre ) rientation d n triangle n dit q n triangle (les sommets étant nommés dans cet ordre) est direct por exprimer qe la mesre principale de l angle orienté ; est positie n dit q n triangle (les sommets étant nommés dans cet ordre) est indirect por exprimer qe la mesre principale de l angle orienté ; est négatie IX Propriétés des angles orientés ) Relation de hasles por les angles orientés (admise sans démonstration),, w sont trois ecters qelconqes non nls Si x est ne mesre en radians de l angle orienté ; et y est ne mesre en radians de l angle orienté ; w, alors x y est ne mesre de l angle orienté ; w n dira qe la somme des angles orientés ; et ; w est l angle orienté ; w ; ; w ; w n écrira : w ) rientation d n rectangle n dit q n rectangle D (les sommets étant nommés dans cet ordre) est direct por exprimer qe ; D n dit q n rectangle D (les sommets étant nommés dans cet ordre) est indirect por exprimer qe ; D D ette propriété généralise la propriété d additiité des mesres por les angles géométriqes adjacents e en e ) ngle orienté de dex ecters colinéaires non nls et sont dex ecters colinéaires non nls er cas : et sont colinéaires de même sens ; 0 (angle nl) e cas : et sont colinéaires de sens contraire D ; (angle plat)

8 ) ngles orientés opposés et sont dex ecters qelconqes non nls ; ; ; D après la relation de hasles : n écrit : ; ; 0 o encore : ; ; n dit qe l angle ; angle nl est l opposé de l angle orienté ; ) ngles orientés formés les opposés de dex ecters non nls et sont dex ecters qelconqes non nls Démonstration ; ; ; ecters colinéaires de sens contraires ; ; ; ; ; ecters colinéaires de sens contraires ; ; ; ; ; ecters colinéaires de sens contraires ; ; ; ecters colinéaires de sens contraires 5 ) ngles orientés formés par les mltiples de dex ecters non nls et sont dex ecters qelconqes non nls k est n réel non nl Figres k 0 (exemple : k ) k 0 (exemple : k ) Règle ; ; ; ; ; ; ommentaires Un : ça n ajote rien Un + : ça ne change rien Por la e égalité, on retroe la propriété des angles opposés par le sommet (démontrée aec la symétrie centrale) Règle k k ; k ; Démonstration k k ; k k ; ; ; k k k 5

9 er cas : k 0 ; 0 ; 0 k k k ; k ; e cas : k 0 k ; k ; k ; k ; 7 ) Exemple d tilisation en exercice,, sont trois points qelconqes tels qe et ; ; ; règle Généralisation et sont dex ecters qelconqes non nls k et k sont dex réels non nls k ; k ' ) Formlaire récapitlatif ; 0 ; ; ; ; w ; w ; ; ; ; ; ; ; k ; k ; ; k ; k ' ; ; si k et k sont de même signe ; si k et k sont de signes contraires si k et k sont de même signe si k et k sont de signes contraires ; ; ; ; règle 7 8