1 ère S Le produit scalaire dans le plan

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1 1 ère S Le prodit scalaire dans le plan Une nité de longer est fixée dans tot le chapitre. I. Définition et conséqences immédiates 1 ) Définition (expression trigonométriqe) et sont dex ecters qelconqes d plan. ) Lien aec la physiqe : traail d ne force Par définition, le traail d ne force constante F qi s exerce en n point sr n trajet rectiligne de à est W F F. donné par la formle insi, on a : W F F cos F ; (on sppose qe F 0 ). D point de e des nités, le traail d ne force est exprimé en joles sachant qe la norme de F est exprimée en newtons et la distance en mètres. est la sele interprétation «concrète» d prodit scalaire qe nos donnerons. Le prodit scalaire des ecters et est le réel noté (on lit «scalaire») ainsi défini : 1 er cas : et sont non nls est la mesre en radians de l angle géométriqe cos e cas : l n des dex ecters o est nl 0 ; ( [0 ; ]). On notera qe l angle géométriqe de dex ecters et non nls apparaît sr ne figre à partir d moment où on les a représentés à partir de la même origine. Il s agit d n angle saillant dont la mesre en degrés est comprise entre 0 et 180 et dont la mesre en radians est comprise entre 0 et. Lorsqe et sont non nls, on retient la formle d prodit scalaire sos la forme : cos ;. On dit q il s agit de l «expression trigonométriqe d prodit scalaire» parce qe l on a n cosins dans la formle. ttention à la notation de l angle géométriqe : chapea et parenthèses. 3 ) Qelqes points à noter La définition d prodit scalaire ne manqe pas de srprendre de prime abord. omme dans tot chapitre, il est légitime de se poser n certain nombre de qestions : - À qoi ça sert? - Qelles sont les propriétés? - Q est-ce qe ça représente? - omment a-t-on calcler n prodit scalaire? La site d cors a apporter des réponses à totes ces qestions. On pet noter dès le débt de ce chapitre qe : - Le prodit scalaire n a pas d interprétation «concrète» ; c est l ne des difficltés d chapitre. Le prodit scalaire de dex ecters est ne qantité nmériqe attachée à dex ecters qi n a pas d interprétation géométriqe. En général, il n y a pas de moyen simple de érifier les résltats. - Il est possible d obtenir la aler d prodit scalaire de dex ecters grâce à n logiciel de géométrie. Néanmoins, le prodit scalaire a s aérer être n otil pissant de démonstration, comme nos le errons en exercices : - otil por démontrer des résltats d orthogonalité ; - otil por calcler des distances et des angles. 4 ) as où les ecters sont définis par des points et ont la même origine,, sont trois points qelconqes tels qe et. cos 1

2 o miex : cos cos ; cos ; 5 ) Exercice et sont dex ecters tels qe 4, 5 et alcler. ;. 3 On tilise la propriété de la mltiplication des réels et le fait qe ; ;. ) P.S. de ecters colinéaires et sont dex ecters qelconqes non nls. D après les alers des normes, et sont non nls. On appliqe donc la formle de définition. cos ; 45 cos si et sont colinéaires de même sens (car ; 0 et cos 0 =1) si et sont colinéaires de sens contraire (car ; et cos = 1) pplication : ecters colinéaires définis par des points Problème des nités : Le problème de l nité d n prodit scalaire ne se pose pas. ependant, on pet dire qe et étant exprimées dans la même nité de longer, est exprimé dans l nité de longer a carré (comme ne aire) ; l sage et cependant q on ne l écrie pas.,, sont des points alignés tels qe et. Si les ecters et sont de même sens,. Si les ecters et sont de sens contraire,. Por nos, le prodit scalaire sera n nombre sans nité.,,, D sont des points alignés tels qe et D. II. Propriétés dédites de la définition 1 ) Symétrie d P.S. Si les ecters et D sont de même sens, D D. Si les ecters et D sont de sens contraire, D D. et sont dex ecters qelconqes. 3 ) Signe d P.S. Démonstration : La démonstration est très facile. La propriété est éidente lorsq a moins l n des dex ecters est nl. On sppose donc qe et sont non nls. et sont dex ecters non nls qelconqes. ; ( [0 ; ]) cos 0 0 Le signe de est le même qe celi de cos. 3 4

3 0 cos + 0 III. Prodit scalaire et orthogonalité 1 ) Définition On dit qe dex ecters et sont orthogonax (on note ) por exprimer qe : soit et sont non nls et ; ; ' O soit 0 o 0 On retiendra qe par conention le ecter nl est orthogonal à tot ecter. ) Propriété (dédite de l étde d signe d prodit scalaire) Le prodit scalaire sert à caractériser l orthogonalité. ' et sont orthogonax si et selement si 0. Propriété : ttention c est bien 0 et pas 0. 0 si et selement si 0 si et selement si 0 si et selement si ; est aig ; est obts ; est droit 3 ) Remarqes Emploi de l adjectif «orthogonal» : L adjectif «orthogonal» s appliqe à dex droites, dex ecters, dex directions. Notations On tilise le même symbole por des ecters qe por des droites :. ette propriété permet éentellement de érifier le signe d n prodit scalaire. En physiqe, siant le signe d traail d ne force, on parle de traail moter lorsq il est positif et de traail résistant lorsq il est négatif. pplication : signe d n prodit scalaire de dex ecters ayant la même origine,, sont trois points qelconqes d plan tels qe et. 0 si et selement si l angle est aig. 0 si et selement si l angle est obts. 0 si et selement si l angle est droit. 5 4 ) Errer à ne pas faire Si 0, alors 0 o 0. P Q 0 o 0 0 P Q mais Q P 6

4 5 ) Utilisation,,, D sont qatre points tels qe et D. D 0 si et selement si () (D). IV. arré scalaire d n ecter 1 ) Définition 4 ) as particlier d n ecter défini par dex points (définition) (propriété d ) (car ) est n ecter qelconqe. On note. On dit q il s agit d carré scalaire de. carré scalaire d ecter (domaine ectoriel) distance a carré (domaine métriqe) ) Propriété Por tot ecter, on a :. V. Expression d prodit scalaire à l aide d projeté orthogonal Les propriétés de ce paragraphe permettent de ramener le calcl d prodit scalaire de dex ecters a calcl d prodit scalaire de dex ecters colinéaires, calcl en général pls facile. 1 ) Propriété ttention, contrairement à la physiqe, on n écrira pas : (Le sans flèche ne signifie rien.) On retiendra : ni.,, sont trois points qelconqes tels qe. On note H le projeté orthogonal de sr la droite (). On a : H. On remarqera qe les ecters H et sont colinéaires. 3 ) Démonstration 1 er cas : 0 cos ; e cas : (par définition d prodit scalaire de dex ecters) Or 0 car 0 0 Donc. H ecters colinéaires ette propriété fornit ne atre expression d prodit scalaire de dex ecters intéressante dans de nombreses sitations. La propriété permet de ramener le calcl d n prodit scalaire de dex ecters à n prodit scalaire de ecters colinéaires. On garde le point («point d attache») et on remplace le point par son projeté orthogonal sr (). ) Démonstration On pose ( [0 ; ]). cos cos 7 8

5 1 er cas : aig 3 ) ilan sr les méthodes de calcl d n prodit scalaire Dans ce cas, H. H 4 ) Exercice cos H (expression tile qand on ne connaît pas les angles) est n triangle éqilatéral de côté a. alcler le prodit scalaire de dex manières différentes. H cos H H (car H et sont colinéaires et de même sens) a e cas : obts H H Dans ce cas, H appartient à la demi-droite d origine de spport (), ne contenant pas. H cos H cos H cos H H (car H et sont colinéaires et de sens contraires) 1 ère méthode : cos a cos 3 a e méthode : On note H le projeté orthogonal de sr (). On sait qe H est le milie de []. Donc H H (car H et sont colinéaires et de même sens) 3 e cas : droit 1 a 5 ) Mise en garde Remarqes de calcl d n prodit scalaire : 0 H car car H 0 On pet remplacer n ecter par n atre ecter qi li est égal. ttention, on ne pet pas projeter sr n importe qelle droite d plan. On ne pet projeter qe sr droites. On n a le droit de projeter qe sr les droites formées par les ecters. 9 Por calcler le prodit scalaire, projection orthogonale possible sr la droite () et () (mais pas sr ne atre droite). 10

6 ,, sont trois points tels qe et. On note H le projeté orthogonal de sr la droite () et K le projeté orthogonal de sr la droite (). D K H On a : H K. 6 ) Généralisation (projection complète) Propriété,,, D sont qatre points qelconqes de P tels qe. On note H et K les projetés orthogonax respectifs de et D sr la droite (). D HK D HL HE HL HK HK VI. ilinéarité d prodit scalaire 1 ) Propriétés,, w sont trois ecters qelconqes. k est n réel qelconqe. P 1 : k k P : w w H L K E On pet remplacer D par HK dans le scalaire (on ne dit pas qe D HK ). H D K ) Démonstration de P 1 La propriété est éidente lorsqe l n a moins des dex ecters est nl o (inclsif) k 0. On sppose donc qe et sont non nls et k 0. ; ( [0 ; ]) 1 er cas : k 0 Dès q on a dex points, on pet les faire «descendre» sr l atre droite. et HK sont des ecters colinéaires pas forcément de même sens. Démonstration On considère le point L tel qe HL. On considère le point E tel qe HE D. k cos k cos k k k cos k 11 1

7 e cas : k 0 k k cos k cos k cos k cos k k w D H HK H k H H k H d après P 1 1 k H 1 kh H kh H HK K () ) Démonstration de P La propriété est éidente lorsqe 0. D après (1) et (), on a donc : w w. On sppose donc qe 0. et sont dex points tels qe. est le point tel qe. D est le point tel qe D w. H : projeté orthogonal de sr (). K : projeté orthogonal de D sr (). w D 4 ) onséqences de P 1 et P,, ', ' sont qatre ecters qelconqes. k et k sont dex réels qelconqes. k k' kk ' ' ' ' ' ' ' 5 ) pplications alcls de prodit scalaires par décomposition (oir exercices).. Un cas particlier d application de la propriété P 1 : Un exemple pratiqe de mise en œre de la propriété P 1 : H K,, sont trois points tels qe et Il existe n réel k tel qe HK k H. w D K (1) D 13 14

8 VIII. Liex géométriqes d orthogonalité ' cos ; VII. Identités remarqables scalaires 1 ),, sont trois points tels qe. L ensemble des points M d plan tels qe M 0 est la droite orthogonale à () passant par. 1 ) Formles et sont dex ecters qelconqes. ) et sont dex points tels qe. L ensemble des points M d plan tels qe M M 0 est le cercle de diamètre []. Normalement, on derait écrire : ) Démonstration (à saoir refaire) Utilisation de la bilinéarité d prodit scalaire. 3 ) pplication ax ensembles de points Voir exercices 15 16

9 IX. ppendice 1 : réision de la propriété de 4 e sr triangle rectangle et cercle 1 ) Énoncés en «si, alors» Propriété directe Formlation 1 Le cercle circonscrit à n triangle rectangle a por diamètre l hypoténse. Formlation Si est n triangle rectangle en, alors son cercle circonscrit a por diamètre []. Formlation 3 Si est n triangle rectangle en, alors appartient a cercle de diamètre []. Propriété réciproqe (propriété de l angle droit dans n cercle) Formlation 1 et sont dex points distincts. Si appartient a cercle de diamètre [] et est distinct de et, alors le triangle est rectangle en. Formlation M appartient a cercle de diamètre [] si et selement si le triangle M est rectangle en M. Formlation et sont dex points distincts. M est n point distinct de et. Si M appartient a cercle de diamètre [], alors l angle M est droit. Si l angle M est droit, alors M appartient a cercle de diamètre []. M appartient a cercle de diamètre [] si et selement si l angle M est droit. 3 ) aractérisation d n cercle comme ensemble de points aractérisation d n cercle comme lie géométriqe Lie des points d où l on «oit» n diamètre sos n angle droit. L ensemble des points M d plan tels qe M M 0 où et sont dex points tels qe est le cercle de diamètre de diamètre []. Si on joint n point d n cercle ax extrémités d n diamètre, alors on obtient n angle droit. Formlation 3 et sont dex points distincts. Si M est n point d cercle de diamètre [] distinct de et de, alors l angle M est droit. Si M est n point d cercle de diamètre [] distinct de et de, alors le triangle M est rectangle en M. ) réation d n sel énoncé en «si et selement si» Formlation 1 et sont dex points distincts. M est n point distinct de et. Si M appartient a cercle de diamètre [], alors le triangle M est rectangle en M. Si le triangle M est rectangle en M, alors M appartient a cercle de diamètre []

10 X. ppendice : projeté orthogonal d n point 1 ) Définition d projeté orthogonal d n point sr ne droite d plan D est ne droite. est n point d plan. On appelle projeté orthogonal de sr D le point H d intersection de la droite D et de la droite passant par et perpendiclaire à D. La distance H est appelée distance d point à la droite D. D 3 ) Propriétés et sont dex ecters qelconqes d plan. k est n réel qelconqe. k k = ) Expression de la norme dans n repère orthonormé Voir chapitre des repères orthonormés H ) aractérisation Le projeté orthogonal d n point sr D est le point H de D défini par : - H si D ; - (H) D si D. XI. ppendice 3 : norme d n ecter 1 ) Définition de la norme d n ecter La norme d n ecter est la longer d ecter. La norme de est notée. De manière éidente, on a : 0. ) as particlier = 19 0

11 est n triangle. ppendice : démonstration d théorème de Pythagore à l aide d prodit scalaire Démontrons qe si est rectangle en, alors. 0 ette démonstration montre la pissance de l otil «prodit scalaire». Le prodit scalaire permet de (re)démontrer de manière très corte et très simple le théorème de Pythagore. 1