OMB-MAXI-Demi-finale-2010

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1 OM-MXI-Demi-fiale-00 ) Sas répose préformulée U carré a u périmètre de 0 cm ; quelle est so aire e cm? p= 4c 0 = 4c c= 0 cm ; = c = 0 = 900 cm ) Sas répose préformulée Quad o ajoute 7 au aturel o ul, o obtiet u ombre multiple de 7 ; quad o ajoute 8 à, o obtiet u ombre multiple de 8 ; quad o ajoute 9 à, o obtiet u ombre multiple de 9. Quelle est la plus petite valeur possible de? + 7= 7p = 7 p + 8= 8q = 8 q + 9= 9r = 9 r D après (), () et (), o déduit que est divisible par = 504 car 7, 8 et 9 sot premiers etre eu. Comme est u etier aturel o ul, la plus petite valeur possible pour est 504. ) Sur la droite joigat les poits de coordoées ( ; ) et ( 0; ) coordoées : se trouve aussi le poit de : ( ; 8) : ( ; 4) C : ( ; ) D : ( ; ) E : ( 7;4 ) Pete de la droite d passat par les poits de coordoées ( ; ) et ( 0; ) y m = = =, d où d: y = + p 0 Ordoée à l origie de d : = 0+ p p= et d: y = : Comme = 9 = le poit de coordoées ( ; ) appartiet à d D 4) U heagoe régulier est iscrit das u cercle. Quel est le rapport de la logueur d u de ses côtés à celle de l arc qu il sous-ted? : : C : D : E : π π π π Soit r le rayo du cercle, alors u côté de l heagoe vaut r et l arc mesure π r π r =. Le rapport cherché vaut doc : r = π π r

2 5) Sas répose préformulée U ombre de chiffres de la forme ab 5 est divisible par 7 et par 9. Quelle est la plus grade valeur possible pour le ombre ab? 9 /ab5 9 / ( a+ b+ 5) 9 / ( + a+ b) a+ b= a+ b= 5 Comme ab5 = ab5 = ab5, o coclut que 7/ ab 5. ( ab, ) = (,0 ) ( ab, ) = ( 5, ) ( ab, ) = ( 4, ) ( ab, ) = (,) a+ b= ( ab, ) = (,4 ) ( ab, ) = (,5 ) ( ab, ) = ( 0,) a+ b= 5 ( ab, ) = ( 9, ) ( ab, ) = ( 8,7 ) ( ab, ) = ( 7,8 ) ( ab, ) = (,9) 7/95 ; 7 / 875, doc la plus grade valeur de ab est 87 ) Que vaut + y y si 0 < y< et y y + =? : : ( y, tq.. 0 < y< ) : + y = y 4y+ y = 8y y = + y + y y ( y) ( y) = + + y = : 0 0< < y + y = y + y = ( car : 0< y < ) C y C : D : E : Ue autre valeur ( car y puisque y )

3 7) Sas répose préformulée Je roule à vélomoteur, à vitesse costate, sur ue route bordée de bores kilométriques. Je vies de passer devat ue bore idiquat u ombre de kilomètres à deu chiffres. Ue heure plus tard, je passe devat ue autre bore qui porte le deu mêmes chiffres das l ordre iverse. Ecore ue heure plus tard, je lis sur ue troisième bore le deu mêmes chiffres que sur la première, das le même ordre, mais avec u zéro itercalé. Quelle est ma vitesse, e km/h? Soit ab = 0a + b le ombre sur la première bore kilométrique, alors : distace parcourue (km/h) v= = ba ab= a0b ab temps (h) ba ab = 0b + a 0a + b = 9b 9a a0b ba = 00a+ b 0b+ a = 99a 9b 9b 9a= 99a 9b 08a= 8b b= a a= b= v= ba ab= = 45 km/ h 8) rthur, erard et Claude sot soupçoés d u vol. L equête a établi que : Si rthur est pas coupable, alors erard et Claude sot tous deu coupables ; rthur est pas coupable ou erard est coupable ; erard est pas coupable ou Claude est pas coupable. Qui a commis le vol? N.. : Le «ou» est pas eclusif! : rthur et ertrad : rthur et lui seul C : erard et Claude D : Claude et lui seul E : Les iformatios e suffiset pas pour le détermier Notos X l évéemet : «X est coupable», alors : Si rthur est pas coupable, alors erard et Claude sot tous deu coupables s écrit : ( C) ( C) rthur est pas coupable ou erard est coupable s écrit : C C Les trois propositios logiques permettet d établir le tableau de vérité suivat : C C C erard est pas coupable ou Claude est pas coupable s écrit : O coclut doc qu rthur et ertrad ot commis le vol

4 9) Les faces triagulaires d ue pyramide à base carrée sot équilatérales. Ue secode pyramide à base carrée a pour sommets les cetres des faces de la première. Quel est le rapport du volume de la grade pyramide à celui de la petite? : 7 : 7 4 C : 9 D : 7 E : 8 [ PQRS] = [ CD] = [ CD] 9 La hauteur h de la petite pyramide (coloriée e jaue sur la figure ci-cotre) de base le carré PQRS et de sommet I vaut de la hauteur H de la grade pyramide de base le carré CD et de sommet S. volume ( grade pyramide) [ CD] H [ CD] H 7 = = = = volume petite pyramide PQRS h CD H [ ] [ ] 9 7 0) Das le triagle C, = C. Les poits P et Q appartieet respectivemet à [ C ] et à [ ] et sot tels que P = C = PQ = Q. Que vaut, e degrés, l amplitude de C? : 0 : 80 7 C : 5 5 D : E : 7 P α α C α 80 4α α α α α 80 7α = 80 α = 7 Q

5 ) Sas répose préformulée Das la figure (imprécise) ci-cotre, O est le cetre du cercle. Quelle est, e degrés, l amplitude de QP, sachat que 8 OP sot parallèles? Q = et que ( Q ) et Q O 8 Le triagle Q est iscrit das le demi-cercle de cetre O, doc Q est rectagle e Q et Q = 90 8 =. Q = PQ (agles iscrits iterceptat le Q P P' même arc Q ) QP = P (agles iscrits iterceptat le même arc P ) QP = OPQ (agles alteres-iteres) P = PO (agles à la base du triagle OP isocèle de sommet pricipal O) Doc : QP = OPQ + P O = P Q = = P O 8 ) Das le triagle C, C = a, C = b et = c. Soit H le pied de la hauteur issue de. Le cercle de diamètre [ H ] coupe ( ) e P et ( C ) e Q. Quel est le rapport de l aire du triagle C à celle du triagle PQ? : 4 a bc : a bc C : a b + c D : + bc bc E : 4 Posos H = h, alors : [ C] = ah = bc h = bc a Les triagles PQ et C sot semblables : P [ C] C b b = = = [ PQ] P P P β Les triagles PH et H sot semblables : bc P H H a b c = P = P = P = H c a Doc : [ ] 4 C b a = = PQ bc b c [ ] ( ) a H Q γ C

6 ) Combie de couples (, ) y d etiers vérifiet l équatio 7 = y? : 0 : C : D : 7 E : Ue ifiité 7 = y y = 7 E posat = 7( k+ ) et y = 7k où k, o a : y = 7( k+ ) 7k = ( k+ ) 7 k 7 = 7 Par coséquet il y a ue ifiité de couples (, y ) d etiers vérifiet l équatio 7 = y E 4) Sas répose préformulée Das la figure (imprécise) ci-cotre, ED = CD, = C = 8 et C = 4. Que vaut CD? E C D Soit E le poit de la demi-droite [ ) apparteat pas [ ] tel que E = 4, alors CD et ED sot semblables. Posos CD = ED = Théorème des cosius das le triagle C : ( β) ( β) 4 = cos cos = 8 Théorème des cosius das le triagle DE : 7 ( β ) = cos = = 8 β 5) Combie de réels eiste-t-il dot les racies carrée et cubique sot égales? : 0 : C : D : E : Ue ifiité ( [ [) ( ) 0; + : = = = = 0 = 0 = C ) Si a est u etier, 9 a = : a : ( a ) a C : 9a ( a) a : = = D a D : a E : 9 a

7 7) Sas répose préformulée Voici le début d u tableau triagulaire de ombres, qui comporte 00 liges :... Quelle est la somme des chiffres de la somme de tous les ombres de ce tableau? E umérotat les liges de à 00, la somme des ombres des liges portat u uméro pair est ulle et la somme des ombres des liges portat u uméro impair est. La somme des ombres de ce tableau vaut doc : = termes Et la somme des chiffres de 005 vaut : = 8) ( cos( 5 ) si ( 5 )) cos( 5 ) si ( 5 ) + = : 0 : 4 C : cos 5 + si 5 cos 5 si 5 D : 4 ( ) cos ( 5 ) cos( 5 ) si ( 5 ) si ( 5 ) cos( 5 ) si ( 5 ) cos( 5 ) si ( 5 ) cos( 5 ) si( 5 ) si( 5 ) = + + = = = = = 4 D E : 9) Sas répose préformulée Quel est le coefficiet de ( a b) 0 +? a+ b = a + a b+ a b ! 0 9 = = = 45! 8! 8 ab das le développemet de

8 0) Sas répose préformulée Que vaut si =? ( + ) = + = = = 7 7 ) Les ciq epressios a+ 9, a+ 0, 4a+, 5a+ et a+ dépedet de la variable a. L ue des affirmatios suivates est vraie. Laquelle? : Il eiste u aturel a pour lequel les ciq epressios sot paires. : Il eiste u aturel a pour lequel les ciq epressios sot impaires. C : Quel que soit le aturel a, les ciq epressios sot paires D : Quel que soit le aturel a, les ciq epressios sot impaires E : Il eiste u aturel a pour lequel les ciq epressios sot multiples de 5. Si a est impair, alors a+ 9, a+ 0, 4a+, 5a+ et a+ sot impairs ) Pour combie de aturels l epressio + + est-elle u ombre premier? 4 : : C : D : 5 E : Ue ifiité 4 Si = 0 alors + + = et est pas premier. 4 Si = alors + + = et est pas premier. ( { 0, }) : = ( ) + + = ( + ) = ( + + ) ( + ) Le seul etier aturel pour lequel + + est doc 4 > > est- ) Sas répose préformulée Pour combie de valeurs etières de, la fractio elle etière? + 5+ ( {, }) : = + + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = = = ( {, } ), est doc etier si et seulemet si l est. + = + = + = + = = = = 0 = à eclure

9 4) Soit 0 k. La foctio 5si( k) cos( k) kπ : est périodique de période ; : est périodique de période π ; k C : est périodique de période kπ ; D : est périodique de période kπ ; E : est pas périodique. π π k( + k ) cos k( + k ) ( k π) ( k π) ( k) cos( k) 5si = 5si + cos + = 5si 5) Sas répose préformulée Combie de rectagles coteat la case oire y a-t-il das la figure ci-cotre? Choisir u rectagle cotetat le petit carré oir reviet à choisir lige parmi les liges L et L, ue lige parmi les liges L, L4 et L5, ue coloe parmi les coloes C, C et C et ue coloe parmi les coloes C4, C5, C et C7. Il y a doc e tout : 4 = 7 rectagles coteat le petit carré oir. Remarque : Le rectagle colorié sur la figure correspod au choi LLCC. L5 L4 L L L C C C C4 C5 C C7 ) L u des diagrammes suivats représete l esemble des solutios de l équatio + y = y, d icoue ( y, ). Lequel? y y C y D y E y

10 , y : + y = y + y = y + y = y y = y= ( ) ( ) ( + ) Posos {} : f = = + ; { } : g = = + Si =, alors Si =, alors + y y y y y y 0 y impossible + = + = + = = = et y y y y y y y 0 impossible ; Cg + = + = + = = = et O obtiet les graphes des foctios f et g e maipulat le graphe de C C C f f t h( ;0) t v( 0;) + = f C C C f g t ( ;0) t h v( 0; ) f ( ) = g + + La boe répose est doc la répose E. g f = ; C f C f C g

11 7) Das la figure ci-cotre, l aire du carré CD est d u cetimètre carré et l heagoe EFGHD est régulier. Quelle est, e cetimètres carrés, l aire du quadrilatère CHD? : 5 : C : ( + ) 4 4 [ CD] = = C = CD = D = [ CD ] = E = D = DH = [ DCH ] [ EHD] [ CD] [ EHC] = EH + D EH CI JI = EH D = = D JI D ( JI JC) = JI D = = ( ) = + = + = [ ] [ ] [ ] CHD = CD + DCH = + = E 4 4 D : ( ) E : + 4 8) Soit a,b et c trois réels o uls. Si p et q sot les racies de l équatio d icoue réelle, quelle est la valeur de +? p q a b c + + = 0, b : : b 4ac 4ac b C : 4a ac b D : c ( pq) b ( a ) c b c ( a ) 4ac E : b c a + b + c = a p q a + b + c = a a p + q + apq b c b = a( p + q) c = apq p + q = pq = a a p= ; q= a a b b ac b b ac c + p+ q pq a a + = = = c a a a 4ac p q a b ac = = C p q p q c

12 m 9) Quel est le ombre de solutios de l équatio + =, d icoue (, ) m? : 0 : C : D : U ombre fii> E : Ue ifiité m m < = m ( p) + = 9= = + = 5 m m + = ( + ) = / posos : = p m + = + = p p m m + mod8 p 0,, 4 mod8 0,, 4 mod8 Si m, il y a pas de solutios car sot (, ) ; (, ) C m + ( mod8 ) p et les seuls couples solutios 0) Sas répose préformulée Soit C u triagle o dégééré. O choisit trois poits disticts,, sur ] C [, 5 poits disticts,,, 4, 5 sur ] C [, et 7 poits disticts C C C C C C C sur ] [,,, 4, 5,, 7. Combie de triagles o dégéérés ot leurs trois,,,,,,,, C, C, C, C, C, C, C, C? sommets das { } Nombre total de triagles (triagles dégéérés compris) : = = 7 = 8 U triagle est dégééré, si ses sommets appartieet à côté du triagle. Nombre de triagles dégéérés : = + + = = 9 Nombre de triagles o dégéérés : 8 9 = 87