Trigonométrie et mesure de grandeurs

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Marie-Madeleine Robert
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1 Mr MD Prof Prinipl hpitre 6 Trigonométrie et mesure de grndeurs I Définitions : 1 osinus et Sinus Soit,, un repère orthonormé du pln. Soit un réel pprtennt à 0, et M l unique point du demi erle trigonométrique () tel que On ppelle osinus du réel, l sisse du point M et on le note On ppelle sinus du réel, l ordonné du point M et on le note sin α M α ' O os α Tngente et otngente * Soit un réel pprtennt à 0, et tel que On ppelle tngente du réel le réel noté et défini pr * Soit un réel pprtennt à 0, On ppelle otngente du réel le réel noté et défini pr II ngles supplémentires Pour tout pprtennt à 0, on et Pour tout pprtennt à 0, tel que on Pour tout pprtennt à 0, on yosri_prof@yhoo.fr / Tel :

2 Mr MD Prof Prinipl M' sin α M Π-α α ' O os α Explitions : On M et M sont symétriques pr rpport à (O) don d où Or dns le repère orthonormé,, M et M ont des sisses opposées et une même ordonnée e qui entrine et ve 0, r 0 ve 0, Exemples : luler sns utiliser l lultrie ) ) Réponse : On don les ngles sont supplémentires lors on : ) et d où on otient ) et d où on otient yosri_prof@yhoo.fr / Tel :

3 Mr MD Prof Prinipl III ngles omplémentires Pour tout pprtennt à 0, on et Pour tout pprtennt à 0, on Pour tout pprtennt à 0, on P' M' Δ Q M (π/) α α O Q' P Explitions : On onsidère l droite Δ l issetrie de et les ngles et on les points et sont symétriques pr rpport à Δ don on tire que et que M et M sont symétriques pr rpport à Δ Soit P le projeté orthogonl de M sur (O) et Q le projeté orthogonl de M sur (O) Soit P le projeté orthogonl de M sur (O) et Q le projeté orthogonl de M sur (O) Don P et Q sont respetivement les symétriques de P et Q pr rpport à Δ On otient et or ; ; et Don on otient : et ; ve 0 r 0 Exemples : Sns utiliser l lultrie luler ; 0 yosri_prof@yhoo.fr / Tel :

4 Mr MD Prof Prinipl On : don les ngles sont omplémentires lors don 0 IV Reltions fondmentles Pour tout pprtennt à 0, on sin 1 Pour tout pprtennt à 0, tel que on 1 Pour tout pprtennt à 0, on 1 Explitions :,, le repère orthonormé du pln, on 1 et le point P étnt le projeté orthogonl de M sur (O) et Q le projeté orthogonl de M sur (O), on onsidère le tringle OMP retngle en P d près le théorème de Pythgore on or et on et, don on otient sin 1 ve 0, 1 1 0, et r , et r V L loi du sinus et L ire d un tringle 1 L loi du sinus Soit un tringle on pose, On Démonstrtion : K yosri_prof@yhoo.fr / Tel :

5 Mr MD Prof Prinipl On onsidère le tringle retngle en, d près le théorème de Pythgore on : sin on otient. sin (1) On onsidère le tringle retngle en, d près le théorème de Pythgore on : sin on otient. sin () D près (1) et () on otient. sin. sin soit don Pr un trvil nlogue que préédemment dns les tringles K et K on tire que d où Etudier le s où l huteur est extérieure u tringle (voir figure i dessus) ire d un tringle Soit un tringle on pose, S désigne l ire du tringle et R le ryon du erle ironsrit à. On : Démonstrtion : R O Z yosri_prof@yhoo.fr / Tel :

6 Mr MD Prof Prinipl On Z et se trouvent sur le même r don intereptent le même r don sont égux, don sin sin Le tringle Z est retngle en r est un dimètre du erle ironsrit don 'est à dire Pr un risonnement similire, on otient insi Don Or on l ire d un tringle est donnée pr l formule suivnte : e qui donne. sin r. sin Pr un trvil similire on tire que. sin. sin. sin Soit. D où le résultt.. e qui entrine O Z Etudier le s de figure où le tringle possède un ngle otus (remrque : sont supplémentires) VI Théorème d EL Kshi Soit un tringle on pose, ; on.os.os.os Démonstrtion : Le théorème de Pythgore dns le tringle donne : Le théorème de Pythgore dns le tringle donne : On otient ; or e qui donne yosri_prof@yhoo.fr / Tel :

7 Mr MD Prof Prinipl e qui donne pour Or os don on otient os e qui donne finlement. os Pr un risonnement similire on otient les deux utres formules Etudier le s où l huteur est extérieure u tringle (voir figure i dessus) VII Tringles isométriques 1èr s d isométrie : Si deux tringles ont un oté ompris entres deux ngles respetivement égux lors ils sont isométriques ème s d isométrie : Si deux tringles ont un ngle ompris entredeux oté respetivement égux lors ils sont isométriques 3ème s d isométrie : Si deux tringles ont trois otés respetivement égux lors ils sont isométriques Démonstrtion : 1èr s d isométrie : Dns les tringles et ont, yosri_prof@yhoo.fr / Tel :

8 Mr MD Prof Prinipl,On sit que l somme des ngles d un tringle est égle à don on en déduit que e qui donne sin sin sin sin sin sin et omme.à.d. = on en déduit que soit don deux à deux on e qui entrine que don dns les deux tringles et les otés et les ngles sont égux respetivement deux à deux Don ils sont isométriques ème s d isométrie : ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' On :, don,,sin sin os os Don on tire que,. os.os Don d près le théorème d El Kshi on otient soit.à.d. Et d près l loi des sinus on otient donne sin sin sin sin don e qui don dns les deux tringles et les otés et les ngles sont égux respetivement deux à deux, don ils sont isométriques 3ème s d isométrie : On :, yosri_prof@yhoo.fr / Tel :

9 Mr MD Prof Prinipl ' ' ' ' ' ' Don, or d près le théorème d El Kshi on.os.os e qui donne que os os et pr un risonnement nlogue on tire don dns les deux tringles et les otés et les ngles sont égux respetivement deux à deux, don ils sont isométriques VIII Tringles semlles Soit et deux tringles, on pose, et, on dit qu ils sont semlles si et seulement si, Soit et deux tringles semlles lors on (rpport de similitude des deux tringles) Soit et deux tringles tel que et lors et sont semlles Soit et deux tringles tel que lors et sont semlles Démonstrtion : ' ' ' ' ' ' ' ' ' fig1 fig yosri_prof@yhoo.fr / Tel :

10 Mr MD Prof Prinipl et sont semlles don on, et tel qu on suppose que (rédution).à.d. que, (voir fig 1) En mettnt les deux tringles l un sur l utre (fig ) les otés [] et [ ] et [] et [ ] se superposent r on et () // ( ) r deux ngles orrespondnts don d près le théorème de Thlès on : soit (rpport de similitude des deux tringles) VIII Reltions métriques dns le tringle retngle Soit un tringle retngle en et soit le pied de l huteur issue de, on :..... Démonstrtion : Théorème de Pythgore Dns un tringle retngle, le rré de l'hypoténuse est égl à l somme des rrés des longueurs des ôtés de l'ngle droit. Don l ire du tringle est donnée de reltions égles : soit don dns les tringles retngles, et d près le théorème de Pythgore on respetivement:,, on tire don or et. d où le résultt. dns le tringle retngle d près Pythgore on : or., et. on otient don. soit yosri_prof@yhoo.fr / Tel :

11 Mr MD Prof Prinipl II Lignes trigonométriques des ngles remrqules yosri_prof@yhoo.fr / Tel :

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