ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

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1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2017 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficiet : 9 ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ Les calculatrices électroiques de poche sot autorisées, coformémet à la réglemetatio e vigueur Le sujet est composé de 5 exercices idépedats Le cadidat doit traiter tous les exercices Das chaque exercice, le cadidat peut admettre u résultat précédemmet doé das le texte pour aborder les questios suivates, à coditio de l idiquer clairemet sur la copie Le cadidat est ivité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même icomplète ou o fructueuse, qu il aura développée Il est rappelé que la qualité de la rédactio, la clarté et la précisio des raisoemets serot prises e compte das l appréciatio des copies Avat de composer, le cadidat s assurera que le sujet comporte bie 9 pages umérotées de 1/9 à 9/9 Le sujet comporte deux feuilles d aexes à la page 8/9 et 9/9, à remettre avec la copie 17MASSIN1 Page 1 sur 9

2 EXERCICE 1 (5 poits) Commu à tous les cadidats Les parties A, B et C peuvet être traitées de faço idépedate Das tout l exercice, les résultats serot arrodis, si écessaire, au millième La chocolaterie «Choc o» fabrique des tablettes de chocolat oir, de 100 grammes, dot la teeur e cacao aocée est de 85 % Partie A À l issue de la fabricatio, la chocolaterie cosidère que certaies tablettes e sot pas commercialisables : tablettes cassées, mal emballées, mal calibrées, etc La chocolaterie dispose de deux chaîes de fabricatio : la chaîe A, lete, pour laquelle la probabilité qu ue tablette de chocolat soit commercialisable est égale à 0,98 la chaîe B, rapide, pour laquelle la probabilité qu ue tablette de chocolat soit commercialisable est 0,95 À la fi d ue jourée de fabricatio, o prélève au hasard ue tablette et o ote : A l évèemet : «la tablette de chocolat proviet de la chaîe de fabricatio A» ; C l évèemet : «la tablette de chocolat est commercialisable» O ote x la probabilité qu ue tablette de chocolat proviee de la chaîe A 1 Motrer que P ( C) = 0,03x + 0, 95 2 À l issue de la productio, o costate que 96 % des tablettes sot commercialisables et o retiet cette valeur pour modéliser la probabilité qu ue tablette soit commercialisable Justifier que la probabilité que la tablette proviee de la chaîe B est deux fois égale à celle que la tablette proviee de la chaîe A Partie B Ue machie électroique mesure la teeur e cacao d ue tablette de chocolat Sa durée de vie, e aées, peut être modélisée par ue variable aléatoire Z suivat ue loi expoetielle de paramètre 1 La durée de vie moyee de ce type de machie est de 5 as Détermier le paramètre de la loi expoetielle 2 Calculer P (Z > 2) 3 Sachat que la machie de l atelier a déjà foctioé pedat 3 as, quelle est la probabilité que sa durée de vie dépasse 5 as? 17MASSIN1 Page 2 sur 9

3 Partie C O ote X la variable aléatoire doat la teeur e cacao, exprimée e pourcetage, d ue tablette de 100g de chocolat commercialisable O admet que X suit la loi ormale d espérace = 85 et d écart type = 2 1 Calculer P ( 83 X 87) Quelle est la probabilité que la teeur e cacao soit différete de plus de 2 % du pourcetage aocé sur l emballage? 2 Détermier ue valeur approchée au cetième du réel a tel que : P(85 a X 85 + a) = 0,9 Iterpréter le résultat das le cotexte de l exercice 3 La chocolaterie ved u lot de tablettes de chocolat à ue eseige de la grade distributio Elle affirme au resposable achat de l eseige que, das ce lot, 90 % des 81,7 ; 88,3 tablettes ot u pourcetage de cacao apparteat à l itervalle [ ] Afi de vérifier si cette affirmatio est pas mesogère, le resposable achat fait prélever 550 tablettes au hasard das le lot et costate que, sur cet échatillo, 80 e répodet pas au critère Au vu de l échatillo prélevé, que peut-o coclure quat à l affirmatio de la chocolaterie? EXERCICE 2 ( 3 poits) Commu à tous les cadidats ;, O muit le pla complexe d u repère orthoormé direct ( O u v ) 1 O cosidère l équatio ( ) 2 E : z 6z + c = 0 où c est u réel strictemet supérieur à 9 a Justifier que ( E ) admet deux solutios complexes o réelles b Justifier que les solutios de ( ) E sot z = 3 + i c 9 et = 3 i c 9 2 O ote A et B les poits d affixes respectives A z et B z Justifier que le triagle OAB est isocèle e O 3 Démotrer qu il existe ue valeur du réel c pour laquelle le triagle OAB est rectagle et détermier cette valeur A z B 17MASSIN1 Page 3 sur 9

4 EXERCICE 3 (4 poits) Commu à tous les cadidats Ue etreprise spécialisée das les travaux de costructio a été madatée pour percer u tuel à flac de motage Après étude géologique, l etreprise représete das le pla la situatio de la faço suivate : das u repère orthoormal, d uité 2 m, la zoe de creusemet est la surface délimitée par l axe des abscisses et la courbe O admet que est la courbe représetative de la foctio f défiie sur l itervalle [ 2,5; 2,5] par : ( ,5 ) f ( x) = l x L objectif est de détermier ue valeur approchée, au mètre carré près, de l aire de la zoe de creusemet Partie A : Étude de la foctio f 1 Calculer f '( x ) pour x [ 2,5 ; 2,5] 2 Dresser, e justifiat, le tableau de variatio de la foctio f sur [ 2,5; 2,5] E déduire le sige de f sur [ 2,5; 2,5] 17MASSIN1 Page 4 sur 9

5 Partie B : Aire de la zoe de creusemet O admet que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordoées du repère 1 La courbe est-elle u arc de cercle de cetre O? Justifier la répose 2 Justifier que l aire, e mètre carré, de la zoe de creusemet est = 8, f ( x ) dx 3 L algorithme, doé e aexe page 8/9, permet de calculer ue valeur approchée par 2,5 défaut de I = f ( x)dx, otée a 0 f (0) f (2,5) O admet que : a I a + 2,5 a Le tableau fouri e aexe, page 8/9, doe différetes valeurs obteues pour R et S lors de l exécutio de l algorithme pour = 50 Compléter ce tableau e calculat les six valeurs maquates b E déduire ue valeur approchée, au mètre carré près, de l aire de la zoe de creusemet MASSIN1 Page 5 sur 9

6 EXERCICE 4 (5 poits) O défiit les suites ( u ) et ( ) u 0 v0 1 Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité v par : = = et, pour tout etier aturel, u = 1 2u + + 3v et v = 1 2u + + v O admettra que les termes de ces suites sot des etiers aturels o uls Partie A : Cojectures Flore a calculé les premiers termes des suites à l aide d u tableur Ue copie d écra est doée ci-dessous 1 Quelles formules ot été etrées das les cellules B3 et C3 pour obteir par copie vers le bas les termes des suites? 2 Soit u etier aturel u ; Aucue justificatio est demadée Cojecturer la valeur de PGCD ( ) v 3 Pour les termes de rag 10, 11, 12 et 13 Flore obtiet les résultats suivats : Elle émet la cojecture : «la suite Qu e peser? Partie B : Étude arithmétique u v coverge» +1 1 Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, o a : 2u 3 = ( 1) 2 Soit u etier aturel Déduire de la questio précédete la valeur de PGCD ( u ) ; v v 17MASSIN1 Page 6 sur 9

7 Partie C : Étude matricielle Pour tout etier aturel, o défiit : u la matrice coloe X =, v 1 3 les matrices carrées P = 1 2 et 2 ( 1) 3 2 = ( 1) 2 Q a Motrer que la matrice est l iverse de P b O admet que, pour tout etier aturel, o a Démotrer que, pour tout etier aturel, o a 2 a Vérifier que, pour tout etier aturel, o a u b E déduire la limite de la suite v u v 1 X QP X 0 = ( 1) u = ( 1) + 2 v = ( 1) = 2 ( 1) EXERCICE 5 (3 poits) Commu à tous les cadidats O cosidère u cube ABCDEFGH fouri e aexe page 9/ 9 L'espace est rapporté au repère ( A AB, AD, AE) ; 1 1 O ote le pla d équatio x + y + z 1 = Costruire, sur la figure fourie e aexe page 9/9, la sectio du cube par le pla La costructio devra être justifiée par des calculs ou des argumets géométriques 17MASSIN1 Page 7 sur 9

8 ANNEXE à compléter et à remettre avec la copie EXERCICE 3 Variables R et S sot des réels et k sot des etiers Traitemet S pred la valeur 0 Demader la valeur de Pour k variat de 1 à faire 2,5 R pred la valeur Fi Pour Afficher S 2,5 f k S pred la valeur S + R 6 Le tableau ci-dessous doe les valeurs de R et de S, arrodies à 10, obteues lors de l exécutio de l algorithme pour = 50 Iitialisatio S = 0 = 50 Boucle Pour Étape k R S Affichage S = 1 2 0, , , , , , , , , , , MASSIN1 Page 8 sur 9

9 ANNEXE à compléter et à remettre avec la copie EXERCICE 5 17MASSIN1 Page 9 sur 9

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