Généralités sur les fonctions

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1 Chapitre Généralités sur les fonctions.1 Notion d'intervalle Dans toute cette section, nous représenterons l'ensemble des nombres réels (noté R) comme une droite graduée. Dénition. Un intervalle est un ensemble de nombres déterminé par une inégalité ou un encadrement. On distingue deux types d'intervalles : les intervalles bornés et les intervalles non bornés. 1

2 CHAPITRE. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS.1.1 Les intervalles bornés Ici, a et b sont deux nombres réels tels que a < b. L'ensemble des nombres réels x tels que a x b est noté [a; b]. L'ensemble des nombres réels x tels que a < x < b est noté ]a; b[. L'ensemble des nombres réels x tels que a < x b est noté ]a; b]. L'ensemble des nombres réels x tels que a x < b est noté [a; b[. Dans tous ces cas, a et b sont appelés les bornes de l'intervalle. [a; b] est un intervalle fermé, ]a; b[ est un intervalle ouvert.

3 .1. NOTION D'INTERVALLE 3.1. Les intervalles non bornés Ici, a et b sont deux nombres réels quelconques. L'ensemble des nombres réels x tels que a x est noté [a; + [. L'ensemble des nombres réels x tels que a < x est noté ]a; + [. L'ensemble des nombres réels x tels que x b est noté ] ; b]. L'ensemble des nombres réels x tels que x < b est noté ] ; b[. Remarque. Lorsque l'on fait apparaître + ou, qui ne sont pas des nombres, on doit toujours mettre des crochets vers l'extérieur de l'intervalle. Remarque. L'ensemble de tous les nombres réels R peut aussi se noter ] ; + [.

4 4 CHAPITRE. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS.1.3 Réunion et intersection d'intervalles Dénition. Soient I et J deux intervalles. L'intersection de I et J, notée I J, est l'ensemble des nombres appartenant à la fois à I et à J. Une intersection de deux intervalles est également un intervalle. Exemple. Si I = [1; 3] et J =]; + [, alors : I J =]; 3]. Exemple. Si I = [0; 1] et J = [; 3], alors : I J =. Ce symbole signie qu'il n'y a aucun nombre se trouvant à la fois dans I et J. Dénition. Soient I et J deux intervalles. La réunion de I et J, notée I J, est l'ensemble des nombres appartenant soit à I, soit à J, soit aux deux intervalles à la fois. Exemple. Si I = [1; 3] et J =]; + [, alors : I J = [1; + [. Exemple. Si I = [0; 1] et J = [; 3], alors : I J = [0; 1] [; 3]. Ici, la réunion des deux intervalles ne peut pas s'écrire comme un unique intervalle. On doit laisser le symbole.. Notion de fonction Dénition. Soit D un ensemble de nombres (un intervalle ou une réunion d'intervalles). On appelle fonction f sur l'ensemble D le mécanisme mathématique qui, à tout nombre x D, associe un unique nombre noté f(x). On la note : f : x f(x). Vocabulaire. f(x) est appelé l'image de x par f ; x est appelé un antécédent de f(x) par f ; D est appelé l'ensemble de dénition de f. Exemple. Sur D f = [ ; ], on dénit la fonction f par : f : x x + 3. On a alors : f(0) = = = 3 ; f(1) = = + 3 = 5 ; f( 1) = ( 1) + 3 = + 3 = 1 ;

5 .. NOTION DE FONCTION 5 f(0.5) = = = 4. Exemple. Sur D g = [ ; ], on dénit la fonction g par : g(x) = (x ) + 6. On a alors : g(0) = (0 ) + 6 = ( ) + 6 = = 10 ; g(1) = (1 ) + 6 = ( 1) + 6 = = 7 ; g( 1) = ( 1 ) + 6 = ( 3) + 6 = = 15 ; g(0.5) = (0.5 ) + 6 = ( 1.5) + 6 = = 8.5. Exemple. Sur D h = [0; + [, on dénit la fonction h par : h(x) = x. On a alors : h(0) = 0 = = 1 ; h(1) = 1 = 1 1 = 0.5 ; h() = = 4 = = 1 ; h(0.5) = 0.5 = 0.5 = 1.75 = Remarque. Chaque nombre x contenu dans le domaine de dénition D admet une unique image par une fonction. Par contre, une image peut avoir plusieurs antécédents dans D par la fonction, voire aucun. Exemple. Sur D = [ 1; 1], on dénit la fonction f par : f : x x. On a alors : f(1) = 1 = 1 et f( 1) = ( 1) = 1. 1 admet donc au moins deux antécédents par f sur D : ce sont 1 et 1. Remarque. Pour une fonction donnée, si un nombre n'a pas d'image par cette fonction, alors il n'appartient pas à l'ensemble de dénition de la fonction. Exemple. f : x 1 x n'est pas dénie en x = 0 car f(0) = 1 0 n'existe pas. 0 n'appartient donc pas à l'ensemble de dénition de f.

6 6 CHAPITRE. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS.3 Courbe représentative d'une fonction Dénition. On se place dans le plan muni du repère (O; I; J). On appelle courbe représentative (ou représentation graphique) de la fonction f, notée C f, l'ensemble des points de coordonnées (x; f(x)) où x appartient à l'ensemble de dénition D f de la fonction f. Remarque. Une fonction sera dénie de trois manières : par sa formule explicite, par un tableau de valeurs, ou par sa courbe représentative. La calculatrice nous permet, à partir de la formule explicite, de tracer une représentation graphique d'une fonction, et d'obtenir une table de valeurs de cette fonction. Exemple. Considérons la fonction f : x x 3 dénie sur D f = [ ; 4]. On va représenter la courbe C f dans un repère. Pour cela, nous avons besoin de dresser un tableau de valeurs de f, qui est le suivant : x f(x) À l'aide de ce tableau, on peut représenter C f dans un repère :

7 .3. COURBE REPRÉSENTATIVE D'UNE FONCTION 7 Rappel. Une fonction ane est toujours représentée graphiquement par une droite. Il sut donc d'avoir deux couples (antécédent ;image) pour obtenir le tracé de la courbe représentative d'une fonction ane. Exemple. Considérons la fonction g : x (x 1) 3 dénie sur D g = [ ; ]. On va représenter la courbe C g dans un repère. Pour cela, nous avons besoin de dresser un tableau de valeurs de g, qui est le suivant : x g(x) À l'aide de ce tableau, on peut représenter C g dans un repère :

8 8 CHAPITRE. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS.4 Résolution d'équations du type f(x) = k (où k est un nombre réel).4.1 Méthode graphique Ici, on considère une fonction f dénie sur un domaine D f, et l'on suppose connue sa représentation graphique sur ce domaine, notée C f. Résoudre l'équation f(x) = k, où k est un nombre réel donné, revient à déterminer les abscisses des points d'intersection de C f avec la droite horizontale d'équation y = k. On va en fait déterminer graphiquement les antécédents de k par la fonction f. Exemple. Résolution de l'équation f(x) = où f, dénie sur [ 3; 1], est représentée par C f ci-dessous : On trace la droite horizontale d'équation y =, puis on cherche les points d'intersection entre cette droite et la courbe C f. Il y a un seul point d'intersection : ( 1; ). Son abscisse étant 1, l'ensemble des solutions de l'équation f(x) = est donc : S = { 1}. Remarque. Lorsque l'on résout une équation (graphiquement ou algébriquement) il faut impérativement conclure en donnant l'ensemble des solutions : S =...!

9 .4. RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS DU TYPE F (X) = K (OÙ K EST UN NOMBRE RÉEL)9 Exemple. Résolution de l'équation g(x) = 1 où g, dénie sur [ 5; 4], est représentée par C g ci-dessous : On trace la droite horizontale d'équation y = 1, puis on cherche les points d'intersection entre cette droite et la courbe C g. Il y a trois points d'intersection : ( 4; 1), ( 1; 1) et (; 1) (par lecture graphique). Leurs abscisses étant 4, 1 et, l'ensemble des solutions de l'équation g(x) = 1 est donc : S = { 4; 1; }.4. Méthode algébrique Ici, on étudie une fonction f dénie sur un domaine D f, et l'on suppose connue sa formule explicite sur ce domaine. Résoudre l'équation f(x) = k, où k est un nombre réel donné, revient à déterminer par le calcul les réels x de l'ensemble D f qui vérient l'égalité : f(x) = k. Exemple. Soit f, dénie sur le domaine D f = [ 6; 6], la fonction linéaire suivante : f : x 1 x. On cherche à résoudre l'équation : f(x) = 1. On cherche donc les nombres réels x contenus dans D f tels que : f(x) = 1 x = 1. On multiplie à gauche et à droite de l'égalité par, et on trouve : x =. appartient bien au domaine D f, donc l'ensemble des solutions est : S = { }.

10 10 CHAPITRE. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Remarque. Il est essentiel de vérier que les solutions obtenues au cours de la résolution de l'équation sont bien contenues dans le domaine de dénition de la fonction ; si elles n'y appartiennent pas, elles ne peuvent pas être considérées. Exemple. Soit g, dénie sur le domaine D g = [ 10; 9], la fonction ane suivante : g : x 3x. On cherche à résoudre l'équation : g(x) = 4. On cherche donc les nombres réels x contenus dans D g tels que : g(x) = 3x = 4. Résolvons ceci : 3x = 4 3x + = 4 + On ajoute à gauche et à droite 3x = x = 6 3 x = 6 3 On regroupe les x et les nombres On divise par 3 des deux côtés Comme 6 3 appartient bien au domaine D g (en eet, 6 3 solutions de l'équation g(x) = 4 est : S = { 6 3 } [ 10; 9]), l'ensemble des.5 Résolution d'équations du type f(x) = g(x) On considérera ici f et g deux fonctions, dénies sur un même intervalle I. Déterminer les solutions de l'équation f(x) = g(x) revient alors à trouver les valeurs de x telles que f(x) = g(x). Graphiquement, cela revient à déterminer les abscisses des points d'intersection de C f et C g.

11 .5. RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS DU TYPE F (X) = G(X) 11 Exemple. Considérons les fonctions suivantes, toutes deux dénies sur R : f : x x 9 g : x x + 3 On va résoudre l'équation suivante : f(x) = g(x). Graphiquement, en traçant les représentations graphiques de f et g dans un repère adapté, on obtient : On remarque que C f et C g ont un unique point d'intersection. En eet, deux droites du plan sont soit sécantes, soit parallèles, soit confondues. Ici elles sont sécantes. Ce point a pour abscisse x = 4, on conclut : S = {4}. Résolvons algébriquement cette équation : f(x) = g(x) x 9 = x + 3 x = x x + x = 1 x = 1 3 = 4 On conclut : S = {4}.

12 1 CHAPITRE. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Exemple. Considérons deux fonctions f et g, dénies sur [ 4; 4] dont les représentations graphiques sont les suivantes : Graphiquement, leurs points d'intersection ont pour abscisses 3, 0 et. On conclut alors : les solutions de l'équation f(x) = g(x) sont S = { 3; 0; }