Magnétostatique : bref historique

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1 Magnétostatique : bref historique Les aimants sont connus depuis l an1quité, et sont u1lisés il y a plus de 1000 ans en Chine pour réaliser les premières boussoles : Franklin découvre la nature électrique de la foudre, et on remarque que la foudre perturbe les boussoles => communauté de nature entre les phénomènes électriques et magné1ques 1820 : Expérience d Oersted : un fil parcouru par un courant électrique dévie une boussole! 1873 : Maxwell unifie les no1ons de champs électrique et magné1que

2 La force de Lorentz L expression de la force de Coulomb pour des charges immobiles (sta1ques) doit être modifiée si les charges sont en mouvement les unes par rapport aux autres. Il faut en effet tenir compte du retard que met le champ à se propager de q vers q lorsque q se déplace, dans le cadre de la rela1vité restreinte. On adme[ra ici que ce[e correc1on (en toute rigueur valable uniquement lorsque les charges se déplacent lentement par rapport à c) s écrit : Le premier terme est le champ électrique «sta1que», le second terme, qu on peut voir comme une correc1on rela1viste à la force de Coulomb, décrit un nouvel effet. On écrit la force de Lorentz agissant sur la charge q : Où B est le champ magné1que crée par q

3 Le champ magnétique L expression du champ magné1que crée par la charge ponctuelle q animée d une vitesse uniforme v (pe1te devant celle de la lumière c) est donc Où a introduit la perméabilité du vide μ 0 telle que μ 0 est choisie, par défini1on de l Ampère, égale à L unité du champ magné5que est le Tesla (symbole T) Ordres de grandeur macroscopiques : Champ terrestre : environ T / Aimant : 1-10 mt Bobine supraconductrice : environ 10 T / Etoile à neutron : 10 8 T Au niveau microscopique : champ crée par un électron tournant autour de son noyau (v m/s et r m) au centre de l orbite? B = 12 T => les champ microscopiques ont tendance à s annuler vectoriellement

4 La formule de Biot et Savard (1820) Si on considère le champ magné1que élémentaire db crée en un point M par un pe1t élément de volume dv situé au point P, de densité de charge ρ en mouvement avec une vitesse v, on ob1ent Sous forme intégrale, ce[e expression cons1tue la formule de Biot et Savard : On sera très souvent amené à considérer que la densité volumique de courant j est limitée à un «fil». On a dans ce cas ~jdv =(~j ~ ds) ~ d` Et donc

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9 Règles de symétrie du champ magnétique B est un champ «pseudo- vectoriel», on parle aussi de vecteur axial. C est à dire qu il est défini par un produit vectoriel des termes sources. Un plan de symétrie de la distribu5on de courant j est donc un plan d an5symétrie du champ B

10 Règles de symétrie du champ magnétique

11 Exemples de lignes de champ magnétique (crédit Hecht) Fil rec1ligne Spire

12 Exemples de lignes de champ magnétique Associa1ons de spires (solénoide) : Aimant (dipôle magné1que)

13 Calcul de champ magnétique : centre d une spire On cherche le champ au centre de la spire Biot et Savard : On se place en coordonées polaires (cylindriques de même axe que celui de la spire, mais ici on n u1lisera pas z ) Et donc

14 Calcul de champ magnétique : axe d une spire On se place en coordonées cylindriques de même axe que celui de la spire, on ob1ent Où on a u1lisé le fait que Z 2 0 ~e ( )d =0

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17 Non-divergence de B (Maxwell-Thomson) Le champ magné1que crée en un point M quelconque vaut Calculons sa divergence : = Le rota1onel de v est nul, celui de e r /r 2 l est aussi (expression du rota1onnel en sphérique : On en déduit ce résultat général et extrêmement important : ou encore Le flux de B à travers toute surface fermée est nul

18 Potentiel vecteur On vient de voir que la divergence de B est toujours nulle. On peut donc, sans perdre en généralité, écrire B comme le rota1onnel d un champ de vecteur A (puisque la divergence d un rota1onnel est toujours nulle) A est appelé poten1el vecteur du champ magné1que. Tout comme le champ E dérivait dans le cas sta1que d un poten1el scalaire V, le champ magné1que dérive d un poten1el, mais qui a une forme vectorielle et non scalaire. Le rota1onnel du gradient d une fonc1on scalaire quelconque ψ étant nul, A est en fait défini au gradient d une fonc1on quelconque près (c est à dire qu ajouter grad(ψ) à A ne changera pas B, qui est l observable physique, via la force de Lorentz). Le choix de la fonc1on ψ cons1tue le choix de Jauge du champ. On peut par exemple choisir ψ tel que div(a) = 0 (c est la jauge dite «de Coulomb»). Dans ce cas on peut montrer que A est lié simplement aux sources

19 Théorème d Ampère La circula1on du champ magné1que le long de tout contour fermé C est égale au produit de la perméabilité du vide par le courant traversant toute surface S s appuyant sur le contour fermé C. Le courant est compté algébriquement en tenant compte de la règle d Ampère. On peut aussi écrire le théorème I C ~B ~d` = µ 0 ZZ S ~j ~ ds L orienta1on de la surface S et du contour C doit alors être faite de manière cohérente

20 Théorème d Ampère (forme locale) On vient de voir qu on pouvait écrire le théorème d Ampère sous la forme I C ~B ~d` = µ 0 ZZ S ~j ~ ds L applica1on du théorème de Stokes nous permet d obtenir une forme locale Il s agit d une forme par1elle de l équa1on de Maxwell- Ampère. Elle n est valable que dans l hypothèse de courant constant dans le temps (ou tout du moins lentement variables) Nous verrons en fin de semestre que ce[e équa1on doit être complétée d un terme dit «courant de déplacement» pour des varia1ons plus rapides.

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23 Champ produit par un fil infini D où A l extérieur du fil : Et donc

24 Champ produit par un solénoïde infini Symétries et invariances : Théorème d Ampère sur le contour C 1 : Vu que le champ doit être nul à l infini, on en déduit que le champ est nul à l extérieur du solénoïde infini Théorème d Ampère sur le contour C 2 : Où n est la densité de spire (nombre de spire par unité de longueur). Or, on en déduit que

25 Traversée d une nappe de courant Le plan xoy est parcouru par une nappe de courant surfacique j s Symétries et invariances : ~B = B(z) ~e x et B( z) = B(z) Intégrale du champ sur le contour ABCD : I ~B ~d` =2B(z)` Courant enlacé dans le contour ABCD I = j s` Donc B(z) = µ 0j s 2 On a donc une discon5nuité de la composante tangen5elle du champ à la traversée de la nappe Résultat généralisable à toute surface :

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