Pondichéry Enseignement spécifique. Corrigé
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- Victor Thibodeau
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1 Pondichéry. 06. Enseignement spécifique. Corrigé EXERCICE Partie A ) a) Le symétrique x du réel par rapport au réel 3,9 vérifie x+ Graphique. = 3,9 et donc x = 3,9 =, ,9 b) P,8 T ) = PT,8) PT ) = 0,03 = 0,94. Soit Z = T 3,9. Z suit la loi normale centré réduite. σ PT,8) = 0,03. De plus, T,8 T 3,9 8, T 3,9 σ P Z 8, ) = 0,03. σ 8, σ La calculatrice fournit 8, =,99... et donc σ = 4, au dixième près. σ ) La probabilité demandée est PT 8). La calculatrice fournit et donc PT 8) = 0,6 arrondi au centième. Partie ) Représentons la situation par un arbre de probabilités. p O / R p O / /3 O R /3 O D après la formule des probabilités totales, PO) = PR) P R O)+P R ) P R O) = p+ 3 = p+ 6. http :// c ean-louis Rouget, 06. Tous droits réservés.
2 ) a) Ici, n = 00. D autre part, la fréquence de «oui» observée est f = 6 00 =. On note que n 30, nf = 6 et donc nf et enfin n f) = 87 et donc n f). Un intervalle de confiance de la proportion q au niveau de confiance 9% est [ f,f+ ] [ = n n, 00 + ] = [0,39;0,4] 00 en arrondissant de manière à élargir un peu l intervalle. b) 00 p p p Un intervalle de confiance de la proportion p au niveau de confiance 9% est [, 00 + ] = [0,44;0,6] 00 en arrondissant de manière à élargir un peu l intervalle. Au niveau de confiance 9%, on peut affirmer que 0,44 p 0,6. http :// c ean-louis Rouget, 06. Tous droits réservés.
3 EXERCICE ) Le point a pour coordonnées 0, ). D après le théorème de Pythagore, ) = O +O = + = 4 puis = et donc = = =. =. O ) a) Puisque A est sur le cercle trigonométrique, z A = OA =. D autre part, Donc, argz A ) = b) Le point A a pour coordonnées u, ) OA = u, OA )+ OA, OA ) = 4π [π]. cos ) 4π, sin z A = e 4iπ. A = x A x ) +y A y ) = ) 4π 4π = cos +cos )) 4π, le point a pour coordonnées,0). Donc, cos ) 4π ) ) ++sin 4π A = +cos 4π ). +) + = +cos )) 4π sin ) 4π. c) Donc, A = + 4 = + = 3 puis 3 A = = =. A =. 3) On commence par construire le cercle de centre O et de rayon puis le point milieu du segment [OC] où C est le point de coordonnées 0,) en construisant à la règle non graduée et au compas la médiatrice du segment [OC]. http :// 3 c ean-louis Rouget, 06. Tous droits réservés.
4 C O On construit ensuite le point comme intersection du cercle de centre passant par O et du segment []. O Les points A et A 3 sont les points d intersection du cercle trigonométrique et du cercle de centre et de rayon. http :// 4 c ean-louis Rouget, 06. Tous droits réservés.
5 A O A 0 A 3 Les points A et A 4 sont les points d intersection des bissectrices intérieures des angles A 0 OA et A 0 OA 3 respectivement et du cercle trigonométrique, A A O A 0 A 3 A 4 et on obtient A A A 0 O A 3 A 4 http :// c ean-louis Rouget, 06. Tous droits réservés.
6 EXERCICE 3 Partie A Les plans I) et CDH) sont sécants en une droite D. et L sont deux points distincts appartenant aux plans I) et CDH). Donc, D = L). E H F G I A D C D L La droite D coupe la droite HD) en un point M. Puisque les plans CG) et ADE) sont parallèles, l intersection des plans I) et ADE) est la parallèle à la droite I) passant par M. Cette droite coupe la droite EH) en un point N et l intersection du plan I) et du plan ADE) est la droite MN). On trace enfin la parallèle à la droite ) passant par N. Cette droite coupe la droite EF) en un point P et on peut achever le tracé de la section du cube par le plan I). E N H P F G M I A D C D L http :// 6 c ean-louis Rouget, 06. Tous droits réservés.
7 Partie ) Le point A a pour coordonnées 0,0,0) et, puisque OG = A+ AD+ AE, le point G a pour coordonnées,,). Les points et F ont pour coordonnées respectives,0,0) et,0,) et donc le point I a pour coordonnées,0, ). Les points et C ont pour coordonnées respectives,0,0) et,,0) et donc le point a pour coordonnées, ),0. ) Les points C et D ont pour coordonnées respectives,,0) et 0,,0) et donc le point a pour coordonnées,,0. ) a) Les coordonnées respectives des vecteurs I et I sont 0, ), et ),,. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires en analysant leur première coordonnée) et donc les points I, et définissent effectivement un plan de manière unique. Les coordonnées du vecteur AG sont,,). AG. I = 0+ + ) = = 0 et AG. I = ) + + ) = + = 0. Le vecteur AG est orthogonal aux vecteurs I et I qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan I). Donc, le vecteur AG est un vecteur normal au plan I). b) Le plan I) est le plan passant par I plan est ou encore,0, ) et de vecteur normal AG,,). Une équation cartésienne de ce x )+ y 0)+ z ) = 0 le plan I) a pour équation x+y+z = 3. 3) a) Soient t [0,] puis M le point tel que AM = t AG. Le point M a pour coodonnées t,t,t) puis ) MI = t) +0 t) + t = t+t +t + 4 t+t = 3t 3t+ 4. b) Pour t [0,], posons ft) = IM = 3t 3t+ [ 4. Pour t [0,], f t) = 6t 3. Donc, f est décroissante sur 0, ] [ ] et croissante sur,. Par suite, ft) est minimal pour t =. Quand t =, le point M est le point N de coordonnées,, ). Puisque IM est minimale si et seulement si IM est minimale, la distance IM est minimale pour le point N,, 4) a) x N +y N +z N = + + = 3. Donc le point N appartient au plan I). b) Les coordonnées respectives de vecteurs AG, IN et F sont,,),, ),0 et 0,0,) AG. IN = ) = + = 0 ). et F. IN = 0 ) = 0. Donc, la droite IN) est orthogonale aux droites AG) et F). De plus, les droites AG) et IN) sont sécantes en N et les droites F) et IN) sont sécantes en I. Donc, la droite IN) est perpendiculaire aux droites AG) et F). http :// 7 c ean-louis Rouget, 06. Tous droits réservés.
8 EXERCICE 4. Soit x ]0,4] l abscisse du point M. L aire, exprimée en unités d aire, du rectangle OPMQ est égale à x Ax) = OP OQ = x P y Q = x M y M = x x ln. ) ) A) = ln = +ln =, et A) = 4 ln) = 4. Puisque A) A), la fonction A n est pas constante sur ]0,4] ou encore l aire du rectangle OPMQ n est pas constante quand le point M varie. La fonction A est dérivable sur ]0,4] et pour x ]0,4], Ensuite, x A x) = ln x ) / x ) x x/ = ln = ln. ) x x x A x) 0 ln 0 ln ln ) ) ) x e par stricte croissance de la fonction exponentielle sur R) x e avec e =, 4... et donc e ]0, 4]. Par suite, la fonction A est croissante sur ]0, e] et décroissante sur [e, 4]. La fonction A admet un maximum en e et ce maximum est égal à ) e Ae) = 4e eln = 4e e = e. ) e Dans ce cas, l abscise de M est e et l ordonnée de M est fe) = ln =. Les coordonnées de M tel que l aire du rectangle OPMQ soit maximale, sont e,). http :// 8 c ean-louis Rouget, 06. Tous droits réservés.
9 EXERCICE. Partie A : modélisation discrète ) La suite T n ) n N est définie par T 0 = et n N, T n+ = 0,8T n +. La température, exprimée en degrés Celsius, de la boîte de conserve au bout de 3 minutes est T 3. T = 0,8T 0 + = 0,8 + = 36, T = 0,8T + = 0,8 36,+ = 4,8 T 3 = 0,8T + = 0,8 4,8+ = 3,9406 La température de la boîte de conserve au bout de 3 minutes est de 4 arrondie à l unité. ) Montrons par récurrence que pour tout n N, T n = ,8) n ,8) 0 = 00 7 = = T 0. Donc, l égalité est vraie quand n = 0. Soit n 0. Supposons que T n = ,8) n. T n+ = 0,8T n + = 0, ,8) n )+ par hypothèse de récurrence) = 8 7 0,8) n+ + = ,8) n+. On a montré par récurrence que pour tout n N, T n = ,8) n. 3) Soit n un entier naturel. T n ,8) n 8 7 0,8) n 7 0,8) n 0,8) n 7 0,8)n 0, ln0,8) n ) ln0,) par stricte croissance de la fonction ln sur ]0,+ [) n ln0,8) ln0,) n ln0,) car ln0,8) < 0) ln0,8) n 9,9... n 0 car n est un entier). La stérilisation débute au bout de 0 minutes. Partie ) a) La fonction f est dérivable sur [0,+ [ et pour t 0, f t) = 0 7 ln ) e ln 0 t = 7, ln) e ln 0 t. 0 Puisque >, ln > 0. Puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur R, la fonction f est strictement positive sur [0,+ [. On en déduit que La fonction f est strictement croissante sur [0,+ [. b) f0) = 00 7e ln 0 0 = 00 7e ln = 00 7 e ln = 00 7 = 00 = 8. Puisque la fonction f est croissante sur [0,+ [, si t 0, alors ft) f0) ou encore ft) 8. http :// 9 c ean-louis Rouget, 06. Tous droits réservés.
10 ) a) L aire, exprimée en unités d aire, d un rectangle en pointillé est égale à ou encore. 3 rectangles ont déjà une aire égale à 7 unités d aire. L aire du domaine en bleu est donc clairement strictement supérieure à 80 et il en est de même de A). 00 température en degré Celsius) y = C f O temps en minutes) b) Soit θ 0. Pour t [0,θ], ft) 8. Donc, c) Par suite, Aθ) = θ = A0) = 0 0) 7 0 θ ft) 8) dt = 0 θ dt 7 = θ 0) θ = ) ) ln e ln e ln = 0 0 ln = 7, θ 0 7e ln 0 t) dt e ln 0 t dt par linéarité de l intégrale) e ln 0 t dt. e ln 0 t dt = 0 7 [ e ln 0 t ln)/0 = ln ) A0) < 80 et donc la stérilisation n est pas terminée au bout de 0 minutes. ] 0 = 0 7 e ln e ln ln)/0 0 = ) ln http :// 0 c ean-louis Rouget, 06. Tous droits réservés.
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