André THIAVILLE CNRS-Université Paris-sud, Laboratoire de physique des solides, Orsay, France. , (2), (3) avec en surface r r r r r r r r r

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1 Ecole Franco-Roumaine : Magnétime de ytème nanocopique et tructure hybride - Braov, 003 STRUCTURE EN DOMAINES DANS LES SYSTEMES DE BASSE DIMENSIONNALITE André THIAVILLE CNRS-Univerité Pari-ud, Laboratoire de phyique de olide, Oray, France Ce cour débute par de rappel ur la tructure en domaine dan de échantillon qui ne ont pa particulièrement de bae dimenionnalité. Cela permet d introduire le tructure de bae, et leur compréhenion au moyen d une approche énergétique. Dan une econde partie, on prend en compte le pécificité de ytème de bae dimenionnalité, et préente le tructure (domaine, paroi) particulier qui en réultent. A) Rappel ur la tructure en domaine 1) Hitorique Pierre Wei a émi en 1907 l hypothèe de domaine magnétique, aimanté à aturation, qui permettent de meurer un moment global nul en champ nul dan un échantillon alor que le meure thermodynamique (chaleur pécifique) correpondent à une aimantation pontanée de tout l échantillon. La mie en évidence de domaine a été d abord indirecte (bruit de Barkhauen, 1919) pui directe (obervation par décoration par une poudre magnétique, 1931, Bitter et v. Hamo et Thieen). L article de Landau et Lifhitz en 1935 (Phy. Z. Sowjetunion (1935)) jette le bae de la théorie de domaine. Un crital poède de direction privilégiée d aimantation elon lequelle le aimantation dan le domaine ont orientée. L arrangement de ceux-ci et dicté par l interaction dipolaire (le champ démagnétiant). De fine paroi éparent le domaine, dont le coût énergétique doit être pri en compte dan le calcul. Le équation de Maxwell dan la matière ont, en ytème SI et dan le ca tatique an champ appliqué B = µ 0 ( H + M ), (1) div B r = 0 divh = divm, () rot H = 0 r, (3) avec en urface r r ( H ext Hint ) n = M n, (4) r ( H ext H int ) n = 0. (5) Dan le ca général, la préence d une aimantation non nulle requiert la préence d un champ H (appelé champ démagnétiant dan l échantillon, et champ de fuite à l extérieur) pour atifaire ce équation. Se ource ont divm dan le volume (charge magnétique fictive de volume) et M.n en urface (charge de urface). La tructure de Landau-Lifhitz évite ce deux charge en introduiant de domaine de fermeture. A partir de année 1940, W.F. Brown a introduit une théorie continue de tructure magnétique, qui conite à ytématier le calcul fait par F. Bloch (193) pui par Landau et Lifhitz de la tructure interne d une paroi. En fait la théorie de domaine, ymboliée par la figure 1, et applicable à de échantillon où toute le taille ont grande devant celle de paroi, et ayant une aniotropie non négligeable. Dan le ca contraire, la éparation entre domaine et paroi n et pa i tranchée car l aimantation n et plu trictement uniforme dan le domaine et le paroi peuvent être aez étendue. Ce cadre théorique appelle le micromagnétime (W.F. Brown, Micromagnetic (Wiley, 1963) et réimprimé (R.H. Krieger, 1978)). Structure en domaine IV.1-1 André Thiaville

2 Ecole Franco-Roumaine : Magnétime de ytème nanocopique et tructure hybride - Braov, 003 D axe facile d Figure 1 : tructure de Landau-Lifhitz pour un film d'épaieur D à aniotropie perpendiculaire. Le domaine de largeur d ont terminé en urface par de domaine de fermeture afin de boucler le flux. Le paroi verticale ont de type Bloch avec une largeur. La taille d'équilibre et alor d= D. La ditribution de l aimantation et obtenue par la minimiation d une énergie qui écrit comme l intégrale ur le volume d une denité. L aimantation et localement à a valeur à aturation pour la température conidérée M = M m, m =1. (6) La denité d énergie et une omme de terme r r r r 1 r E = A ( mi / x j ) + K G( m) µ m H a µ m H d. (7) i, j Le premier et appelé énergie d échange. C et la limite continue de l interaction de Heienberg. Le econd traduit l énergie d aniotropie. On aura G = m x + m y pour une aniotropie uniaxiale (d axe facile Oz) et G = m m + m m + m m pour une aniotropie cubique etc. Le troiième terme et l énergie Zeeman d interaction avec un champ appliqué. Le dernier et l énergie démagnétiante, H d déignant le champ démagnétiant introduit plu haut (-5). Le meure depui le année 60 juqu à no jour, en particulier dan le ca de corp à trè faible aniotropie qui préentent de tructure complexe, ont montré que cette théorie était remarquablement efficace. Le livre de A. Hubert et R. Schäfer Magnetic domain (Springer, 1998) en témoigne au moyen de trè nombreux exemple. ) Longueur caractéritique En comparant le terme d énergie de (7) deux longueur apparaient. = A/ K (8) et la longueur aociée à la paroi de Bloch; elle correpond à la compétition entre échange et aniotropie. Sa valeur dépend grandement de celle de la contante d aniotropie K. Λ = A /( µ M ) (9) 0 et la longueur d échange. Pour le métaux magnétique uuel elle vaut environ 5 nm. Le rapport entre ce deux longueur et directement relié au facteur de qualité Q Q = K /( µ 0 M ) = ( Λ / ). (10) Le matériaux dit dur, dominé par l aniotropie, ont Q >1, alor que le matériaux doux (Q<<1) le ont par le terme démagnétiant. Ce ont le plu courant. Noton que pour une aimantation uniforme dan un film à axe facile perpendiculaire on aura une direction perpendiculaire i Q>1 et dan le plan du film i Q<1. x y y z z x Structure en domaine IV.1 - André Thiaville

3 Ecole Franco-Roumaine : Magnétime de ytème nanocopique et tructure hybride - Braov, 003 3) quelque type de paroi a) paroi de Bloch On conidère un volume infini à axe facile elon Oz, et une paroi correpondant à une rotation hélicoïdale d axe x (pa de charge). L angle θ entre l aimantation et l axe facile vaut θ = Arctg[ exp( x / ) ], (11) la largeur de la paroi vaut π et on énergie par unité de urface σ vaut σ = 4 AK. (1) b) paroi de Néel On conidère une couche mince et à faible aniotropie, donc à aimantation plane. Le charge de urface pour une paroi de Bloch plu large que l épaieur augmenteraient trop l énergie de paroi. L. Néel (C. R. Acad. Sci. Pari (1955)) a montré qu une rotation en éventail erait plu favorable. Le calcul ne e fait pa analytiquement. Toutefoi une olution approchée a été établie par Riedel et Seeger (phy. tat. ol. b (1971)). Le profil de cette paroi poède un cœur, de taille quelque Λ, au delà duquel une rotation lente (m x ln(x)) e produit. La tructure tend à étaler le charge, et et en fait intable vi à vi d une modulation le long de la paroi (paroi en échelle de perroquet cro-tie ). c) paroi mixte Pour de épaieur bien upérieure à la longueur d échange, et toujour pour une faible aniotropie, on trouve de paroi mixte telle que Bloch aymétrique et Néel aymétrique, qui ont de ection de type Néel en urface et Bloch au cœur. De même, la paroi de Bloch pour un matériau dur mai d épaieur finie poède de zone Néel en urface (twited Bloch wall). De manière générale, il faut attendre à une variation de tructure dan l épaieur de l échantillon dè que celle-ci et bien upérieure à la longueur d échange, et ce pour abaier l énergie démagnétiante. d) vortex (ligne de Bloch) Cet objet et un motif de bae pour comprendre le tructure de matériaux doux, car la rotation en cercle de l aimantation, dan le plan du film, vérifie div m = 0 et m.n=0 (auf au cœur). Là encore pa de olution analytique exacte, auf dan le ca où l épaieur et trè faible (E. Feldtkeller, H. Thoma, Phy. konde. Materie 4 8 (1965)). Le cœur du vortex, où l aimantation devient perpendiculaire, a un rayon de 1.3 Λ, ce qui fait du vortex le plu petit objet du micromagnétime. Pour une épaieur non nulle, le calcul variationel de Hubert (loc. cit.) donne une largeur de urface augmentant peu avec l épaieur D, alor que celle au centre croît linéairement comme 0.18 D. B) Domaine dan le ytème de bae dimenionnalité On ditinguera le ytème ultra-mince (réduction d une dimenion), le nanofil (réduction de dimenion) et le nanoparticule et petit élément (réduction de troi dimenion). D aprè ce qu on vient de voir, il et clair qu en ce qui concerne le tructure magnétique la longueur caractéritique pour parler de bae dimenion et la longueur d échange. Mai ce raionnement oublie d autre effet (tructuraux, électronique) qui e produient en dimenion réduite. Structure en domaine IV.1-3 André Thiaville

4 Ecole Franco-Roumaine : Magnétime de ytème nanocopique et tructure hybride - Braov, 003 1) Couche ultra-mince Une propriété phyique pécifique à ce ytème et due à la préence d un terme de urface dan l aniotropie. L aniotropie effective d une couche d épaieur D vaut aini K = Kv + K / D. Dan de nombreux ca cela induit un axe facile perpendiculaire (voir cour de H. Dreyé et O. Fruchart) et pour D aez petit on obtient Q>1: l aimantation devient perpendiculaire. Il faut alor reconidérer le calcul de la figure 1, car le domaine de fermeture ne peuvent pa exiter comme D<Λ. Le calcul exact de l énergie démagnétiante (Kooy et Enz, Philip Re. Rep (1960)) montre que la taille de domaine e met à remonter pour D<4l, la longueur caractéritique l étant définie par (σ étant l énergie de paroi) l = σ /( µ 0 M ) = Q pour une paroi de Bloch. (13) Le calcul a été repri par Yafet et Gyorgy (Phy. Rev. B (1988)) dan un modèle atomique à un plan, pui par Kaplan et Gehring (J. Magn. Magn. Mater (1993)) dan un modèle continu. Il ont trouvé que la taille d de domaine croiait exponentiellement : d = 0.955D exp( πl / D). (14) De fait, le échantillon ultramince ont un état table monodomaine. Le paroi ont de type Bloch, avec une aniotropie K = Kv + K / D µ /, car la taille de paroi et >>D. Paradoxalement donc, la paroi de Bloch calculée pour une épaieur infinie et trouvée en réalité pour une épaieur D<Λ. ) Nanofil a) fil nanométrique Tant que l aniotropie tranvere au fil n et pa trop forte, l aimantation et axiale pour minimier l énergie démagnétiante. Le paroi ont donc chargée, ce qui dan le film à coercivité modérée et évité par une déformation en zig-zag. Cette dernière et impoible ici car le diamètre du fil et de l ordre de la taille de paroi. Le calcul numérique donnent une paroi tranvere aux petit diamètre (quelque Λ), de profil emblable à (11) (Thiaville et al. J. Magn. Magn. Mater (00)). Au deu apparaît la paroi vortex. Comme le cœur du vortex e retourne dan la paroi, il exite un point ingulier (point de Bloch) dont la decription quantitative en micromagnétime et délicate (A. Thiaville et al., Phy. Rev. B (003)). b) fil atomique Ce fil (épaieur 1 à couche atomique, largeur quelque dizaine d atome) obtenu par croiance en bord de marche ont intéreant pour teter le fluctuation thermodynamique en dimenionnalité réduite (M. Pratzer et al. Phy. Rev. B (003), P. Sen et al. Phyica A (1997)). L aniotropie tranvere extrêmement forte (Q=5) pour le ytème Fe/W(110) permet la comparaion au modèle d Iing. Or i à d il poède une température d ordre T c =.7 J, cette dernière et nulle à 1d. L aimantation et donc métatable, mai en e plaçant à aez bae température on obtient de temp de relaxation aez grand pour faire de meure. Le paroi ont de type Bloch, mai de largeur atomique vu la forte aniotropie. Le micromagnétime n et alor plu trè préci, mai pa au point de e tromper totalement ur le taille et énergie. c) paroi confinée géométriquement P. Bruno (Phy. Rev. Lett (1999)) a calculé l équilibre d une paroi dan une contriction, c et à dire un fil dont la ection S(x) préente un minimum trè marqué. L énergie totale et donc l intégrale de E(x)S(x), et la olution et trè différente de celle pour Structure en domaine IV.1-4 André Thiaville

5 Ecole Franco-Roumaine : Magnétime de ytème nanocopique et tructure hybride - Braov, 003 S contante même dan le ca de la paroi de Bloch. Dan le ca où la ection varie rapidement c et elle qui détermine la taille de la paroi ( et remplacé par la longueur caractéritique de la contriction). Une obervation de cet effet a été réaliée ur Fe/W(110) (O. Pietzch et al. Phy. Rev. Lett (000)). 3) Nanoparticule et petit élément a) nanoparticule Pour ce objet dont la taille et de l ordre de quelque Λ, on ne trouve pa de domaine. Voir le cour d E. Bonet ur leur phyique et la manière de le meurer. Le micromagnétime indique que, pour de forme qui ne ont pa du econd degré, une petite non-uniformité de l aimantation d ordre (D/Λ) exite avec D le diamètre de la particule. Cette déviation et maximale en ca d arête ou de ommet (A. Thiaville et al. phy. tat. ol. a (1998)). b) petit élément De nombreux travaux ont conacré à ce objet ouvent préparé par lithographie d une couche mince. Le taille latérale ont encore bien au deu de Λ (quelque dizaine voire centaine de nm), mai le tructure ont toutefoi aez imple. Il et important de ditinguer la notion d état monodomaine, qui e réfère à l état d énergie minimum, de celle de retournement uniforme (rotation cohérente, comportement macropin) qui met en jeu de ituation de quaitatique ou de dynamique. Dan le premier ca il n et pa néceaire que toute le taille oient de l ordre de Λ (un nanofil infini par exemple). La littérature fourmille de diagramme de phae aini calculé : cube (W. Rave et al. J. Magn. Magn. Mater (1998), R. Hertel et al. J. Magn. Magn. Mater (00)), parallélépipède plat (W. Rave et al. IEEE Tran. Magn (000)), élément plat diver (R. Cowburn J. Phy. D. 33 R1 (000)) etc. Pour la econde quetion par contre la taille joue un rôle clé. L'approche analytique de cette quetion, appelée problème de la nucléation (W.F. Brown, Phy. Rev (1957)), a été menée dan le année 60 pour de ca trè préci où l'état de départ et trictement uniforme. Il 'agit de calculer par quel mode l'intabilité e produira (mode uniforme ou de curling). Pour une phère par exemple, la rotation cohérente et aurée pour D<7.1 Λ (voir le livre de A. Aharoni pour une revue: Introduction to the theory of ferromagnetim, Oxford univerity Pre 1996). Il ne faut donc pa 'attendre à ce que de petit élément lithographié e comportent toujour comme de monodomaine (voir le cour de J. Miltat). Le tructure aez imple qu'il adoptent ont de combinaion de tructure de bae préentée en première partie. Avec ce tructure imple on peut epérer obtenir un comportement ou champ qui oit reproductible et aez inenible aux défaut, ce qui et déirable pour le application. Structure en domaine IV.1-5 André Thiaville