Proposition : Tout sev F est stable par combinaison linéaire, c est-à-dire :

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1 61 Proposition : Tout sev F est stable par combinaison linéaire, c est-à-dire : n, ( x 1,..., x n ) F n, (λ 1,..., λ n ) n, n λ i x i F i=1 Par récurrence sur le nombre de termes dans la combinaison linéaire. Pour n = 2, on prend x 1, x 2 F. Une combinaison linéaire de x 1 et x 2 s écrit avec λ, µ λ x 1 + µ x 2. Cette combinaison linéaire est encore dans F par définition d un sev. Supposons que F soit stable pour toute combinaison linéaire de n vecteurs et soit { x 1,..., x n+1 } une famille de n + 1 vecteurs de F. Soit λ 1,..., λ n+1. Alors n+1 λ i x i = i=1 n λ i x i + λ n+1 x n+1. i=1 Dans le second membre, la première somme est un élément de F d après l hypothèse de récurrence, le second terme également par stabilité par multiplication par un réel, et la somme des deux appartient à F par stabilité par l addition. Proposition : Soit F = ( f i ) i I une famille de vecteurs de E. Il y a égalité entre : 1. L ensemble de toutes les combinaisons linéaires de F. 2. L intersection de tous les sev de E qui contiennent F. 3. Le plus petit sev de E, au sens de l inclusion, qui contient F. C est un sev noté Vect(F) et appelé sous-espace vectoriel engendré par F. Notons F 1 le premier ensemble, F 2 le second et F 3 le troisième. Il est facile de voir que F 2 = F 3. En effet, par définition F 2 F 3 puisque F 3 fait partie des ensembles dont on fait l intersection, mais, puisque l intersection d espaces vectoriels est un espace vectoriel, F 2 est un espace vectoriel qui contient F et donc F 3 F 2 par définition de F 2. Ensuite, il est facile de voir que F 1 est un sev qui contient F et donc F 3 F 1. Mais, F 3 contient F et est un sev donc stable par combinaison linéaire, il contient donc toute combinaison linéaire d éléments de F c est à dire F 1. Proposition : Soit ( f i ) i I une famille de vecteurs de E telle que l un de ses vecteurs f i0 (i 0 I) soit combinaison linéaire des autres : f i0 = 0 µ i f i où J 0 est une partie finie de I \ {i 0 }. Alors, Vect( f i, i I) = Vect( f i, i I \ {i 0 }). L inclusion est claire. Inversement, x Vect(f i, i I) s écrit x = λ i f i

2 62 avec J partie finie de I. Si i 0 J, c est fini, x Vect( f i, i I \ {i 0 }). Si i 0 J, on écrit x = \{i 0} λ i f i + λ i0 f i0 = \{i 0} λ i f i + λ i0 0 µ i f i = i (J J 0)\{i 0} α i f i avec λ i + λ i0 µ i si i J J 0 α i = λ i0 µ i si i J 0 \ J si i (J \ {i 0 }) \ I λ i On conclut bien que x Vect( f i, i I \ {i 0 }). Théorème : Si un espace vectoriel E possède une famille génératrice à n éléments, alors toute famille ayant au moins n + 1 vecteurs est liée et, par conséquent, toute famille libre possède au plus n éléments. Ce théorème affirme qu une famille libre a toujours moins d éléments qu une famille génératrice. On procède par récurrence sur n. Si n = 1, on suppose que E admet pour famille génératrice { g 1 }. Cela signifie que tout vecteur de E s écrit λ g 1 avec λ. Pour g 1 0, E est une droite vectorielle et si g 1 = 0, E = { 0}. Toute famille de deux vecteurs { f 1, f 2 } est telle que f 1 = λ 1 g 1, f 2 = λ 2 g 1. Si l un des λ 1, λ 2 est nul, la famille { f 1, f 2 } contient 0 donc elle est liée. Si λ 1 0 et λ 2 0, on a 1 λ 1 f1 1 λ 2 f2 = 0 et la famille { f 1, f 2 } est liée. On constate donc que toute famille ayant au moins deux éléments est liée. Supposons maintenant que la propriété soit vraie à l ordre n (n ) c est à dire que l on suppose que dans un espace vectoriel E ayant une famille génératrice à n éléments, toute famille de n + 1 éléments au moins est liée. Essayons alors d obtenir ce résultat au rang n+1. On se place donc dans un espace vectoriel E ayant une famille génératrice à n + 1 éléments { g 1,..., g n+1 }. On considère alors une famille à n + 2 éléments { f 1,..., f n+2 } et on va prouver que cette famille est liée. Pour tout k {1,..., n + 2}, on peut écrire f k comme combinaison linéaire de { g 1,..., g n+1 } c est à dire f k = λ k,1 g λ k,n g n + λ k,n+1 g n+1 avec λ k,1,..., λ k,n+1. Notons x k = λ k,1 g λ k,n g n et µ k = λ k,n+1 de sorte que f k = x k + µ k g n+1 et on remarque que x k Vect( g 1,..., g n ). Si µ 1 =... = µ n+2 = 0, cela signifie que f 1,..., f n+2 sont n + 2 vecteurs dans l espace vectoriel Vect( g 1,..., g n ) qui admet une famille génératrice à n éléments. En appliquant l hypothèse de récurrence, on en déduit que la famille { f 1,..., f n+2 } est liée. Supposons maintenant que les µ 1,..., µ n+2 ne sont pas tous nuls. Par exemple, on supposera que µ 1 0. Alors

3 63 f 1 = x 1 + µ 1 g n+1 d où g n+1 = 1 µ 1 ( f 1 x 1 ) et par ailleurs, pour k {2,..., n + 2}, d où et donc Ainsi, la famille f k = x k + µ k g n+1 f k = x k + µ k µ 1 ( f 1 x 1 ) f k µ k µ 1 f 1 = x k µ k µ 1 x 1 Vect( g 1,..., g n ). { f k µ } k µ f 1, k {2,..., n + 2} 1 est une famille de n + 1 vecteurs dans Vect( g 1,..., g n ) qui admet une famille génératrice de n vecteurs, donc elle est liée par hypothèse de récurrence. Ainsi, il existe des réel α 2,..., α n+2 non tous nuls tels que n+2 ( 0 = α k f k µ ) ( ) k µ f n+2 α k µ k 1 = 1 µ f n α k f k. 1 k=2 Cette dernière écriture prouve que la famille { f 1,..., f n+2 } est liée et cela achève la preuve par récurrence. k=2 k=2 Proposition : 1. Une base est une famille libre maximale, c est à dire qu aucune sur-famille stricte n est libre. 2. Une base est une famille génératrice minimale c est à dire qu aucune sous-famille stricte n est génératrice. Démonstration de 1 : Considérons une famille libre ( f i ) i I qui est maximale. Cela implique que, pour tout vecteur x, la famille { f i, i I} { x} est liée. Donc, on peut écrire λ i f i + ˆλ x = 0 avec J finie et les coefficients λ i et ˆλ non tous nuls. Alors, ˆλ 0 car sinon cela contredit la liberté de ( f i ) i I. On a donc : x = ( λ ) i ˆλ f i et on a écrit tout vecteur x comme combinaison linéaire des ( f i ) i I, cette famille est donc génératrice et donc une base. Inversement, considérons une base. C est par définition une famille libre. Reste à voir qu elle est maximale. Notons la ( f i ) i I. Rajoutons lui un vecteur y. Comme ( f i ) i I est une base, elle est génératrice et le vecteur y s écrit comme une combinaison linéaire de cette famille : y = j J α j f j avec J finie. On a alors

4 64 α j f j + ( 1) y = 0 j J et donc la sur-famille { f i, i I} { y} est liée. Démonstration de 2 : Considérons tout d abord une base B d un espace vectoriel E. C est bien sûr une famille génératrice et en plus elle est libre. Soit F une sous-famille stricte de B. Supposons que F soit encore une famille génératrice. En plus F est libre car sous-famille d une famille libre. Ainsi F est une base et B est une sur-famille stricte de F. Par 1., B est liée. Contradiction. Réciproquement, soit G une famille génératrice de l espace vectoriel E telle qu aucune sous-famille stricte n est génératrice. On va prouver que c est une base c est à dire qu elle est libre. Supposons que ce n est pas le cas c est à dire qu il existe un entier N, des vecteurs g 1,..., g n G et des réels non tous nuls λ 1,..., λ N tels que : λ 1 g λ N g N = 0. Quitte à changer les indices de ces vecteurs, on peut supposer que λ 1 0 et donc : g 1 = λ 2 λ 1 g 2 λ N λ 1 c est à dire que g 1 est combinaison linéaire de g 2,..., g N et donc de G \ { g 1 }. On sait alors que Vect(G) = Vect(G\{ g 1 }) et donc que G\{ g 1 } est génératrice de E alors que c est une sous-famille stricte de G. Contradiction. g N Théorème (Théorème de la base incomplète) : Soit E un espace vectoriel, L une famille libre et G une famille génératrice. Alors il existe une base B de E telle que L B G L. B s obtient en complétant L avec des vecteurs de G. Nous n allons l effectuer que dans le cas où E est de dimension finie n. On considère les familles libres contenant L et incluses dans L G. Parmi celles ci, on en choisit une de cardinal maximal. On la note B et on note F = Vect(B). Si F E, on peut trouver g G qui n appartient pas à F. Mais alors, B { g} est encore une famille libre contenant L et incluse dans L G. En plus elle contient strictement B, ce qui contredit la maximalité de B. Proposition : Soit E un espace vectoriel, F et G deux sev de E de dimension finie, alors F G dim F = dim G } F = G Soit F une base de F. Alors c est une famille libre de G par l inclusion. Or, elle a le même nombre d éléments que la dimension de G puisque dim F = dim G, c est donc une base de G et G = Vect(F) = F.

5 65 Proposition : Soit ( f i ) i I une famille de vecteurs d un espace vectoriel E. Cette famille est une base de E si et seulement si pour tout x E, il existe une unique famille de réels (λ i ) i I tous nuls sauf un nombre fini tels que x = i I λ i 0 λ i f i. L existence est une conséquence du fait qu une base est une famille génératrice. Pour l unicité, supposons que nous ayons deux familles (λ i ) i I et (µ i ) i I de réels satisfaisant aux conditions de la proposition. Posons Il faut remarquer que J est fini et que nous avons J = {i I, λ i 0 ou µ i 0}. x = λ i f i = µ i f i. Cela implique que (λ i µ i ) f i = 0 et donc, la famille étant libre, que i J, λ i = µ i. Pour i J, λ i = 0 = µ i. Proposition : F 1 + F 2 est un sev de E et même F 1 + F 2 = Vect(F 1 F 2 ). F 1 + F 2 est non vide, 0 = F 1 + F 2. Prenons deux éléments x et y dans F 1 + F 2. Alors x s écrit x = x 1 + x 2 avec x 1 F 1 et x 2 F 2. De même, y = y 1 + y 2 avec y 1 F 1 et y 2 F 2. Considérons une combinaison linéaire de x et y : soit α, β, α x + β y = α ( x 1 + x 2 ) + β ( y 1 + y 2 ) = (α x 1 + β y 1 ) + (α x 2 + β y 2 ) }{{}}{{} F 1 F 2 F 1 + F 2. Donc F 1 + F 2 est bien un sev de E. Il contient F 1 car il contient tout x 1 = x De même, il contient F 2, donc il contient F 1 F 2 et F 1 + F 2 Vect(F 1 F 2 ). Mais, par ailleurs, la définition de F 1 + F 2 montre que F 1 + F 2 Vect(F 1 F 2 ). Proposition : F 1 + F 2 est directe F 1 F 2 = { 0} (1) x F 1 + F 2,!( x 1, x 2 ) F 1 F 2, x = x 1 + x 2 (2) x 1 + x 2 = 0 x 1 F 1 x 1 = x 2 = 0 (3) x 2 F 2

6 66 La première équivalence est la définition de la somme directe. (1) (2). Supposons que (1) est vrai et que x F 1 + F 2 s écrit avec x 1, y 1 F 1 et x 2, y 2 F 2. Alors x = x 1 + x 2 = y 1 + y 2 donc est le vecteur nul. Ainsi x 1 = y 1 et x 2 = y 2. x 1 y 1 = y 2 x 2 F 1 F 2 (2) (3) trivial en regardant la décomposition = 0. (3) (1) Si x F 1 F 2, alors d où, par (3), x = x = 0. 0 = }{{} x + ( x) }{{} F 1 F 2 Théorème : Dans l espace vectoriel E, tout sev F admet un supplémentaire c est à dire qu il existe un sev G tel que E = F G. On sait que F admet une base F qui est une famille libre de E. Par le théorème de la base incomplète, il existe une famille G telle que F G est une base de E. Alors G = Vect(G) est un supplémenatire de F. En effet, F + G = Vect(F) + Vect(G) Vect(F G) = E donc F + G = E. De plus, si x = F G, on a : x = i I λ i f i = j J µ j g j avec I, J finies et { f i, i I} F, { g j, j J} G, ce qui s écrit i I ( λ i ) f i + j J µ j g j = 0. Comme F G est libre, cela implique que tous les λ i et tous les µ j sont nuls et donc x = 0. Ainsi F G = { 0}. Théorème : Soit E un espace vectoriel de dimension finie, F et G deux sev de E. Alors dim (F + G) = dim F + dim G dim (F G). Par conséquent : F + G directe dim (F + G) = dim F + dim G. La proposition précédente montre déjà que si F + G est directe, dim (F G) = dim F + dim G.

7 67 Dans le cas général, considérons un supplémentaire F 1 de F G dans F et un supplémentaire G 1 de F G dans G : Alors, F = (F G) F 1 G = (F G) G 1 F + G = ( ) (F G) + F 1 + G1. }{{} F 1 De plus, si x F G 1, on a x (F G) G 1 et donc x = 0. On peut donc écrire d où Mais Au total, F + G = ( (F G) F 1 ) G1 dim (F + G) = dim G 1 + dim F 1 + dim (F G). dim F = dim (F G) + dim F 1 dim G = dim (F G) + dim G 1. dim (F + G) = dim F + dim G dim (F G)