u1 + + λ k alors λ 1 = = λ k = 0.

Transcription

1 Définition Une partie A V est libre si la seule combinaison linéaire qui donne 0 est la combinaison linéaire triviale (i.e. tous les coefficients sont nuls), c est-à-dire que quels que soient les vecteurs u 1,..., u k de A, si λ 1 u1 + + λ k uk = 0 alors λ 1 = = λ k = 0. Exemple La partie A = {(0, 1), (1, 1)} est une partie libre de R 2 car si λ(0, 1) + µ(1, 1) = (0, 0), alors (µ, λ + µ) = (0, 0), et donc µ = λ + µ = 0, ce qui n est possible que si µ = λ = 0. 1/13

2 Résultat Une partie A est libre si et seulement si aucun de ses éléments n est combili des autres éléments de A. Démonstration. Supposons que A soit libre et supposons par l absurde qu il existe un élément de A qui soit combili des autres, c est-à-dire il existe v 0,..., v k des vecteurs de A tels que k v0 = λ i vi pour certains scalaires λ 1,..., λ k, alors la combinaison linéaire suivante est nulle k v0 λ i vi = 0 i=1 i=1 mais n est pas triviale puisque le coefficient de v 0 est 1, une contradiction avec l hypothèse que A est libre. 2/13

3 Démonstration -. Démontrons la contraposée : A pas libre implique qu il existe un élément de A combili d autres éléments de A. Si A n est pas libre, c est qu il existe une combinaison linéaire non-triviale qui est égale au vecteur nul 0, c est-à-dire il existe des vecteurs v1,..., v k de A et des scalaires λ 1,..., λ k tels que λ 1v1 + + λ k vk = 0 avec au moins l un des coefficients λ i qui soit non-nul. Supposons que ce soit λ 1 0. Dans ce cas, on peut «isoler» v 1 : v1 = λ 2 v2 λ k vk λ 1 λ 1 ce qui montre qu alors, l un des éléments de A est combinaison linéaire des autres éléments de A (le raisonnement est identique si ça avait été λ 2 ou λ 3 ou un autre λ i...) 3/13

4 Définition Un ensemble de vecteurs formant une partie libre sont appelés linéairement indépendants. Si la partie formée n est pas libre, la partie est dite liée, les vecteurs sont appelés linéairement dépendants. Des vecteurs linéairement indépendants sont donc des vecteurs qui ne peuvent pas s écrire comme combinaison linéaire des autres. Résultat Soit V un espace vectoriel et A un sous-ensemble de V. Si A est liée, tout ensemble de vecteurs contenant A est lié. Si A est libre, tout ensemble de vecteurs contenu dans A est libre. Si A est libre et x A, alors x s écrit de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de A. Si A est libre, et x V, alors A { x } est encore libre si et seulement si x / A. 4/13

5 Remarque (Signification de «unicité») Si on a deux combinaisons linéaires égales, alors les coefficients correspondant à un vecteur donné sont les mêmes. Exemple Considérons, dans R 3, l ensemble { λ v + µ w t.q. µ, λ R }, pour certains v, w non nuls. Dire que la partie { v, w } est libre, est équivalent à dire que w n est pas un multiple de v. Si on considère { v, w, u }, cette partie sera libre si et seulement si u n est pas combinaison linéaire de v et w c est-à-dire u n est pas dans le plan contenant v et w. 5/13

6 Définition Une base est la donnée d un n-uple ( e 1,..., e n ) tel que la partie { e1,..., e n } est à la fois libre et génératrice. Résultat Si B est une base, et si A B C, alors A n est pas génératrice, et C n est pas libre. Démonstration. Partons de B et enlevons un élément (de B). Comme cet élément n était pas combili des autres (caractère libre), la partie obtenue ne peut pas être génératrice. Partons de B et ajoutons un élément (de V \ B). Comme cet élément était combili des autres (car B est génératrice de V), la partie obtenue en ajoutant cet élément ne peut pas être libre. 6/13

7 Théorème Une partie A V est une base si et seulement si chaque élément de V s écrit de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de A. Démonstration. Supposons que A est une base. Alors A est génératrice, donc tout élément de V est dans A ; de plus comme A est libre nous avons l unicité. Supposons maintenant que chaque élément de V s écrive de manière unique comme combili des éléments de A. Comme chaque élément est combili, la partie A est donc génératrice. Supposons qu elle ne soit pas libre. C est-à-dire qu il existe un vecteur x de A qui est combinaison linéaire des autres vecteurs de A. Or x = 1 x est également une combinaison linéaire d éléments de A. Dès lors il y a deux combinaisons linéaires d éléments de A qui donnent x, ce qui contredit l hypothèse. 7/13

8 Exemple Dans R n, on note e i = (0,..., 0, }{{} 1, 0,..., 0). i e position Alors { e1, e 2,..., } e n est une base de R n. En effet, tout élément x R n s écrit x = (x 1, x 2,..., x n ). C est-à-dire n x = x1 (1, 0,..., 0) + + x n (0,..., 0, 1) = x k ek. k=0 8/13

9 Exemple { Dans R 2 f1, l ensemble = (1, 1), f 2 = ( 1, 1)} est une base de R 2. En effet, tout élément (x, y) s écrit a f 1 + b f 2 si et seulement si (a, a) + ( b, b) = (x, y) c est-à-dire { a b = x a + b = y ou encore 2a = x + y 2b = x y c est-à-dire a = x + y b = y x 2 2 Ce qui prouve l existence et l unicité de l écriture sous forme de combili. 9/13

10 Théorème Soit V un espace vectoriel : toute partie libre peut être complétée en une base ; toute partie génératrice contient une base ; deux bases quelconques d un espace vectoriel ont toujours le même nombre d éléments. On ne fera pas la preuve de ce résultat. Définition La dimension de V est le nombre d élément d une quelconque de ses bases. 10/13

11 Exemple R n est de dimension n. Une base est donnée par e 1,..., e n, où ei = (0,..., 0, }{{} 1, 0,..., 0) i e position 11/13

12 Résultat Pour des espaces vectoriels de dimension finie, V et W, si V W et dim V = dim W, alors V = W. Démonstration. Soit B une base de V, et notons n la dimension commune de V et W. Supposons par l absurde V W, et soit w W \ V. Alors w n est pas combinaison linéaire des éléments de B (sinon il serait dans V ), donc B { w } est encore une partie libre de W, avec n + 1 éléments. Ceci contredit le fait que W est de dimension n. 12/13

13 Corollaire Dans un espace V de dimension n, toute partie libre de n éléments est une base, et toute partie génératrice de n éléments est une base. Démonstration. Soit P une partie de n éléments. Si P est une partie libre, elle est une base de l espace vectoriel qu elle engendre, donc P V sont deux espaces de dimension n. Si P est génératrice, elle contient une base par un résultat précédent, or l espace est de dimension n donc la base doit contenir n éléments et être égale à P. 13/13