Chapitre 9. Analyse de variance. Sommaire. 1. Introduction Conditions d application Modèle de l analyse de variance.

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1 Mathématques : Outls our la Bologe Deug SV UCBL D Mouchroud (0/03/003 Chatre 9 Aalse de varace Sommare Itroducto Codtos d alcato Structure des doées 3 Codtos d alcato 4 Idéedace 4 Normalté 4 3 Homoscédastcté 4 4 Robustesse 5 3 Modèle de l aalse de varace 6 3 Modèle sous H 0 : homogéété des doées 6 3 Modèle sous H : hétérogéété des doées 6 33 Equato fodametale de l aalse de varace 7 33 Estmato des aramètres du modèle 7 33 Décomosto de la varato totale Le raort de corrélato 8 4 Pratque de l aalse de varace 9 4 Prce du test 9 4 Alcato et Tableau de varato 0 - -

2 Mathématques : Outls our la Bologe Deug SV UCBL D Mouchroud (0/03/003 Itroducto Das le cadre des tests d hothèses, ous avos éms des hothèses cocat la moee d ue oulato (test de coformté us comaré les moees de deux oulatos (test d homogéété Ce chatre a trat à la comaraso des moees de luseurs oulatos (> L aalse de varace eut être vue comme ue comaraso multle de moees Das tous les cas, la varable étudée est u caractère quattatf de te cotu qu sut ue lo ormale Il exste dfféretes tes d aalse de varace qu se dstguet ar le ombre de facteurs étudés (u facteur, deux facteurs, deux facteurs avec rééttos, etc, la ature du facteur (caractère qualtatf ou quattatf et la ature des modaltés assocées au facteur (modèle fxe, modèle aléatore, modèle mxte Nous e tratos que le cas de l aalse de varace à u facteur cotrôlé (modèle fxe et cec our deux tes de doées Das ce cas les coclusos e s alquet qu aux modaltés étudées Les dfféretes modaltés du facteur corresodet aux dfféretes modaltés d u caractère qualtatf Ces modaltés sot détmées ar l exérmetateur Exemle : O étude l effet de dfféretes tes d almetato (Palle, Fo, Hbe, Almet eslé sur le redemet des vaches latères Les modaltés du facteur corresodet à dfféretes valeurs rses ar ue varable aléatore dot les valeurs sot fxées ar l exérmetateur L aalse de varace à u facteur eut égalemet mettre d étud la relato, as forcémet léare, etre deux varables quattatves C est le test de léarté Exemle : O étude l effet de dfféretes doses d egras (0, 30, 40, 50 sur le redemet du blé Pour chaque dose d egras exérmetée, le redemet est étudé sur u échatllo de arcelles doé Codtos d alcato L aalse de varace à u facteur cotrôlé ou ANOVA a our objectf de test l effet d u facteur A sur ue varable aléatore cotue Cec revet à comar les moees de luseurs oulatos ormales et de même varace à artr d échatllos aléatores et déedats les us des autres Chaque échatllo est soums ou corresod à ue modalté du facteur A Le tme ANOVA dque que la comaraso multle de moees corresod e fate à la comaraso de deux varaces - -

3 Mathématques : Outls our la Bologe Deug SV UCBL D Mouchroud (0/03/003 Structure des doées Les doées relatves à ue aalse de varace à u facteur cotrôlé sot structurées das u tableau du te suvat : Facteur A modalté modalté modalté j j j Notato : Le facteur cotrôlé A résete modaltés ( O arle auss de veaux ou tratemets Le ombre de rééttos j our ue modalté est oté Le ombre de rééttos our chaque modalté du facteur est as forcémet le même La valeur rse ar la varable aléatore Y our la modalté du facteur et la réétto j est otée j et les valeurs moees our chaque modalté otée Exemle : Itatoal Natoal Régoal "Récréatoal" 4,8 45,6 33,4 3, 6,7 4, 34,6 35,7 7,5 34,3 36,4 37,3 30,6 37,6 39, 39,4 3,4 39,5 43,8 40,4 38, 47,9 44,5 40,5 49,9 45,4 4,9 5, 49,8 50, U test schologque a été assé ar 30 sortfs évoluat à des veaux de cométto dfférets : tatoal, atoal, régoal et «récréatoal» Ue des mesures réalsées orte sur l axété des sortfs au momet de la cométto Celle-c dffère-t-elle e focto du veau de cométto? Réose - 3 -

4 Mathématques : Outls our la Bologe Deug SV UCBL D Mouchroud (0/03/003 Codtos d alcato de l aalse Les hothèses relatves au modèle d aalse de varaces sot ombreuses L aalse des résdus e j, ( j - est artculèremet utle our réodre aux hothèses de ormalté et d homoscédastcté Mas das le cadre d u modèle à effet fxe, l est équvalet de test ces hothèses sur la varable j Idéedace L déedace etre les dfféretes valeurs de la varable mesurée j est ue codto essetelle à la réalsato de l aalse de varace Les échatllos comarés sot déedats L esemble des N dvdus est réart au hasard (radomsato etre les modaltés du facteur cotrôlé A, dvdus recevat le tratemet Normalté La varable quattatve étudée sut ue lo ormale das les oulatos comarées La varable aléatore étudée Y dot j est ue rerésetato, sut ue lo ormale N(µ,σ sous H La ormalté de la varable ourra être testée à l ade d u test de Kh-deux d ajustemet s les effectfs sot suffsammet mortats So le test o aramétrque de Lllefors met de test l ajustemet à lo ormale lorsque les effectfs sot fables O eut e fat se lmt à vérf s la dstrbuto des valeurs e j ou j est umodale Remarque : S la ormalté de la varable est as vérfée, sot o eut trasform cette dère, sot avor recours à l équvalet o aramétrque de l ANOVA, le test de Kruskall-Walls 3 Homoscédastcté Les oulatos comarées ot même varace Le facteur A agt seulemet sur la moee de la varable Y et e chage as sa varace - 4 -

5 Mathématques : Outls our la Bologe Deug SV UCBL D Mouchroud (0/03/003 Dfférets tests mettet de vérf l égalté des varaces relatves aux oulatos comarées H 0 : σ = σ = = σ = = σ = σ Le test de Lévèe est le test le lus satsfasat our effectu la comaraso multle de varaces mas sa réalsato est assez logue car l corresod à ue ANOVA sur les résdus e j Le test de Bartlett est dédé à la comaraso multle de varaces avec u ombre de rééttos dfféret selo les modaltés du facteur Mas ce test est très sesble à l hothèse de ormalté des oulatos (eu robuste Le test de Hartle est dédé à la comaraso multle de varaces avec u ombre de rééttos detques selo les modaltés du facteur Mas ce test est très sesble à l hothèse de ormalté des oulatos (eu robuste Remarque : S l hétérogéété etre varaces est très mortates, o eut avor recours aux statstques o aramétrques, test de Kruskal-Walls Exemle : Das le cadre de l exemle des sortfs, les codtos d alcato de l aalse de varace sot-elles vérfées? Réose 4 Robustesse De ombreux travaux ot étudé la robustesse de l ANOVA vs à vs des écarts aux hothèses fates Hothèses Test Robustesse Normalté de Y Test du χ d ajustemet Très robuste s déedace et égalté des varaces Homoscédastcté des dstrbutos Idéedace des dstrbutos Test de Levèe ou de Bartlett Pla exérmetal Très robuste à l égalté des varaces Pas robuste Remarque : L aalse de varace à u facteur cotrôlé est relatvemet eu sesble à l égalté des varaces as qu à la o ormalté lorsque les échatllos comarés sot de grades talles - 5 -

6 Mathématques : Outls our la Bologe Deug SV UCBL D Mouchroud (0/03/003 3 Modèle de l aalse de varace 3 Modèle sous H 0 : homogéété des doées L aalse de varace à u facteur teste l effet d u facteur cotrôlé A aat modaltés sur les moees d ue varable quattatve Y L hothèse ulle testée est la suvate : l a as d effet du facteur A et les moees sot égales à ue même moee µ H 0 : µ = µ = = µ = = µ = µ alors j = µ + e j sous H 0 avec e j varables aléatores déedates suvat ue même lo ormale N(0, σ Les résdus e j corresodet aux fluctuatos exérmetales our chaque valeur de la varable j mesurée Sous l hothèse e j N(0, σ, o motre que j N(µ, σ E( j = E(µ+e j = E(µ + E(e j = µ + E(e j = µ usque E(e j = 0 V( j = V(µ+e j = V(µ + V(e j = 0 + σ = σ usque V(e j = σ 3 Modèle sous H : hétérogéété des doées L hothèse altatve est la suvate : l a u effet du facteur A et l exste au mos deux moees sgfcatvemet dfféretes H : µ µ j alors j = µ + a + e j sous H avec e j : varables aléatores déedates suvat ue même lo ormale N(0, σ a : l effet de la modalté du facteur A sur la varable Y Sous l hothèse e j N(0, σ, o motre que j N(µ + a, σ E( j = E(µ + a +e j = E(µ + E(a + E(e j = µ + a + E(e j = µ + a usque E(e j = 0 V( j = V(µ + a +e j = V(µ + V(a + V(e j = σ = σ usque V(e j = σ As l exste ue dfférece etre les moees de la varable selo les modaltés du facteur cotrolé Remarque : Test l hothèse ulle «absece d effet sur facteur A» revet à test H 0 : les a sot tous uls - 6 -

7 Mathématques : Outls our la Bologe Deug SV UCBL D Mouchroud (0/03/ Equato fodametale de l aalse de varace 33 Estmato des aramètres des modèles Sous H 0 : j = µ + e j ˆµ = otée auss = j avec N = N = j = = L esemble des doées du tableau euvet être estmées à artr de la moee totale des j à laquelle s ajoute la art d aléatore das les mesures, e j Sous H : j = µ + a + e j ˆ aˆ µ + = otée auss d où aˆ = et eˆ ˆ ˆ j = j µ a = j + = j as eˆj = j j = = moee des j our la modalté j 33 Décomosto de la varato totale Sot le modèle sous H : j = µ + a + e j = + + avec les estmateurs j ( ( j ( j = ( + ( j avec les écarts au carré ( ( j = + ( j + ( ( j avec les sommes our tous les dvdus j or ( ( j = 0 j= car ( j j= ( ( ( ( j = + j + ( j j= j= j= = 0 sachat que E(e j = 0 s les hothèses tales sot vérfées avec la somme our les modaltés du facteur cotrolé ( j = ( + ( j = j= = = j= L équato fodametale de l aalse de varace ( j = ( + ( j = j= = = j= SCE totale SCE t SCE tra - 7 -

8 Mathématques : Outls our la Bologe Deug SV UCBL D Mouchroud (0/03/003 Notato : SCE totale = somme des écarts totaux ou varato totale = N s SCE t = somme des écarts lés aux effets du facteur A ou varato t (etre modaltés SCE tra = somme des écarts résduelles ou varato tra (te à chaque modalté Exemle : Dstrbuto des valeurs de la varable «axété des sortfs» j e focto des veaux de cométto our 30 sortfs : moee our chaque modalté du facteur e vt, : moee de l esemble des doées a : effet de la modalté sur la varable j 333 Le raort de corrélato Le raort de corrélato doe la art de la varablté totale des doées exlquée ar l effet du facteur A : η SCEt = SCE totale C est u dce de laso, as écessaremet léare etre les varables étudées qu vare etre 0 et Il mesure la qualté de l ajustemet des effets du facteur au travs des moees - 8 -

9 Mathématques : Outls our la Bologe Deug SV UCBL D Mouchroud (0/03/003 4 Pratque de l aalse de varace L aalse de varace à u facteur teste l effet d u facteur cotrôlé A aat modaltés sur les moees d ue varable quattatve Y L hothèse ulle testée est la suvate H 0 : µ = µ = = µ I = = µ = µ cotre H : µ µ j Le test de comaraso multle de moee revet à fare u test de comaraso de deux varace 4 Prce du test Sot l équato de décomosto de la varato totale : ( j = ( + ( j = j= = = j= SCE totale SCE t SCE tra Les estmatos des varaces assocées ou carré moe sot : Varace totale : Varace due au facteur A (CM t : Varace résduelle (CM tra : SCE totale N SCEt SCEt ra avec N = = estmateur de σ s H 0 vrae estmateur de σ quelque sot le modèle Remarque : L équato fodametale de l aalse de varace e s alque as aux varaces : Varace totale Varace t + Varace tra Sous H 0 : µ = µ = = µ = = µ = µ avec a = 0 SCEt SCEt ra et estmateur du même aramètre σ SCEt SCEt ra d où SCEt et doc le raort est roche de SCE t ra Sous H : µ µ j avec au mos u a 0 d où SCE t ra SCEt uque estmateur de σ SCEt ra avec SCE t >> SCE t ra - 9 -

10 Mathématques : Outls our la Bologe Deug SV UCBL D Mouchroud (0/03/003 et doc le raort SCEt SCE t ra est très suéreur à Sous H 0 : l a as d effet du facteur A sur la varable Y µ = µ = = µ = = µ = µ cotre H : le facteur A exce u effet e moee sur la varable Y µ µ j SCEt CM t Fobs = = sut ue lo de Fsh-Sedecor CM SCE t ra t ra F obs comarée à F seul lue das la table de la lo de Fsh-Sedecor our u rsque d reur α fxé et (-, N - degrés de lbté s F obs > F seul l hothèse H 0 est rejetée au rsque d reur α : le facteur cotrolé A a u effet sgfcatf e moee sur les valeurs de la varable étudée s F obs F seul l hothèse H 0 est accetée: le facteur cotrolé A a as d effet sgfcatf e moee sur les valeurs de la varable étudée Remarque : Le rejet de l égalté des moees e met as de savor quelles sot les moees sgfcatvemet dfféretes Pour cela, la méthode des cotrastes ou méthode de Scheffé assocée à l aalse de varace met de réodre à cette questo 4 Alcato et Tableau de varato Le tableau de varato doe u résumé des calculs effectués our l aalse de varace Sources de varato Degrés de lbté Somme des Carrés des Ecarts Totale N - SCE TOT Carré Moe Facteur - SCE t CM t = SCE t / (- Test de Fsh-Sédécor F obs CM = CM t t ra Résduelle N - SCE tra CM tra = SCE tra / (N- Pour effectu les calculs, des formules déveloées euvet être utlsées SCE TOT = ( j = j avec = j= = j= SCE t = ( T T N = avec = = N T T = j et N = = j= T = j= j = - 0 -

11 Mathématques : Outls our la Bologe Deug SV UCBL D Mouchroud (0/03/003 SCE tra = ( j = j ou SCE tra = SCE TOT - SCE t = j= = j= = T Exemle : L axété des sortfs au momet de la cométto dffère-t-elle e focto du veau de cométto? (Tableau de varato - -