Probabilités. Chapitre 2. Objectifs du chapitre. 2.1 Probabilité, modèle probabiliste Modèle probabiliste : idée intuitive

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1 Chapitre 2 Probabilités Objectifs du chapitre 1 Itroduire la otio de modèle probabiliste 2 Faire le parallèle etre le lagage esembliste et le lagage probabiliste 3 Propriétés élémetaires des probabilités Formule de Poicaré 4 Probabilité coditioelle, formule des probabiliés totales, formule de Bayes 5 Idépedace de deux évéemets 6 Lemmes de Borel-Catelli 21 Probabilité, modèle probabiliste 211 Modèle probabiliste : idée ituitive Das de ombreuses situatios de la vie courate o e peut prédire avec certitude le résultat d ue expériece à cause de fluctuatios aléatoires que l o e maîtrise pas Pesos par exemple aux jets de dés, au tirage du Loto, aux tirages de boules das des ures Afi de palier à cela o associe à la situatio u modèle probabiliste L étude du modèle permet alors de faire des prédictios que l o cofrote par exemple à des simulatios umériques ou ecore à des expérieces Ituitivemet, u modèle probabiliste se compose de l esemble des évetualités ou résultats possibles de l expériece aléatoire cosidérée Cet esemble usuellemet oté Ω est souvet appelé uivers Par exemple pour l expériece aléatoire o lace ue pièce deux fois, le résultat d ue expériece sera (P, P), ou (P,F) ou (F,P) ou (F,F) L uivers cosidéré est doc Ω = {(P,P),(P,F),(F,P),(F,F)} u esemble A de parties de Ω que l o appellera esemble des évéemets U évéemet est u fait attaché à l expériece aléatoire et susceptible ou o de se produire Das le cas précédet o peut par exemple cosidérer l évéemet A : lacé 1 différet de lacé 2, qui correspod à la partie A = {(P,F),(F,P)} de Ω Si ω est ue évetualité o dit que l évéemet A est réalisé à travers l évetualité ω si et seulemet si ω appatiet à A 1

2 Si o obtiet (P,P) l évéemet A e s est pas réalisé Si o o obtiet (P,F) l évéemet A s est réalisé Pour que le modèle soit cohéret avec l ituitio, l esemble des évéemets A cotiet Ω ( quelque chose va se produire qui sera de probabilité 1) et l esemble vide ( rie e va se produire qui sera de probabilité 0) et il doit être stable par les opératios esemblistes usuelles : réuio (déombrable), itersectio (déombrable) et passage au complémetaire ue foctio de probabilité P qui associe à chaque évéemet u ombre réel compris etre 0 et 1 afi de quatifier la chace qu u tel évéemet se produise Pour costruire cette foctio o fait l hypothèse fodametale : L expériece peut être répétée u grad ombre de fois et les répétitios sot idépedates les ues des autres Ituitivemet, o peut alors associer ue probabilité à u évéemet A de la maière suivate b(a, ) P(A) = lim où b(a,) est le ombre de fois où l évéemet A se produit au cours de tetatives La loi des grads ombres permettra de doer ue justificatio et u ses précis à cette limite Cette foctio P a aturellemet les deux propriétés fodametales suivates : 1 P(Ω) = 1 car pour tout, b(ω, ) = 2 Si o cosidère deux évéemets icompatibles A et B, c est à dire A B = /0, alors P(A B) = P(A) + P(B) E effet, P(A B) = lim b(a B,) = lim b(a,) + b(b,) (par icompatibilité) = lim b(a,) = P(A) + P(B) + lim b(b,) De ombreuses coséqueces découlet immédiatemet de cette formule : (a) P(/0) = 0, (b) P(A) + P(Ω \ A) = 1, (c) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), (d) P(A) P(B) si A B (e) Si l esemble Ω est fii alors la probabilité P est coue dès que l o coaît les probabilités des évéemets élémetaires {ω} pour tout ω Ω E effet grâce à la formule précédete o peut poser P(A) = P({ω}) ω A 2

3 212 Défiitio Défiitio 211 (Modèle probabiliste, Kolmogorov 1 (1933)) U modèle probabiliste ou espace probablisé est la doée d u triplet (Ω,A,P) où 1 Ω est u esemble 2 A est u esemble de parties de Ω vérifiat les propriétés suivates : (a) Ω A (b) A A,Ω \ A A (c) La réuio de toute famille fiie ou déombrable d élémets de A appartiet à A Les élémets de A sot appelés évéemets Le couple (Ω,A) est appelé espace probabilisable (d) Soit ω ue évetualité U évéemet A est alors dit réalisé si ω appartiet à A et e l est pas si ω appartiet pas à A 3 P est ue foctio P : A [0, 1] vérifiat (a) P(Ω) = 1 (b) A,B A, A B = /0 P(A B) = P(A) + P(B) (c) Lorsque Ω est ifii, pour toute famille déombrable (A i ) i I d évéemets disjoits deux à deux, o a P ( i I ) A i = P(A i ) [0,1] i I Usuellemet, Ω est appellé uivers ou esemble des évetualités ou esemble des résultats A est l esemble des évéemets O dit que A est ue tribu P est appellé mesure de probabilité O a alors ue correspodace etre le lagage ordiaire et le lagage esembliste : u résultat possible = ue évetualité ω Ω u évéemet A A Ω l évéemet A est réalisé via ω ω A l évéemet A est pas réalisé via ω ω / A c est à dire ω Ω \ A les évéemets A et B sot réalisés via ω ω A B l évéemet A ou l évéemet B est réalisé ω A B les évéemets A et B sot icompatibles A B = /0 la réalisatio de A etraîe celle de B A B l u au mois des évéemets A i est réalisé ω i A i aucu des évéemets A i est réalisé ω Ω \ i A i = i (Ω \ A i ) tous les évéemets A i sot réalisés via ω ω i A i A est u évéemet quasi-impossible P(A)=0 Ω est toujours réalisé P(Ω) = 1 /0 est jamais réalisé P(/0) = 0 Remarque 212 Soit A u évéemet, si P(A) = 1 cela implique pas que A = Ω mais seulemet que P(Ω \ A) = 0 1 Kolmogorov, mathématicie russe, ( ) 3

4 Il y a trois situatios à cosidérer : Ω est fii, Ω est ifii mais déombrable et Ω est ifii o déombrable 213 Modèle probabiliste : Ω est fii Das ce cas là, o cosidère (e règle géérale) toute partie de Ω comme évéemet autremet dit A = P (Ω) O vérifie immédiatemet que l esemble des parties de Ω est ue tribu et o défiit la probabilité P par P : A [0, 1] A P(A) = ω A p(ω) où p est ue foctio de Ω das [0,1] vérifiat ω Ω p(ω) = 1 O vérifie immédiatemet que la foctio P vérifie les axiomes d ue probabilité Si l o est das ue situatio où toutes les évetualités semblet avoir la même probabilité, par exemple lorsque l o jette u dé o pipé, ou lorsque l o lace ue pièce bie équilibrée, o choisit alors la foctio p costate et écessairemet égale à 1 Card Ω E ce cas P(A) = Card A Card Ω que l o résume usuellemet par l expressio ombre de cas favorables divisé par le ombre de cas possibles Exemple 213 (Problème des aiversaires) Soit idividus pris au hasard, e supposat que l aée a 365 jours, quelle est la probabilité que l o e trouve au mois deux ayat leur aiversaire le même jour? O suppose que l aée a 365 jours O pred comme évetualité toutes les dates de aissace possibles des idividus Par coséquet Ω = {(a 1,,a ) i {1,,}, a i {1,,365}} Comme décrit ci-dessus o cosidère A = P (Ω) Il est aturel de cosidérer que toutes les évetualités sot équiprobables, o cosidère doc la probabilité du modèle où p est la foctio de Ω das [0,1] défiie par P : A [0, 1] A P(A) = ω A p(ω) p(ω) = 1 Card Ω = Le problème posé cosiste doc à mesurer la probabilité de l évéemet Il est plus aisé de cosidérer l évéemet cotraire A = {(a 1,,a ) Ω i, j {1,,},i j et a i = a j } Ω \ A = {(a 1,,a ) Ω i, j {1,,},i j a i a j } ous avos doc O coclut doc que Card (Ω \ A) = ( ) P(A) = 1 P(Ω \ A) = ( ) 365! 365 = 1 (365 )!365 Par exemple sur ue classe de 30 élèves la probabilité que deux élèves soiet és le même jour est de 07 Si o l o cosidère u effectif de 60 persoes la probabilité est de 099! 4

5 214 Modèle probabiliste : Ω est ifii mais déombrable Là ecore o pred e gééral A = P (Ω) et o l o souhaite défiir la probabilité P par P : A [0, 1] A P(A) = ω A p(ω) où p est ue foctio de Ω das [0,1] vérifiat ω Ω p(ω) = 1 O vérifie immédiatemet que la foctio P vérifie les axiomes d ue probabilité Attetio, les sommatios ci-dessus sot ifiies! E particulier o e peut plus predre la foctio p costate pour redre compte de l équiprobabilité, sio la série ci-dessus est divergete! De plus la questio de savoir commet l o somme se pose Pour cela o procède comme suit L uivers Ω est déombrable, il existe doc ue bijectio de sur Ω, ω O peut doc défiir P(A) = =0 p(ω ) Cette série est à termes positifs Elle est doc commutativemet covergete Le résultat e déped doc pas de l idexatio des élémets de Ω Et l o peut oter abusivemet P(A) = ω A p(ω) Exemple 214 Quelle est la probabilité qu e laçat u dé jusqu à l apparitio d u 6 o obtiee jamais de 1? ( ) O cosidère le modèle suivat Les évetualités sot des suites fiies de la forme (a 1,,a ) avec a = 6 et pour tout i compris etre 1 et 1, a i est différet de 6, c est doc u ombre compris etre 1 et 5 L esemble Ω est l esemble de telles suites Cet esemble est ifii mais déombrable, par exemple comme réuio déombrable d esembles déombrables O cosidère toute partie de Ω comme évéemet, autremet dit A = P (Ω) O défiit la probabilité P comme suit : P : A [0, 1] A P(A) = ω A p(ω) où p est ue foctio de Ω das [0,1] défiie par P(a 1,,a ) = 1 6 Il est aturel de predre ue telle défiitio car la situatio est équiprobable éamois, il faut vérifier la coditio ω Ω p(ω) = 1 E effet, pour fixé, il y a 5 1 élémets (a 1,,a 1,6) Par coséquet : ω Ω p(ω) = + = = Pour justifier totalemet l égalité qui précède otos que la famille p(ω) est ue famille déombrable à termes positifs Das ce cas si pour u certai ordre des termes la série iduite est covergete, alors quelque soit l ordre des termes choisi la série iduite restera covergete avec la même limite et de plus o peut effectuer des sommatios par paquets O dit que la famille est sommable et commutativemet covergete Aisi la covergece de la série + = etraîe l égalité Le problème que l o cosidère correspod à la mesure de l évéemet = 1 A = {(a 1,,a ),a = 6, et i {1,, 1}, a i {2,3,4,5}} La probabilité de A est doc P(A) = ω Ω p(ω) = =1 6 = = 1 2 5

6 215 Modèle probabiliste : Ω est ifii mais o déombrable Les mesures discrètes O cosidère A = P (Ω) et des probabilités dites discrètes défiies de la maière suivate O cosidère ue famille déombrable d évetualités (ω ) et ue famille de poids (p(ω )) à valeurs das [0,1] et vérifiat p(ω ) = 1 Pour u évéemet A o pose alors P(A) = p(ω )1 A (ω ) où 1 A est la foctio idicatrice de A Exemple 215 (Loi de Poisso) O peut cosidérer par exemple Ω = R, A = P (R), fixer u réel λ strictemet positif et cosidérer la probabilité P : A [0, 1] A P(A) = =0 e λ λ! 1 A () car ous avos =0 e λ λ! = 1 Cette mesure de probabilité est appelée loi de Poisso O dit qu elle est supportée par La tribu des borélies et la mesure de Lebesgue Le fait d avoir ue tribu qui admette ue mesure impose des restrictios Aisi, les mesures précédetes sot d u type très particulier Pour avoir plus de richesse il est écessaire de raffier l esemble des évéemets ous expliquos das cette sous partie l exemple fodametal (R,B R,µ) où B R est la tribu des Borélies et µ est la mesure de Lebesgue ous e doeros ici que les idées directrices de la costructio qu il est écessaire d avoir e tête Pour costruire la tribu des borélies o cosidère I l esemble des parties de R qui sot uio fiie d itervalles de R Cet esemble I cotiet l esemble vide, R, et il est stable par itersectios fiies, réuios fiies et passage au complémetaire O dit qu il forme ue algèbre de Boole La tribu des borélies est par défiitio l itersectio de toutes les tribus de R qui cotieet l algèbre I O dit que la tribu des borélies est egedrée par l algèbre I Les étapes de la costructio de la mesure de Lebesgue sot les suivates : 1 La mesure d u itervalle est tout simplemet sa logueur sas se soucier des extrémités : { b a si a et b sot fiis µ([a,b]) = µ([a,b[) = µ(]a,b]) = µ(]a,b[) = sio Pour ue réuio fiie d itervalles (I k ) k {1,,} disjoits deux à deux o pose ( ) µ I k = µ(i k ) k=1 k=1 2 O éted alors la mesure à la tribu des Borélies : pour tout borélie B la mesure de B est { µ(b) = if µ(a ), A I et B A } O motre que µ est bie ue mesure et de plus que ce prologemet est uique c est le théorème d extesio de Carathéodory Remarque 216 Bie etedu le triplet (R,B R,µ) est pas u espace probabilisé car par défiitio µ(r) = Exemple 217 (Loi uiforme sur [a,b]) Pour tout itervalle [a,b], avec b > a l esemble B [a,b] = {B [a,b] B B R } 6

7 est ue tribu et ([a,b],b [a,b],p) est u espace probabilisé avec pour tout borélie B, P(B) = Cette mesure de probabilité est appelée loi uiforme sur [a,b] µ(b) µ([a,b]) = µ(b) b a Remarque 218 La costructio précèdete se gééralise à R e remplaçat les itervalles par des pavés i=1 [a i,b i ] et e posat ) { µ( [a i,b i ] = i=1 (b i a i ) si toutes les extrémités sot fiies sio i=1 O éted alors la mesure à la tribu des Borélies : pour tout borélie B la mesure de B est { µ(b) = if µ(a ), A I et B A } (21) où les A sot des pavés O obtiet alors u triplet (R,B R,µ R ) où B R est la tribu des borélies sur R et µ R est la mesure de Lebesgue sur µ R Exemple 219 Reveos à la mesure d u borélie das le pla Par exemple pesez à u disque dessié sur ue feuille Vous cosidérez u premier quadrillage Votre disque est coteu das u ombre fii de rectagles et l aire du disque est iférieur à la somme des aires de ces rectagles Si vous preez u quadrillage plus fi, vous obtiedrez ue meilleure approximatio de l aire du disque Motrer que les polygoes du pla sot des borélies Motrer alors que le disque est u borélie et retrouver so aire par la formule 21 Exemple 2110 (Loi uiforme sur B borélie de R ) Soit Ω u borélie de R et de mesure fiie L esemble B Ω = {B Ω B B R } est ue tribu et (Ω,B Ω,P) est u espace probabilisé avec pour tout borélie B de B Ω, Cette mesure de probabilité est appelée loi uiforme sur B P(B) = µ(b) µ(ω) Exemple 2111 Ce procédé de costructio peut être utilisé das les cas discrets Cosidéros par exemple l expériece suivate faire ue ifiité de lacés successifs d ue pièce Il est aturel de cosidérer comme uivers l esemble Ω des mots ifiis formés des lettres P et F : Ω = {(c ) c {0,1}}, où {0} correspod à face et {1} correspod à pile O cosidère comme das le cas cotiu, ue algèbre simple sur laquelle o puisse défiir ue mesure puis o éted la mesure à la tribu egedrée par l algèbre par le théorème de Carathéodory L algèbre cosidérée est formée des parties de la forme A i 1,,i k 1,, k = {(c ) c 1 = i 1,,c k = i k } O suppose par exemple que la pièce est bie équilibrée et o pose doc P(A i 1,,i k 1,, k ) = 1 2 k 7

8 216 Propriétés des probabilités Propositio 2112 Soit (Ω,A,P) u espace probabilisé La mesure de probabilité P vérifie les propriétés suivates : 1 mootoie : si A et B sot deux évéemets de A avec A B alors P(A) P(B) 2 sous additivité : si (A ) est ue famille d évéemets de A alors ( ) P A P(A ) 3 cotiuité croissate : si (A ) est ue famille d évéemets de A telle que pour tout etier, A A +1 alors ( ) P A = lim P(A ) = supp(a ) + 4 cotiuité décroissate : si (A ) est ue famille d évéemets de A telle que pour tout etier, A +1 A alors ( ) P A = lim P(A ) = if P(A ) + Démostratio Soit (Ω,A,P) u espace probabilisé 1 Mootoie : Si A et B sot deux évéemets avec A B E ce cas par additivité de la mesure ous avos P(B) = P(A) + P(B \ A) P(A) 2 Sous additivité : Soit (A ) ue famille d évéemets de A Afi de prouver l iégalité, l idée est de se rameer aux esembles disjoits puis d appliquer l additivité de la mesure Cosidéros la suite de parties (B ) défiie par récurrece : { B0 = A 0 B +1 = A +1 \ B k, pour tout 0 Par costructio : Pour tout etier, B est iclus das A, doc P(B ) P(A ) Les esembles B i sot deux à deux disjoits Pour tout etier ous avos l egalité d esembles O e déduit doc les iégalités B k = A k et B k = A k ( ) ( ) 0 P A k = P B k = P(B k ) P(A k ) P(A k ) Par additivité de la mesure sur la famille (B ) ous avos ce qui iduit l iégalité cherchée : ( ) ( ) P A k = P B k = P(B k ), P ( ) A P(A ) 8

9 3 Cotiuité croissate Soit (A ) ue famille croissate d évéemets de A otos tout d abord que la suite (P(A )) est ue suite croissate par la propriété de mootoie précédete Cette suite de réels est majorée par la probabilité de l espace total, autremet dit 1 Par l axiome de la bore supérieure cette suite coverge et sa limite est sa bore supérieure Pour motrer l égalité P ( A ) = lim + P(A ) O cosidère la suite défiie par récurrece : { B0 = A 0 B +1 = A +1 \ A, pour tout 0 Par costructio : Pour tout etier, B est iclus das A, doc P(B ) P(A ) Les esembles B i sot deux à deux disjoits Pour tout etier ous avos l egalité d esembles B k = A k = A De ces remarques et de l additivité de la mesure o déduit doc les égalités ( ) ( ) P(A ) = P A k = P B k = P(B k ) Par additivité de la mesure sur la famille (B ) ous obteos l égalité cherchée e faisat tedre vers l ifii ( ) ( supp(a ) = lim P(A ) = P(B k ) = P B k = P A k ) 4 Cotiuité décroissate Soit (A ) ue famille d évéemets de A telle que pour tout etier, A +1 A La suite d égalités ( ) P A = lim P(A ) = if P(A ) + découle du poit précédet appliqué à la suite croissate d évéemets B = Ω \ A et de la formule pour tout évéemet M 1 = P(Ω) = P(M) + P(Ω \ M) Propositio 2113 (Formule de Poicaré) Soit (Ω,A,P) u espace probabilisé et A 1,,A des évéemets La probabilité de l uio de ces évéemets est doée par la formule P( k=1 A k) = k=1 ( 1) k 1 Par exemple, pour deux évéemets A et B o a la formule 1 i 1 i k P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A i1 A ik ) Remarque 2114 Cette formule est aalogue à la formule du crible, e particulier das le cas où Ω est u esemble fii, elle e découle immédiatemet 9

10 Démostratio Cette formule se prouve par récurrece sur Pour = 2, il suffit d écrire A B = (A \ (A B)) (A B) (B \ (A B)) puis d appliquer la mesure : P(A B) = P((A \ (A B))) + P(A B) + P(B \ (A B)) = (P(A) P(A B)) + P(A B) + (P(B) P(A B)) = P(A) + P(B) P(A B) Supposos le résultat vrai au rag Prouvos le rag + 1 Par le cas précédet ous pouvos écrire P(A 1 A A +1 ) = P(A 1 A ) + P(A +1 ) P((A 1 A +1 ) (A A +1 )) O applique alors l hypothèse de récurrece P(A +1 ) + k=1 ( 1) k 1 ( 1 i 1 i k qui est bie de la forme voulue O coclut par le théorème de récurrece P(A 1 A A +1 ) = P(A i1 A ik ) 1 i 1 i k P(A i1 A ik A +1 ) ) 22 Probabilités coditioelles et idépedace 221 Probabilités coditioelles O cosidère u espace probabilisé (Ω,A,P) et deux évéemets A et B Commet la coaissace de B réalisé ifluece t elle la probabilité de A? Ituitivemet o peut effectuer expérieces et o ote les résultats das u tableau : A B où 1 sigifie que l évéemet a eu lieu et 0 sio O défiit alors la fréquece coditioelle de la réussite de l évéemet A sachat la réussite de l évéemet B par f (A B) = = ombre de liges où o a 1,1 ombre de liges où o a,1 ombre de liges où o a 1,1 ombre de liges où o a,1 / = f (A B) f (B) E faisat tedre vers l ifii il est alors aturel de poser P(A B) = P(A B) P(B) 10

11 Défiitio 221 (Probabilité coditioelle) Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé Soit A et B deux évéemets O suppose que B est u évéemet o quasi-impossible c est à dire P(B) > 0 La probabilité que l évéemet A se produise sachat que l évéemet B s est produit est P(A B) P(A B) = P(B) Par coséquet P(A B) = P(B)P(A B) Exemple 222 O lace deux fois u dé Quelle est la probabilité d obteir u 6 au premier lacé sachat que la somme obteue vaut 8? L uivers cosidéré est Ω = {1,,6} {1,,6} L esemble des évéemets est P (Ω) Le dé état pas pipé, la situatio est équiprobable et o cosidère la probabilité uiforme O cosidère l évéemet A le résultat du premier dé est 6 : A = {6} {1,,6} La probabilité de A est P(A) = Card A Card Ω = 6 36 = 1 6 O cosidère l évéemet B la somme des résultats vaut 8 : B = {(6,2),(2,6),(5,3),(3,5),(4,4)} O a alors P(A B) P(A B) = = 1 P(B) 5 O vérifie bie que la probabilité d obteir u 6 au premier lacé sachat que la somme des dés vaut 12 est égale à 1 Remarque 223 Soit B u évéemet, l applicatio P B : A [0,1] A P B (A) = P(A B) est ue probabilité E effet, si o cosidère ue famille (A ) d évéemets disjoits deux à deux ous avos P( A B) = P(( A ) B) P(B) otos de plus que P B (B) = P(B B) = 1 = P( (A B)) P(B) Ituitivemet, coditioer par B reviet à réduire l esemble des évéemets P(A B) = = P(B) P(A B) Propositio 224 (Probabilité coditioelle e cascade) O cosidère u espace probabilisé (Ω,A,P) et ue famille de évéemets A 1,,A telle que P( i=1 A i) > 0 La probabilité de l itersectio i=1 A i est P( i=1a i ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )P(A A 1 A 1 ) Démostratio Toutes les probabilités coditioelles sot bie défiies car pour tout J {1,,} o a P( j J A j ) P( i=1a i ) > 0 La preuve se démotre alors par récurrece sur Le cas = 2 résulte de la défiitio Si l o suppose le résultat au rag alors o a P( +1 i=1 A i) = P( i=1a i )P(A +1 i=1a i ) qui doe la boe formule via l hypothèse de récurrece O coclut par le théorème de récurrece Exemple 225 O tire 4 cartes d u jeu de 52 cartes Quelle est la probabilité que l o ait tiré les 4 as? O cosidère Ω comme l esemble des résultats possibles Les évéemets sot les parties de Ω et o suppose que l o a équiprobabilité O ote A i l évéemet la i-ème carte tirée est u as O cherche doc à calculer la probabilité de A 1 A 2 A 3 A 4 O a Le résultat cherché est doc P(A 1 ) = 4/52, P(A 2 A 1 ) = 3/51, P(A 3 A 2 A 1 ) = 2/50, et P(A 4 A 1 A 2 A 3 ) = 1/49 P(A 1 A 2 A 3 A 4 ) = =

12 222 Formule des probabilités totales et formule de Bayes Défiitio 226 (Système complet d évéemets) Soit (Ω,A,P) u espace probabilisé Ue famille (S i ) i I d évéemets est u système complet si elle partitioe de Ω : les S i sot deux à deux disjoits et leur uio est Ω Propositio 227 (Formule des probabilités totales et formule de Bayes) Soit (Ω,A,P) u espace probabilisé Soit (S i ) i I u système complet d évéemets, (S j ) j J ceux qui e sot pas quasi-impossibles et A u évéemet O a Si A est pas quasi-impossible alors pour tout k J o a P(A) = P(A S i ) = P(S j )P(A S j ) i I j J P(S k A) = P(A S k) i I P(A S i ) = P(S k)p(a S k ) j J P(S j )P(A S j ) Lorsque le système complet d évéemets est réduit à (B,B) o a P(B A) = P(B)P(A B) P(B)P(A B) + P(B)P(A B) Démostratio La famille (S i ) i I est ue partitio de Ω, par coséquet la famille (A S i ) i I est ue partitio de A et par additivité de la mesure o a l égalité P(A) = P(A S i ) i I Si S i est de mesure ulle alors il e est de même de A S i par mootoie La formule P(A) = P(A S i ) = P(S j )P(A S j ), i I j J découle doc de la défiitio des probabilités coditioelles Les autres formules découlet sot alors immédiates Exemple 228 O cosidère deux ures U 1 et U 2 coteat b 1, b 2 boules blaches et 1, 2 boules oires O choisit au hasard ue ure et o tire esuite ue boule das cette ure 1 Quelle est la probabilité de tirer ue boule oire? 2 Quelle la probabilité d avoir tiré das l ure U i sachat qu ue boule oire a été tirée? O e s étedra pas sur la costructio d u modèle (Ω,A,P) Disos simplemet que pour que la probabilité soit pertiate o doit avoir P(U i ) = 1 2 et P( U i) = i, i + b i où U i est l évéemet le tirage à lieu das l ure U i et est l évéemet o tire ue boule oire Les évéemets U 1 et U 2 formet u système complet par coséquet P() = P( U 1 )P(U 1 ) + P( U 2 )P(U 2 ) = 1 2 Pour répodre à la deuxième questio o applique la formule de Bayes : P(U i ) = P(U i )P( U i ) P(U 1 )P( U 1 ) + P(U 2 )P( U 2 ) = 12 ( 1 + ) b b 2 i i +b i 1 1 +b b 2

13 223 Evèemets idépedats Cosidéros deux jets successifs d u même dé L uivers associé à cette expériece est bie etedu l esemble des résultats Ω = Ω 1 Ω 2 avec Ω 1 = Ω 2 = {1,,6} O cosidère comme esemble d évéemets l esemble des parties de Ω O choisit la probabilité uiforme U évéemet A e teat compte que du premier jet est de la forme A 1 Ω 2 et u évéemet B e teat compte que du deuxième jet est de la forme Ω 1 B 2 Ituitivemet, ces évéemets e dépedet pas l u de l autre O a O a E particulier o a O a alors O pose alors aturellemet la défiitio A B = A 1 B 2 B 2 P(A 1 B 2 ) = ({ω} B 2 ) = ω 1 A 1 ω 1 A 1 Ω 1 Ω 2 = A 1 Ω 1 P(A 1 Ω 2 ) = A 1 Ω 1 et P(Ω 1 B 2 ) = A 2 Ω 2 P(A B) = P(A)P(B) B 2 Ω 2 Défiitio 229 (Evèemets idépedats) Soit (Ω, A, P) u espace probabilisé Deux évéemets A et B sot idépedats lorsque P(A B) = P(A)P(B) Les évéemets A 1,,A sot mutuellemet idépedats si et seulemet si toute itersectio d u ombre quelcoque de ces évéemets a pour probabilité le produit des probabilités de ceux-ci O predra garde à e pas cofodre évéemets idépedats et évéemets icompatibles! Rappelos que deux évéemets A et B sot icompatibles si et seulemet si A B = /0 Remarque 2210 O peut cosidérer deux poits de vue sur l idépedace Idépedace probabiliste O s est doé u espace probabilisé et o cherche à motrer que deux évéemets A et B sot idépedats Idépedace physique O costruit u modèle probabiliste O suppose que l o a idépedace physique etre deux évéemets A et B et de maière pertiate o défiit P(A B) par P(A)P(B) Par exemple, pour 3 lacés successifs d ue pièce, la probabilité d obteir PFP est = 1 8 Par costructio du modèle, l idépedace physique implique l idépedace probabiliste La réciproque est fausse 224 Lemmes de Borel-Catelli Théorème 2211 (Lemmes de Borel-Catelli) O cosidère u espace probabilisé (Ω, A, P) et ue famille déombrable d évéemets (A ) 1 Si la série P(A ) est covergete alors la probabilité qu ue ifiité de A se réaliset est ulle 2 Si les évéemets A sot idépedats et si la série P(A ) est divergete alors la probabilité qu ue ifiité de A se réaliset est 1 O déduit alors le corollaire : Corollaire 2212 (Loi de type 0 1 (Borel)) O cosidère u espace probabilisé (Ω, A, P) et ue famille déombrable d évéemets idépedats (A ) La probabilité qu ue ifiité d etre eux se réaliset est soit 0 soit 1 13

14 Avat de faire la preuve de ce résultat, il faut répodre à la questio : e quoi il existe ue ifiité de A qui se réaliset est il u évéemet? Pour répodre à cette questio, ous itroduisos les otios de limite supérieure et iférieure de parties Défiitio 2213 (Limites supérieure et iférieure d ue famille de parties d u esemble) Soit E u esemble et (A ) ue famille déombrable de parties 1 O appelle limite supérieure de la famille (A ) la partie limsup A := A m E m La partie limsup A est l esemble des élémets de E apparteat à ue ifiité de A 2 O appelle limite iférieure de la famille (A ) la partie limif A := A m E m La partie limif A est l esemble des élémets de E apparteat à tous les A à patir d u certai rag ; le rag dépedat bie etedu de l élémet cosidéré Remarque 2214 Soit (Ω,A) u espace probabilisable et (A ) ue famille déombrable d évéemets Par les axiomes sur l esemble des évéemets et la défiitio précédete, 1 la limite supérieure des A est ecore u évéemet précisémet l évéemet ue ifiité des évéemets A est réalisée 2 la limite iférieure des A est ecore u évéemet précisémet l évéemet il existe u rag tel que tous les évéemets A soiet réalisés Démostratio O cosidère u espace probabilisé (Ω,A,P) et ue famille déombrable d évéemets (A ) ous allos motrer les deux résultats suivats e utilisat la limite supérieure des A : 1 Si la série P(A ) est covergete alors P(limsup A ) = 0 2 Si les évéemets A sot idépedats et si la série P(A ) est divergete alors P(limsup A ) = 1 Par la remarque précédete ous obteos doc le théorème 1 ous avos par additivité de la mesure 0 P(limsupA ) = P( m A m ) P( m A m ) m= P(A m ) 0 E effet, par hypothèse la série P(A ) est covergete So reste m= P(A m ) ted doc vers 0 quad ted vers l ifii 2 Cosidéros le complémetaire de la limite supérieure des A : Ω \ limsupa = Ω \ m A m = m (Ω \ A m ) = C, avec C = m= (Ω \ A m ) Par cotiuité décroissate et idépedace ous avos P(C ) = lim P( m=ω \ A m ) = lim m= P(Ω \ A m ) E utilisat l iégalité de covexité e x x + 1 et la divergece de la série P(A ), ous obteos Aisi, doc P(limsupA ) = 1 P(C ) = lim m= (1 P(A m )) lim m= P(Ω \ limsupa ) P(c ) = 0, 14 e P(A m) = e m= P(A m ) = 0

15 Exemple 2215 O joue à pile ou face u ombre idétermié de fois O cosidère le modèle probabiliste (Ω,A,P) expliqué à l exemple 2111 Par équiprobabilité sur tirages, la probabilité de l évéemet A pas de piles das les premiers lacers est P(A ) = 1 2 otos que la série P(A ) est covergete, par applicatio du lemme de Borel Catelli, avec probabilité 1 seul u ombre fii des A est réalisé Par coséquet avec probabilité 1 o obtiedra u pile Exemple 2216 Soit M u mot de logueur l fixé formé des lettres P et F O cosidère A k l évéemet cosistat e le fait que le mot se réalise das les coups (k 1)l +1 et kl Ces évéemets sot idépedats et ot tous la même probabilité, d où P(A ) = Par le lemme de Borel-Catelli, avec ue probabilité égale à 1, ue ifiité d évéemets A k vot se produire Autremet dit le mot M va apparaître ue ifiité de fois Cotre-exemple Cosidéros comme espace probabilisé (Ω = [0, 1], B([0, 1]), µ) et comme famille d évéemets les parties A = [0, 1 ] ous avos µ(a ) = 1 et µ(a ) = + La limite supérieure est limsupa = {0} qui est de mesure ulle Le lemme de Borel Catelli prédirait µ(limsupa ) = 1 ce qui est faux E effet, les A e sot pas idépedats : pour m 1, P(A A m ) = 1 1 m 23 Lois de probabilités usuelles 231 Lois discrètes O cosidère (Ω,P (Ω),P) u modèle probabiliste avec Ω déombrable La probabilité P est totalemet détermiée par ses valeurs sur les évetualités : avec ω Ω P({ω}) = 1 P : A [0, 1] A P(A) = ω A P({ω}) Loi uiforme L uivers Ω est fii et pour tout ω, P({ω}) = 1 Card Ω Usage : Modéliser l équiprobabilité Loi de Beroulli B(1, p), 0 < p < 1 L uivers est Ω = {0,1} La probabilité est totalemet défiie par P({1}) = p et P({0}) = 1 p Usage : Modéliser ue épreuve de Beroulli c est à dire ue expériece aléatoire avec deux résultats possibles souvet appelés succès avec probabilité p et échec avec probabilité 1 p Exemple type : jeu de pile ou face avec ue pièce truquée p 1/2 Loi biomiale B(, p), 0 < p < 1, etier O cosidère Ω = {0,,} La probabilité est totalemet détermiée par k Ω, P({k}) = C k p k (1 p) k O vérifie que l o a bie P({k}) = 1 par la formule du biôme de ewto Usage : O effectue épreuves de Beroulli idépedates de paramètre p et o s itéresse au ombre de succès Exemple type : ombre de pile au cours de tirages à pile ou face 15

16 O cosidère Ω = {0,,r 1 } La probabilité est totalemet déter- Loi hypergéométrique de paramètres etiers, r, r 1 miée par k Ω, P({k}) = Ck r 1 Cr r k 1 Usage : O cosidère ue ure coteat r boules, dot r 1 rouges et r r 1 blaches O tire boules et o s itéresse au ombre de boules rouges obteues Remarquos que ce cotexte fourit u raisoemet combiatoire pour prouver l égalité r 1 P({k}) = 1 E effet si o cosidère l esemble des boules possibles, cet esemble à Cr élémets et de plus il est partitioé e classe du type k boules rouges, k boules blaches dot le ombre est Cr k 1 Cr r k 1 O obtiet doc l égalité C r = Exemple type : Modélisatio des sodages et cotrôle de qualité C r C k r 1 C k r r 1 Loi de Poisso P(λ) L esemble Ω est ici u esemble ifii déombrable, o le ote Ω = (ω ) La probabilité est totalemet détermiée par, P({ω }) = λ! e λ O vérifie que l o a bie λ! e λ = 1 Usage : Cette loi iterviet das la modélisatio de phéomèes de comptage Exemple type : Le ombre de désitégratios atomiques das u corps radioactif pedat u itervalle de temps, le ombre d arrivées à u guichet, le ombre de gouttes de pluie sur ue surface doée peuvet être modélisés par ue loi de Poisso Loi géométrique sur, G (p), 0 < p < 1 L esemble Ω est ici La probabilité est totalemet détermiée par, P({}) = p(1 p) Par sommatio de la série géométrique, o vérifie bie que l o a P({}) = 1 Usage : Loi du ombre d échecs recotrés avat d obteir u succès das la répétitio d épreuves de Beroulli idépedates de paramètre p 232 Lois cotiues Précédemmet ous avos esquissé les grades liges de la costructio de la mesure de Lebesgue sur R Cette mesure coue, o peut alors costruire l itégrale de Lebesgue ous aborderos pas cette théorie das ce cours, mais ous ous cotetos simplemet de dire que das tous les cas que ous cosidèreros, l itégrale de Lebesgue d ue foctio correspodra à so itégrale de Riema Soit f : R R + ue foctio itégrable au ses de Riema sur R et telle que R f (x)dx = 1 Il existe ue uique mesure de probabilité sur (R,B R ) telle que pour tout itervalle I, P(I) = f (x)dx I O prologe cette mesure à l algèbre formée des uios fiies d itervalles O éted esuite cette mesure à la tribu des borélies par le théorème d extesio évoqué das la costructio de la mesure de Lebesgue La foctio f porte le om de desité de la mesure de probabilité P 16

17 Loi uiforme sur [a,b] Cette probabilité est otée U([a,b]) La desité de f est défiie par x R, f (x) = 1 b a 1 [a,b](x) Deux sous itervalles de même logueur ot la même probabilité Loi ormale de Laplace-Gauss (m,σ 2 ), m est réel et σ 2 > 0 La desité de f est défiie par x R, f (x) = 1 ) ( σ 2π exp (x m)2 2σ 2 La loi ormale appelée aussi loi des erreurs est souvet employée comme modèle pour approximer d autre loi Le théorème limite cetral que ous verros das le chapitre sur les théorèmes limites est la pricipale raiso de l itervetio uiverselle de la loi ormale das les phéomèes aturels et autres Loi de Cauchy La desité de f est la foctio défiie par x R, f (x) = 1 1 π 1 + x 2 Loi expoetielle exp(p), p>0 La desité de f est la foctio défiie par x R, f (x) = 1 R +(x)pe px Cette probabilité doe ue probabilité ulle à tout itervalle coteu das R Elle iterviet das la modélisatio des phéomèes d attete et des durées de vie (atomes radioactifs) 24 Objectifs pédagogiques 1 Das les cas faciles, savoir produire u modèle probabiliste Savoir recoaître les situatios équiprobables 2 Savoir recoaître ue situatio de probabilité coditioelle 3 Savoir motrer que deux évéemets sot idépedats 4 Savoir utiliser la formule de Poicaré, la formule des probabilités totales et la formule de Bayes 5 Savoir utiliser les lemmes de Borel-Catelli 6 Coaître les lois usuelles et leurs applicatios 17