Transmission de l énergie thermique

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1 Dossir délivré pour /9/8 Trnsmission d l énrgi thrmiqu Conduction pr Alin DEGIOVANNI Ingéniur d l Institut ntionl ds scincs ppliqués d Lyon Dirctur d l Écol uropénn d ingéniurs n Géni ds mtériux (EEIGM) BE 8 -. Étblissmnt ds lois fondmntls.... Définitions générls.... Loi d Fourir....3 Éqution générl d l chlur Cs prticulirs Conditions ux limits sptio-tmporlls Exmpl pour un problèm rél Nombrs sns dimnsion Appliction : conduction unidirctionnll Régim prmnnt Régim insttionnir Extnsion d l méthod ds qudripôls Applictions à l conduction bidirctionnll ou tridirctionnll Réduction du nombr d dimnsions Méthods générls Séprtion ds vribls Méthod impulsionnll Fonctions d Grn Trnsformés intégrls n spc Trnsformé d Lplc sur l tmps... 5 Pour n svoir plus... Doc. BE 8 L trnsfrt d chlur ou, pour mployr l xprssion ctull, l trnsfrt d énrgi thrmiqu st un trnsmission d ctt énrgi d un région à un utr, sous l influnc d un différnc d tmpértur. On rconnît clssiqumnt trois mods d trnsmission : l conduction, l ryonnmnt t l convction. Cpndnt, il n fudrit ps oublir ls cs d trnsfrt ntr dux phss d un mêm corps (solid-liquid t liquid-vpur, pr xmpl). Ds puits ou ds sourcs d énrgi sont lors créés sns vrition d tmpértur sous l influnc d l évolution, dns l tmps, ds msss rspctivs d cs dux phss. Bin qu ct spct puiss s rmnr à un cs prticulir d conduction vc vrition dns l tmps ds limits géométriqus ds phss, nous n l tritrons ps ici t rnvoyons l lctur ux rticls «Trnsfrts d chlur ssociés à l ébullition ou à l condnstion» t «Trnsfrts pr chngmnt d étt solidliquid» du présnt trité. Dns l mod conductif, l chlur diffus d proch n proch d un prticul à l utr pr chocs ; c mod nécssit donc l présnc d mtièr mis sns déplcmnt mcroscopiqu d cll-ci. Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu BE 8

2 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE Dossir délivré pour /9/8 Dns ls corps solids soit totlmnt opqus, soit totlmnt trnsprnts u ryonnmnt, c st l sul mod d trnsmission. Dns ls corps solids smi-trnsprnts, ryonnmnt t conduction intrvinnnt (cf. rticl «Ryonnmnt thrmiqu ds mtériux smitrnsprnts» dns c trité). Dns ls fluids déformbls, ctt distinction subsist, mis il s y jout dns tous ls cs un trnsfrt convctif pr déplcmnt rltif ds différnts prtis non isothrms d c fluid ls uns pr rpport ux utrs (cf. rticl «Notions d trnsfrt thrmiqu pr convction» dns c trité). À l échll microscopiqu, l problèm conductif st très complx t nous n l nvisgrons ps ici. Nous nous plçons dns l hypothès ds miliux continus.. Étblissmnt ds lois fondmntls ds n ϕ Pour ls nottions t symbols, s rportr n fin d rticl. L fft mcroscopiqu obsrvbl st un églistion ds tmpérturs ; cpndnt, si crtins zons sont mintnus à tmpérturs constnts pr pport (sourcs d chlur) ou évcution d chlur (puits d chlur), il s étblit un diffusion continu d l chlur d l région chud à l région froid. D où l problèm : ynt défini un systèm mtéril pr s géométri t ss crctéristiqus thrmophysiqus, insi qu ls sourcs d chlur évntulls t ls intrctions vc l miliu xtériur, nous rchrchons l chmp d tmpértur t son évolution vc l tmps.. Définitions générls Flux thrmiqu à trvrs un surfc (φ n W) C st l quntité d chlur (Q n J) qui trvrs l surfc pndnt l unité d tmps. Dnsité d flux thrmiqu (ϕ n W m ) C st l quntité d chlur qui trvrs l surfc unité pndnt l unité d tmps ; c st l flux pr unité d surfc. On put églmnt définir l vctur dnsité d flux n tout point ϕ : dφ = ϕ n ds () vc n norml à l surfc ds. ϕ crctéris n chqu point M du miliu l dirction, l sns t l intnsité du flux thrmiqu (figur ). L nsmbl ds ϕ constitu un chmp d vcturs nlogu ux utrs chmps physiqus : chmps élctriqus, chmps d forcs, tc. Ligns d cournt t tubs d cournt Ls ligns d cournt sont ls courbs tngnts n chqu point ux vcturs dnsité d flux ϕ ; l nsmbl ds ligns s ppuynt sur un contour frmé constitu un tub d cournt. Surfcs isothrms L liu ds points ynt mêm tmpértur à un instnt donné st un surfc isothrm. Figur Dnsité d flux thrmiqu Sourcs intrns (p n W m 3 ) Un sourc intrn st défini pr l puissnc p qu ll fournit pr unité d volum.. Loi d Fourir L loi d Fourir stipul qu il xist un rltion linéir ntr l dnsité d flux t l grdint d tmpértur : dns l cs d un miliu isotrop, l dnsité d flux st proportionnll u grdint d tmpértur : ϕ = λ grd T () Commntirs On rmrqur qu : λ st un crctéristiqu du miliu qu l on ppll conductivité thrmiqu (n W m K ) ; λ dépnd n générl d l tmpértur t du point considéré λ (x, y, z, T) ; dns l cs d miliu homogèn, λ n dépnd qu d T ; λ vri dns ds grnds limits : Corps λ (n W m K ) métux purs... 4 à 4 lligs métlliqus... à mtériux non métlliqus..., à 5 solids isolnts..., à, liquids non métlliqus...,8 à,6 gz à prssion tmosphériqu...,6 à, M BE 8 Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu

3 Dossir délivré pour /9/8 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE z Soit dq l quntité d chlur créé dns l volum dv pr ls sourcs intrns : v ds Σ n d où dq = p (x, y, z, t) dv dt Q = p ( x, y, z, t) d v dt v M Soit dq 3 l quntité d chlur nécssir à l vrition d tmpértur dt du volum dv : y dq 3 = ρc dt dv t (éqution d l clorimétri). x Figur Biln d énrgi d un systèm immobil Cs vritions d l conductivité thrmiqu sont nénmoins très fibls si on ls compr ux vritions d résistivité élctriqu. À l limit, un cérmiqu (isolnt élctriqu) put voir un conductivité thrmiqu supériur à cll d un cir inoxydbl (conductur élctriqu) ; ϕ st dirigé dns l sns d l diffusion d l chlur, c qui justifi l sign moins (d près l duxièm princip d l thrmodynmiqu, l chlur diffus ds régions chuds vrs ls régions froids). Commntir L grdint d tmpértur n chqu point st norml à l surfc isothrm pssnt pr c point. Commntir 3 Nous pouvons écrir l quntité d chlur ynt trvrsé l surfc ds pndnt l intrvll d tmps dt : dq = λ grd T n ds dt (3) ou ncor n mploynt l dérivé norml : Nous n discutrons ps ici d l réll significtion d c (stc c p ou c v?) : dns l cs d solids, il n y ps liu d fir l différnc ; dns l cs d fluids incomprssibls, il smblrit qu c p soit plus pproprié ; nfin dns l cs d gz, il n y ps d règl t l problèm st complx. L quntité d chlur Q 3 corrspond à : Q 3 = v Soit l biln : Q + Q = Q 3 λ grd T n d S d t+ Σ D près l formul d Ostrogrdsky : ρc dt dv t p dv dt = ρc d t dv t v v div ( λ grd T ) d v dt + p dv dt = ρc d t dv t v v v dq = Ð λ ds dt (4) n Commntir 4 Dns l cs générl d un miliu nisotrop, l conductivité thrmiqu λ pprît sous l form d un tnsur d ordr : ϕ = Ð λ grd T (5) Comm cl doit êtr vri qul qu soit v : div ( λ grd T ) + p = ρc t.4 Cs prticulirs (6).3 Éqution générl d l chlur Soit un volum v pprtnnt à un miliu V (l systèm st supposé immobil) crctérisé pr λ s conductivité t ρc s cpcité thrmiqu volumiqu. Soit un point M d l surfc Σ ntournt v t n l norml orinté vrs l xtériur (figur ). Écrivons l biln d énrgi dns l volum v. Soit dq l quntité d chlur pénétrnt dns l volum v à trvrs ds pndnt l tmps dt : dq = λ grd T n ds dt d où Q = λ grd T n d S dt Σ r cs : l conductivité n dépnd qu d l tmpértur (miliu homogèn) : λ T dλ ( grd T ) + p = ρc (7) dt t cs : l miliu st homogèn, l conductivité st indépndnt d l tmpértur : λ T + p = ρc (8) t 3 cs : l miliu st homogèn, l conductivité st indépndnt d l tmpértur t il n y ps d sourc intrn : T = (éqution d Fourir) (9) t λ vc = (diffusivité thrmiqu n m s ). ρc Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu BE 8 3

4 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE Dossir délivré pour /9/8 4 cs : l miliu st homogèn, l conductivité st indépndnt d l tmpértur t l régim st prmnnt : λ T + p = (éqution d Poisson) () 5 cs : l miliu st homogèn, l conductivité st indépndnt d l tmpértur, l régim st prmnnt t il n y ps d sourc intrn : T = (éqution d Lplc) ().5 Conditions ux limits sptiotmporlls L éqution générl d l chlur st un éqution ux dérivés prtills du duxièm ordr n spc t du prmir ordr n tmps. Ell dmt n princip un infinité d solutions. Pour qu l problèm it un solution uniqu, il st nécssir d connîtr l réprtition ds tmpérturs n tout point d l spc à un tmps pris pour origin t ls lois d vritions d T (ou d ss dérivés) sur ls frontièrs du domin étudié..5. Condition initil C st l distribution ds tmpérturs à t = : T (x, y, z, ) = T (x, y, z).5. Conditions ux limits Nous n signlrons qu ls plus fréqunts, lls trduisnt l lin ntr l miliu étudié t l miliu xtériur. ) Tmpértur imposé (problèm d Dirichlt) : T s = f (M s, t) vc M s un point d l surfc du systèm. Cs prticulir : surfc isothrm (T s = Ct). b) Dnsité d flux imposé (problèm d Numnn) : Ð λ = n s f( M s, t) Cs prticulir : surfc dibtiqu ou systèm isolé : Ð λ = n s c) Trnsfrt linéir (problèm d Fourir) : Ð λ = h( T n s Ð T ) s vc h cofficint d échng thrmiqu suprficil (n W m K ), T tmpértur d référnc du miliu xtériur. D fçon plus générl, on pourrit écrir : λ T s = h n s f( M s, t) d) Trnsfrt à l intrfc d dux solids Si l contct st prfit, nous pouvons écrir (figur 3 ) : consrvtion du flux : λ λ = ; n n églité ds tmpérturs : T = T. Figur 3 Trnsfrt à l intrfc d dux solids Si l contct st imprfit t s il n xist ps d sourc à l intrfc, nous pouvons écrir (figur 3 b) : consrvtion du flux : λ λ = = ϕ ; n n discontinuité ds tmpérturs : T T = R c ϕ vc R c résistnc thrmiqu d contct..6 Exmpl pour un problèm rél Dns un problèm rél, l trnsfrt d énrgi thrmiqu sur l surfc s fit pr l intrvntion prtill d chcun ds trois mods ssntils : conduction, convction, ryonnmnt. L surfc put êtr constitué pr l séprtion ntr dux phss d un mêm corps (solid liquid ou liquid vpur). Bin qu il n s giss plus, à proprmnt prlr, d corps indéformbls puisqu ctt surfc d séprtion s déplc vc l tmps, on trit cs typs d problèms à prtir d l conduction n dmttnt sur l surfc ds sourcs ou puits d énrgi thrmiqu, n rltion vc l déplcmnt d ctt surfc d séprtion t vc l énrgi thrmiqu ltnt qui crctéris l chngmnt d étt..6. Convction pur Dns l cs d l convction, l échng st ssz bin rprésnté pr l loi d Nwton (trnsfrt linéir) : dq = h c (T s T g ) ds dt () vc h c cofficint d Nwton, T g tmpértur crctéristiqu du fluid. L lctur pourr s rportr à l rticl Notions d trnsfrt thrmiqu pr convction dns c trité..6. Ryonnmnt pur T contct prfit Dns l cs du ryonnmnt, l échng ntr dux surfcs opqus s écrit (voir rticl sur l Ryonnmnt dns c précis) : ϕ = vc A prmètr tnnt compt ds propriétés rditivs t d l géométri ds corps n présnc, M o (T) émittnc du corps noir à l tmpértur T, T p tmpértur d l proi xtériur, ν fréqunc d l ond élctromgnétiqu (fréqunc du ryonnmnt). b T contct imprfit A ( ν) [ M o ( T s ) Ð M o ( T p )] dν o BE 8 4 Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu

5 Dossir délivré pour /9/8 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE On put linérisr ctt xprssion dns dux cs. ) T s proch d T p : ϕ = h r (T s T p ) (3) vc h r cofficint d échng pr ryonnmnt. Dns l cs d surfcs griss : h r = 4 A σ T 3 p vc σ constnt d Stfn-Boltzmnn. ) T p st très supériur à T s : ϕ = Ct (4) Dns l cs d surfcs griss : ϕ = ÐA σ T 4 p.6.3 Convction plus ryonnmnt Dns l cs d un échng couplé convction plus ryonnmnt nous pouvons écrir (près linéristion) : ϕ c = h c ( T s Ð T g ) ϕ r = h r ( T s Ð T p ) soit : ϕ = h c (T s T g ) + h r (T s T p ) En posnt : h T c T g + h r T m = p t h = h c + h r h c + h r il vint : ϕ = h (T s T m ) (5) vc h cofficint d échng suprficil globl, T m tmpértur xtériur équivlnt. l systèm dvint : θ θ G = x Fo θ = x θ = Ð Bi θ x pour < x* < t Fo > pour x* = t Fo > pour x* = t Fo > θ = pour Fo = t < x* < Dux nombrs sns dimnsion sont prticulièrmnt importnts : l nombr d Biot, qui msur l rpport ntr l résistnc thrmiqu intrn du miliu t l résistnc thrmiqu xtrn : h λ S résistnc intrn Bi = = = λ résistnc xtrn hs (6) l nombr d Fourir, qui msur l rpport ntr l vitss d trnsfrt t l vitss d stockg d l chlur : λ T t flux thrmiqu à trvrs l surfc Fo = = = ρc 3 T vitss d stockg dns l volum t. Appliction : conduction unidirctionnll (7).7 Nombrs sns dimnsion. Régim prmnnt L nombr d vribls dns un problèm d conduction put êtr réduit pr l introduction d nombrs sns dimnsion. Montrons-l sur un xmpl. Soit : T p = pour < x < t t > x λ t = x pour x = t t > λ = Ð h ( T Ð T x ) pour x = t t > T = T à t = t < x < (C st un problèm d conduction unidirctionnll vc déggmnt d chlur intrn). En utilisnt ls nombrs sns dimnsion suivnts : x T Ð T h x = --, θ = , Bi = T Ð T λ (nombr d Biot) p G t = , Fo = (nombr d Fourir) λ ( T Ð T ).. Générlités L éqution d trnsfrt s réduit à : div (λ grd T) + p = (8) Dns l cs d l conduction mort (ps d sourc intrn), l systèm st à flux consrvtif puisqu : div (λ grd T) = div ϕ = (9).. Notion d résistnc thrmiqu Pour un systèm sns sourc intrn t dont l conductivité thrmiqu λ st indépndnt d l tmpértur (mis ps forcémnt d l spc), on introduit l notion d résistnc thrmiqu d un tub d cournt (nlogu à l résistnc élctriqu). Soit un tub d cournt compris ntr dux surfcs isothrms (figur 4) : il vint : φ = Ð λ ( s) S( s) dt ds ds = Ð dt λ ( s) S( s) φ () Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu BE 8 5

6 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE Dossir délivré pour /9/8 s X ϕ s X h i λ λ λ N N h s X S T S (s) T S T s bsciss curvilign sur l lign d cournt S surfc orthogonl ux ligns d cournt T i T T T T 3 T N T N + N murs ccolés Figur 4 Tub d cournt T i T E soit n intégrnt ntr ls dux surfcs isothrms : L flux étnt consrvtif : qu l on put écrir : T T = R φ () vc R résistnc du tub d cournt, qui s xprim pr : Un nlogi st lors possibl vc l loi d Ohm : () Ainsi pour plusiurs systèms d résistncs thrmiqus R, R,... R N plcés n séri, on : (3) (Attntion : il st nécssir qu ls surfcs d séprtion ds n systèms soint ds isothrms.) D mêm, pour plusiurs systèms n prllèl, on : (4) (Attntion : il st nécssir qu ls n systèms constitunt ds tubs d cournt.) Nous vons déjà vu (.5) qu ls intrfcs ntr solids pouvint églmnt êtr rprésntés pr ds résistncs ; il n st d mêm pour ls conditions ux limits du typ Fourir : qu l on put écrir : vc s s s s R = ds T = Ð dt λ ( s) S( s) T φ ds T Ð T = λ ( s) S( s) φ s s ds λ ( s) S( s) U = R I T = Rφ N R T = R n n = N = R T n = R n Ð λ = h ( T Ð T n ) T Ð T = φ h S résistnc d échng ntr l proi t l fluid. h S (5) (6) Figur 5 Murs ccolés..3 Exmpls r cs : N murs ccolés échngnt vc dux fluids (figur 5). Ls surfcs isothrms sont plns t prllèls, l résistnc d un mur s écrit [rltion ()] : vc épissur du mur, S sction du mur. D où R i R R R N R b schém équivlnt R =, λ S R i =, h i S R =,..., λ S R = h S R = λ S N R T = n = R N = n λ n S h i S h S t l flux φ échngé ntr l miliu i t l miliu : (7) T i T = R T φ (8) cs : résistnc d un cylindr Ls surfcs isothrms sont ds cylindrs coxiux, l rltion () donn : r R = ln --- π λ r (9) vc r t r ryons xtériur t intériur du cylindr, longuur du cylindr. 3 cs : murs composits Si l on considèr qu chcun ds élémnts du mur (figur 6 ) st un tub d flux limité pr dux surfcs isothrms (c qui st fux dns l cs générl), on put rprésntr c mur n prmièr pproximtion pr l schém élctriqu d l figur 6 b...4 Conduction vc sourc intrn N λ N S Il st églmnt possibl d étblir un nlogi élctriqu n fisnt pprîtr un sourc d cournt t un sourc d tnsion. BE 8 6 Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu

7 Dossir délivré pour /9/8 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE B R B Y A C D E T R A T R C T 3 R E T 4 φ + X R φ T T T 3 T 4 R D T T schém du mur Figur 6 Mur composit b schém équivlnt Figur 7 Anlogi élctriqu pour un tub d cournt vc sourc intrn En rprnnt l schém d l figur 4 : φ ( s) = Ð λ ( s) S( s) dt ds (3) r r vc l rltion (8) : dφ = ps ds où p st l sourc volumiqu. T h flux d chlur rdil Soit : s φ ( s) = psds+ φ s (3) Y φ X R R R 3 φ vc φ flux à l cot s = s. T T r T r T En rportnt (3) dns (3), on obtint près intégrtion : b nlogi élctriqu s s T = Ð ps s λ S d ds Ð φ ds T λ S s s s s (3) Y X' R R 3 φ t pr suit : T T r T r T En posnt : s s φ = psds+ φ (33) c schém équivlnt Figur 8 Tmpértur d équilibr d un fil élctriqu isolé prcouru pr un cournt s s ds dr = t R = ds (rltion ()) λ S λ S près intégrtion pr prti, on obtint : s T = Ð r ( s ) psds+ psrdsð Rφ + T s (34) Ls rltions (33) t (34) trduisnt l schém élctriqu équivlnt d l figur 7 où Y st un sourc d cournt t X un sourc d tnsion donnés pr : s s s s Y = psds s X = r ( s ) psdsð psrds s s s..5 Exmpl d ppliction Clcul d l tmpértur d équilibr d un fil élctriqu isolé prcouru pr un cournt : on considèr l flux d chlur purmnt rdil (figur 8). C cs prticulir st intérssnt cr l résistnc thrmiqu d un cylindr plin st infini (R ). Il st donc nécssir d trnsformr l schém. Pr rison d symétri φ =, d où l schém équivlnt d l figur 8 c vc : d où X = X + R Y s s = r ( s ) psdsð psrds s Y = ρ j π r s Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu BE 8 7

8 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE Dossir délivré pour /9/8 ρ j r X = λ R = ln --- π λ R 3 = π h r vc j (A m ) dnsité d cournt élctriqu, ρ (Ω m) résistivité élctriqu du fil, λ t λ (W m K ) conductivité thrmiqu du fil t d l isolnt, h (W m K ) cofficint d échng xtériur. Soit, pr xmpl, l tmpértur u cntr du fil : r r Φ θ Φ θ Φ s A B C D qudripôl d'un mur pssif Z Z Φ s Z 3 b rprésnttion impédnc θ s θ s T = X + (R + R 3 ) Y + T On put évidmmnt clculr ls tmpérturs intrmédiirs T r t T r. Φ R m / R m / Φ s. Régim insttionnir θ C m θ s D mêm qu n régim prmnnt nous vons ssocié à un miliu un résistnc thrmiqu, nous pouvons n régim insttionnir ssocir un qudripôl thrmiqu... Notion d qudripôl thrmiqu : l mur pssif Nous llons xplicitr l démrch pour un mur d épissur, sns sourc intrn t à l équilibr thrmiqu à l instnt initil, soit : T = z t T = à t = (35) Applons θ, θ s ls trnsformés d Lplc ds tmpérturs n z = t z =, Φ t Φ s ls trnsformés d Lplc ds flux n z = t z =. D fçon générl, l problèm étnt linéir, il xist un rltion linéir ntr ls grndurs d ntré (θ t Φ ) t ls grndurs d sorti (θ s t Φ s ), soit : θ = A θ s + B Φ s Φ = C θ s + D Φ s (36) où l mtric AB st l mtric d trnsfrt invrs du qudripôl CD ssocié u mur (figur 9 ). L systèm (35) près trnsformtion d Lplc dvint : d θ = --- θ (37) dz dont l solution st : θ = K sh αz + K ch αz (38) vc α = ( vribl d Lplc). Figur 9 Mur pssif À l tmpértur T, on ssoci l flux φ : Après trnsformtion d Lplc : soit : c t pr suit (rltion (36)) : pproximtion pour ls étts qusi sttionnirs φ = Ð λ S z Φ = Ð λ S dθ dz sh α θ = ch α θ s Φ s λ S α Φ = λ S α sh α θ s + ch α Φ s A = D = ch α sh α B = λsα C = λ S α sh α (39) (4) (4) L systèm étnt symétriqu t pssif, il xist bin dux rltions ntr ls trms d l mtric : A = D (systèm symétriqu) AD Ð BC = (systèm pssif) En prtiqu, cs qudripôls s utilisnt comm n élctricité, soit pr ssocition d mtrics (n cscd ou n prllèl), soit pr ssocition d impédncs. En fft, un qudripôl pssif put toujours s rprésntr pr trois impédncs n T ou n π (figur 9 b). Dns l cs générl d qudripôl pssif : A Ð D Ð Z 3 = ---, Z = , Z = l C C C BE 8 8 Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu

9 Dossir délivré pour /9/8 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE Φ θ R c Φ s θ s R c Φs Φ /hs Φ Figur Qudripôl résistnc d contct θ s θ Φ Φ / hs s θ θ s Figur Qudripôl cofficint d échng / hs Mur Cofficint d'échng Figur Rprésnttion d un flux surfciqu imposé dns lqull φ st l flux surfciqu imposé t s rprésnt simplmnt pr l figur, t n écritur mtricill pr : Dns l cs du mur : θ s hs = + Φ s Φ θ Φ ch α Ð Z = Z = λ S α sh α Z 3 = λ S α sh α Dns l limit d prturbtion périodiqu d fibl fréqunc, ou pour ds tmps suffismmnt longs, c st-à-dir lorsqu l nombr d Fourir ssocié st grnd ( t/ >> soit α ), on rtrouv l schém clssiqu d l figur 9 c, n fft : R Z = Z = m λ S Z = ρc S C m (résistncs purs) (cpcité pur).. Qudripôl ssocié à un contct solid-solid L rprésnttion ds contcts thrmiqus n régims trnsitoirs fit ppl à ds modèls plus ou moins complxs qu il st toujours possibl d intrprétr n trm d qudripôl ; dns l pluprt ds cs, l modèl résistif st suffisnt (figur ) : T T = R c φ..3 Qudripôl ssocié ux conditions ux limits d typ Fourir L rprésnttion st idntiqu u modèl résistif d contct (figur ) : φ = h S (T T )..4 Sourcs d chlur loclisés Pr nlogi, ls sourcs d chlur loclisés ux intrfcs ou sur ls limits du systèm sont rprésntés pr ds sourcs d cournt ; il n st insi pour un condition ux limits du typ : φ s = h S (T s T ) + φ vc Φ trnsformé d Lplc d φ (t)...5 Sourcs intrns t déséquilibr initil d tmpértur Considérons un mur d épissur présntnt ds sourcs d chlur intrns crctérisés pr un puissnc volumiqu fonction du tmps t d l spc t un déséquilibr thrmiqu à l instnt initil : T f ( z, t) = z λ t T = h ( z) à t = Appliquons l trnsformé d Lplc : d θ h ( z) F ( z, ) = --- θ dz λ vc F trnsformé d Lplc d f. L solution st d l form : (4) (43) θ = K sh αz + K ch αz + y (44) vc α = t y ( z, ) un solution prticulièr d (43) qui put êtr obtnu pr l dévloppmnt suivnt : y ( z, ) F ( z, ) --- F F = ρc z z 4 K t K sont clculés à prtir d θ s t Φ s ; nous n déduisons lors ls grndurs d ntré θ t Φ, qu nous écrivons n rprésnttion mtricill sous l form : h ( z) h h ( 4) + θ AB = Φ CD θ s X + Φ s Y Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu BE 8 9

10 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE Dossir délivré pour /9/8 θ Φ X Y Φ s θ s L miliu échng vc l miliu xtériur pr convction (cofficint d échng h ), d mêm l miliu échng vc l miliu intériur (cofficint d échng h ). Un flux dirct [φ D (t)] st bsorbé pr l surfc xtrn du miliu. Nous désirons connîtr l vrition d tmpértur du miliu intrn [T i (t)] [u tmps t = l systèm st supposé à l équilibr : T (t = ) = ]. L figur 4 rprésnt l schém du mur, l figur 4 b s rprésnttion impédnc. L résolution dns l spc d Lplc st lors élémntir : Figur 3 Mur vc sourcs intrns θ A B = Φ C D R c A B C D h S θ i b = Φ i c d θ i Φ i vc A, B, C, D mêms xprssions qu dns l cs du mur pssif (indépndnts ds sourcs) [rltion (4)], X un sourc d tnsion t Y un sourc d cournt : X = y( ) Ð y( ) ch α + y ( ) sh α α Y = Ðλ S [ y ( ) + y( ) α sh α Ð y ( ) ch α] L figur 3 donn un rprésnttion impédnc du mur vc sourcs...6 Extnsions ux géométris cylindriqus t sphériqus D plus : θ = θ i + b Φ i Φ = c θ i + d Φ i θ i = Φ C m i θ = θ Φ h S Φ = Φ Ð Φ D Nous pouvons étblir d l mêm fçon ls qudripôls ssociés u cylindr t à l sphèr (r t r sont ls ryons intériur t xtériur du domin). Pour l cylindr : A = α r [K (α r ) I (α r ) + K (α r ) I (α r )] B = [ K ( α r ) I ( α r ) Ð K ( α r ) I ( α r )] π λ C = π ρc r r [ K ( α r ) I ( α r ) Ð K ( α r ) I ( α r )] D = α r [K (α r ) I (α r ) + K (α r ) I (α r )] Pour l sphèr : r sh α ( r A --- ch α ( r Ð r ) Ð r ) = Ð r α r B sh α ( r Ð r ) = π r r α λ C 4 π r λ r Ð --- = ch α ( r r Ð r ) + α r Ð sh α ( r α r Ð r ) r sh α ( r D --- ch α ( r Ð r ) Ð r ) = r α r..7 Exmpl. Mur composit soumis à un ryonnmnt solir Un proi bicouch constitué d dux miliux ( t ) n contct imprfit (résistnc d contct R c ) sépr un miliu xtériur à tmpértur T (t) d un miliu intériur supposé isothrm (cpcité thrmiqu du miliu C m ). soit : θ i ( ) (45) L trnsformé invrs d Lplc s ffctu évidmmnt d fçon numériqu vu l complxité d l xprssion (45)...8 Rmrqu θ ( ) Φ D ( ) h S = c C C m b m d h S h S Nous vons présnté l méthod ds qudripôls n s plçnt dns l spc d Lplc ; il st évidnt qu, pour ds régims périodiqus étblis, il st plus intérssnt d opérr un décomposition n séri d Fourir t insi d trvillr n régim sinusoïdl étbli, soit : T = T m xp (i ω t) φ = φ m xp (i ω t) L éqution (37) t l rltion (39) dvinnnt : d T m i ω = T dz m φ m λ S dt m = Ð dz L rst du dévloppmnt st lors inchngé ; il suffit d rmplcr dns ls résultts pr i ω, θ pr T m t Φ pr φ m. BE 8 Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu

11 Dossir délivré pour /9/8 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE Φ D (t) Miliu xtériur Miliu intériur T h h T i schém du mur Φ D Φ / h S Φ R c / h S Φ i θ θ C m θ i b Miliu Miliu rprésnttion impédnc du mur Figur 4 Mur composit soumis à un ryonnmnt dirct.3 Extnsion d l méthod ds qudripôls L méthod qu nous vnons d présntr prmt d réduir un problèm d trnsfrt conductif à un ssmblg bin choisi d qudripôls. Dns crtins cs prticulirs, il st possibl d bâtir d utrs qudripôls qu cux présntés ici ; nénmoins l limit d l tchniqu st lié à l linérité du systèm. Dns c cdr un xtnsion st possibl à l écoulmnt fluid unidirctionnl à vitss constnt (écoulmnt dns un cnlistion), c qui rvint à joutr un trm convctif à l éqution d diffusion t d fçon plus générl à écrir : T α Ð Ð γ T = z z t T = à t = ( α t γ sont ds constnts) Si l on ssoci l flux conductif : φ = Ð λ S z près trnsformtion d Lplc, on obtint : 3. Applictions à l conduction bidirctionnll ou tridirctionnll Dns l cs d conduction bidirctionnll ou tridirctionnll, il xist dux pprochs rdiclmnt différnts : soit on rchrch un solution pproché : pr un nlys physiqu on v réduir l nombr d dimnsions d spc du problèm pour n fir un problèm globlmnt unidirctionnl, l méthod ds qudripôls st lors pplicbl ; soit on rchrch un solution l plus précis possibl : pour cl on fr ppl ux méthods générls d résolution d équtions ux dérivés prtills. 3. Réduction du nombr d dimnsions 3.. Miliu à tmpértur uniform : dimnsion où : θ Φ = xp ( Ð α) A B C D θ s Φ s Lorsqu un solid d conductivité élvé, d fibls dimnsions, st soumis à ds trnsfrts suprficils modérés, c st-à-dir lorsqu l résistnc intrn st négligbl dvnt l résistnc xtrn (nombr d Biot ssocié à c solid ptit, n prtiqu infériur à,), nous pouvons lors considérr qu s tmpértur rst uniform à chqu instnt, soit l biln : α A = -- sh k + ch k k B = sh k λ k S φ dt = m c dt (46) (L vrition d l énrgi intrn du solid st égl u flux trnsmis à trvrs l intrfc pndnt l intrvll d tmps dt.) Pr xmpl, dns l cs d un échng suprficil crctérisé pr un cofficint h vc un miliu à l tmpértur T (figur 5 ) : C = Ð λ S α sh k + λ k S sh k k soit : ρc v dt = h S (T T ) dt (47) vc k = γ + α. D = ch k Ð -- α sh k k vc ρc v ζ = h S T T T = (T T ) xp ( t/ζ) constnt d tmps du systèm, tmpértur initil. Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu BE 8

12 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE Dossir délivré pour /9/8 h V T (t ) L dz T S échng suprficil vc un miliu à l tmpértur T z Φ Φ s S h T Φ iltt cylindriqu θ θ s mc P Φ R R Φ s qudripôl cpcité Figur 5 Miliu à tmpértur uniform b T T R 3 T s T chαl λsαchαl shα L λαs chαl (Il fut rmrqur qu c st l sul cs où nous pouvons définir un constnt d tmps, cll-ci n st ps un grndur intrinsèqu u solid puisqu dns son xprssion intrvint h.) Après trnsformtion d Lplc, l xprssion (46) dvint : t l qudripôl ssocié (figur 5 b) : 3.. Approximtion d l iltt Lorsqu ls conditions précédnts (nombr d Biot <,) n sont vérifiés qu dns dux dirctions d l spc, il st possibl d réduir un problèm tridirctionnl n un problèm unidirctionnl, ls échngs surfciqus vc l xtériur étnt trduits pr un trm sourc dns l éqution d l chlur. À titr d xmpl, nous donnons ls résultts concrnnt l cs d un iltt à sction constnt n géométri crtésinn (ils s étndnt sns difficulté à d utrs géométris) Régim prmnnt En pplnt S l ir, m l périmètr d l sction d l iltt t h l cofficint d échng, un biln d flux sur un volum d épissur dz nous donn (figur 6 ) : soit : Φ = m c θ Φ Ð Φ s = m c θ φ z+dz = φ z h m dz (T T ) d T h m Ð ( T Ð T dz λ S ) = (48) L rltion (48), pplé éqution d l iltt n régim prmnnt, put s trduir pr un qudripôl dont, évidmmnt, tous ls élémnts sont résistifs (figur 6 b) : vc : ch α L Ð R = R = λ S α sh α L R 3 = λ S α sh α L où : α = h m/λ S (49) b Figur 6 Ailtt cylindriqu n régim prmnnt (Il st églmnt possibl d joutr à l éqution (48) ds sourcs intrns qui s tritnt d fçon idntiqu u prgrph..5.) 3... Régim insttionnir qudripôl iltt n régim prmnnt L éqution d l iltt dvint (n présnc d évntulls sourcs intrns) : T h m Ð [ T Ð T z λ S () t ] + -- f ( z, t) = λ t T = h( z) à ( t = ) Appliquons l trnsformé d Lplc : d θ h m h m θ θ dz λ S λ S ( ) --- θ h ( z) Ð + = Ð Ð -- F ( z, ) λ d θ h m Ð θ + -- G ( z, ) = dz λ S λ h m vc G ( z, ) = F ( z, ) θ S ( ) + ρc h ( z) où F st l trnsformé d Lplc d f. Nous trouvons un xprssion idntiqu à cll du mur n posnt : h m λ S α = à l plc d α = --- α t pr suit l mêm qudripôl (..) Régim insttionnir : iltt smi-infini Dns d nombrux cs, ls iltts présntnt un longuur L suffisnt pour qu l on puiss considérr l systèm comm smiinfini. Dns c cs, l problèm n d sns qu si l tmpértur xtériur T st constnt. L solution (n l bsnc d sourc intrn t à l équilibr d tmpértur vc l xtériur u tmps t = ) st donné pr : θ θ = (θ θ ) xp ( α z) BE 8 Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu

13 Dossir délivré pour /9/8 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE vc α h m = λ S soit : Φ = Ð λ S θ = α λ S ( θ z Ð θ ) z = d où l qudripôl d l figur 7. θ Φ Z θ Figur 7 Qudripôl iltt smi-infini n régim insttionnir On rmrqur qu pour h =, on obtint l impédnc d un mur smi-infini : Z = S λ ρc Ctt impédnc n Ð st fondmntlmnt différnt d cll ssocié u miliu à tmpértur uniform (n Ð ) Utilistion ds tmpérturs moynns Lorsqu il n st ps util d connîtr l tmpértur n chqu point d un surfc mis sulmnt l tmpértur moynn d ctt surfc t si, d plus, l limit du systèm suivnt ls utrs xs d coordonnés st dibtiqu (dns l cs contrir on pourr fir un hypothès d iltt), nous obtnons un systèm d équtions unidirctionnl n tmpérturs moynns. Il suffit lors d rmplcr ls tmpérturs d ntré t d sorti pr ls vlurs moynns t d utilisr ls résultts précédnts. Prnons pr xmpl un solid qui rçoit à l instnt t = dux sourcs xtrns (flux) q (t) t q (t) sur un d ss fcs (n S t S ) ; ls surfcs ltérls n échngnt ps d chlur vc l miliu xtériur, l solid étnt initilmnt à l équilibr d tmpértur (figur 8 ). L tmpértur moynn s écrit : T = -- T d x dy S ( S ) t pr suit l modèl mthémtiqu d ct xmpl st : T = z t T = à t = S rprésnttion, dns lqull Q ( ) st l trnsformé d Lplc d q (t) + q (t), st donné figur 8 b. Si, d plus, ls surfcs z = t z = sont isolés, lors A Φ = Φ s = t θ s = --- Q t θ = --- Q. C C 3..4 Notions d constriction ds ligns d flux Dns l cs d un fort réduction d l sction d pssg du flux, il xist un courbur ds ligns d cournt qui ngndr n régim prmnnt un résistnc supplémntir t un impédnc dns hmsλ + λρc P S θ Figur 8 Miliu à tmpértur moynn Figur 9 Constriction n régim prmnnt l cs d régim insttionnir (nous vous rnvoyons ux référncs bibliogrphiqus pour l détil ds clculs) Régim prmnnt z Φ A C y q (t) S Surfcs dibtiqus Prnons pr xmpl l systèm d dux miliux d l figur 9. Supposons l flux nul sur ls surfcs ltérls t sur l surfc z = pour r < r < r ; nous désirons clculr l flux trvrsnt l systèm lorsqu ls fcs z = Ð t z = + sont portés à T t T. Pour cl, il st nécssir, soit d résoudr l problèm xct (difficil), soit, si un vlur pproché st suffisnt, d utilisr l notion d résistnc thrmiqu. L clcul n sr qu pproché cr l surfc d contct ntr l miliu t l miliu n st ps un isothrm t nous n pouvons dns c cs définir d fçon intrinsèqu B D S q (t) schém ds conditions ux limits b Q x rprésnttion qudripôl r r r z Φ s illustrtion d l notion d constriction φ b R m R c nlogi élctriqu R m T T θ s Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu BE 8 3

14 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE Dossir délivré pour /9/8 un résistnc du miliu ou du miliu. Nous chrchons l résistnc du miliu sous l form : T Ð T = R T φ r vc T = r T dr n z = r Tous clculs fits, nous obtnons : Métl I Métl II Isolnt minc condnstur norml Absnc d'isolnt Métl I Métl II Isolnt b condnstur détruit R T = R m + R C vc R C résistnc d constriction, R m résistnc du miliu non prturbé (résistnc du miliu lorsqu ls ligns d cournt sont prllèls à l x z) : Figur Condnstur élctrochimiqu R m = λ π r L résistnc d constriction dépnd n prticulir d r mis ussi d r, d t ds hypothèss fits u nivu thrmiqu n z = t z = Ð (dnsité d flux uniform ou tmpértur uniform ou utr). Ls cs limits sont obtnus n fisnt tndr t r vrs l infini ; n fft, dns c cs R m st nul t R C n dépnd plus qu d r t d l condition n z =, soit : Miliu non prturbé Z c Constriction rprésnttion qudripôl 8 R C = π λ r vc l hypothès d dnsité d flux uniform, Z c R C = λ r vc l hypothès d tmpértur uniform. b qudripôl constriction Ls vlurs obtnus dns ls cs limits sont utilisbls tnt qu t r sont supériurs à fois r ; d plus, ls dux vlurs sont très prochs l un d l utr. L schém générl du systèm st décrit à l figur 9 b où R m = λ π r Figur Constriction n régim insttionnir Φ Φ s Commntir On rtrouv dns cs résistncs d constriction, qui s présntnt églmnt dns l déplcmnt ds chrgs élctriqus, un comportmnt fondmntlmnt idntiqu mis dont l spct prtiqu st complètmnt modifié pr l fit qu nous vons déjà signlé (.) : un rpport qusi infini d l conductivité élctriqu ds conducturs rltivmnt à cll ds isolnts n rgrd du rpport corrspondnt n thrmiqu. Soit ls cs d l figur qui rprésntnt pr xmpl un condnstur élctrochimiqu norml (figur ) t détruit pr un contct métl-métl ccidntl uniqu t qusi ponctul (figur b). Dns l cs norml (mêm pour ds couchs très mincs), l isolnt élctriqu st qusi prfit ; l résistnc d contct thrmiqu st n rvnch fibl puisqu l isolnt conduit tout d mêm (ml) l énrgi thrmiqu. Dns l cs d l figur b, l diminution d résistnc thrmiqu du u pssg préférntil du flux pr l point conductur pr constriction rst très modéré si c n st indéclbl. Élctriqumnt, n rvnch, c contct équivut prtiqumnt à un court-circuit. θ Mur Constriction Mur Figur Rprésnttion impédnc dns l cs générl Régim insttionnir D l mêm fçon, nous démontrons qu l qudripôl ssocié u miliu prturbé (miliu, figur 9 ) st l ssocition d dux qudripôls n cscd (figur ). L qudripôl constriction st défini à l figur b. Dns l cs limit ( t r grnds dvnt r ), l impédnc st donné pr : Z C R 3 π J C ( ε) = dε 4 ε ε + r vc J fonction d Bssl d r spèc d ordr, ε vribl d intégrtion. L schém générl du systèm st décrit à l figur. Dns l cs d régim qusi prmnnt, on obtint l schém d l figur 3. θs BE 8 4 Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu

15 Dossir délivré pour /9/8 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE R R R R c R C C 3... Problèms prmnnts homogèns (typ II) L systèm à résoudr s présnt sous l form suivnt : T (r) = sur D (53) λ i h i T = δ ij f () r n i sur Σ i (54) où δ ij = si i j Figur 3 Rprésnttion impédnc pour un régim qusi prmnnt 3. Méthods générls Nous n pouvons donnr ici, n détil, l nsmbl ds méthods prmttnt l résolution d équtions ux dérivés prtills ; ussi nous rnvoyons l lctur ux ouvrgs cités n référnc pour lur utilistion. Globlmnt, nous pouvons divisr ls méthods n dux groups ; dns l prmir nous trouvons ls méthods d résolution nlytiqu qui n puvnt êtr utilisés qu pour ds problèms linéirs à géométri simpl : séprtion ds vribls ; méthods d suprposition ; théorèm d Duhml ; fonction d Grn ; trnsformtions intégrls ; trnsformtion d Lplc. Dns l scond, nous trouvons ls méthods d résolution numériqus t, n prticulir, ls cods d clcul pr élémnts finis, différncs finis ou volums finis. Nous nous limitrons dns ct xposé à ds miliux isotrops, à crctéristiqus thrmiqus constnts, à géométri simpl (c st-àdir un sul miliu prllélépipédiqu, cylindriqu ou sphériqu) t présntnt ds conditions ux limits linéirs ; t nous présntrons uniqumnt ls méthods d résolution nlytiqu. 3.. Différnts typs d problèms On put rgroupr l nsmbl d cs problèms n cinq typs Problèms trnsitoirs homogèns (typ I) L systèm à résoudr s présnt sous l form suivnt : T ( r, t) r, t = ( ) t sur D, t > (5) λ i h i T = n i sur Σ i, t > (5) T (r, ) = F (r) sur D, t = (5) vc r n i vribls d spc, dérivé norml sur l frontièr Σ i, λ i = λ ou slon l condition ux limits sur Σ i. C systèm n comport ps d sourc, ni intrn, ni surfciqu (ls équtions sont sns scond mmbr xcpté l condition initil). = si i = j (j prnd un vlur compris ntr t 6 slon l position d l sourc) C systèm n comport qu un sul sourc surfciqu (ls équtions sont sns scond mmbr xcpté un condition ux limits sur l frontièr Σ j ) Problèms prmnnts vc sourc intrn (typ III) L systèm à résoudr s présnt sous l form suivnt : T () r + -- g () r = λ λ i h i T = n i sur D (55) sur Σ i (56) L sourc intrn n st fonction qu d l spc ; il n y ps d sourc surfciqu Problèms trnsitoirs vc sourcs prmnnts (typ IV) L systèm à résoudr s présnt sous l form suivnt : r, t T ( r, t) + -- g () r = ( ) λ t λ i h i T = f i () r n i sur D, t > (57) sur Σ i, t > (58) T (r, ) = F (r) sur D, t = (59) Problèms trnsitoirs vc sourcs vribls (typ V) L systèm à résoudr s présnt sous l form suivnt : r, t T ( r, t) + -- g ( r, t) = ( ) λ t λ i h i T = f i ( r, t) n i sur D, t > (6) sur Σ i, t > (6) T (r, ) = F (r) sur D, t = (6) Commntirs Dns tous ls cs l géométri doit êtr simpl, c qui s trduit pr l fit qu ls limits du systèm sont donnés pr un rltion du typ : r = Ct Dns tous ls cs, l systèm st à cofficints constnts, c st-à-dir : = Ct, λ = Ct, h i = Ct (sur un limit donné). Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu BE 8 5

16 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE Dossir délivré pour /9/8 3.. Différnts méthods Nous llons nvisgr ici ls méthods ls plus intérssnts pour résoudr l nsmbl ds problèms précédnts. Méthod d l séprtion ds vribls Ctt méthod prmt d résoudr dirctmnt ls problèms «homogèns», c st-à-dir ls problèms d typ I t II. Pour résoudr ls problèms d typ III, il st nécssir d ffctur un chngmnt d fonction qui rmèn l problèm à un problèm d typ II. Ls problèms d typ IV doivnt êtr réduits pr suprposition (utilistion d l linérité) à plusiurs problèms d typ I, II t III. Méthod impulsionnll Ctt méthod prmt d résoudr un cs prticulir du typ V ; ls problèms n comportnt qu un sul sourc soit surfciqu, soit intrn. Fonction d Grn L fonction d Grn ssocié à un systèm linéir, rprésnt l répons du systèm à un sourc ponctull (loclisé n spc) t impulsionnll (Dirc n tmps). Connissnt l fonction d Grn, on résout ls problèms du typ V pr ds produits d convolution n tmps t ds intégrls n spc. L fonction d Grn st l trnsformé invrs d Lplc d l fonction d trnsfrt du systèm. Trnsformés intégrls n spc L tchniqu consist à trnsformr l éqution ux dérivés prtills n éqution différntill ordinir n tmps pr trnsformtions intégrls ds coordonnés d spc. L tchniqu s ppliqu à tous ls cs t n prticulir u typ V. Trnsformé d Lplc n tmps L trnsformé d Lplc, déjà utilisé pour ls problèms unidirctionnls, put églmnt srvir dns ls problèms d typ V. L trnsformé d Lplc st ssocié soit à d l séprtion ds vribls sur l spc, soit à ds trnsformés intégrls sur l spc. Un méthod prformnt consist à ssocir n trnsformtions intégrls sur l spc (n, nombr d coordonnés d spc du problèm) t l trnsformtion d Lplc sur l tmps t à s rmnr insi à un qudripôl du mêm typ qu cux déjà utilisés n trnsfrt unidirctionnl. Nous llons détillr l méthod d l séprtion ds vribls t l méthod impulsionnll. Pour ls utrs méthods, nous donnrons uniqumnt l princip t un xmpl. 3.3 Séprtion ds vribls Nous llons ppliqur ctt méthod succssivmnt ux divrs typs d problèms Problèms trnsitoirs homogèns (typ I) Princip On écrit l tmpértur sous l form : T (r, t) = Ψ (r ) Γ (t) l éqution (5) dvint : Ψ () r = dγ () t Ψ () r Γ () t dt L mmbr d guch n dépnd qu d r, clui d droit qu d t ; pour qu l éqution soit vérifié, ls dux trms doivnt êtr indépndnts d r t d t ; soit Γ (t) solution d : dγ () t = Ð α Γ () t dt Γ (t) = C xp ( α t) t Ψ (r) solution du problèm ux vlurs proprs suivnt : Ψ (r) + α Ψ (r) = sur D (63) λ i Ψ + h i Ψ = sur Σ i (64) n i Il xist un infinité d solution Ψ n (r) pour ls α n vlurs proprs. D où ls solutions prticulièrs qui stisfont ls rltions (5) t (5) : L solution générl st obtnu pr un combinison linéir ds solutions prticulièrs ; soit : Dns l cs où α = st vlur propr ; l solution générl s écrit : t (65) Ls C n sont clculés pour stisfir l condition initil (5), soit : On utilis ls propriétés d orthogonlité ds fonctions proprs : vc d où t pr suit l solution générl n rmplçnt C n pr s vlur dns l rltion (65). L problèm ux vlurs proprs put êtr résolu pr séprtion ds vribls dns crtins cs d géométri simpl ; n prticulir n coordonnés crtésinns, cylindriqus ou sphériqus Systèms d coordonnés crtésinns on pos : T n ( r, t) = C n Ψ n () r xp ( Ð α n t) T ( r, t) = C Ψ n n () r xp ( Ð α n t) n = T ( r, t) = C Ψ () r + C Ψ n n () r xp ( Ð α n t) n = N n = D D C Ψ n n () r = F () r n = Ψ n () r Ψ m () r p () r d r = si α n α m Ψ n () r Ψ m () r p r Ψ n () r p () r dr D D () d r = N n si α n = α m C n = Ψ n () r p () r F () r dr N n Ψ Ψ Ψ Ψ = x y z Ψ = X (x) Y (y) Z (z) BE 8 6 Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu

17 Dossir délivré pour /9/8 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE L systèm (63) (64) dvint : soit : vc β + γ + η = α d où ls solutions : X = A cos βx + β sin βx Y = C cos γy + D sin γy Z = E cos ηz + F sin ηz Ls conditions ux limits (64) prmttnt d clculr ds rltions ntr A t B, C t D, E t F t ls vlurs proprs du problèm β, γ t η (il y conditions ux limits pr coordonné). Dns l cs d coordonnés crtésinns l poids st égl à. Exmpl : Miliu fini unidirctionnl, isolé sur un fc t à tmpértur imposé sur l utr (figur 4). Soit l systèm : soit : -- d X d Y d Z α = X dx Y dy Z dz T x = t -- d X = Ð β X dx -- d Y = Ð γ Y dy -- d Z = Ð η Z dz < x <, t > (66) = x x =, t > (67) T = x =, t > (68) T = f (x) < x <, t = (69) On pos : T = X (x) Γ (t) X (x) = A cos α n x + B sin α n x Γ () t = xp ( Ð α n t) (67) donn : A α n sin α n x + B α n cos α n x = B α n = soit : B = (68) donn : A cos α n = soit : α n = (n )π/ soit l solution : T ( x, t) = A n cos α n x xp ( Ð α n t) n = Il rst à clculr ls cofficints A n, pour s fir on utilis l condition initil (69) : T ( x, ) = A n cos α n x = F ( x) n = On utilis ls propriétés d orthogonlité ds fonctions cos α n x sur l domin [, ], pour cl on multipli à droit t à guch pr cos α m x dx t on somm sur l domin [, ], soit : A n cos α n x cos α m x d x = F ( x) cos α m x dx n = soit : A n cos α n x cos α m x dx = F ( x) cos α m x dx n = Exmpl : pour n m : cos α n x cos α m x dx = Il rst donc (n rmplçnt m pr n dns ls nottions) : A n cos α n x d x = F ( x) cos α n x dx soit : F ( x) cos α n x dx A n = = -- F ( x) cos α n x dx cos α n x dx Exmpl : Miliu fini unidirctionnl mis isolé sur ls dux fcs. (68) dvint : = x =, t > x L solution α = xist, soit : X (x) = A + B x Ls conditions (66) t (68) donnnt B = Ls solutions α donnnt : d où l solution générl : vc t X (x ) = A n cos α n x vc α n = ηπ T ( x, t) = A + A n cos α n x xp ( Ð α n t) n = A n = --- F ( x) cos α n x dx Figur 4 Miliu fini unidirctionnl A = --- F ( x) dx x Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu BE 8 7

18 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE Dossir délivré pour /9/ Autrs systèms d coordonnés On n donn qu l cnvs d l solution Systèms d coordonnés cylindriqus on pos : Ψ = R (r) Φ ( ) Z (z) L systèm (63) (64) dvint : On sépr pr morcux cr l fonction Φ st couplé vc r : d où ls solutions : Z = A cos βz + B sin βz F = C cos γ + D sin γ R = E J γ (ηr) + F Y γ (ηr) où J γ t Y γ sont ls fonctions d Bssl d ordr γ d r t spèc. Commntir R dépnd d γ, vlurs proprs d Φ. Dns l cs prticulir d un symétri d révolution ( Ψ (r, z)), l séprtion s fit d l mêm fçon qu n systèm crtésin Systèms d coordonnés sphériqus on pos : on pos : µ = cos θ t U = R (r) M (µ) Φ ( ) Comm précédmmnt, on sépr pr morcux : d où ls solutions : Ψ Ψ Ψ Ψ Ψ = r r r r z --- d R dr ---- R dr r dr r --- d Φ d Z α = Φ d Z dz -- d Z = Ð β Z dz --- d Φ Φ d = Ð γ --- d R dr γ Ð = Ð η R dr r dr r vc α = η + β Ψ Ψ Ψ r r r sin θ sin θ Ψ Ψ = θ θ r sin θ r U = U U U U ( Ð r r r 4 r r µ) U U = + Ð µ µ r ( Ð µ ) rψ --- d Φ Φ d = Ð γ --- d R dr n + R dr r dr -- Ð ---- = Ð α r ---- d ( Ð µ M ) dm γ + n ( n + ) Ð = dµ dµ Ð µ Φ = A cos γ + B sin γ R = C J n + / (αr) + D Y n + / (αr) M = E Pγ n ( µ ) + F Qγ n ( µ ) où Pγ n t Qγ n sont ls fonctions d Lgndr d dgré n, d ordr γ d r t spèc. Commntir M dépnd d γ vlurs proprs d Φ t R dépnd d n vlurs proprs d M. Dns l cs prticulir d l symétri sphériqu ( Ψ (r)), à l plc du chngmnt d fonction U = rψ, on préfèr V = r Ψ, on s rmèn lors à un problèm pln unidirctionnl Cs prticulirs En coordonnés crtésinns T (x, y, z, t) ou cylindriqus vc symétri d révolution T (r, z, t) ; si l condition initil put s mttr sous l form d un produit d fonctions à un sul vribl, soit : ou T (x, y, z, ) = F (x) F (y) F 3 (z) T (r, z, ) = F (r) F (z) l solution st lors l produit d solutions d problèms unidirctionnls ; on pos : T (x, y, z, t) = X (x, t) Y (y, t) Z (z, t) ou T (r, z, t) = R (r, t) Z (z, t) Exmpl : Plqu pln. T T = < x< ; < y< b ; t > x y t Ð λ h T = x = ; t > x + λ h T = x = ; t > x Ð λ h 3 T = y = ; t > y + λ h 4 T = y = b ; t > y T = F ( x) F ( y) sur D ; t = on pos T (x, y, t) = X (x, t) Y (y, t) vc : X = X x Ð λ X + h X = x = x + λ X + h X = x = x X = F ( x) t = Y = Y y t Ð λ Y + h 3 Y = y = y + λ Y + h 4 Y = y = b y Y = F ( y) t = BE 8 8 Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu

19 Dossir délivré pour /9/8 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE Figur 5 Plqu pln n régim prmnnt 3.3. Problèms prmnnts homogèns (typ II) Princip On st n présnc d un régim prmnnt vc un sul sourc surfciqu ; on utilis l condition ux limits non homogèn (vc scond nombr) d fçon idntiqu à l condition initil ds cs précédnts (typ I) Exmpl Plqu pln n régim prmnnt (figur 5). On pos soit d où T T = x y b y < x < ; < y < b (7) T = x = (7) T = x = (7) = y y = b (73) T = f (x) y = (74) T = X (x) Y (y) -- d X d Y = X dx Y dy -- d X = ε α X dx -- d Y = Ð ε α Y dy L choix d ε st imposé pr l condition non homogèn ; il fut pouvoir dévloppr l scond mmbr d ctt condition n séri d fonctions proprs ; ici f (x) d où ε =. D fçon générl, l coordonné sur lqull st imposé l condition non homogèn jou un rôl différnt ds dux utrs. D où pour α, ls solutions sont d l form : T = [A cos α x + B sin αx] [xp ( α y) + C xp (α y)] L ppliction ds conditions ux limits homogèns donn : (7) impliqu A = ; (7) impliqu sin α = soit α n = nπ ; (73) impliqu C = xp ( α b) ; d où T = B n sin α n x [xp ( α n y) + xp ( α n b + α n y)] qu l on put écrir n chngnt l constnt : T = D n sin α n x ch α n (y b) x vc ε = ± pour α = l solution st d l form : T = (A + B x) (C + y) l ppliction ds conditions (7) t (7) montr qu ctt solution n xist ps ; d où l solution générl : On utilis l condition non homogèn (74) pour clculr ls D n : n y = soit, n utilisnt ls propriétés d orthogonlité ds fonctions proprs : soit Autrs systèms d coordonnés Coordonnés crtésinns (x, y, z) On pos : soit pr xmpl : d où ls solutions : T = D n sin α n x ch α n ( y Ð b) n = T ( x, ) = D n sin α n x ch α n b = f ( x) n = sin α n x f ( x) dx D n ch α n b = sin α n x dx T = X (x) Y (y) Z (z) X = A cos βx + B sin βx Y = C cos γy + D sin γy ou touts utrs combinisons pr prmuttion circulir sur ls coordonnés Coordonnés cylindriqus (r,, z) sin α n x f ( x) dx D n = ch α n b T T T T = x y z -- d X = Ð β X dx -- d Y = Ð γ Y dy -- d Z = β + γ Z dz Z = E sh β + γ z + F ch β + γ z T T T T = r r r r z Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu BE 8 9

20 TRANSMISSION DE L ÉNERGIE THERMIQUE Dossir délivré pour /9/8 on pos : soit : Soit : d où ls solutions : T = R (r) Φ ( ) Z (z) -- d Z = Ð β Z dz --- d Φ = Ð γ Φ d --- d R R dr dr r dr Ð γ Ð β = r Z = A cos βz + B sin βz Φ = C cos γ + D sin γ R = E I γ (βr) + F K γ (βr) d où ls solutions : --- d Φ = Ð γ Φ d --- d R dr n ( n + ) Ð = R dr r dr r d ( Ð µ ) dm γ n ( n + ) Ð = M dµ dµ Ð µ Φ = A cos γ + B sin γ R = C r n + D r n M = E Pγ n ( µ ) + F Qγ n ( µ ) vc r n t r n ls fonctions d Eulr-Cuchy. vc I γ t K γ ls fonctions d Bssl modifiés d ordr γ d r t spèc soit : -- d Z = β Z dz Problèms prmnnts vc sourc intrn (typ III) Princip d où ls solutions : --- d Φ = Ð γ Φ d --- d R dr R dr r dr Ð γ + β = r Z = A ch βz + B sh βz Ls solutions ds problèms du typ III n sont ps à vribls séprés. L princip d résolution, consist à trnsformr l systèm d typ III n systèm d typ II pr chngmnt d fonction. Si on ppll S (r) un solution prticulièr d l éqution (55), on pos : Exmpl θ (r) = T (r) S (r) Φ = C cos γ + D sin γ R = E Jγ (βr) + F Yγ (βr) Coordonnés sphériqus (r, θ, ) T T ( Ð µ ) T = r r r r µ µ r ( Ð µ ) On pos : T = R (r) M (µ) Φ ( ) y b g Plqu pln n régim prmnnt vc sourc intrn uniform (figur 6). On pos : T T g x y = < x < ; < y< b λ = x = x T = x = = y = y T = y = b T (x, y) = θ (x, y) + S (x, y) x Figur 6 Plqu pln n régim prmnnt vc sourc intrn uniform ici, vc : S ( x, y) g = Ð x + A λ BE 8 Tchniqus d l Ingéniur, trité Géni énrgétiqu

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