Prise en compte du coût des sinistres dans les systèmes bonus-malus

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1 rse en compte du coût des snstres dans les systèmes bonus-malus Jean nquet avrl 996 Je remerce Georges Donne d avor motvé ce traval, ans que Chrstan Gouréroux et deux rapporteurs anonymes pour leurs commentares. Cette recherche a reçu une ade nancère de la Fédératon Françase des Socétés d Assurance.

2 Résumé Le but de ce paper est d ntégrer les coûts des snstres dans la tar - caton a posteror des contrats d assurance. On y expose une méthode de bonus-malus sur la prme pure des contrats, ceux-c étant tarfés à partr de caractérstques ndvduelles. Des résultats emprques sont présentés, qu résultent de l étude d un cher d assurés automoble. Abstract The objectve of ths paper s to make allowance for cost of clams n experence ratng. We desgn here a bonus-malus system for the pure premum of nsurance contracts, from a ratng based on ther ndvdual characterstcs. Emprcal results are presented, that are drawn from a French data base of automoble nsurance contracts.

3 3 Introducton Les modèles bayésens (Bühlmann (967)) permettent une tar caton a posteror des contrats d assurance, le prédcteur d un rsque ndvduel étant une moyenne pondérée de la snstralté moyenne sur le portefeulle et de celle observée sur le contrat. Ces modèles permettent de valder les formules de crédblté, tarfant a posteror les rsques à partr de moyennes du type précédent. Dans le cas de l assurance automoble, un système de bonus-malus sur la fréquence des snstres est obtenu en ncluant dans une lo de osson une composante d hétérogénété suvant une lo gamma (cf. Lemare (995)). Ce modèle peut nclure une tar caton ndvdualsée des assurés, en lassant le paramètre de la lo de osson dépendre de varables explcatves (cf. Donne et al. (989, 99)). La prse en compte de la gravté des snstres dans la tar caton a posteror des contrats peut, sur la garante responsablté cvle, être e ectuée en consdérant la dchotome snstres matérels-snstres corporels (cf. Lemare (995)). Le modèle proposé fat suvre au nombre de snstres corporels une lo bnômale dont le paramètre sut une lo beta. Dans ce paper, la gravté des snstres sera prse en compte par leur coût. L analyse du coût des snstres enassurance automoble fat apparaître nettement une corrélaton postve entre l espérance du coût d un snstre et le rsque en fréquence (cf. Renshaw (994), nquet et al. (99)). Un modèle de tar caton a pror sera donc très n uencé par la prse en compte des coûts. Une telle démarche étant d cle à mettre en œuvre sur la garante responsablté cvle, c est la garante dommages au véhcule qu sera tarfée c. La prse en compte du coût des snstres dans un système de bonus-malus peut s e ectuer de la manère suvante: partant d un modèle de tar caton a pror basé sur l analyse des nombres et des coûts des snstres, on y nclut deux composantes d hétérogénété, qu représentent l e et que les varables absentes du modèle ont sur les los de nombre et de coût. Elles en sont absentes parce que non observées, ou non observables. Ce sont par exemple le klométrage annuel pour les nombres, et la vtesse (et le comportement du conducteur en général) pour les los de nombre et de coût des snstres. La lo des composantes d hétérogénété dot, s possble, être paramétrée de telle sorte qu on pusse explcter dans ce cadre bayésen la vrasemblance des observatons, ans que le prédcteur assocé à ces composantes, qu se calcule comme une espérance condtonnelle et qu fonde la tar caton a posteror. Dans ce paper, les coûts des snstres seront supposés suvre des los

4 4 gamma, ou log-normales. Les varables de tar caton, ans que la composante d hétérogénété, sont ntégrés dans le paramètre d échelle de la lo. En consdérant que la composante d hétérogénété sut également une lo gamma ou log-normale, on obtent une formule de crédblté pour la prédcton des coûts futurs des snstres. ar exemple, un bonus-coût apparaîtra sute au premer snstre causé par un assuré s le coût de ce snstre est nféreur à la prédcton qu en fasat le modèle de tar caton. Les résultats emprques font apparaître une hétérogénété plus forte sur la famlle des los gamma que sur celle des los log-normales. Cette dernère famlle semble par alleurs la meux adaptée du pont de vue de l adéquaton du modèle aux données. Ce paper étude également la manère dont l hétérogénété nexplquée par les varables de tar caton se révèle dans le temps. Cette révélaton est plus lente pour les coûts moyens des snstres que pour leur fréquence. L ntégraton de l hstorque de l assuré dans un modèle bayésen de tar caton n est possble que s l exste assez d hétérogénété sur les données. ar exemple, dans le modèle bnômal négatf sur les nombres et sans varables explcatves, la varance de la composante d hétérogénété sera nulle s la varance emprque des nombres est nféreure à leur moyenne (cf. nquet et al. (99)). Dans ce cas, les tar catons a pror et a posteror coïncdent, et le modèle bayésen échoue. Une condton d exstence d un système de bonus-malus est étable dans ce paper. Applquée aux modèles sur les fréquences et les coûts des snstres, elle repose alors sur les résdus-nombre et les résdus-coût des assurés. Cette démarche fournt des tests de présence d une hétérogénété sur les los de snstralté nexplquée par les varables de tar caton, ans que des estmateurs des paramètres. L ndépendance des composantes d hétérogénété sur les los de nombre et de coût dot être supposée pour le calcul des coe cents de bonus-malus sur l espérance du coût d un snstre, à partr du seul modèle sur les coûts. Dans ce cas, le coe cent de bonus-malus sur la prme pure est le produt des coe cents sur la fréquence et le coût moyen. Mas on peut penser que le comportement du conducteur n ue sur les composantes d hétérogénété assocées aux los de nombre et de coût, et que ces composantes sont corrélées postvement. Ce paper propose pour conclure un modèle de bonus-malus sur la prme pure des contrats, qu ntègre une corrélaton entre les deux composantes. Ben que la vrasemblance d un modèle sur les nombres et les coûts ne sot pas explctable en présence d une telle corrélaton, l est possble d en estmer les paramètres de manère convergente. La corrélaton entre les composantes d hétérogénété sur les los de nombre et de coût apparaît très fable sur l échantllon étudé c.

5 5 Tar caton a pror Sot un échantllon d assurés ndcés par, l assuré étant observé sur T pérodes. L étude de la corrélaton entre les composantes d hétérogénété en nombre et en coût fat apparaître la néccesté de consdérer un nombre varable de pérodes par assuré (cf. 4 pour la consttuton de l échantllon de traval).. Fréquence des snstres En écrvant N t» ( t ) t=;:::;t ; t = exp(w t ) on pose un modèle de osson où n t - réalsaton de N t - est le nombre de snstres causés par l assuré en pérode t, et t est une foncton multplcatve des varables explcatves. w t est le vecteur-lgne des varables explcatves, le vecteur des paramètres de la tar caton a pror. On a E(N t ) = t. En notant ^ t = exp(w t b ); l estmateur du maxmum de vrasemblance de est la soluton de l équaton (n t ^ t ) w t = nres t w t = 0 ;t ;t qu représente une relaton d orthogonalté entre les varables explcatves et des résdus sur les nombres. Les varables de tar catonsont en général qualtatves, et les varables explcatves sont alors des ndcatrces de modalté. Dans ce cas, l équaton précédente sgn e que, pour chaque sous-populaton ayant une modalté donnée, la somme des prmes-fréquence calculées par le modèle est égale à la somme des nombres de snstres. Cette proprété sgn e que le modèle précédent fournt la tar caton multplcatve ne mutualsant pas le rsque en fréquence. On peut songer à remplacer le nombre n t par tc t ; coût total des snstres (tar caton à la prme pure) dans l équaton de vrasemblance. Cette approche de type statstque descrptve multplcatve permet de constater que l élastcté rsque en prme pure-rsque en fréquence est supéreure à un (cf. 4. pour des résultats emprques).. Modèles sur l espérance du coût d un snstre et sur la prme pure d un assuré.. Los gamma En notant c tj le coût du j µeme snstre causé par l assuré en pérode t ( j n t, s n t ), on postule: C tj» (b t ;d); b t = exp(z t );

6 6 avec b t C tj» (d): les los de coût sont proportonnelles entre elles. b t est un paramètre d échelle, foncton multplcatve des varables de tar caton a pror et représentées par le vecteur-lgne z t. Notons ^c t = ^d=^b t = ^d= exp(z t b ) estmateur de l espérance du coût d un snstre causé par l assuré en pérode t: L estmateur du maxmum de vrasemblance de est soluton de l équaton suvante: (n t (tc t =^c t ) ) z t = cres t z t = 0: ;t ;t Le terme n t (tc t =^c t ) est la somme, pour les snstres causés par l assuré en pérode t, de leur résdu (c tj =^c t ): on l écrt cres t ; résdu-coût assocé à l assuré en pérode t. L équaton de vrasemblance en s nterprète ans comme une relaton d orthogonalté entre les varables explcatves et les résdus-coût. L espérance du coût d un snstre croît avec le rsque en fréquence (cf. 4.), ce qu con rme les conclusons obtenues précédemment sur le len entre le rsque en prme pure et le rsque en fréquence... Los log-normales L autre famlle de los de coût envsagée dans ce paper est la famlle des los normales sur les logarthmes des coûts logc tj» N(z t ;¾ ), log C tj = z t + " tj ; " tj» N(0; ¾ ): b et c ¾ sont les estmateurs usuels du modèle lnéare...3 Modèle pour la prme pure Que l on retenne les los gamma ou log-normales, les coûts des snstres sont supposés suvre des los ndépendantes. our l assuré en pérode t, leur somme peut s écrre: N t?n TC t = C tj = C t t ; j= produt de convoluton de N t varables ndépendantes et de même lo, celle du coût d un snstre causé par cet assuré, en cette pérode. La prme pure pour l assuré en pérode t vaut E(N t )E(C t ):

7 7 3 Tar caton a posteror sur la fréquence et le coût moyen des snstres 3. Modèles hétérogènes Dans un cadre bayésen, le passage d une tar caton a pror à une tar - caton a posteror s opère de la manère suvante: ² On part d un modèle évaluant les rsques a pror : s y représente la ou les varables de snstralté, la vrasemblance de y sera notée L 0 µ ;x (y), où x est le vecteur des varables explcatves, et µ le vecteur des paramètres de la tar caton a pror. ² On ajoute à ce modèle une composante d hétérogénété (scalare ou vectorelle) qu mesure l e et qu ont sur les los de snstralté les varables non observées, ou non observables. S u représente cette ou ces composantes, on dé nt une lo de y condtonnellement à u et aux varables explcatves, avec une vrasemblance L? µ ;x;u(y). En pratque, la lo du modèle de tar caton a pror est égale à la lo condtonnelle à u, pour une valeur u 0 de u: L? µ ;x;u (y) = L 0 0 µ ;x (y) 8µ ;x;y. ² La prédcton de u ; composante d hétérogénété de l ndvdu, condut au système de bonus-malus. Elle repose sur un modèle auxlare, dt modèle hétérogène, où u est la réalsaton d une varable aléatore U dont la lo est ndépendante de ; et est paramétrée par un vecteur µ. La vrasemblance de y dans le modèle hétérogène est obtenue en ntégrant la vrasemblance condtonnelle par rapport à U, sot: L µ;x (y ) = E µ ³L? µ ;x ;U (y ) ; avec µ = (µ ; µ ). L estmaton de µ dans ce modèle permettra de fonder une tar catona posteror. Le vecteur des composantes d hétérogénété sur les los de nombre et de coût sera noté, pour l ndvdu : µ Un U = : U c 3. Exemples de modèles hétérogènes 3.. Nombre de snstres Avec les notatons de., les los condtonnelles à u n sont: N t» ( t u n ), avec U n» (a;a) dans le modèle hétérogène. U n est d espérance et de varance ¾ = =a. our u n =, la lo condtonnelle est égale à la lo a pror. Avec les notatons du paragraphe précédent, on a: u 0 =, µ =, µ = ¾. La composante d hétérogénété étant ndépendante de

8 8 la pérode, l ndvdu statstque est l assuré sur l ensemble des pérodes, et: y = (n t ) t=;:::;t ; x = (w t ) t=;:::;t ; L? µ ;x ;u (y )= Q t u(n t ). t Sur une pérode, la lo du nombre de snstres dans le modèle hétérogène est une bnômale négatve. 3.. Coût des snstres, los gamma Les coûts des snstres sont dé ns condtonnellement aux nombres. Les modèles hétérogènes qu suvent, et qu permettent d obtenr des formules de bonus-malus sur l espérance du coût d un snstre, supposent mplctement l ndépendance des composantes d hétérogénété sur les los de nombre et de coût, U n et U c : Les résultats emprques obtenus ultéreurement sur leur lo jonte rendront cette hypothèse plausble. En reprenant les notatons de.., les los condtonnelles à u c sont: C tj» (b t u c ;d); avec U c» (±;±) dans le modèle hétérogène. La composante d hétérogénété est ntégrée, comme les varables de tar- caton a pror, au paramètre d échelle de la lo gamma, et les los de coût restent proportonnelles entre elles. S u c =, la lo condtonnelle est égale à la lo a pror. Avec les notatons de 3., on peut écrre: µ = (,d); µ = ¾ = _=±; y = (c tj ) t=;:::;t ;j=;:::;n t ; x = (z t ) t=;:::;t. Dans le modèle hétérogène, on peut poser: C tj = D tj =(b t U c ), où D tj» (d), U c» (±;±), D tj et U c étant ndépendants. C tj sut une lo GB (cf. Cummns et al. (990)). D tj mesure la gravté relatve du snstre, U c représente l n uence que les varables absentes du modèle de tar caton a pror ont sur les los de coût Coût des snstres, los log-normales Une formulaton log-normale dans un modèle hétérogène sur les coûts, s écrt log C tj = z t + " tj + U c ; U c» N(0;¾ U c ) les " tj et U c étant ndépendants. Elle permet également d aboutr à une règle de bonus-malus sur les coûts des snstres. Le modèle hétérogène retenu pour le bonus-malus sur la prme pure sera donné après l exposé des résultats obtenus sur les modèles précédents. 3.3 Une condton su sante pour l exstence d un système de bonus-malus L ntégraton de l hstorque de l assuré dans un modèle bayésen de tar caton n est possble que s l exste assez d hétérogénété sur les données. ar exemple, dans le modèle bnômal négatf et sans varables explcatves, la varance du composante d hétérogénété sera nulle s la varance emprque

9 9 des nombres est nféreure à leur moyenne (cf. nquet et al. (99)). Dans ce cas, les tar catons a pror et a posteror coïncdent, et le modèle bayésen échoue. Une condton su sante d hétérogénété sur les données est étable caprès. Elle sera applquée ultéreurement aux modèles sur les nombres et les coûts des snstres. Sot un modèle de tar caton a pror, dont la vrasemblance s écrt (y). On le suppose plongé dans un modèle avec hétérogénété de telle L 0 µ ;x sorte que la vrasemblance du modèle a pror L 0 µ ;x (y) sot égale à L? µ ;x;u 0 (y) pour une valeur u 0 de u. La composante d hétérogénété u est supposée scalare, et u 0 = dans les modèles osson et gamma, u 0 = 0 dans le modèle log-normal sur les coûts. La lo de la composante d hétérogénété, u, sera paramétrée par sa varance ¾ (¾ = µ ). On peut e ectuer un développement lmté en ¾ de L µ;x (y) vrasemblance du modèle hétérogène, au vosnage de µ 0 = (^µ 0 ; 0), ^µ 0 étant l estmateur par le maxmum de vrasemblance de µ dans le modèle de tar caton a pror. En rasonnant sur un portefeulle d assurés ndcés par, on peut prouver (cf. annexe ) log L µ;x (y ) = logl 0^µ ) + 0 (y ;x ¾ " L?^µ0 (y ) ;x ;u u=u 0 + L?^µ0 (y ) ;x ;u u=u 0 # +o(¾ ); où µ = (^µ 0 ;¾ ) et en supposant: E (U ¾ ) = u 0 8¾, condton vér ée par les los gamma et normales sur la composante d hétérogénété (avec u 0 =, et u 0 =0). La démonstraton part du développement de Taylor-Young par rapport à u et au second ordre de la vrasemblance condtonnelle. Une condton su sante pour que la tar caton a posteror sot possble sur l échantllon est donc que la quantté L?^µ0 (y ) ;x ;u u=u 0 + L?^µ0 (y ) ;x ;u sot strctement postve. L applcaton de cette formule aux modèles sur les nombres et les coûts des snstres permet d étuder les los des composantes d hétérogénété à partr de l analyse des résdus-nombre et des résdus-coût sur les contrats, déjà rencontrés dans la tar caton a pror. La quantté c-dessus est égale à deux fos la dérvée à drote, et par rapport à ¾, de la log-vrasemblance du modèle hétérogénène. C est le multplcateur de Lagrange, qu ntervent dans le test du score (cf. Rao (973)) de nullté de ¾. Ce test permet également d obtenr des estmateurs u=u 0

10 0 des varances et covarances des composantes d hétérogénété sur les los de nombre et de coût à partr des résdus en nombre et en coût sur les assurés. 3.4 rédcton dans les modèles hétérogènes, systèmes de bonus-malus Sot un assuré observé sur T pérodes: Y T = (y ;:: :;y T ) est la sére des varables de snstralté, T = (x ; :::;x T ) est la sére des varables explcatves. T et Y T remplacent les x et y des paragraphes précédents. L horzon de prévson T dot être explcté c, et l ndce peut être supprmé car l assuré peut être consdéré solément. Il n est d alleurs pas nécessare que cet assuré appartenne à l échantllon ayant serv à estmer les paramètres. Un rsque R t en pérode t, qu on cherche à prédre pour la pérode T +, est l espérance mathématque d une varable Z t foncton de Y t (dont y t est la réalsaton). ar exemple, Y t est l ensemble des nombres et des coûts de snstres en pérode t, Z t le coût total des snstres, et R t la prme pure. La lo de Y t, condtonnellement à u, dépend de µ, x t et u. Il en est de même pour Z t et R t, et dans les tros types de rsque tratés ultéreurement (fréquence et coût moyen des snstres, prme pure sur le contrat), on pourra écrre: R t = f µ (x t ) g(u), g étant une foncton réelle. Le prédcteur ^R T+ T+ du rsque en T +, et qu ntègre l nformaton relatve aux T premères pérodes, peut s écrre f µ (x T+ ) ^T+ g(u). ^T+ h g(u)= arg mn E µ (g(u) a) L? a µ ; T ;U(Y T ) est le réel mnmsant une erreur de prédcton moyenne, pour une foncton de perte quadratque. On obtent: ^T+ E µ hg(u)l? µ ; T ;U (Y T ) g(u) = E µ [g(u)= T ;Y T ] = ; E µ hl? µ ; T ;U (Y T ) = L µ;t (Y T ) espérance condtonnelle de g(u) par rapport à T et Y T. Le prédcteur assocé au rsque en T+ s écrt alors ^T+ g(u) E µ [g(u)] = E µ [g(u)= T ;Y T ] E µ hg(u)l? µ ; T ;U (Y T ) = : E µ [g(u)] E µ [g(u)] E µ hl? µ ; T ;U (Y T ) ^T+ ^T+ Vu la dé nton de g(u) comme espérance condtonnelle, on a: E µ [ g(u)] = E µ [g(u)] = E µ [g(u)]. L espérance du prédcteur est égale à, et ne dépend pas de T et Y T, qu résument l expérence qu on a de l assuré. La tar caton est donc équlbrée. En remplaçant µ par son estmaton dans le

11 modèle hétérogène, on obtent un coe cent de bonus-malus pour R T+ en T +. ^R T+ T+ ³f^µ = Ebµ [g(u)= T ;Y T ] (x T+ )Eµ b [g(u)] E bµ [g(u)] se décompose ans en une prme basée sur les varables de tar caton de la pérode courante, et sur un coe cent de bonus-malus reposant sur les valeurs passées des varables de snstralté et de tar caton. 3.5 Bonus-malus sur la fréquence des snstres Avec les notatons de 3.. et 3.4, on écrt: y t = n t ;x t = w t ; µ = ; R t = E(N t ) = t u; f µ (x t ) = t; g(u) = u. On peut montrer (cf. Donne et al. (989, 99)) que la lo de U condtonnellement à T et Y T ( T = (x ; :::;x T ) = (w ;: ::;w T ), Y T = (y ; :::;y T ) = (n ; :::;n T )) est une (a + t;a + n t ). Donc: E [U= T ;Y T ] = t t ^u T+ = a + T n t t= a + T t t= = a a + T t t= + T t t= a + T t t= T n t t= T t t= : () Le coe cent de bonus-malus sera obtenu en remplaçant dans l équaton () t par b t = exp(w t^ ), et a par ba. Il y aura bonus-fréquence s l estmateur de ^u T+ - est négatf, autrement dt s le résdu-nombre (n t b t) est négatf. t Dans le modèle condtonnel, ^u T+ tend vers u quand T tend vers +. Il peut être ntéressant d étuder la dstrbuton des coe cents de bonus-malus sur un portefeulle, et l évoluton de cette dstrbuton dans le temps. On peut alors apprécer la manère dont l hétérogénété se révèle dans le temps (cf. 4.3 pour des résultats emprques). On comparera ans l hétérogénété explquée par les varables de tar caton (et représentée par les prmes a pror) à celle révélée par l observaton des assurés. Explctons la condton d exstence d un système de bonus-malus (cf. 3.3). Sur le portefeulle servant à estmer les paramètres, et avec les notatons de 3.., on peut écrre: log L?^µ0 (y ) = ç t u + n t (log ç t + logu) log(n t!) ;x ;u t t avec ç t = exp(w t^ 0 ), ^ 0 estmateur de dans le modèle a pror. our u 0 =, la condton d hétérogénété s écrt: n t + (n t ç t) > 0, t t sot: nres > n ;

12 où nres = t (n t ç t) est le résdu-nombre sur l assuré, et n = t n t le nombre total de snstres causés par l assuré. Cette condton exprme, pour le nombre total de snstres par assuré, la supérorté de la varance sur la moyenne, la varance étant calculée condtonnellement aux varables explcatves. C est une condton de surdsperson, alors que l espérance d une lo de osson est égale à sa varance. ar alleurs, l y a surdsperson dans le modèle bnômal négatf: s N» ( U );U» (a;a) (avec a = =¾ ), on a: V (N ) = + ¾ > = E(N ). On peut e ectuer un test de nullté de ¾ à partr de L =/ (nres n ), dérvée à drote, et par rapport à ¾, de la log-vrasemblance en (^ 0 ; 0). C est le multplcateur de Lagrange, assocé au test du score de nullté de ¾. D après les consdératons précédentes, on rejettera la nullté de ¾ s L est assez grand. Quand le nombre d assurés tend vers l n n,» L = L=q^V (L) converge vers une lo N(0,). On peut prouver que ^V (L) = = b ; avec b = t ç t. S u est le quantle au nveau d une lo N(0,), on rejette l hypothèse nulle ¾ = 0 au nveau s» L u. Le multplcateur de Lagrange peut également servr à fournr un estmateur de ¾. Dans l algorthme de maxmsaton de la vrasemblance qu condut à l estmaton de et ¾ dans le modèle bnômal négatf, et en partant de b 0 et ¾ c0 = 0, on obtent à l étape suvante: b = b 0 ; ¾ c = L nres n h(n b ) n ^V (L) = = b : b On peut également montrer que b et c ¾ sont des estmateurs convergents des paramètres du modèle bnômal négatf. Les preuves des formules préctées sont données dans ( nquet (996)), et les résultats emprques sont en Bonus-malus sur l espérance du coût d un snstre (los gamma) Avec les notatons de 3.. et 3.4: y t = (c tj ) j=;:::;nt ; x t = z t ; R t = E(C tj ) = d=(b t u); µ = ( ; d); f µ (x t ) = d=b t ; g(u) = =u. Le coe cent de bonusmalus sur l espérance du coût d un snstre pour la pérode T + se calcule à partr du prédcteur de =u assocé aux T premères pérodes. La lo de U étant une (±;±) de densté f ± (u) = exp( ±u)u ± (pour ce qu dépend de u), on a: f ± (u) L µ ; T ;u (Y T ) = exp((± + t;j b t c tj )u) u d( t n t)+±

13 3 fos un terme ndépendant de u. La lo de U condtonnellement à T et Y T est donc une (± + b t c tj ; ± + d( n t )), et: t;j t d=u T+ = E U = T; Y T = ± + b t c tj t;j ± + d( n t ) : t On a E µ (=U) =±=(± ) (on suppose ± >, condton nécessare pour que =U sot ntégrable). En notant E µ (C tj ) = E µ (d=(b t U)) = (d=b t )(±=(± )) espérance de la lo dans le modèle hétérogène du coût d un snstre en pérode t, le prédcteur assocé au rsque en T + est égal à: E µ U = T; Y T E = \ (=u) T+ + µ ±=(± ) = t;j E µ (C tj ) + ; U t;j c tj en notant = (± )=d. La tar caton ssue de cette formule est clarement équlbrée. En omettant l ndce de pérode, et en notant S T l ensemble des snstres causés par l assuré durant les T premères pérodes, le coe cent de bonus-malus sera égal à b + (c j = Eb µ (C j )) js T ; () b + js T j et calculé à partr des estmatons de µ dans le modèle GB. Ce coe cent est par exemple mons élevé que (et génère un bonus-coût) s, pour un snstre unque, son coût est nféreur à la prédcton qu en état fate. En notant E^µ(C j ) = ^c j, et cres T = ( (c j =bc j )) le résdu-coût sur l assuré js T dans le modèle hétérogène, l y aura bonus-coût s le résdu-coût est postf, et ce bonus sera égal à b + js T c j =bc j b + js T j = cres T b + js T j : L évoluton dans le temps de la dstrbuton des coe cents de bonus-malus est étudée en 4.4. Sur l échantllon ayant serv à l étude emprque, l hétérogénété non explquée par les varables de tar caton est mportante pour les los de coût, mas elle se révèle plus lentement dans le temps que celle assocée aux fréquences. Cec n est pas surprenant, dans la mesure où l absence de snstre crée du bonus-fréquence, mas lasse le coe cent sur les coûts nchangé (en l absence de corrélaton entre les deux composantes d hétérogénété).

14 4 Applquons aux coûts des snstres la condton d exstence d un système de bonus-malus décrte en 3.3. Dans l échantllon servant à l estmaton des paramètres, on notera S l ensemble des snstres causés par l assuré pour les T pérodes. log L?^µ0 (y ) = (^b 0 ;x ;u j c ju + ^d 0 log u) + termes ne dépendant pas de u. js En u 0 =, la condton s écrt: " # ( ^d 0 ^b 0 j c j) > n ^d 0, sot: js n cres > ^d0 n est le nombre total de snstres sur l échantllon, et cres le résducoût sur l assuré : cres = 0 en l absence de snstres, et snon: cres = ³ ) (c j =^c 0 j = cres j, avec ^c 0 j = ^d 0 =^b 0 j estmateur de l espérance de C j. js js Dans le modèle a pror: E( (C j =E(C j ))) = V (C j )=E (C j ) = CV (C j ) = =d; s C j» (b j ;d): La condton d exstence est donc relatve aux carrés des coe cents de varaton des los. 3.7 Bonus-malus sur l espérance du coût d un snstre (los log-normales) Avec les notatons de 3.. et 3.4: y t = (log c tj ) j=;:::;nt ; x t = z t ; log C tj» N(z t + u;¾ ) ) R t = E(C tj ) =exp(z t + u + (¾ =)); µ = ( ;¾ ); f µ (x t ) = exp(z t + (¾ =)); g(u) = exp(u). Le coe cent de bonus-malus sur l espérance du coût d un snstre pour la pérode T + se calcule à partr du prédcteur de exp(u) assocé aux T premères pérodes. On peut écrre " f ¾ (u)l? U µ ; T ;u (Y T ) = exp µ + tn µ T ¾ u tlc # T E µ (TLC T ) tn T + (¾ =¾ U ) ¾ U fos un terme ndépendant de u. On a noté tn T = T n t ; tlc T = log c j ; t= js T E µ (TLC T ) = E µ (log C j ); S T est l ensemble des snstres causés par js T l assuré durant les T premères pérodes (js T j = tn T ), et l ndce de pérode est oms au nveau des snstres. On en dédut que la lo de U condtonnellement au passé est µ tlct E µ (TLC T ) U= ( T ;Y T )» N tn T + (¾ =¾ U ) ; (=¾ U ) + (tn T =¾ : )

15 5 Le coe cent de bonus-malus assocé au coût moyen d un snstre pour la pérode T + est alors égal à be ut+ E bµ [e U ] = E " à b µ e U = T ;Y T lcres T E bµ [e U = exp ] tn T + ( ¾ c = ¾ c U ) + c¾ c!# U¾ ¾ c c¾ + tn c U T ¾ U 3 = exp4 lcres T (tn c T ¾ U =) ³ c¾ = ¾ c 5 ; lcres T = U lcres j ; lcres j = log c j E bµ (log C j ): + tn T js T La condton d exstence d un système de bonus-malus, applquée au modèle log-normal sur les coûts, est faclement nterprétable. En e et log L?^µ0 (y ) = (lcres j u) ;x ;u js ¾ + termes ne dépendant pas de u, en notant lcres j = log(c j ) z ^ 0 j le résdu assocé à log(cj ) dans le modèle de tar caton a pror. En u 0 =0, la condton d hétérogénété s écrt: Ã! lcres j js n c¾ c = 4 ¾ ¾ c js 3 lcres j A n¾ c 5 > 0: Or, dans le modèle a pror: n ¾ c = lcres j pour ¾ c estmateur du maxmum ;j à de vrasemblance! de ¾. Des calculs de bonus-malus sont possbles s lcres j - lcres j est postf, c est-à-dre s js ;j lcres j lcres k > 0: =n j;ks ;j6=k Cette condton sgn e que, pour les snstres assocés aux assurés en ayant causé pluseurs, les résdus-coût sont plutôt de même sgne. s le premer snstre a un coût supéreur au coût prévu par la tar caton a pror, l en sera de même en moyenne pour les suvants. On peut prouver (cf. annexe 3) que, L étant le lagrangen du modèle par rapport à ¾ U ; on a n (n ) lcres j lcres k ^V (L) = ¾ c ) ¾ c L U = ^V (L) = =n j;ks ;j6=k : n (n ) c¾ U est un estmateur de ¾ U dont on peut prouver qu l est convergent: l apparaît comme la moyenne, pour les contrats à snstres multples, des produts des résdus assocés à des couples de snstres d érents. Les résultats emprques sont en 4.5.

16 6 4 Résultats emprques L échantllon étudé dans ce paper représente une parte du portefeulle des contrats automoble d une compagne d assurance françase. Il y a un peu plus de cent mlle contrats en cours, et - la garante dommages étant analysée c - seuls les contrats avec une garante tous rsques ont été retenus. Les assurés sont observables sur deux années au plus, et on change de pérode d observaton à chaque date annversare du contrat, ans qu à chaque changement de véhcule ou de garante. Seuls les snstres ayant fat jouer la garante dommages, et clos à la date d extracton du cher, ont été retenus (cec pour évter de conserver des coûts provsonnés). Les varables explcatves pour l estmaton a pror des fréquences et des coûts des snstres sont: ² les caractérstques du véhcule: groupe, classe, ancenneté ² les caractérstques du contrat: usage, nveau de franchse, zone de crculaton. S y ajoutent la catégore soco-professonnelle de l assuré, ans que l année cvle au début de la pérode (pour prendre en compte des e ets de génératon). Ces hut varables sontqualtatves, etont entout44 modaltés. Les varables explcatves sont les ndcatrces des modaltés: pour évter la colnéarté, une ndcatrce de modalté est retrée sur chaque varable qualtatve, la constante étant conservée par alleurs. Le modèle de tar caton a pror comporte ans (44-8)+=37 paramètres. Avec les notatons du paper: ; R 37 ; w t ;z t f0; g 37. our évter, dans la présentaton des résultats, l arbtrare dû à l évcton d une modalté par varable qualtatve, les coe cents estmés seront normalsés, en les rapportant à leur moyenne dans les formulatons multplcatves. Les coe cents ans normalsés pourront être comparés aux snstraltés relatves des modaltés. Le rsque en fréquence étant estmé pour une année complète et les durées des pérodes n étant pas égales, le paramètre de la lo de osson du nombre de snstres sur un contrat sera proportonnel à la durée de la pérode. Les résultats présentés sur les fréquences sont nchangés s, d t étant la durée d observaton de l assuré en pérode t, on note: t = d t exp(w t ), et b t = d t exp(w t b ). L échantllon de traval est composé de 3877 assurés, et 76 assurés-pérodes. Ces assurés ont causé 3493 snstres. La durée moyenne des pérodes est de neuf mos, et la fréquence annuelle des snstres est de 6,7%. 4. Tar caton a pror sur la fréquence des snstres et la prme pure d un contrat Consdérons les coe cents normalsés assocés aux modèles de osson applqués au nombre des snstres ou à leur coût total, coe cents qu peuvent se comparer aux snstraltés relatves. Sur presque chacune des varables

17 7 de tar caton, on constate que la varance des coe cents sur les modaltés est nféreure à celle des snstraltés relatves. ar exemple, pour la varable usage du véhcule, on obtent: fréquence snstralté relatve coe cent normalsé usage professonnel,63,78 usage courant 0,98 0,99 prme pure snstralté relatve coe cent normalsé usage professonnel,747,77 usage courant 0,979 0,995 Les dstrbutons des assurés dans les modaltés des d érentes varables ne sont pas ndépendantes entre elles. Les assurés ayant un usage professonnel de leur véhcule ont, sur les autres varables de tar caton, des modaltés plus rsquées que celles des autres assurés. Le modèle de osson ne mutualsant pas le rsque, les assurés pour un usage professonnel ont, par rapport aux autres varables de tar caton, un rsque en prme pure estmé supéreur de (; 747=; 77) = 48; 4% à la moyenne des assurés. L élastcté de la prme pure par rapport au rsque fréquence s estme par régresson lnéare du score prme pure (logarthme de la prme) sur le score fréquence: elle vaut,5 sur l échantllon, et est sgn catvement d érente de (la statstque de Student assocée est égale à 5,93). Cela suggère une élastcté coût moyen-fréquence de l ordre de 0,50 ce qu sgn e qu à un doublement du rsque en fréquence correspond une hausse de 0;5 = 43,5% du rsque en coût moyen, et une hausse de 87% du rsque prme pure. Cette corrélaton postve entre rsque en fréquence et coût moyen s observe sur toutes les varables de tar caton, excepté la zone géographque. 4. Tar caton a pror sur l espérance du coût d un snstre Sur l échantllon des snstres, le modèle gamma condut, pour la varable "usage du véhcule", aux résultats suvants: coût moyen snstralté relatve coe cent normalsé usage professonnel,076 0,933 usage courant 0,996,003 L élastcté estmée de l espérance du coût d un snstre par rapport à la fréquence vaut 0,5, ce qu corrobore les résultats obtenus au paragraphe précédent. 4.3 Bonus-malus sur les fréquences nres = 3709; 4; n = n = 3493

18 8 et le bonus-malus sur les fréquences est possble. En l absence de varables explcatves autres que la durée totale d observaton de chaque assuré, on obtent nres = 3746; 5. La somme des carrés des résdus dmnue quandonajoute les varables explcatves, et la condtond hétérogénété est plus restrctve en leur présence, car ces varables créent de l hétérogénété sur les los a pror. On a par alleurs: b = 389; 48; et l estmaton de ¾ donnée à la premère étape de l algorthme de maxmsaton de la vrasemblance est ^¾ = L nres n ^V (L) = 6; 4 = = 0; 555: 389; 48 b Dans le modèle bnômal négatf, on obtent: ^¾ = 0; 576: Le test du score de nullté de ¾ est basé sur la statstque nres» L L n 6; 4 = = r q^v (L) = p = 7; ; 96 b et l hypothèse nulle est rejetée. Des exemples de bon-mal sur les fréquences ssus de ce modèle sont développés dans la lttérature actuarelle (cf. Lemare (985, 995), Donne et al. (989, 99)). L évoluton dans le temps des coe cents de bonus-malus, ans que des prmes a posteror qu leur sont assocées, sera étudée pour les rsques en fréquence et en coût moyen par snstre. our chaque assuré de l échantllon, on retent ses caractérstques enpremère pérode, et on les consdère ensute nchangées dans le temps. S cette hypothèse est ntenable ndvduellement, elle est plausble au nveau du portefeulle. La prme a pror sur chaque assuré est ssue des modèles de tar caton de 4. et 4.. Les coe cents de bonus-malus, ans que les prmes a posteror, dépendent de la snstralté des assurés. En étudant leur lo dans le modèle hétérogène, on peut mesurer leur dsperson sur l échantllon, en estmant par exemple leur coe cent de varaton au bout de T années. Avec c ¾ = 0; 576, on obtent (cf. annexe ): Coe cents de varaton (fréquence des snstres) prme a pror: 0,37 T= T=5 T=0 T=0 T=+ coe cent de bonus-malus 0,44 0,300 0,39 0,494 0,759 prme a posteror 0,4 0,55 0,590 0,673 0,89

19 9 Le coe cent de varaton mesure la dsperson relatve des coe cents de bonus-malus et des prmes. Ms à part la prme a pror, les ch res préctés correspondent à une estmaton de l espérance du coe cent de varaton dans le modèle hétérogène. Au bout de neuf ans, la dsperson relatve des coe cents de bonus-malus dépasse celle des prmes a pror. Cec sgn e qu après cette durée, l hétérogénété révélée par l observaton des assurés est plus mportante que celle explquée par les varables de tar caton. 4.4 Bonus-malus sur l espérance du coût d un snstre (los gamma) Avec les notatons de 3.6, on obtent: n cres = ; 09; = 0; 8; ^d 0 et le calcul de coe cents de bonus-malus sur les coûts moyens est possble. La maxmsaton de la vrasemblance du modèle GB sur l échantllon des assurés snstrés condut à: ^± = 3; 60; ^d = ; 807; ^ = (^± )= ^d = ; 45: Le bonus (négatf en cas de malus) assocé à l espérance du coût d un snstre est égal à cres T =(^ +js T j). Il reste égal à 0 tant qu l n y a pas de snstres. L absence de snstres ne crée pas d nformaton c, alors qu elle génère du bonus-fréquence. S on envsage, sute au premer snstre, les cas où le rapport coût du snstre - espérance du coût de ce snstre (dans le modèle hétérogène) est respectvement égal à 0,5 et, les résdus-coût assocés valent 0,5 et -. Le coe cent multplcateur =(+^ ) étant égal à 0,408, on obtent un bonus-coût de 0,4% dans le premer cas, un malus-coût de 40,8% dans le second. Ce coe cent sera ndépendant de la pérode à la laquelle survent ce snstre. Comme pour les fréquences, les dstrbutons des coe cents de bonusmalus et des prmes a posteror peuvent être étudées sur le portefeulle ctf dé n en 4.3. Avec b ± = 3; 6; on obtent: Coe cents de varaton (espérance du coût d un snstre) prme a pror: 0,40 T= T=5 T=0 T=0 T=+ coe cent de bonus-malus 0,8 0,68 0,356 0,453 0,786 prme a posteror 0,47 0,504 0,568 0,648 0,937

20 0 La dsperson relatve des coe cents de bonus-malus dépasse celle des prmes a pror au bout de 4 ans. L hétérogénété sur les los de coût se révèle ans plus lentement que pour les fréquences. 4.5 Bonus-malus sur l espérance du coût d un snstre (los log-normales) =n j;ks ;j6=k lcres j lcres k = 00; 80; et un système de bonus-malus est possble. L estmateur de ¾ U (varance de la composante d hétérogénété) obtenu à la premère étape de l algorthme de maxmsaton de la vrasemblance, est égal à lcres j lcres k c¾ =n j;ks ;j6=k 00; 80 U = = = 0; 7: n (n ) 590 La statstque testant la nullté de ¾ U est»l = L=q ^V (L) = ; 86: La valeur crtque pour un test unlatère à 5% à partr d une lo N(0; ) étant de,645, l hypothèse nulle est là auss rejetée. En maxmsant la vrasemblance du modèle hétérogène, on obtent: ¾ c U = 0; 7; ¾ c = 0; 855. L hétérogénété par rapport aux los log-normales est sensblement nféreure à l hétérogénété par rapport aux los gamma. Le coe cent de varaton de =U; avec U» ( b ±; b ±); est égal à =p b± = 0; 786; avec b ± = 3; 6 dans le modèle GB. Il représente la lmte du coe cent de varaton des coe cents de bonus-malus sur le portefeulle (cf. annexe ). Dans le modèle log-normal, la lmte correspondante est le coe cent de varaton de exp(u); avec U» N(0; ¾ c U qexp( ); et vaut ¾ c U ) = 0; 433 pour c¾ U = 0; 7. On peut calculer des coe cents de bonus-malus en reprenant les deux exemples envsagés avec les los gamma (un snstre, et un rapport coût réel-coût prévsble égal à 0,5, ou ). Le résdu assocé au snstre est le logarthme du rapport précté: dans le premer cas, le coe cent de bonusmalus est égal à exp 4 lcres T (tn T c ¾ U =) ³ c¾ " = c ¾ U + tn T 3 5 = exp log 0; 086 = 0; 878 (0; 855=0; 7) + et correspond à un bonus-coût de,%. Dans le second cas, le coe cent de bonus-malus est égal à,07, et correspond à un malus-coût de 0,7%. On peut rapprocher ces résultats des 0,4% de bonus et 40,8% de malus

21 obtenus avec les los gamma. Mas les rapports coût réel-coût prévsble sont d érents dans les deux modèles. En e et, les résdus-coût assocés aux modèles gamma et log-normaux s écrvent respectvement c j =c j et log(c j =c j ); alors qu ls vér ent les mêmes relatons d orthogonalté avec les varables de tar caton. Comparer l hétérogénété par rapport aux famlles de lo gamma et lognormale rend également nécessare la comparason entre les deux modèles de tar caton a pror. S F µ;x j est la foncton de répartton d une varable contnue Y j, (c égale au coût du snstre j, ou à son logarthme) " j = F µ ;x j (Y j ) sut une lo unforme sur [0,]. En calculant les e j = F bµ 0 ;xj (Y j ), et en ordonnant les e j dans le sens crossant, par e () : :: e (n), on en dédut la statstque de Komolgorov-Smrnov KS = p n max j(j=n) e (j)j: j n our la famlle des los gamma, on obtent KS=,83, et KS=,04 pour la famlle des los log-normales. La famlle des los log-normales convent meux que celle des los gamma pour l analyse des coûts des snstres, et c est celle qu sera retenue dans le modèle de bonus-malus sur la prme pure. 5 Bonus-malus sur la prme pure 5. Le modèle hétérogène Les los log-normales sur les coûts sont donc retenues de préférence aux los gamma. Elles s ntègrent d alleurs meux dans un modèle hétérogène avec une lo jonte pour les deux composantes d hétérogénété. La lo jonte retenue est log-normale bvarée, et on peut estmer de manère convergente les paramètres du modèle hétérogène, ben que sa vrasemblance ne sot pas explctable en présence d une corrélaton entre les deux composantes. Une méthode d obtenton d estmateurs convergents dans les modèles hétérogènes est exposée dans nquet (996). Elle est basée sur l utlsaton des proprétés des estmateurs extrémaux, dont le maxmum de vrasemblance est un exemple. Les estmateurs des paramètres du modèle de tar - caton a pror ont une lmte s les vraes los ntègrent une hétérogénété, et cette lmte est calculable dans le modèle utlsé c. A partr d une méthode de moments utlsant les scores par rapport aux varances et covarances des composantes d hétérogénété, on peut alors obtenr des estmateurs convergents des paramètres du modèle. Le modèle hétérogène se compose donc de los de osson sur les nombres, de los log-normales sur les coûts, et de los log-normales bvarées sur les deux composantes d hétérogénété. Les notatons sont les suvantes: ² Los condtonnelles à u n et u c ; composantes d hétérogénété sur les los de nombre et de coût de l ndvdu N t» ( t exp(u n )); log C tj = z t + " tj + u c ;

22 t = exp(w t ); " tj» N(0;¾ ); t = ;::: ;T ; j = ;:: :;n t : ² Dans le modèle hétérogène, U n et U c suvent une lo normale bvarée d espérance nulle et de varance µ Vnn V V = nc : V cn V cc Les paramètres du modèle sont 0 µ ¾ 0 A ; µ V nn V cn V cc A : Un calcul de bonus-malus dans le modèle hétérogène se fera par applcaton à chaque assuré de la formule obtenue en h g(u) E E µ [g(u)] = µ g(u)l? µ ; T ;U (Y T ) A E µ [g(u)] E µ hl? µ ; T ;U (Y T ) avec ² g(u n ; u c ) = exp(u n ) pour le rsque en fréquence ² g(u n ; u c ) = exp(u c ) pour le rsque en coût moyen par snstre ² g(u n ; u c ) = exp(u n + u c ) pour le rsque en prme pure. En e et E(N t ) et E(C tj ) sont respectvement proportonnelles à exp(u n ) et exp(u c ) dans le modèle condtonnel. Les espérances mathématques gurant dans le calcul du coe cent de bonus-malus peuvent être estmées s on peut écrre U = f(µ ;S); où S a une lo ndépendante de µ : l su t alors de smuler des valeurs de S. Une telle expresson est obtenue en écrvant la décomposton de Cholesk de la matrce des varances-covarances, sot V = µ Vnn V nc = T V cn V ' T'; 0 T ' = cc µ 'nn 0 ' cn ' cc µ= b µ ) V = µ ' nn ' nn ' cn ' nn ' cn ' cn + ' cc : our l ndvdu, on peut alors écrre µ µ Un Sn U = = T U ' S ; S = ; S c S» N(0;I ), U n = ' nn S n c U c = ' cn S n + ' cc S c d où une écrture du type U = f(µ ;S ); ' étant lé à V, donc à µ. La logvrasemblance condtonnelle utlsée dans la formule de bonus-malus s obtent en ajoutant les log-vrasemblances des los de nombre et de coût. our un assuré non ndcé dans l échantllon, on peut écrre à t t log L? µ ; T ;U(Y T ) =! Ã! exp(u n ) + n t U n (log c tj z t U c ) ¾ ; avec t t;j

23 3 T = (x ;:: :;x T ); x t = (w t ; z t ); Y T = (y ;: ::;y T ); y t = (n t ; (c tj ) j=;:::;nt ) plus des termes ndépendants des composantes d hétérogénété. En remplaçant µ par b µ, on obtent L? b (Y µ;t ;U T ) = exp(v T ) termes ndépendants de U; avec Ã! V T = b t exp(u n ) + tn T U n tn T Uc U c lcres T ¾ c : t Un coe cent de bonus-malus pour un assuré et pour la pérode T+ dépend ans de ² b t; t proportonnel à la prme fréquence de l assuré sur l ensemble des pérodes d observaton. Celle-c est égale à be(tn T ) = Ã! Ã! b t be [exp(u n )] = b t exp b' nn = V b t exp b nn : t t t ² tn T ; nombre des snstres causés par l assuré sur les T pérodes. ² lcres T ; somme des résdus sur les logarthmes des coûts des snstres causés par l assuré. ² Et b µ ; estmateur des varances et covarances des composantes d hétérogénété. Les coe cents de bonus-malus sur la fréquence, le coût moyen d un snstre et la prme pure s écrvent respectvement be [exp(u n + V T )] be [exp(u n )] b E [exp(v T )] ; b E [exp(uc + V T )] be [exp(u c )] b E [exp(v T )] ; b E [exp(un + U c + V T )] be [exp(u n + U c )] b E [exp(v T )] : L estmaton des espérances revent à celle de µ. Les coe cents sont estmés en smulant des valeurs de S n et S c. On en dédut par exemple que la covarance estmée µ exp(un ) dcov E [exp(u n )] ; exp(v T ) E [exp(v T )] exprme un malus-fréquence. On peut nterpréter l exstence de bon et mal sur les d érents rsques comme un sgne négatf ou postf de telles covarances. L estmaton du rsque en prme pure pour la pérode T+ est obtenue par la formule vue en 3.4 ^R T+ T+ ³f^µ = Ebµ [g(u)= T ;Y T ] (x T+ )E bµ [g(u)] : E bµ [g(u)] Le premer terme représente une estmatondursque enprme pure calculée dans le modèle hétérogène par rapport aux varables de tar caton de la pérode courante. Elle est obtenue par estmaton de µ T+ exp(z T+ )E [exp(u n + U c )] = exp w T+ + z T+ + (' nn + ' cn ) + ' cc ;

24 4 car U n +U c = (' nn +' cn )S n +' cc S c : On peut noter que (' nn +' cn ) +' cc = V nn + V cn + V cc : Les coe cents peuvent être calculés par smulaton en foncton de t b t; tn T ; lcres T et b µ : our ce fare, l est souhatable d avor des estmateurs convergents des paramètres. Une méthode d estmaton convergente a été rappelée dans l ntroducton, et elle est exposée dans nquet (996). Applquée au modèle précédent, elle condut aux résultats qu suvent. Notons b 0 ; b 0; c ¾ 0 les estmateurs des paramètres du modèle de tar - caton a pror, et b = t exp(w t b 0 ); tlc = t;j log(c tj); E µ (TLC ) = t n t z t ; c tlc = E b µ 0(TLC ) = t n t z t b 0 : Les varances et covarances des deux composantes d hétérogénété admettent les estmateurs convergents suvants: (n b ) n (n b )(tlc tlc c ) bv nn = log(+bv nn); bv nn = ; bv cn = µ ; b b ( + bv nn) bv cc = (tlc 0 tlc c ) n ¾ c µ b ( + bv nn) bv cn : Des estmateurs convergents de ' nn ; ' cn et ' cc sont donnés par les solutons de l équaton T b' T 0 b' = bv: Ce sont les estmateurs de ' qu sont opératores pour le calcul des coef- cents de bonus-malus. Quant aux paramètres du modèle ntal, ls sont estmés de manère convergente par b = b 0 V b nn e n;; b = b 0 bv cn e c; ; ¾ c = ¾ c 0 bv cc ; où e n; et e c; sont les premers vecteurs des bases canonques de R k n et R k c ; les deux constantes étant supposées être les premères des k n et k c varables explcatves retenues pour les los de nombres et de coût des snstres. Les formules précédentes sont explotées c-après. 5. Résultats emprques (n b ) n = 6; 4; b = 389; 48:

25 5 Ces valeurs, déjà utlsées pour le bonus-malus sur les fréquences, condusent à (n b ) n q bv nn = = 0; 555; bv nn = log(+bv nn) = 0; 44 ) b' nn = bv nn = 0; 665: b bv nn est un estmateur convergent de la varance dans le modèle bnômal négatf. La varance V nn de U n est estmée de manère convergente par bv nn dans le modèle où la composante d hétérogénété sut une lo log-normale. On peut comparer les bon ssus des deux modèles pour un contrat non snstré. La somme t b t représentant dans le modèle bnômal négatf la prme en fréquence cumulée sur l ensemble des pérodes d observaton pour un assuré non snstré, le bonus assocé pour la pérode suvante est égal à b t ba ba + t = b t ba + = b t t t bv nn µ + bv nn b t t b t t avec ba = = ¾ c = = V b nn: our la famlle log-normale, le bonus vaut µ Cov d exp(un ) E [exp(u n )] ; exp(v T ) ; U n = ' E [exp(v T )] nn S n ; V T = t b t exp(u n ) avec S n» N(0; ): A partr des valeurs de bv nn et b' nn calculées précédemment, on obtent par exemple: prme fréquence 0,05 0, 0, 0,5 bonus (los gamma, %),7 5,3 0,7 35,7 5,6 bonus (los log-normales, %),6 5, 9,4 9,3 30,3 43,6 Les bon ssus des los log-normales sur la composante d hétérogénété sont plus fables que ceux ssus des los gamma. La d érence est d autant plus grande que la prme fréquence est élevée. Estmons la covarance: (n b )(tlc tlc c ) (n b )(tlc c tlc ) = 7; 96 ) bv cn = µ b ( + V b nn) = 0; 03: On peut penser à reler un sgne postf ou negatf de la covarance au fat que le coût moyen des snstres sot une foncton crossante ou décrossante du nombre de snstres par assuré. Supposons que les assurés aent été observés

26 6 sur une même durée, et qu l n y at pas de varables explcatves autre que la constante pour les los de nombre et de coût. On aurat alors b = n; c tlc = n log c ) (n b )(tlc c tlc ) = (n n)n (logc log c) = =n (n )n (log c log c); car n (logc log c) = 0: On a noté log c la moyenne des logarthmes des coûts des snstres causés par l assuré. L estmateur de la covarance serat alors postf s la moyenne des logarthmes des coûts des snstres assocés aux assurés en ayant causé,3,4... état supéreure à la moyenne. Sur l échantllonde traval, le nombre de snstres causés par l assuré a peu d n uence sur le coût moyen. Lors des calculs de bonus-malus sur le coût moyen d un snstre, on a utlsé (tlc 0 tlc c ) n ¾ c = lcres j lcres k = 00; 80: =n j;ks ;j6=k Un système de bonus-malus sur le coût moyen d un snstre se just e s l observaton du rapport coût réel-coût estmé d un snstre apporte une nformaton sur les snstres suvants. Le sgne postf de la dernère quantté sgn e que, pour les snstres assocés aux assurés en ayant causé pluseurs, les résdus-coût sont plutôt de même sgne. La gravté relatve d un snstre est assocée au sgne du résdu, et on peut comparer les sgnes des résdus des snstres assocés aux assurés en ayant causé deux. On obtent nombre d assurés ayant résdu négatf résdu postf causé deux snstres (deuxème snstre) (deuxème snstre) résdu négatf (premer snstre) résdu postf (premer snstre) Il n y a pas de changement de sgne des résdus pour 64% des assurés ayant causé deux snstres. Du derner résultat, on dédut (tlc 0 tlc c ) n ¾ c bv cc = µ bv cn = 0; 66; et br bv cn cn = = 0; 048: b ( + bv qb nn ) Vcc Vnn b Le coe centde corrélatonentre les composantes d hétérogénété est postf, mas proche de 0. On obtent alors bv cn = b' nn b' cn ) b' cn = 0; 00; b V cc = b' cn + b' cc ) b' cc = 0; 407:

27 7 On peut par exemple calculer les bon en coût moyen par snstre et en prme pure pour les contrats non snstrés, prolongeant ans les résultats obtenus sur les fréquences. Avec les formules dcov on obtent µ exp(uc ) E [exp(u c )] ; exp(v T ) E [exp(v T )] ; dcov µ exp(un + U c ) E [exp(u n + U c )] ; exp(v T ) E [exp(v T )] prme fréquence 0,05 0, 0, 0,5 bonus coût moyen (%) 0, 0, 0, 0,5 0,9,5 bonus prme pure (%),7 5,3 9,7 9,9 3, 44,7 Un bonus-coût se crée en l absence de snstres, qu est dû à la corrélaton postve entre les deux composantes d hétérogénété, mas l reste très fable. assons au calcul de coe cents de bonus-malus pour un assuré ayant causé un snstre. Ils s exprment en foncton de lcres T = log(c) z b résducoût (c est le coût du snstre causé par l assuré; z les caractérstques de l assuré au moment du snstre), et t b t - ou la prme fréquence. Ic V T = b t exp(u n ) + U n U c U c lcres T t ¾ c ; lcres c¾ = ¾ c j 0 ;j bv cc = bv cc = ; 66 = 0; 86: n 3493 Rappelons que les coe cents de bonus-malus sur la fréquence, le coût moyen d un snstre et la prme pure s écrvent respectvement be [exp(u n + V T )] be [exp(u n )] b E [exp(v T )] ; b E [exp(uc + V T )] be [exp(u c )] b E [exp(v T )] ; b E [exp(un + U c + V T )] be [exp(u n + U c )] b E [exp(v T )] : On obtent par exemple (les coe cents de bonus-malus étant donnés en pourcentage) bonus-malus fréquence prme fréquence lcres T 0,05 0, 0, 0,5-47,4 4, 33, 3,9 94,5 73,4-0,5 48, ,8 4, ,7 0 49,3 43,7 34,6 5 95,3 74 0,5 50, 44,6 35,3 5,6 95,7 74,3 5 45,6 36 6, 96, 74,6