2 K DS de mathématiques 2h calculatrice autorisée 19XI07

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1 K DS de mathématiques h calculatrice autorisée 9XI07 I) ) Soient a et b deu réels quelconques, montrer que : a 3 b 3 = (a b) (a + ab + b ). ) Soit P() = ( 3 7) + (9 ) + 8( 3) avec un réel quelconque. Factoriser P() sous la forme d un produit de deu facteurs. 3) Résoudre dans : P() = ( 3)( ). II) Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes : + ) f : ( + 3) ( ) ) g : + 3) h : ( ) ( + 6) 3 III)Soit f la fonction définie par + ) Déterminer l ensemble de définition de f. ) Calculer les images de 0 puis de 3. 3) a) Justifier rapidement pourquoi : + = = 0 b) Résoudre par le calcul : f () = 3 4) Tracer la représentation graphique de f dans un repère orthogonal (O;i;j) tel que i = j = cm. 5) Résoudre graphiquement : a) f () < b) f () > 3 Ne pas oublier d ajouter au graphique du 4) les courbes et droites nécessaires au résolutions graphiques cicontre. c) f () = 6) Peut-on s aider du graphique de la question 4) pour résoudre : 3 = +? IV) La courbe ci-dessous est la représentation graphique d une fonction f définie sur [ 6 ; 0]. j 0 i (Il ne vous est pas demandé de reproduire le graphique ci-dessus sur votre copie) ) Résoudre graphiquement l équation f() = ) Déterminer sans justifier le nombre de solutions de l équation f() = m suivant les valeurs de m. BAREME PROBABLE : I) 4pts II) 3pts III) 0pts IV) 3pts

2 des Composition de mathématiques h calculatrice autorisée X07 I) Soit p le produit de quatre entiers naturels consécutifs : p = n (n +) (n + ) (n + 3) avec n ) Vérifier que : (n +) (n + ) = n (n + 3) + ) On pose : a = (n +) (n + ) Eprimer p en fonction de a. 3) En déduire que p + est un carré parfait. Rappel : Un carré parfait est le carré d un nombre entier. II) Soient a et b deu réels strictement positifs. Démontrer que b b a (a b) = a ab III)Traduire à l aide d inégalités : (On pourra s aider d un schéma) ) ] ; [ [ ; + [ ) ] ; [ [ ; + [ 3) ] ; 3] ] 5 ; 30 [ IV) Soit f : 3 + ) Donner l ensemble de définition Df de f. ) Calculer les images par f de 0 et de. 3) Déterminer par le calcul les antécédents par f, s ils eistent, de et de? 4) Résoudre dans : f () 0 V) Résoudre dans : (E ) : 3 = 4 4 (E ) : + = 4 (I ) : (E 3 ) : + 4 (I ) : ( + + ) ( + ) ( ) + = ( + ) 4( + ) ( ) Résoudre dans : (I 3 ) : 3 ( 3) BAREME PROBABLE : I) 4pts II),5pts III),5pts IV) 4pts V) 9pts

3 K DS de mathématiques h calculatrice autorisée 0XI06 I) Résoudre dans : ) ( 9) ( + ) = ( + 3) ( ) ) Nom : II) A) On a tracé dans le repère (O;i;j) ci-contre, la courbe représentative d une fonction f définie sur. ) Lire graphiquement les images par f de 3, 0 et 3. ) Lire graphiquement le ou les antécédents par f de. 3) Résoudre graphiquement l équation f () =. 4) Résoudre graphiquement l inéquation f () 3. B) La courbe représentée ci-contre est en fait celle de la fonction f définie sur par f () = ) Calculer les images par f de 3, 0 et 3. ) Résoudre par le calcul l équation f () =. 3) Montrer que, pour tout de, on a 3 3 = ( + ) ( ). Résoudre par le calcul l inéquation f () 3. j O i III)Vous avez une société de transports et vous préparez un voyage pour l un de vos cars. Vous savez que le coût total du trajet en euros sera : f () = ou désigne la vitesse moyenne du car en km.h. ) Dans l epression de f () ci-dessus, précisez sans justifier : a) le coût lié au frais fies (assurances, péages, ) b) le coût lié au carburant (proportionnel à la vitesse) c) le coût lié au salaire du chauffeur (inversement proportionnel à la vitesse) ) Déterminez Df l ensemble de définition de f 3) Tracez la représentation graphique de f 4) En vous aidant de, déterminez la vitesse optimale à laquelle vous allez conseiller au chauffeur de rouler. IV)On pose pour réel : f () = On définit ensuite : f () = f ( f ()) = f = = puis f 3 () = f ( f ( f ())), f 4 () = f ( f ( f ( f ())), etc Déterminer f 006 (006) =, BAREME PROBABLE : I) 4pts II) 0pts III) 4pts IV) pts

4 IK Composition de mathématiques h calculatrice autorisée 0X05 I) ) Ecrire à l aide d intervalles : a) et 0 < 3 NOM : b) ou c) < 3 et > et > d) ou ( et < ) ) Soit A = ] 5 ; [ [ ; 4] et B= ] ; 4] [ 3 ; 0] [4 ; +[ Déterminer A B et A B II) ) Démontrer que = ) Démontrer que pour tous réels et y non nuls : + y + y = + y y 3) Démontrer que pour tout entier relatif n et tout réel non nul : ( n + n ) ( n n ) = 4 III)Résoudre dans : ) ( )( 3) ( ) = + 3) + + ) > 4 8 4) 8 ( 3)( ) = 3 IV)La figure ci-dessous à droite représente une pièce métallique percée de deu trous circulaires. Le cercle etérieur a pour rayon 40mm. Les deu cercles intérieurs se touchent et ont respectivement pour diamètres et 5 en mm. ) Déterminer D, l ensemble des valeurs que peut prendre. (Justifier!) ) Soit f la fonction définie sur D qui à fait correspondre l aire de la pièce métallique. Déterminer f (). 3) On a tracé ci-dessous, la représentation graphique de f. a) Préciser l échelle directement sur le graphique. b) Résoudre graphiquement 000 < f () < c) En déduire un encadrement de entre deu entiers tels que l aire de la pièce métallique soit comprise entre 0 et 35 cm². y O BAREME PROBABLE : I) 3pts II) 4,5pts III) 7pts IV) 5,5pts

5 JK Composition de mathématiques h calculatrice autorisée X04 I) Résoudre dans : ) 9 = 0 ) ( ) 9 3) + 0,3 = 0 4) 3 5) + = 6 5 6) 3 + > 0 7) NOM : y II) On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction f définie sur par : ) Tracer sur ce même graphique la courbe représentative de la fonction g définie sur par : + 5 ) Résoudre graphiquement l'équation f () = 3 3) Résoudre graphiquement l'inéquation < + 5 j O i III) Vérifier que est solution de l'équation : + ( ) = 0 IV) Résoudre l'équation : + 5 a = a + en considérant que : ) est l'inconnue et a un nombre donné. ) a est l'inconnue et un nombre donné. V) Les boites de conserves ont été inventées à une époque ou le métal était assez cher. Les fabricants ont donc cherché à minimiser la quantité de métal utilisée, et donc l aire de la boite. On se propose de chercher le rayon de la boite cylindrique de hauteur h contenant un litre. ) Eprimer le volume v de la boite en fonction de h et de. Comme ce volume est de 000 cm 3, en déduire h en fonction de. ) Eprimer l aire latérale de la boite (c est un rectangle) et les aires des deu bases circulaires. En déduire que l aire totale (en cm ) est : f () = ) Tracer (on choisira ]0 ; 0]) 4) En déduire graphiquement le rayon qui rend l'aire de la boite minimale. En déduire le diamètre approimatif, puis la hauteur de la boite. Quelle particularité observe-t-on? VI) Soit f la fonction définie sur par : a b 4 + c + 5 ou a, b et c sont des réels donnés. si f ( 004) = 004, peut on en déduire f (004)? (justifier!!) BAREME POSSIBLE : I) 8pts II) 3pts III) pt IV) pt V) 5pts VI) pts

6 ADIJ Composition de mathématiques h calculatrice autorisée 0XI03 I) ) Décomposer 496 et 35 en produits de facteurs premiers. ) Le nombre 35 est-il décimal? (Justifier la réponse sans utiliser votre calculatrice) 496 3) Déterminer sans justifier le plus petit entier naturel k non nul tel que le nombre 35 k soit le carré d'un entier. 4) Un nombre entier positif est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs (à l'eception de lui même, mais compris). Montrer que 496 est parfait. II) On donne : A() = 9 ( ) ( + 4) et B() = 6 49 (4 7) ( + ) + (7 4 ) ( ) ) Factoriser A() et B() ) Résoudre successivement : a) A() = B() b) A() B() = 4 + c) A() B() > 3 III) Résoudre dans le système : IV) Soit f la fonction affine par intervalles définie sur par : f () = 3 si f () = si < f () = 6 si < ) Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;i;j) ) Résoudre graphiquement f () = 0 puis f () 3) Tracer point par point la courbe d'équation y = 4) Résoudre graphiquement f () < BAREME APPROXIMATIF : I) 6pts II) 5pts III) 4pts IV) 5pts

7 DJ DS de Mathématiques h calculatrice autorisée X 0 I) Simplifier sans calculatrice : A = 0, 5 (70,6) 0 5 (0,8 5) B = C = ( ) 0 5 D = a3 ( a b) 4 ( b) (a b 4 ) ( a b ) (a 0 ; b 0) II) Factoriser : E = 4 3 ( ) F = ( + )( ) + ( ) G = H = 9 5 III) Parmi les nombres ci-dessous, y en a-t-il au moins un égal à : I = J = ? K = IV)) Déterminer le nombre d'entiers premiers inférieurs à 0000 se terminant par? ) Déterminer le nombre d'entiers premiers inférieurs à 00 se terminant par 3? 3) Peut-on trouver trois entiers premiers consécutifs? + V) Soit f la fonction définie par ) Déterminer l'ensemble de définition de f. ) Déterminer par le calcul les images de ; ; VI) f est une fonction affine par parties définie sur [ ; 5]. ) Sans justifier, définir f à partir de sa représentation graphique cicontre (si alors f () = ). ) Déterminer graphiquement, le ou les antécédents de 0 ; ; 4 C f 3) Déterminer par le calcul, le ou les antécédents de 3 VII) Le nombre ci-dessous est-il entier? (justifier bien sûr!!) L = Bonne chance! BAREME APPROXIMATIF : I) 4pts II) 4pts III) pt IV) 4pts V),5pts VI) 4pts VII),5pts