Produit scalaire. Exercices

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1 Produit scalaire Exercices 3-4 Les idisesables Formes biliéaires symétriques Soit ϕ l alicatio de 3 3 das telle que : ϕ(u,u ) = xx + xy + x y + yy + xz + x z + 3zz a Motrer que ϕ est ue forme biliéaire symétrique sur 3, et l exrimer sous forme matricielle b Ecrire ϕ(u,u) sous forme d ue combiaiso liéaire de carrés et e déduire si ϕ est ositive c ϕ défiit-elle u roduit scalaire sur 3? d Si oui, détermier ue base de 3 orthoormale our ce roduit scalaire Exercices gééraux sur le roduit scalaire Soit E u esace vectoriel mui d u roduit scalaire réel ou comlexe a Motrer que toute famille orthoormale est libre b Est-ce ecore le cas our ue famille orthogoale? 3 Soit E l esace vectoriel des foctios cotiues ar morceaux de [,] das L alicatio : ( f, g) a f ( g(, défiit-elle u roduit scalaire sur E? 4 O muit : E = C π(,), du roduit scalaire : (f,g) a π f ( g( π Motrer que l famille (e ) défiie ar : t, e (t) = e it, est-elle orthoormale 5 Soit ϕ l alicatio défiie sur M () ar : (A,B) a tr( t AB) a Motrer que ϕ défiit u roduit scalaire sur M () b Que faut-il redre our avoir u roduit scalaire équivalet sur M ()? c Motrer que das M (), S () et A (), (matrices symétriques et atisymétriques) sot sulémetaires orthogoaux) t d Motrer que : A M (), tr( A) tr( A A), et réciser les cas d égalité 6 a Motrer que l alicatio : (f,g) a + t f ( g( e, défiit u roduit scalaire das {X] b Plus gééralemet, si o ote : E = {f C ( +,),, lim t f ( t) = }, motrer que l alicatio récédete défiit u roduit scalaire sur E c Vérifier que : Vect(si, cos) E, uis détermier ue base orthoormale de ce sous-esace vectoriel t + 7 Das C ([a,b],), mui de so roduit scalaire caoique O cosidère f ue foctio strictemet ositive, cotiue sur [a,b] A l aide de l iégalité de Cauchy-Schwarz, motrer que : d égalité ( a b) 8 Soit E u esace vectoriel mui d u roduit scalaire ( ) Pour : a E, o ul, et : λ K, résoudre l équatio : (a x) = λ b a f ( b a, et étudier les cas f ( t) 9 Soit E u -esace vectoriel mui d u roduit scalaire ( ) Motrer que deux vecteurs x et y de E sot orthogoaux si et seulemet si : λ, x x + λ y Esaces vectoriels euclidies, et sous-esaces vectoriels Soit E u esace euclidie, et (e,,e ) des vecteurs uitaires de E, tels que : x E, x = ( x e i ) O ose : F = Vect(e,,e ) a Motrer que la famille (e,,e ) est orthoormale Chaitre : Produit scalaire - Exercices - - i=

2 b Motrer que c est ue base de E Soiet F et G deux sous-esaces vectoriels d u esace vectoriel euclidie E Motrer que : (F + G) = F G, et : (F G) = F + G Procédé de Gram-Schmi, distace à u sous-esace vectoriel Motrer que : (f,g) a + f ( g( t), défiit u roduit scalaire sur [X] t Orthoormaliser la base (,X,X ) 3 Das 3 mui de sa structure euclidiee caoique, orthoormaliser ar le rocédé de Gram-Schmi la famille (u,v,w), avec : u = (,,), v = (,-,), w = (,,-) 4 O muit [X] du roduit scalaire classique de C ([,],) a Aliquer le rocédé de Gram-Schmi à la famille (, X, X²) b Détermier ar ailleurs : if ( x² a x b)² dx ( a, b) R² Projecteurs orthogoaux 5 O muit 3 de sa structure euclidiee caoique a Détermier ue base orthoormale de : P = {(x,y,z) 3, x y + z = } b E déduire l exressio de la rojectio orthogoale de 3 sur P 6 O muit 4 de sa structure euclidiee caoique, et o ote B sa base caoique Par ailleurs o ote : F = {(x,y,z,t) 4, x + y + z + t = x y + z t = } a Détermier M, matrice de f das la base B où f est le rojecteur orthogoal de 4 sur F b Détermier d((,,3,4),f) 7 Soit E u esace vectoriel euclidie mui d ue base orthoormale : B = (i,j,) 5 Soit : L(E), tel que : mat B () = A = 6 5 Motrer que est ue rojectio orthogoale sur u la P que l o récisera Matrices symétriques réelles 8 Diagoaliser la matrice : A =, ar l itermédiaire d ue matrice orthogoale 9 Soit : A M () a Motrer que t AA est ue matrice symétrique réelle à valeurs rores ositives b Motrer que ces valeurs rores sot strictemet ositives si et seulemet si A est iversible Soit : A M (), et : B = (A + t A) a Justifier que les valeurs rores de B sot réelles O otera ar ailleurs α la lus grade valeur rore de B et β la lus etite b Pour : X M, (), comarer t XAX et t XBX c Motrer que : X M, (), α t XX t XAX β t XX d E déduire que : S (A) [α,β] Soit : A M () a Motrer que : X M, (), (AX = ) ( t AAX = ) b E déduire que : rg(a) = rg( t AA) Chaitre : Produit scalaire - Exercices - -

3 Soit A ue matrice symétrique réelle telle que :, A = I Motrer que : A = I Edomorhismes orthogoaux 3 Soiet E u esace vectoriel euclidie, F u sous-esace vectoriel de E et : u O(E) a Motrer que : u(f ) = (u(f)) b Motrer que : (F stable ar u) (F stable ar u) Remarque : les deux questios sot idéedates 4 Soiet E u esace vectoriel euclidie et : f L(E), tel que : x E, (f(x) x) = Motrer que er(f) et Im(f) sot orthogoaux l u de l autre 5 Soiet E u esace vectoriel euclidie, et : f O(E) Motrer que er(f Id E ) et Im(f Id E ) sot sulémetaires orthogoaux das E 6 Soit E u esace vectoriel euclidie et a u vecteur uitaire de E Pour : α, o défiit f α sur E ar : x E, f ( x) = x α( a x) a α + a Vérifier que : α, f α L(E), et calculer f α of β, our : (α,β) b Motrer que : (f α bijective) (α -) c Préciser les valeurs rores et les vecteurs rores de f α sas calculer sa matrice rerésetative ou so olyôme caractéristique, et e déduire ue descritio géométrique de f α 7 Soiet E u esace vectoriel euclidie, et : f O(E) Motrer que f est diagoalisable si et seulemet si f est ue symétrie orthogoale Matrices orthogoales 8 Détermier les matrices orthogoales qui sot triagulaires suérieures 9 Détermier les matrices orthogoales dot les coefficiets sot ositifs ou uls (o ourra démotrer que our ue telle matrice, chaque coloe e comorte qu u seul coefficiet o ul) 3 Soit : A O () a Exrimer a i j i, j,, à l aide de A et du vecteur coloe X e comortat que des b E déduire que : ai, j, à l aide de l iégalité de Cauchy-Schwarz das (ou M, ()) mui de i, j so roduit scalaire caoique Isométries de 3 3 Doer les élémets géométriques des trasformatios de 3 dot la matrice das la base caoique est : 8 4 A = 4 7 4, B =, C = Doer la matrice das la base caoique de 3 de la réflexio ar raort au la P, d'équatio : x + 3y z = 33 Soiet : u 3, ormé, et : θ Motrer que la rotatio d'agle θ, d'axe dirigé et orieté ar u est défiie ar : x 3, r(x) = ( cos(θ))<u,x>u + cos(θ)x + si(θ)u x Les classiques Exercices gééraux sur le roduit scalaire Chaitre : Produit scalaire - Exercices - 3 -

4 34 Motrer que ϕ défiie ar : ( P, Q) a P' ( Q' ( + ( P() ) + P() )), défiit u roduit scalaire sur [X] 35 Soiet ϕ et ψ deux roduits scalaires das u esace vectoriel réel E de dimesio fiie O suose que : (x,y) E², ((ϕ(x,y) = ) (ψ(x,y) = )) E utilisat ue base orthoormale (e i ) de E our ϕ, motrer que : α * +, tel que : (x,y) E², ψ(x,y) = αϕ(x,y) 36 Soiet : *, et (x,, x ) ( + *) a Si o suose que : x =, motrer que : ² = = x b Das quel cas a-t-o l égalité? 37 A l aide de l iégalité de Cauchy-Schwarz, motrer que : (A,B) M (), A et B symétriques, ( tr( A B + B A)) 4 tr( A ) tr( B ) 38 a Motrer que :,! Q [X], P [X], P( ) = P( Q ( b Motrer ar l absurde que : deg(q ) = c Motrer que le résultat deviet faux das [X], à savoir qu o e eut trouver : Q [X], tel que : P [X], P ( ) P( = Esaces vectoriels euclidies, et sous-esaces vectoriels 39 Famille obtusagle Soit E u esace vectoriel euclidie de dimesio et soiet x,, x + des vecteurs de E O veut motrer qu il est as ossible d avoir : i j +, (x i x j ) < a Motrer que ce résultat est vrai si : = b O suose le résultat établi our tout esace de dimesio ( ), our doé tel que : E cosidérat : F = Vect(x + ), motrer que le résultat est ecore vrai e dimesio c E déduire le cardial maximum d ue famille obtusagle (telle que l agle etre deux vecteurs quelcoques de la famille est obtus) 4 Détermiat de Gram Soit E u esace vectoriel euclidie de dimesio, et soit B ue base orthoormale de E Soit ar ailleurs (x,, x ) ue famille d élémets de E, et efi G la matrice de coefficiet géérique : i,j, g i,j = (x i x j ) a Motrer que si la famille (x,, x ) est liée, l ue des coloes de G est combiaiso liéaire des autres et e déduire que : det(g) = b Si (x,, x ) est libre, o ote P la matrice de assage de B à cette ouvelle base de E Exrimer G e foctio de P et e déduire que : det(g), aisi que : det(g) > c E déduire ue équivalece d Motrer que ce résultat reste vrai si o cosidère ue famille de vecteurs (x,, x ), avec : Remarque : o ote arfois : det( G ) = Gram( x, x ) 4 Soiet : *, A M (), X M, () {}, et : H = {Y M, (), t XY = } Motrer que X est vecteur rore de t A si et seulemet si H est stable ar A Procédé de Gram-Schmi, distace à u sous-esace vectoriel 4 Motrer e utilisat le rocédé de Gram-Schmi, qu ue matrice iversible réelle A s écrit de maière uique : A = QR, où Q est orthogoale, et R ue matrice triagulaire suérieure à élémets diagoaux strictemet ositifs Projecteurs orthogoaux 43 Soit E u esace vectoriel euclidie et x et y deux vecteurs o uls de E Détermier ue coditio écessaire et suffisate sur x et y our que le rojeté orthogoal de x sur Vect(y) Chaitre : Produit scalaire - Exercices - 4 -

5 soit égal au rojeté orthogoal de y sur Vect(x) 44 Soiet E u esace vectoriel euclidie de dimesio et x et y deux vecteurs de E tels que : Chaitre : Produit scalaire - Exercices ( x y) = y Motrer qu il existe u uique hyerla H de E tel que : y = H (x), où H est la rojectio orthogoale de E sur H 45 O muit M () du roduit scalaire caoique : (X Y) = tr( t XY) O défiit ar ailleurs : L L L O O O M L L A = M M, et : U = M O O O, uis : F = Vect{U, ( )} O O L L L a E remarquat que la matrice U est orthogoale, motrer que (U ) - est ue base orthogoale de F b E déduire la rojectio orthogoale de A sur F Matrices symétriques réelles, matrices symétriques réelles ositives a b L c O O O M 46 Soit : A = O O O M (), avec :, c b > M O O O b L c a a Motrer qu il existe ue matrice diagoale D dot le remier coefficiet diagoal vaut telle que : D - AD soit symétrique réelle b E déduire que A est diagoalisable 47 Soit : A M (), et µ,, µ les valeurs rores de A t A a Motrer que : i, µ i (o ourra utiliser u vecteur rore associé à chaque valeur rore) b Motrer que : µ i = ai, j i= i, j 48 Soit : A M (), telle que : S( t AA A t A) + Motrer que A et t A commutet 49 Soit A ue matrice atisymétrique réelle, et B ue matrice symétrique réelle, telles que : AB = BA a Motrer que : X M, (), t (AX)(BX) = b Motrer que : X M, (), (A+B)X = (A B)X ( désige la orme caoique de M, ()) c O suose de lus B iversible Motrer que (A + B) et (A B) sot iversibles et que (A + B)(A B) - est orthogoale 5 Soit : A M () a Etudier t X t AAX our u vecteur rore de t AA b Que dire de la valeur rore corresodate si A est iversible? c Retrouver que l alicatio : (A,B) a tr( t AB), défiit u roduit scalaire sur M () 5 Matrices symétriques ositives et strictemet ositives Soit : A M (), symétrique O dit que A est ositive (soit : A ), si et seulemet si : X M, (), t XAX O dit que A est strictemet ositive (soit : A > ) si et seulemet si : X M, (), X, t XAX > O ote S + (), les matrices réelles ositives et S ++ () les matrices strictemet ositives de M () a Motrer que : (A,B) (S + ()), (A + B) S + () b Motrer que : (A,B) S + () S ++ (), (A + B) S ++ ()

6 c Motrer que : A M (), t AA S + () d Motrer que A Gl (), t AA S ++ () e Motrer que : A Gl (), S S ++ (), t ASA S ++ () Edomorhismes orthogoaux Matrices orthogoales 5 Soit E u esace vectoriel euclidie et f ue alicatio de E das E telle que : f() =, (x,y) E, f ( x) f ( y) = x y a Motrer que : x E, f ( x) = x b A l aide de l idetité du arallélogramme, e déduire que : x E, f(-x) = - f(x) c Motrer que : (x,y) E, (f(x) f(y)) = (x y) d Soit (e,, e ) ue base orthoormale de E Motrer que : x E, f(x) = ( e x) f ( e ) = e E déduire que f est u automorhisme orthogoal de E 53 Calculer card(o() M ()) t 54 Soiet : C M, (), o ulle, et : S = I C C t C C Motrer que S est la matrice das la base caoique de de la réflexio ar raort à l hyerla orthogoal à C Exercice gééral 55 Polyômes de Legedre Soit : E = [X], et le roduit scalaire classique : (P Q) = P ( d O ose, ar ailleurs, our tout etier : Q = [( t² ) ]! a Motrer que : deg(q ) =, que Q a racies simles das ]-,+[, et que : Q - [X] b Calculer (Q Q ), Q (), et Q (-) c Motrer que la suite (Q ) vérifie la ratio de récurrece :, Q = ( )XQ - ( )Q - d Motrer qu'il existe ue uique famille (P ) orthoormale telle que :, d P =, (P X ) >, e Motrer que :, λ, P = λ Q, et calculer λ d f Motrer que : t, [( t²) P '( t)] + ( + ) P ( t) =, uis calculer : a = P ( Isométries de 3 56 Doer les élémets géométriques des trasformatios de 3 dot la matrice das la base caoique est : A = 3 6, B = O muit : E = 3, de so roduit scalaire et de so orietatio caoiques a Motrer que si f et g sot deux rotatios de même axe ou deux retouremets d axe orthogoaux, alors f et g commutet O suose das la suite que f et g sot deux rotatios de E distictes de id E, telles que : fog = gof b Soit u u vecteur uitaire aarteat à l axe de f Motrer que : g(u) = u, ou : g(u) = -u c Si : g(u) = u, e déduire que f et g sot deux rotatios de même axe d Si : g(u) = -u, motrer que f et g ot des axes orthogoaux et que ce sot des retouremets Les lus Exercices gééraux sur le roduit scalaire Chaitre : Produit scalaire - Exercices - 6 -

7 58 Soit E u esace réhilbertie réel et soit : (x,, x ) E, tel que : M, {ε,, ε } {-,+}, O veut motrer que : = x M = ε x M a Motrer que ce résultat est vrai si : =, ou : = b E raisoat ar récurrece, motrer que ce résultat est vrai our tout etier : 59 O muit : E = C ([-,+],), de so roduit scalaire caoique O ose : F = {f E, t [,], f(t) = }, G = {g E, t [-,], g(t) = } a Motrer que : F = G b F et G sot-ils sulémetaires das E? 6 O muit : E = [X], du roduit scalaire : (P,Q) E, ( P Q) + P( + = a Motrer que : H = {P E, t P( = }, est u hyerla de E b Motrer que : Q H + + +, = P ( t P( c E déduire que : H = {} 6 Soit E u esace réhilbertie réel et soit F u sous-esace vectoriel de E Motrer que : F = F, our la orme attachée au roduit scalaire 6 Soit E u esace vectoriel euclidie et : u L(E), tel que : tr(u) = a Motrer que si : B = (e,, e ), est ue base orthoormale de E, alors : tr( u) = ( ei u( e i )) b Motrer que : x E, (x u(x)) = Pour :, o ourra cosidérer l alicatio de [,] das défiie ar : t [,], ϕ(t) = u( t e + ( e ) t e + ( e ), ( i j i j our des vecteurs e i et e j bie choisis et utiliser le théorème des valeurs itermédiaires c E déduire ar récurrece qu il existe ue base das laquelle la matrice de u est à diagoale ulle Esaces vectoriels euclidies, et sous-esaces vectoriels 63 Soit E u esace vectoriel euclidie mui d ue base orthoormale : B = (e,, e ) Si F est u sous-esace vectoriel mui d ue base orthoormale (x,, x ), o ote X la matrice coloe des coordoées de x das B Motrer que la rojectio orthogoale F de E sur F a our matrice das la base B : i= M = = t X X Projecteurs orthogoaux 64 Soit E u esace réhilbertie réel et soit : (x,, x ) E, tel que : i j, (x i x j ) < E raisoat ar récurrece et à l aide d ue rojectio orthogoale, motrer que toute sous-famille de ( ) vecteurs est libre Procédé de Gram-Schmi, distace à u sous-esace vectoriel 65 Pour : A M (), calculer if ( ai, j mi, j ) M S R, ( ) i, j où S () désige l esemble des matrices symétriques réelles de taille Chaitre : Produit scalaire - Exercices - 7 -

8 66 Détermiat de Gram O rered le détermiat de Gram vu das l exercice 4 Soit (x,, x ) ue famille libre de vecteurs de E, et : F = Vect(x,, x ) Gram( x, x E utilisat F,, x ), motrer que : x E, d ( x, F) = Gram( x,, x ) Matrices symétriques réelles, matrices symétriques réelles ositives 67 Soiet u etier suérieur à, H M () ue matrice o symétrique de rag, et : A = H + t H a Exliquer ourquoi A est diagoalisable b Motrer qu il existe : (U,V) M, ()², o ulles et o roortioelles telles que : H = U t V c Soit X u vecteur rore de H associé à la valeur rore α Motrer que si X est orthogoal à U et V, alors : α = Retrouver que A est diagoalisable e récisat ses esaces rores et ses valeurs rores 68 Soit A ue matrice symétrique réelles à valeurs rores ositives tr( A) Motrer que : (det( A)) (o ourra faire utiliser ue iégalité de covexité) 69 Soit A ue matrice symétrique réelle telle que : A = A Motrer à l aide de l iégalité de Cauchy-Schwarz das u esace de dimesio que : a tr( ) i, j i, j A 7 O rered les otatios de l exercice 5 Pour : *, o ote, our : (S,, S ) (S ()), S = a Motrer que : S S + () b Motrer que : (S = ) (, S = ) S = 7 O rered les otatios de l exercice 5 Soiet et des etiers o uls a Motrer que si est imair : S S (), R S (), R = S b Motrer que si est air : S S + (), R S + (), R = S c E déduire que : S S + (), R S + (), R = S Que dire de R si : S S ++ ()? 7 O a motré das l exercice 7 que : S S + (), R S + (), R = S Motrer e examiat les sous-esaces rores de R et de S que la matrice R est uique Cette matrice est aelée arfois la racie carrée de S Matrices orthogoales 73 Soit : A O(), telle que : S(A) a Etudier la covergece de la suite défiie ar :, U = ( I + + A + + A ) b La suite (A ) est-elle covergete? 74 Pour : (a,b,c) 3, o ose : σ = a b + b c + c a, S = a + b + c, et : a Motrer que : (A O(3)) (σ =, et : S {-,+}) b Motrer que : (A SO(3)) (σ =, et : S = ) a b c M = c a b b c a 4 c Motrer que : (A SO(3)) ( [, ], tel que a, b et c sot les racies de : P = X 3 X + ) 7 Chaitre : Produit scalaire - Exercices - 8 -