I PRODUIT SCALAIRE ( dans le plan )

Transcription

1 I PRODUIT SCLIRE ( dans le plan ) 1 ) DEFINITION Soit et v dex vecters non nls d plan. Le prodit scalaire de par v noté. v est le nombre défini par l ne o l atre des égalités cidessos :. v = 1 ( + v - - v ). v = x x + y y où ( x ; y ) et ( x ; y ) sont les coordonnées respectives de et de v dans n repère orthonormal qelconqe.. v = O. O = O O cos O = v cos ( ; v ) Le prodit scalaire de dex vecters est égal a prodit de lers normes par le cosins de l angle q ils forment. où O ; et sont trois points d plan tels qe = O et v = O. O H H O. v = O. O O OH si = O OH si O et OH sont de même sens O et OH sont de sens contraire H est le projeté orthogonal de sr ( O ) Si = 0 o v = 0 ; on pose. v = 0. Le prodit scalaire de dex vecters est n réel. Ex 1 : Soit ( ; 3 ) ; ( -1 ; 4 ) et C ( - ; 1 ) trois points d plan mni d n repère orthonormal. On a ( 3 ; 1 ) et C ( 1 ; 3 ) d où. C = ( 3 ) ( 1 ) + (- 3 ) 1 = 0 Ex : Soit C n triangle éqilatéral tel qe = 3 ( dans l nité de longer choisie ). Les points E; F et D sont les miliex des côtés. On a alors :

2 . C= C cos ( C ) = 3 3 cos π 3 = 9 o. C = E = 3 3 = 9 D E. CE =. CE cos ( ; CE ) = CE cos π = 0 o le projeté orthogonal de CE sr est le vecter nl ; donc. CE = 0 C F ) PROPRIETES :OPERTIONS VECTORIELLES Soit ; v et w trois vecters d plan et k n réel; on a : Symétrie. v = v. Linéarité. ( v + w ) =. v +. w et ( + v ). w =. w + v. w ( k ). v = k (. v ) et. ( k v ) = k (. v ) conséqence : a. b v = ab. v ( où a et b sont dex réels qelconqes ) Preve : On se place dans n repère orthonormal ( tile por la preve selement ) et on note ( x ; y ) ; ( x ; y ) et ( x ; y ) les coordonnées respectives de ; v et w. Montrons l égalité. ( v + w ) =. v +. w ; les atres égalités se montrent de la même façon. v + w a por coordonnées ( x + x ; y + y ). Donc. ( v + w ) = x ( x + x ) + y ( y + y ) = x x + x x + y y + yy = ( x x + y y ) + ( x x + y y ) =. v +. w Ex : ( 3 v ). ( + v ) = Il y a des ressemblances évidentes entre les règles de calcl d prodit scalaire et celles sr les réels; mais attention il ne fat pas généraliser : En effet; on pet avoir. v = 0 avec 0 et v 0. D atre part. v =. w n impliqe pas v = w. C ) CRRE SCLIRE ET NORME

3 3 Por tot vecter d plan; le prodit scalaire de par li même;. est appelé carré scalaire de. On le note. On a : =. = = Ce qi donne; por dex points et : = = est nitaire si et selement si = 1 près qelqes calcls; on retrove des prodits scalaires remarqables ( bien familiers ) ( + v ) ² = ² + v ² +. v ; ( v ) ² = ² + v ². v et ( + v ) ( v ) = ² v ² pplication : Soit C n triangle qelconqe : C² = C = ( + C ) = +. C + C = -. C + C C² = -. C + C est le théorème de Pythagore généralisé ( formle d l Kashi ) 3 ) PRODUIT SCLIRE ET ORTHOGONLITE et v sont orthogonax si et selement si ler prodit scalaire est nl soit v. v = 0 Dans n repère orthonormal; le prodit scalaire de ( x ; y ) et v ( x ; y ) est. v = xx + yy On en dédit qe : v x x + y y = 0 Ex : Soit CD n parallélogramme. En posant = et D = v ; on retrove qe CD est n losange si et selement si ses diagonales sont perpendiclaires. D v C

4 4 En effet ( + v ) ( v ) = v insi = v si et selement si les vecters + v et v sont orthogonax. 4 ) COORDONNEES D UN VECTEUR v La projection orthogonale d n vecter v sr n axe d mni d n vecter nitaire est (. v ) (. v ) Une conséqence por les coordonnées d n vecter : Soit (O; i ; j ) n repère orthonormal et ( a ; b ) n vecter d plan. On : a =. i et b =. j Le projeté orthogonal de sr ( O ; i ) est a i mais assi (. i ). i b j j i a i 5) pplication d prodit Scalaire :éqations de droites et cercles dans n plan Exercices : Méthode 1 sans le cors 1. Déterminer ne éqation de la hater (d) d triangle C passant par C. Données : n repère orthonormé et ( 1 ;), (4 ;0) et C( ;4) ( 4 1 ; 0-) = ( 3 ; -), la hater d triangle C passant par C est perpendiclaire à la droite () donc M(x,y) appartient à cette droite si et selement si. CM = 0. Soit 3 ( x ) + (-) ( y 4) = 0 o 3 x 6 y + 8 = 0 soit 3x y + = 0 o y = 3 x + 1. Déterminer ne éqation d cercle C de diamètre [C]. Données : (- ; 5) et C( 1 ;4) dans n repère orthonormé. M(x ;y) appartient à C si et selement si M. CM = 0 soit (x+) ( x-1) + (y-5)(y-4) = 0 M( x + ; y 5) et CM ( x 1 ; y 4) x² + x + y² - 9 y + 0 = 0 qe l on pet transformer en ( x + 1 )² +( y 9 ) ² = 10 4 Définition : Le plan est rapporté à n repère orthonormé. Un vecter normal d ne droite est n vecter non nl orthogonal à tot vecter directer de cette droite.

5 Propriétés : 5 r Si n ( a; b) forme ax + by + c = 0. est n vecter normal de la droite d, alors ne éqation de d s écrit sos la Réciproqement, si a et b sont dex réels non nls, l éqation ax + by + c = 0 est l éqation d ne droite dont le vecter de coordonnées (a ; b) est n vecter normal. Si y = m x + p est ne éqation de la droite d, alors n ( -m ; 1 ) est n vecter normale à d. Le cercle de centre I (a ; b) et de rayon R est l ensemble des points M(x ; y) tels qe : IM = R. Une éqation de ce cercle est ( x a) + ( y b) = R. Le cercle de diamètre [] est l ensemble des points M d plan tels qe : M. M = 0. si la droite d a por éqation ax + by + c = 0 alors d ( - b ; a )est n vecter directer de d. Exemples : exercices site Méthode avec le cors : 1. Déterminer ne éqation de la hater (d) d triangle C passant par C. ( 3 ; -) et C ( ; 4) est n vecter normal à (d) donc ne éqation de (d) est 3 x y + c = 0 cette droite passe par le point C donc c = 0 soit c = 0 o + c = 0 et c = (d) : 3x y + = 0. Déterminer ne éqation d cercle C de diamètre [C]. (- ; 5) et C( 1 ;4) On cherche le centre et le rayon : Centre : I ( -+1 ; 5+4 ) = ( - 1 ; 9 ) rayon² : C l éqation d cercle est donc ( x + 1 )² +( y 9 ) ² = 10 4 = ( 1 + )² + (4 5) ² 4 = 3² + 1² 4 = 10 4 II Prodit scalaire dans l espace Une base (, j, k ) à dex orthogonax. i de l espace est ne base orthonormée si les vecters sont nitaires et dex Norme, distance vec ( x; y; z) r : r = x + y + z. vec (x ; y ; z ) et (x ; y ; z ) : ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) =. Propriété : totes les propriétés d plan sont encore valables dans l espace saf dans n repère orthonormé : avec ( x, y, z) et v ( x, y, z ) alors. v = x x + y y + z z