DERNIÈRE IMPRESSION LE 12 février 2016 à 12:24. Le produit scalaire

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1 DERNIÈRE IMPRESSION LE 1 février 016 à 1: Le produit scalaire Table des matières 1 Définition et propriétés 1.1 Définition par la norme Définition analytique Définition projective Propriétés Projection orthogonale pplication à la physique Droite et cercle 6.1 Vecteur normal à une droite Équation d un cercle Relation métrique dans un triangle Relation d l-kashi Théorème de la médiane Trigonométrie 9.1 Formules d addition Formules de duplication Formules de linéarisation PUL MILN 1 PREMIÈRE S

2 TLE DES MTIÈRES 1 Définition et propriétés Les trois définitions suivantes sont équivalentes. On pourrait choisir comme point de départ chacune d elle. 1.1 Définition par la norme Définition 1 : On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v, le nombre réel noté u v tel que : u v = 1 ( u+ v u v ) Remarque : ette définition mesure le défaut d orthogonalité de deux vecteurs. En effet si le triangle est rectangle en, alors = 0 Par convention, on écrira : u u = u. On a alors = = Exemple : alculer le produit scalaire D pour la figure suivante : D est un parallélogramme donc : + D = d où : D = ( + D D ) = 1 ( D ) D 6 / 3 = 1 ( D ) / = 1 ( ) = Définition analytique Définition : Dans un repère orthonormé(o, ı, j), le produit scalaire de deux vecteurs u et v de coordonnées respectives (x; y) et (x ; y ) est égal à : u v = xx + yy On peut aussi utiliser la notation matricielle : ( ) x y ( ) x = xx + yy y Démonstration : Montrons que cette définition est équivalente à la définition par la norme. On rappelle que si un vecteur u(x ; y) alors : u = x + y PUL MILN PREMIÈRE S

3 1. DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS alculons u v en revenant à la définition par la norme : u v = 1 = 1 ( u+ v u v ) [ ] (x+x ) +(y+y ) (x + y ) (x + y ) = 1 (x + xx + x + y + yy + y x y x y ) = 1 (xx + yy ) = xx + yy Exemple : On donne la figure suivante, déterminer le produit scalaire : ( ) ( ) 3 1 = 0 1 ( ) ( ) 1 3 = 1 = 1 ( 3)+( ) ( 1) = O Définition projective Définition 3 : Le produit scalaire de deux vecteurs u et v non nuls est défini par : u v = u v cos( u, v) Démonstration : Montrons que cette définition est équivalente à la définition dans un repère orthonormé. Prenons un repère orthonormé(o, ı, j) dont le premier vecteur ı soit colinéaire et de même sens que le vecteur u. Le vecteur u et v ont pour coordonnées respectives (x ; y) et (x ; y ), avec : { x = u y = 0 On a donc : et { x = v cos( u, v) y = v sin( u, v) v sin( u, v) v u v = xx + yy = u v cos( u, v) j O ı u ( u, v) v cos( u, v) ette définition revient à projeter le vecteur v sur le vecteur u. PUL MILN 3 PREMIÈRE S

4 TLE DES MTIÈRES Exemple : On donne la figure suivante, déterminer le produit scalaire : = cos 60 = cos Propriétés = = 3 3 Propriété 1 : Le produit scalaire de deux vecteurs est : commutatif : u v = v u bilinéaire, c est à dire que pour tous réels a et b : u ( v+ w) = u v+ u w et (a u) (b v) = ab ( u v) Propriété : Le produit scalaire de deux vecteurs permet de montrer les propriétés suivantes pour tous vecteurs non nuls : u v = u v u et v colinéaires de même sens u v = u v u et v colinéaires de sens contraires u v = 0 u et v orthogonaux 1.5 Projection orthogonale Théorème 1 : Soit deux vecteurs et D. On appelle K et H les projections orthogonales respectives de et D sur la droite (), on a alors : D = KH D = KH si et KH sont de même sens. si et KH sont de sens contraires. On a pour les deux cas les figures suivantes : D D K H H K et KH de même sens et KH de sens contraire PUL MILN PREMIÈRE S

5 1. DÉFINITION ET PROPRIÉTÉS Exemple : En utilisant les renseignements portés sur la figure ci-contre, calculer les produits scalaires suivants : ( ) + H et ( ) H + H ( ) + H = + H = + H on projette à (H) = +( H ) par le th de Pythagore = H = 1 = 7 ( ) H + H = H + H = H + H H on projette à (H) 1.6 pplication à la physique = ( H ) H H par le th de Pythagore = 1 1 = 1 On peut utiliser le produit scalaire pour calculer la résultante de deux forces. 1 H Soit un point O soumis à deux forces F 1 et F qui forme un angle de 50. Les intensités des deux forces F 1 et F sont respectivement 300 N et 00 N. On a alors la figure ci-contre : O F F1 + F 50 F1 D après la première définition, on a : D après la troisième définition, on a : On obtient alors en égalisant les deux formes : 1 ( F 1 + ) F F 1 F = F 1 F cos 50 F 1 F = 1 ( F 1 + ) F F 1 F F 1 F = F 1 F cos 50 F 1 + F = F 1 F cos 50 +F 1 + F F 1 + F = F 1 F cos 50 +F 1 + F = cos , 1 N On retrouve aussi le produit scalaire en physique pour le travail d une force. En effet le travail W d une force F est égale au produit scalaire du vecteur force F par le vecteur déplacement l. W = F l PUL MILN 5 PREMIÈRE S

6 TLE DES MTIÈRES Une dépanneuse remorque une voiture en panne sur une côte de 0 degré. La tension du câble est constante et les deux véhicules ont une accélération constante. En supposant que le câble fait un angle de 30 degré avec le plan de la route et que la tension est de 1600 N, quel est le travail effectué par la dépanneuse sur la voiture si elle la remorque sur une distance de 500 m sur cette route en pente. L angle de la route n a pas d importance ici. On a alors : Droite et cercle W = F T l = F T cos = 1600 = J 69, 8 kj.1 Vecteur normal à une droite Définition : Un vecteur normal n à une droite d est un vecteur orthogonal à tout vecteur directeur u de la droite d. On a alors : n u = 0 Remarque : Si un vecteur n est normal à un vecteur directeur d une droite d, il est normal à tout vecteur directeur de d n u Théorème : Dans un repère orthonormé : Si une droite a pour équation cartésienne ax+by+c = 0, alors n(a ; b) est un vecteur normal à la droite d. Réciproquement si un vecteur non nul n(a ; b) est un vecteur normal à une droite d, alors une équation cartésienne de la droite d est de la forme : ax+by+c = 0 Démonstration : On vérifie aisément que : Donc n u = 0 donc n u ( ) a b ( ) b = ab+ab = 0 a PUL MILN 6 PREMIÈRE S

7 . DROITE ET ERLE Exemple : On donne la droite d : 3x y+5 = 0. Déterminer une équation de la droite qui passe par (1 ; ) et qui est perpendiculaire à d. On proposera deux solutions. Si est perpendiculaire à d, un vecteur normal n(3 ; 1) à d est un vecteur directeur de la droite. On a alors : : x 3y+c = 0 omme, ses coordonnées vérifient l équation de donc : 1 6+c = 0 c = 7 Une équation cartésienne de la droite est : x 3y+7 = 0 Soit M(x ; y) un point quelconque de la droite et u(1 ; 3) un vecteur directeur de la droite d. On a alors : ( ) ( ) x 1 1 M u = 0 (x 1)+3(y ) = 0 y 3 x+3y 7 = 0 x 3y+7 = 0. Équation d un cercle Théorème 3 : L équation d un cercle, de centre Ω(a ; b) et de rayon r, dans un repère orthonormé, est : (x a) +(y b) = r Démonstration : Soit M(x ; y) un point quelconque du cercle de centre Ω et de rayon r donc : ΩM = r (x a) +(y b) = r Théorème : Le cercle de diamètre est l ensemble de points M tels que : M M = 0 Démonstration : Soit I le milieu du segment []. On introduit le point I dans la relation. M M = 0 MI + MI MI + MI ( ) ( ) MI + I MI + I = 0 I MI + I I = 0 I + ( ) I + I + I I = 0 omme I = m[] alors I + I = 0 MI et I I =, on a : = 0 MI = M appartient donc à un cercle de centre I et de rayon donc de diamètre PUL MILN 7 PREMIÈRE S

8 TLE DES MTIÈRES 3 Relation métrique dans un triangle 3.1 Relation d l-kashi ette relation a pour but de déterminer une relation entre les trois longueurs d un triangle, il s agit de la généralisation du théorème de Pythagore. Théorème 5 : Soit un triangle. On appelle a, b et c les longueurs des côtés opposés respectivement à, et. On a : a = b + c bc cos  Remarque : On peut remplacer l angle géométrique  par l angle orienté ( ; ) car le cosinus d un angle négatif est égal au cosinus d un angle positif. c a b Démonstration : On part de la relation : = ( + ) = ( ) = + = + cos  e qui devient en utilisant les notations de la figure : a = b + c bc cos  Remarque : On retrouve le théorème de Pythagore si l on fait étant dans ce cas nul, donc a = b + c  = π le cosinus Exemple : Déterminer la longueur et les angles et Ĉ du triangle ci-dessous. vec nos notations nous avons alors : b = 3, c = 8 et  = 60. Nous cherchons donc à déterminer a et les angles et Ĉ D après la relation d l-kashi, nous avons : a = b + c bc cos  = = 9+6 = 9 a = 7 Pour déterminer l angle, on effectue une permutation circulaire de la formule d l-kashi, c est à dire : a b, b c, c a,  On obtient donc : b = c + a ac cos ac cos = a + c b PUL MILN 8 PREMIÈRE S

9 . TRIGONOMÉTRIE cos = a + c b = ac 7 8 = = 13 1 ( ) 13 On obtient donc : = arccos 1, 7 1 enfin, par complément à 180 : Ĉ , 79 98, 1 3. Théorème de la médiane e théorème permet de connaître la longueur de la médiane à partir des trois longueurs du triangle Théorème 6 : Dans un triangle quelconque, on appelle I le milieu du segment [], on a alors : + = I + I Démonstration : + = ( I + I ) +( I + I ) = I + I I + I + I + I I + I = I + I ( I + I )+I + I omme I milieu de [], on a I + I = 0 et I = I = ( ) + = I + = I + Trigonométrie.1 Formules d addition Théorème 7 : Soit a et b deux angles quelconques, on a les relations cos(a+b) = cos a cos b sin a sin b cos(a b) = cos a cos b+sin a sin b sin(a+b) = sin a cos b+cos a sin b sin(a b) = sin a cos b cos a sin b PUL MILN 9 PREMIÈRE S

10 TLE DES MTIÈRES Démonstration : Soit les points et sur le cercle unité : alculons le produit scalaire O O de deux façons différentes : O O = O O cos(a b) = cos(a b) 1 sin a O O = ( ) cos a sin a ( ) cos b sin b = cos a cos b+sin a sin b On en déduit donc la deuxième formule : cos(a b) = cos a cos b+sin a sin b sin b O a a-b b cos a cos b 1 Pour retrouver la première, il faut remplacer dans la formule ci-dessus b par b, on obtient alors : cos[a ( b)] = cos a cos( b)+sin a sin( b) omme la fonction cosinus est paire et la fonction sinus impaire, on a : cos(a+b) = cos a cos b sin a sin b Pour retrouver les formules avec le sinus, on utilise la formule qui permet de passer du cosinus au sinus et inversement, c est à dire : ( π ) ( π ) cos α = sin α et sin α = cos α [ π ] [( π ) ] sin(a+b) = cos (a+b) = cos a b ( π ) ( π ) = cos a cos b+sin a sin b = sin a cos b+cos a sin b On retrouve la dernière formule en remplaçant b par b et compte tenu des parités des fonctions cos et sin, on obtient alors : Exemple : En remarquant que : cos 5π 1 et sin 5π 1. sin[a+( b)] = sin a cos( b)+cos a sin( b) sin(a b) = sin a cos b cos a sin b En appliquant les formules d addition, on a : 5π 1 = π 6 + π, calculer les valeurs exactes de cos 5π ( π 1 = cos 6 + π ) = cos π 6 cos π sin π 6 sin π 3 = 1 6 = PUL MILN 10 PREMIÈRE S

11 . TRIGONOMÉTRIE sin 5π ( π 1 = sin 6 + π ) = sin π 6 cos π + cos π 6 sin π = = Remarque : Pour se souvenir des formules d addition, on peut remarquer : vec le cosinus on "ne panache pas" tandis qu avec le sinus on "panache". vec le cosinus de a+b, on met un "moins" entre les deux termes, tandis qu avec le sinus pas d inversion de signe. Formules de duplication Théorème 8 : Pour tout angle a, on a les relations : cos a = cos a sin a = cos a 1 = 1 sin a sin a = sin a cos a Démonstration : La formule sur le sin a est l application directe des formules d addition. Les formules sur le cos a font intervenir la relation : cos a+sin a = 1. Exemples : cos a = cos(a+a) = cos a sin a 1) alculer cos x dans les deux cas suivants : = cos a (1 cos a) = cos a 1 = (1 sin a) sin a = 1 sin a a) cos x = 3 5 ) a est un réel de [ 0 ; a) alculer cos a. b) sin x = 1 3 π ] tel que : cos a = + 3 b) À quel intervalle appartient a. Déduire alors a. 1) a) On ne connaît que le cosinus donc : cos x = cos x 1 = b) On ne connaît que le sinus donc : cos x = 1 sin x = 1 ( ) 3 1 = = ( 1 ) = = 9 9 = 7 5 = 7 9 PUL MILN 11 PREMIÈRE S

12 TLE DES MTIÈRES ) a) On ne connaît que le cosinus donc : cos a= cos a 1= b) omme a [ 0 ; ( Formules de linéarisation ) 1= + 3 π ] alors a [0; π], on en déduit : a = π 6 1 = = a = π 1 Théorème 9 : Pour tout angle a on a les relations : cos a = 1+cos a et sin a = 1 cos a Démonstration : es formules se déduisent directement des formules de duplication avec le cos a. En effet : cos a = cos a 1 cos a = 1+cos a cos a = cos a = 1 sin a sin a = 1 cos a sin a = Exemple : alculer cos π 8 et sin π 8. ( π On a : cos π 1+cos 1+cos 8) π 8 = = omme cos π 8 > 0, on a : cos π 8 = + ( π De même : sin π 1 cos 8) 8 = = 1 cos π = omme sin π 8 > 0, on a : sin π 8 = 1+ = 1 = + 1+cos a 1 cos a = PUL MILN 1 PREMIÈRE S

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