Statistique à 2 variables

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1 Statstque à varables. Exemples Nous sommes souvet cofrotés à des doées etre lesquelles ous essayos d'établr des les telles que : La talle et le pods d'u groupe d'dvdus. le budget vacaces et les reveus des famlles Le pods des récoltes et la durée d'esolellemet ou la quatté de plue reçue Mas commet à partr de ces doées, trer des coclusos, exprmer le le qu les ut? Preos deux exemples qu ous servrot référece.. Exemple Des élèves ot préseté u exame de mathématque et u exame de physque. Les résultats sot les suvats : Elèves N : Cote e math (sur ) : x Cote e physque (sur ): y Au vu de ces résultats, o peut se poser dfféretes questos : Les élèves forts e physque sot-ls forts e math? Y a-t-l u le etre la cote de mathématque et celle de physque? Et s ou, commet exprmer ce le?. Exemple U professeur de mathématques a flmé avec ue caméra umérque so fls e tra de lacer u ballo. E regardat cet eregstremet avec arrêts sur mages, l repère les doées présetées c-dessous. durée (e s) Hauteur (e cm) Commet, à partr de ces doées détermer ue focto h(t) qu exprme la hauteur du ballo e focto du temps?. Représetatos graphques Pour se fare ue melleure dée des problèmes, représetos les doées sur des graphques.. Exemple Pour le premer exemple, ous obteos le graphque suvat ( uage de pots) cotes e physque cotes e mathématque 4//9 Statstque à varables

2 . Exemple E procédat comme pour le premer exemple, ous obteos : (hauteur e (m) 8 6 4,,,3,4,5,6,7,8,9 temps (e s).3 Observatos : E regardat ces graphques, ous costatos que le type de focto à ajuster sera dfféret selo les doées : pour le premer exemple, s o peut ajuster ue focto, l s'agrat plutôt d'ue focto du premer degré tads que das le secod, o chosrat ue focto du secod degré..4 Gééralsato Lorsque ous avos u uage de pots (x, y ), dfféretes stuatos peuvet se préseter. a) Les pots sot dsposés de faço quelcoque : o dra que les caractères x et y sot dépedats. b) Les pots sot dsposés autour d'ue certae courbe : o pourra fare u "ajustemet graphque", c'est à dre tracer au meux cette courbe. La courbe la plus smple que l'o pusse obter est ue drote. Parfos l s'agra d'ue parabole, d'ue focto du trosème degré, ou d'autres foctos que ous seros ameés à étuder ultéreuremet. c) Tracer cette courbe à ma levée est très arbtrare, c'est pourquo, ous allos développer des procédures de calcul. 3. Ajustemet léare Das u premer temps, ous allos cosdérer des stuatos du gere du premer exemple, où le type de focto à ajuster est ue focto du premer degré. 3.. Ajustemet graphque "à vue" O trace ue drote qu ous semble la plus près possble des pots du uage. E preat deux pots de la drote, ous pouvos obter rapdemet so équato. S ous utlsos cette techque e classe das le premer exemple, ous costatos que pluseurs élèves peuvet obter des drotes et doc des équatos dfféretes. C'est doc ue méthode rapde mas très approxmatve. 3.. Drote de Mayer O ordoe les pots de la sére de maère crossate selo les x et o dvse le uage e deux partes coteat le même ombre d'élémets (à ue uté près s les doées sot e ombre mpar). Das chaque sous-uage, o calcule le pot moye. La drote qu passe par ces deux pots est appelée drote de Mayer Das otre exemple, ous obteos P ( x, y ) = 55 7, : pot moye des 6 premers pots 6 P (, ) 77 x y =, 5 : pot moye des 5 derers pots La drote P P (drote de Mayer) a pour équato y =.3373x Statstques à varables 4//9

3 Le graphque c-dessous repred à la fos les doées et la drote de Mayer cotes e physque cotes e mathématque Doées Drote de Mayer Pots moyes Ces méthodes, s elles ous permettet de détermer ue drote qu s'approche des doées e ous permettet pas de détermer "la melleure drote d'approxmato". Nous allos mateat défr des crtères qu vot permettre de décder quelle est cette "melleure drote" Ajustemet par la méthode des modres carrés. Preos ue stuato où ous avos pots : M, M,...M de coordoées respectves : (x, y ) (x, y )...(x, y ) et sot d y = ax + b : la drote cherchée. (le graphque a été réalsé pour le cas de 3 pots) M y M 3 y M ère dée : chercher a et b pour que la somme des dstaces des pots M à la drote d sot la plus pette possble. E réalsat ces calculs, o obtet ue stuato très complquée. (Il faut alors mmser la projecto orthogoale de M sur la drote. x x x 3 = M M' où M' est ème dée : o peut auss evsager de mmser la somme des carrés des dstaces des M à la drote cherchée, mas là auss cela reste très complqué 3 ème dée : O décompose le problème e partes plus smples Cosdéros d'abord P les pots d'tersecto des drotes parallèles à OY meées par M (le graphque c-cotre llustre ue stuato où o 'a que 3 pots) O veut que la somme des carrés des dstaces M P sot la plus pette possble: c'est pourquo o appelle cette méthode la méthode des modres carrés. La drote obteue porte le om de drote de régresso de y e x. Esute, o cosdérera les pots d'tersecto des drotes parallèles à OX meées par M (vor graphque page suvate) et o mmsera la somme des carrés des dstaces M Q pour obter la drote de régresso de x e y. S ces drotes sot proches, (cofodues lorsque les pots sot algés), x x x 3 c'est que l'ajustemet léare est "bo" pour la stuato étudée. Il faudra doc défr u coeffcet qu mesure l'écart etre les deux drotes : c'est le coeffcet de corrélato léare. y M P P y M 3 M P 3 4//9 Statstque à varables 3

4 Détermato de la drote de régresso de y e x : O veut mmser la somme :S = M P + M P M P = M P = ( y ax b) = = Nous allos mmser cette somme das le cas où o a tros pots. (O peut gééralser cette démostrato.) 3 = S = ( y ax b) = (y - ax - b) + (y - ax - b) + ( - ax 3 - b) = 3b - b(y + y + -ax -ax -ax 3 ) + y + y + y3 + a ( x + x + x 3 ) a (x y + x y + x 3 ) E supposat a fxé, o cherche parm toutes les valeurs de b celle qu mmse la somme. O vot qu'l s'agt d'u trôme du secod degré e b, le mmum est doc attet pour b = ( y + y + y3 ax ax ax3) = y + y + a x + x + x 3 = y ax Nous avos as exprmé b e focto de a et de la moyee des x et y Et d y = ax + y ax y - y = a (x - x ) Nous observos que le pot moye de coordoée ( x, y ) d Das otre exemple : x = 9 =,888 et y = 5 =,4545 et b =,4545 -,88 a S ous détermos la valeur de a, ous auros mmédatemet celle de b. E reportat la valeur de b trouvée das la somme à mmser, ous obteos : S a = [y - ax -( y ax )] + [y - ax -( y ax )] + [ - ax 3 -( y ax )] = [(y - y )-a(x - x )] + [(y - y )-a(x - x )] + [( - y )-a(x 3 - x )] E ordoat cette expresso selo les pussaces de a, ous obteos : S a = a [(x - x ) + (x - x ) + (x 3 - x ) ] - a [(x - x ) (y - y )+(x - x ) (y - y ) + (x 3 - x ) ( - y ) ] +(y - y ) + (y - y ) + ( - y ) : ue focto du secod degré e a. Elle admet u mmum pour a = ( x x)( y y) + ( x x)( y y) + ( x x)( y y) 3 3 ( x x) + ( x x) + ( x3 x) ( x x)( y y) + ( x x)( y y) + ( x3 x)( y) = 3 ( x x) + ( x x) + ( x3 x) 3 Le déomateur de la fracto est la varace de la varable x et le umérateur est appelé covarace de x et y. et doc a = cov( x, y ) = var( x) = (x x)(y = y) (x x) = (x x)(y = = y) (x x) Ce résultat peut se gééralser au cas de observatos. Nous avos doc a = cov( x, y ) : coeffcet agulare de la drote de régresso de y e x. var( x) Cette drote mmse la = M P doc pour équato : y - y = a (x - x ). Comme ous avos vu qu'elle passe par le pot moye ( x, y ) elle a 4 Statstques à varables 4//9

5 De même, la drote de régresso d' de x e y mmse la = M Q O démotre de même que so coeffcet agulare a' = var( y ) cov( x, y) passe par le pot moye ( x, y ); elle a doc pour équato : y - y = a' (x - x ) O déft r = a a' = (cov(x, y)) var(x) var(y) et que d' cov(x, y) D'où l'o dédut : le coeffcet de corrélato léare r = σ(x) σ(y) O peut motrer que < r < Ce coeffcet permet de mesurer "l'écart" etre d et d'. S les drotes sot cofodues, a = a' et r =. S la dépedace léare est mauvase, r est élogé de. O cosdère que s r <.87, l 'y a pas de dépedace léare. Il y a ue corrélato postve etre les varables lorsque les varatos des deux varables se produset das le même ses (les petes des drotes de régresso sot postves) Il y a ue corrélato égatve etre les varables lorsque les varatos des deux varables se produset das le ses cotrare (les petes des drotes de régresso sot égatves) Das la pratque, ces calculs sot raremet effectués. La plupart des calculatrces scetfques actuelles permettet de détermer les drotes de régresso de faço très asée. 3. Sythèse sur les drotes de régresso y y M Q Q 3 Q M M 3 x x x 3 P 3 y y M P M M 3 y y M Q M Q 3 3 Q M P x x x 3 x x x 3. Covarace cov (x, y) = ( x x)( y y). La drote de régresso de y e x : d y = ax + b mmse la M P d le pot moye : ( x, y ) et a = cov(x, y) = var(x) (x x)(y = = = y) (x x) 3. La drote de régresso de x e y : d' y = a'x + b' mmse la M Q d' le pot moye : ( x, y ) et a' = var(y) cov(x, y) = = (y y)(x (y y) = x) d y - y = a (x - x ) d' y - y = a' (x - x ) 4//9 Statstque à varables 5

6 4. Le coeffcet de corrélato r r = a r = cov ( x, y ) ( < r < ) a' s( x) s( y) S r <.87 : la dépedace léare est mauvase. S.87 < r < l'ajustemet léare est bo et ue des drotes de régresso peut être prse comme ajustemet. 3.3 Applcato Reveos mateat à l'exemple proposé plus haut. Nous allos calculer les drotes de régresso pour cet exemple et le coeffcet de corrélato léare. La calculatrce ous fourt drectemet les résultats : x =.88 y =.4545 as que : a =,8867 b = 7,336 et r =.3798 Nous avos as la drote de régresso de y e x : d y =.8 x Pour détermer la drote de régresso de x e y, ous ous servros de la relato : r = a a.8867 a' = qu ous doe : a' = =.9749 a' r.3798 Or cette drote compred le pot moye ( x, y ) Et o a l'équato de d y -.45 =. (x -,8) y =. x -.3 Le graphque c-dessous repred les pots (x, y ) as que les drotes d et d. x (cotes e math.) y (cote e phys.) Observ d d Le coeffcet de corrélato r =.37 état élogé de, le décalage etre ces deux drotes est mportat : o cosdère doc qu'l 'y a pas de dépedace léare. 4. Ajustemet quadratque. Das le secod exemple proposé, ous voulos ajuster ue courbe du secod degré. Nous pouvos égalemet procéder par tâtoemet : par exemple e résolvat u système de 3 équatos à 3 coues (e preat 3 des pots des doées) qu se ramèe rapdemet à u système de deux équatos à coues pusque l'o coaît l'ordoée à l'orge. Comme das le cas d'u ajustemet léare, selo les pots choss, ous auros pluseurs paraboles possbles. Das le cas qu ous occupe, o peut se référer aux formules de cématque vues au cours de physque. A ouveau, comme das le pot précédet, l va fallor chosr parm toutes les possbltés la "melleure courbe". Cepedat, ous e développeros pas c les méthodes mathématques qu permettet de chosr cellec, ous ous coteteros d'utlser otre calculatrce. 6 Statstques à varables 4//9

7 Das l'exemple proposé, ous obteos : h(t) = t t qu est comme ous pouvos le vérfer égalemet assez proche des valeurs trouvées par tâtoemets. Graphquemet, ous obteos : (hauteur e (m) ,,4,6,8, temps (e s) doées ajustemet 5. Exercces. 5. Exercce Ue frme productrce de véhcules spécaux etrepred ue étude statstque de ses coûts de producto. Ue collecte de doées est résumée das le tableau suvat : Représeter graphquemet ces doées détermer les drotes de régresso assocées à celles-c. 5. Exercce Le tableau c-cotre doe quelques chffres sur le toursme e Europe : O demade de costrure le uage de pots et de dre s u ajustemet léare paraît vrasemblable. d'établr les équatos des drotes de régresso de y e x et de x e y 3 de desser ces drotes 4 de calculer le coeffcet de corrélato et d'dquer ce que sgfe c ce coeffcet. Nombre d'utés produtes : x Coût global de producto. : y (e 3.) Pays Nombre total de tourstes arrvat (e mllos.) Allemage 4,9 45 Espage 4, 7 Frace 5,5 4 Itale 8,6 5 Susse 4,6 5 Recette totale (e 6 ) 4//9 Statstque à varables 7

8 5.3 Exercce 3 La drecto commercale d'ue etreprse dustrelle a augmeté régulèremet ses dépeses publctares pedat pluseurs aées. a) A partr du tableau c-cotre, comparer la progresso du chffre d'affares avec les dépeses e détermat les drotes de régresso et le coeffcet de corrélato. b) Tracer le uage de pots correspodat et les drotes de régresso. c) Estmez les dépeses publctares à cosetr pour attedre comme chffre d'affare. Cette estmato est-elle fable? d) Peut-o estmer le chffre d'affares auquel o peut s'attedre s l'etreprse augmete so budget publctare jusque 3? Justfer 5.4 Exercce 4 Aée Dép. pub. (e ) Chffres d'affares (e ) But : doser les trtes das l'eau af de détermer l'dce de polluto Cocetrato (mg/l) Absorbace orgaque de l'eau avat et après laguage (stato de Sart-Berard) (Expéreces réalsées das les classes de bologe applquée du collège) 5.4 O établt doc ue gamme étalo e trates allat de à 5 mg de.8 trates par ltre Les résultats des mesures étalos sot doés das le graphque ccotre a) Doer ue expresso de l'absorbace e focto de la cocetrato (drote de régresso) b) Exprmer la cocetrato e focto de l'absorbace. b) S l'absorbace vaut.4, estmer la valeur de la cocetrato e trates. 5.5 Exercce 5 Das u ace rapport sur la cojocture écoomque, o relève le tableau c-cotre : a) Détermer les drotes de régresso de cette sére statstque. b) Calculer so coeffcet de corrélato? Que pouvez-vous coclure? c) S l'dce des prx vaut 55, peut-o prévor le taux des salares? Cette prévso est-elle fable? Justfer. Frace taux des salares horares dce d'esemble des prx de détal Mars Ju Sept Déc Mars Ju Sept Déc Mars Ju Sept Exercce 6 U test permet de mesurer l'apttude à la lecture d'efats e focto de leur âge. x représete l'âge et y la durée de lecture (e secodes) a) Détermer les équatos des drotes de régresso b) L'hypothèse : plus l'âge augmete, plus la durée dmue est-elle vérfée? Justfer. x y Statstques à varables 4//9

9 5.7 Exercce 7 Ue socété a ms au pot u produt. Ue equête meée auprès de 5 persoes a motré ue relato etre le prx x proposé (e ) pour ce produt et le ombre de clets dsposés à l'acheter à ce prx. Les résultats de cette equêtes sot doés das le tableau c-cotre. a) Costrure le uage de pots b) Détermer les drotes de régresso et les tracer sur le graphque. c) Iterpréter le coeffcet de corrélato. d) S o proposat le produt à 3, à combe peut-o estmer le ombre de persoes qu e achèteraet? Cette estmato est-elle fable? Pourquo? 5.8 Exercce 8 Preos la stuato fctve où l'o mesure la productvté d'u groupe de travalleurs de hut heures à quze heures : Das ce tableau, o vot la productvté croître tout au log de la jourée pour dmuer sous l'fluece de la fatgue e f de jourée. O amerat savor s la productvté est focto de l'heure de la jourée. Représeter graphquemet la stuato et utlser l'ajustemet le plus appropré. Prx (e ) Nombre de clets Heure du jour Productvté 8, 9 3, 4, 4,4 4,8 3 4,5 4 4, 5 3, 4//9 Statstque à varables 9

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