Séries statistiques doubles 4 ème Sciences Mai 2010

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1 Séres statstques doubles 4 ème Scences Ma 00 A. LAATAOUI I. Nuage de ponts. Introducton Une sére statstque à deu varables, X et Y, est le résultat de l observaton des deu caractères X et Y pour chaque ndvdu d une populaton. Lorsque les caractères sont quanttatfs, on peut assocer, à chaque ndvdu, un couple de nombres réels noté,. ( ) Eemple : Le tableau suvant donne, en mllons de dnars, le chffre d affares et la somme consacrée au dépenses de publcté pour cnq entreprses : Entreprses Placer les ponts (, ) A 0 B 55 4,5 C 60 7 E 0,5 F 50 4 M dans le repère orthogonal c dessous : Défnton Dans un repère orthogonal du plan, le nuage de ponts assocés à la sére statstque à deu varables, X et Y, est l ensemble des ponts, représentatfs de tous les ndvdus de la populaton. M de coordonnées ( ). Pont moen Séres statstques doubles. 4 ème Scences

2 On note X le caractère : «le chffre d affares de chaque entreprse» et Y : «les dépenses de publcté». Calculer la moenne, la varance et l écart tpe de chaque caractère. On rappelle que : X = n, ( ) V( X) = ² ² N = n X = n X et σ ( X) = V( X). N = N =.,,..., N désgnent les valeurs dstnctes prses par la varable X s elle est dscrète, ou les centres des classes s la varable X est contnue. N est la talle de l échantllon. Dans notre eemple n =, pour tout N Entreprses A 0 B 55 4,5 C 60 7 E 0,5 F 50 4 Somme X = ; V( X ) =. ; σ ( X ) = Y = ; VY ( ) =. ; σ ( Y) =. Défnton Le pont G( XY, ) est appelé pont moen du nuage de ponts assocé à la sére statstque à deu varables X et Y. Eemple : Placer le pont moen G dans le repère précédent. II. Lason entre deu caractères Méthode d ajustement par les mondres carrés. Drote d ajustement Lorsque le nuage a tendance de s accumuler autour d une drote, alors on cherche une équaton de la drote D qu approche le «meu possble» les ponts du nuage, c est ce qu on appelle un ajustement lnéare. Cet ajustement est lée à deu paramètres appelés Covarance et Coeffcent de corrélaton lnéare.. Covarance Défnton Sot (X,Y) une sére statstque double à caractères quanttatfs donnés par des observatons ndvduelles, où n, n étant l effectf de la populaton observée. ( ) XY défn par : cov( XY, ) = ( )( ) On appelle covarance de (X,Y) le réel notécov(, ) ou N encore cov( XY, ) =. N Remarque Comme pour le calcul de la varance, la formule cov( XY, ) = est souvent la plus smple à N utlser pour les calculs. Eemple Séres statstques doubles. 4 ème Scences

3 La covarance de la sére statstque c dessus est :.. Proprétés cov( XY, ) = cov( Y, X). cov( X, X) = V( X). cov ( XY, ) V( X) VY ( ) cov( XY, ) σ( X) σ( Y). Avec la calculatrce : Pour programmer le tableau statstque de la page :. Chosr le mode de fonctonnement de statstque à deu varables MODE Stat. Entrer les couples STO j M+. Pour obtenr par eemple la moenne X appuez sur RCL X. Coeffcent de corrélaton lnéare Défnton Le coeffcent de corrélaton lnéare entre deu varables, X et Y, est le nombre r cov( XY, ) défn par : r =. σ( X) σ( Y) Proprétés cov( XY, ) cov( XY, ) σ( X) σ( Y) 0 r σ( X) σ( Y) Les ponts du nuage sont algnés s et seulement s r = ou r =. S r alors la corrélaton lnéare entre X et Y est forte. On peut trouver une drote appromatve lant X et Y. S r < alors la corrélaton lnéare entre X et Y est fable. Il est nutle de chercher à eprmer Y comme foncton affne de X mas l peut ester d autres tpes de relatons. Eemple Le coeffcent de corrélaton lnéare est r =.. On en dédut que :. 4. Drotes de régresson Soent X et Y deu séres statstques quanttatves non constantes et observées dans une populaton donnée. On suppose que le coeffcent de corrélaton r vérfe : r alors l est possble d approcher la lason entre X et Y par une relaton affne de tpe Y en foncton de X ou auss X en foncton de Y. La premère drote est appelée drote de régresson de Y en X, elle a pour équaton : cov( XY, ) D: = a+ b où a = et b= Y ax. V( X) La deuème drote est appelée drote de régresson de X en Y, elle a pour équaton : D': = a' + b' cov( XY, ) où a ' = et b' = X ay '. VY ( ) Ces deu drotes affnes passent par le pont G(, ). Séres statstques doubles. 4 ème Scences

4 Eemple ) Donner une équaton de chacune des drotes D et D. a = ;b =. D :. a ' = ; b ' = D ':. ) Tracer D et D dans le même repère R. ) Quelle estmaton peut on fare quant à la somme consacrée au dépenses de publcté pour une entreprse aant un chffre d affare égal à 00 mllons de dnars Eercce Le tableau c-dessous donne l évoluton de la dette des pas du ters-monde entre 978 et 99 ( en mllards de dollars ). Année Rang de l année Dette Source : Banque mondale, FMI, 99.,, et le pont moen G. Le plan est rapporté à un repère orthogonal. Représenter le nuage de ponts ( ) de cette sére.. a) Calculer le coeffcent de corrélaton lnéare de cette sére double. Un ajustement affne peut l être envsagé? Pourquo? b) Ecrre une équaton de la drote de régresson D de Y en X. Tracer D. c) Estmer, à mllard de dollars prés, le montant prévsble de la dette des pas du ters monde en 00. Remarque : l este une autre méthode d ajustement dte méthode de Maer ( Vor paragraphe du lvre page (06 Sc) ou page (7 Maths) ) Eercce : Le tableau c-dessous donne la consommaton quotdenne Y en fuel d une chaudère ( en ltres) en foncton des relevés de température etéreure X On a représenté le nuage de ponts ) Détermner un ajustement affne de Y en X par la méthode de Maer 4 Séres statstques doubles. 4 ème Scences

5 ... ) Retrouver cet ajustement par la méthode des mondres carrés ) A quelle température, la consommaton en fuel dépassera elle 00 ltres par jour III. Dstrbutons margnales. Constructon d un tableau à double entrée : Actvté Dans une populaton de 50 ménages on a observé les deu caractères quanttatfs dscrets suvants : X nombre d enfants dans chaque ménage Y nombre de pèces du logement habté par chaque ménage Les résultats de ces observatons sont consgnés dans les tableau suvants : Numéro du ménage Nombre D enfants Nombre De pèces Numéro du ménage Nombre D enfants Nombre De pèces ) Quelles sont les valeurs prses par X et par Y.... ) Les données présentées dans le tableau précédent étant nombreuses, on se propose, dans la sute, de les présenter sous une forme plus rédute et à l ade d un tableau à double entrée. Compléter le tableau suvant : 5 Séres statstques doubles. 4 ème Scences

6 Tableau à double entrée ( tableau des effectfs ) : X Y 4 Total Total 6 50 Pour ( 6) et ( j 4), on a assocé au couple (, j) Eemple : l effectf correspondant au couple (, ) (,) un nombre appelé effectf que l on note n j. 4 = est 4 n =. Il ndque le nombre de ménages aant enfants et un logement de pèces. Défnton :,. j n est appelé effectf assocé au couple ( j). Dstrbutons margnales : Du tableau précédent, on peut etrare deu séres statstques à une varable. La premère donne la répartton de 50 ménages selon le nombre d enfants X dans chaque ménage et la seconde donne la répartton de 50 ménages selon le nombre de pèces Y du logement habté par chaque ménage. On obtent alors les deu tableau suvants : Tableau : N bre d enfants X Total Effectf Tableau : n des ménages N bre de pèces Y 4 Total Effectf n j des ménages Chacun des tableau et défnt une sére statstque à une varable, appelée dstrbuton margnale. 6 Séres statstques doubles. 4 ème Scences

7 Calculer X et Y, donner le pont moen G : Calculer V( X ), VY ( ), σ ( X ) et σ ( Y) : La covarance de cette sére est : ( )( ) p q p q cov( XY, ) = n X Y = n XY N. j j j j = j= N = j= 6 4 cov( XY, ) = n j j XY 50 = j= Cette formule parat complquée, pour cela on consdère le tableau suvant qu nous faclte la tache Y 4 Totau X Totau 7 Séres statstques doubles. 4 ème Scences

8 Calculer le coeffcent de corrélaton lnéare ; que peut on remarquer? Avec la calculatrce : Pour programmer le tableau statstque à double entrée :. Chosr le mode de fonctonnement de statstque à deu varables MODE Stat. Entrer les trplets STO j STO n j M+. Pour obtenr par eemple la moenne X appuez sur RCL X Eercce : Le tableau suvant donne la répartton de 800 agrculteurs suvant les deu varables statstques suvantes : X : superfce de l eplotaton agrcole (en ha) Y : âge de l agrculteur Y 50,60 60 ans et plus [ 0,0 [ [ 0,40 [ [ 40,50 [ [ [ X ] 0,5 [ [ 5,5 [ [ 5,5 [ [ 5,5 [ [ 5,45 [ et plus ) Détermner les dstrbutons margnales de X et Y ) Calculer X, Y, V(X), V(Y), σ X et σ Y ) Calculer cov(x,y) et le coeffcent de corrélaton du couple (X,Y). Peut on envsager un ajustement affne lant X et Y? Cas d un ajustement non affne : Actvté On a mesuré, entre 989 et 974, l effet de la populaton sur une populaton psccole d une rvère Les résultats présentés dans le tableau suvant donnent une estmaton du nombre de possons, eprmé en mllers, correspondant à l année dont le rang est Année Rang de l année , 06,7 96,5 6, 9,4 ) On consdère la sére statstque double(, ). Calculer le coeffcent de corrélaton entre et. Eplquer pourquo un ajustement lnéare ne paraît pas ben adapté ) On pose : z = Log,pour {,,, 4, 5,6 } a) Calculer les nombres z b) Représenter dans un repère orthogonal le nuage de ponts (,z ) c) Calculer le coeffcent de corrélaton de cette sére. Justfer l utlsaton d un ajustement affne pour la sére,z ( ) d) Détermner l équaton de la drote de régresson de z en. Tracer cette drote dans le repère de la queston ) b) ) On suppose que l évoluton de cette populaton se poursut sur le même modèle a) A partr de quelle année, cette populaton sera-t-elle strctement nféreure à 000? b) Donner une estmaton de la populaton de cette rvère en l an Séres statstques doubles. 4 ème Scences

9 Statstques à deu varables Eercces Eercce n : Le tableau suvant donne la répartton de cent ancens élèves d un établssement d après les deu caractère : X le nombre d années passées dans cet établssement et Yson âge ) a) Donner les dstrbutons margnales de X et Y b) Calculer : X, Y, σ X et σ Y Y X ) Calculer la covarance et le coeffcent de corrélaton lnéare entre X et Y, et nterpréter le résultat obtenu ) a) Détermner la drote de régresson de Y en X b) Donner une estmaton de l âge d un élève qu a passé 5 ans dans cet établssement Eercce n : Les mesures relatves à la vtesse d'un automoblste et la dstance nécessare pour arrêter le véhcule sont réunes dans le tableau suvant. ( Km / h ) ( dstance d'arrêt en m ) 6,8 0,5 5,9 67,8 0, 5,8 ) Dans un repère orthogonal, construre le nuage des ponts assocés à la sére statstque (, ). ) a) Calculez,, V( X), VY ( ) et cov( XY, ). b) Calculez le coeffcent de corrélaton lnéare. c) Détermnez et tracez la drote de régresson de en. d) Dédure la valeur estmée de correspondante à une dstance d'arrêt de 80 m. e) Quelle est la dstance d'arrêt en mètre, correspondante à une vtesse de 50 Km / h? Eercce n : L étude de la populaton d une vlle a donné les résultas suvants : h est le nombre d habtants par mllers. Année Rang de l année 4 5 Nombre d habtants h 4,5 7,8,05 6,5 7,845. Représenter dans un repère orthonormé le nuage de ponts de la sére (, h) dans un repère orthogonal RO (,, j). Sur l ae des abscsses placer 0 à l orgne cm représente Sur l ae des ordonnées placer 0 à l orgne cm représente mlle. a) Calculer le coeffcent de corrélaton lnéare entre et h b) Justfer l utlsaton d un ajustement affne pour la sére (, h) c) Détermner l équaton de la drote de régresson de h en. On suppose que l évoluton de cette populaton se poursut sur le même modèle et que les dépenses de la muncpalté de cette vlle en une année en mllers des dnars noté obét à la lo : = 0 h + 00 a) Donner une estmaton de la populaton de cette vlle à l année 00? b) Donner une estmaton des dépenses de cette muncpalté à l année 00 9 Séres statstques doubles. 4 ème Scences

10 c) A partr de quelle année les dépenses de cette muncpalté dépasseront-elles les 00 mlles dnars. Eercce n 4 : Pour une sére (, ) avec ( 5) à deu varables, la méthode des mondres carrés a permt de trouver : L équaton d la drote (D) de régresson de par rapport à. D: = 0,7+,59 L équaton de la drote (D ) de régresson de par rapport à. D': = 0,9+ 4,07. Détermner le coeffcent de corrélaton lnéare de cette sére. Détermner les coordonnées du pont moen G assocé à cette sére On suppose que = 505. Calculer : Cov (, ) ; et Eercce n 5 : = Le tableau suvant donne les résultats obtenus à partr de s essas de laboratore concernant la charge de rupture d un acer en foncton de sa teneur en carbone Teneur en carbone X ( pour 0000) Charge de rupture Y ( en Kg ) = =. a) Représenter dans un repère orthogonal le nuage des ponts de la sére ( XY, ) b) Détermner le pont moen de ce nuage. a) Calculer V( X ) ; VY ( ) et COV( XY, ) b) Est l possble d envsager un ajustement lnéare entre X et Y? Justfer c) Détermner et construre la drote de régresson de Y en X. Quelle pourrat être la charge de rupture d un acer aant une teneur en carbone de 90 pour Séres statstques doubles. 4 ème Scences