Les trois questions de l exercice sont indépendantes.

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1 Pondichéry Avril 00 Séri S Exrcic Un urn contint 0 bouls blanchs t n bouls rougs, n étant un ntir naturl supériur ou égal à On fait tirr à un jouur ds bouls d l urn A chaqu tirag, touts ls bouls ont la mêm probabilité d êtr tirés Pour chaqu boul blanch tiré, il gagn uros t pour chaqu boul roug tiré, il prd uros On désign par X la variabl aléatoir corrspondant au gain algébriqu obtnu par l jouur Ls trois qustions d l xrcic sont indépndants L jouur tir dux fois succssivmnt t sans rmis un boul d l urn a Démontrr qu : PX ( 0 ) n b Calculr, n fonction d n, la probabilité corrspondant aux dux autrs valurs priss par la variabl X c Vérifir qu l spéranc mathématiqu d la variabl aléatoir X vaut : EX 6n 4n+ 60 d Détrminr ls valurs d n pour lsqulls l spéranc mathématiqu st strictmnt positiv L jouur tir 0 fois succssivmnt t avc rmis un boul d l urn Ls tirags sont indépndants Détrminr la valur minimal d l ntir n afin qu la probabilité d obtnir au moins un boul roug au cours d cs 0 tirags soit strictmnt supériur à 0, On suppos qu n 000 L urn contint donc 0 bouls blanchs t 000 bouls rougs L jouur n sait pas qu l ju lui st complètmnt défavorabl t décid d ffctur plusiurs tirags sans rmis jusqu à obtnir un boul blanch PanaMaths [ - 7 ] Mai 00

2 L nombr d bouls blanchs étant faibl dvant clui ds bouls roug, on admt qu l on put modélisr l nombr d tirags nécssairs pour obtnir un boul blanch par un variabl aléatoir Z suivant la loi : k x P Z k dx 0 pour tout k 0,0, 0,0 On répondra donc aux qustions suivants à l aid d c modèl a Calculr la probabilité qu l jouur ait bsoin d tirr au plus bouls pour avoir un boul blanch, soit PZ ( ) b Calculr la probabilité conditionnll d l événmnt : «l jouur a tiré au maximum 60 bouls pour tirr un boul blanch» sachant l événmnt «l jouur a tiré plus d bouls pour tirr un boul blanch» PanaMaths [ - 7 ] Mai 00

3 Analys L sujt st «à spctr larg» : ici, c st la variété ds notions abordés t ds situations qui smbl avoir prévalu lors d l élaboration du sujt (c st n soi un bonn chos!) : urn dont l nombr d bouls dépnd d un paramètr, tirag avc ou sans rmis, variabl aléatoir discrèt, continu, calcul d spéranc L sujt n présnt cpndant pas d difficulté particulièr ni d mauvais surpris! C n sont crtainmnt pas ls candidat()s qui ont pu s n plaindr! Résolution Qustion a L urn contint initialmnt n + 0 bouls Après n avoir tiré un, il n rst n + On not l événmnt «la prmièr boul tiré st blanch» t l événmnt «la duxièm boul tiré st blanch» L univrs comport un total d quatr issus qu nous notons :,, t Nous avons facilmnt l arbr d probabilités suivant (après l prmir tirag, il rst n + bouls dans l urn) : n + 0 n +0 n n + n n n + n n + Calculons, pour chacun ds issus, la valur pris par la variabl X PanaMaths [ - 7 ] Mai 00

4 Il vint donc : Pour, on a : X + 4 ; Pour ou, on a : X + ; Pour, on a : X 6 0 n n 0 0n P X P + P + n+ 0 n+ n+ 0 n+ n+ 0 n+ ( ) ( ) P X 0n Qustion b A la qustion précédnt, nous avons vu qu ls dux autrs valurs priss par la variabl aléatoir X étaint 4 t 6, corrspondant rspctivmnt aux issus t On a donc : 0 0 n+ 0 n+ n+ 0 n+ P( X 4) P( ) P( X 6) P( ) n( n ) n n n+ 0 n+ n+ 0 n+ ( 4) P X ( 6) P X 0 n( n ) ; Qustion c D après la qustion précédnt, la loi d probabilité d la variabl aléatoir X st donné par l tablau suivant : x 6 4 n( n ) 0n 0 P( X x) n 0 n n 0 n n+ 0 n+ ( + )( + ) ( + )( + ) PanaMaths [ 4-7 ] Mai 00

5 Il vint alors : n( n ) n( n ) n+ E X 0n ( ) + 4 n+ 0 n+ n+ 0 n+ n+ 0 n n + n n n n+ E X + 6n 4n 60 Qustion d L dénominatur d l xprssion obtnu à la qustion précédnt st strictmnt positif E X st donc clui d comm produit d dux facturs strictmnt positifs L sign d 6n 4n+ 60 Comm 6n 4n 60 ( n 7n 80) n 7n 80 + L discriminant associé s écrit : + +, on va étudir l sign d Δ On n déduit ls dux racins : n t n On a donc : n + 7n 80 ( n+ n t E ( X ) s récrit : ( n+ n n 6n 4n+ 60 E( X) 6 n+ 0 n+ n+ 0 n+ n+ 0 0 Ainsi, on a : E( X) > 0 n < 0 n étant un ntir naturl supériur ou égal à, ls 0 valurs vérifiant n < 0 sont :,, 4, 5 t 6 L spéranc E ( X ) st strictmnt positiv lorsqu n prnd l un ds valurs :,, 4, 5 ou 6 Qustion Notons N R l nombr d boul roug obtnu après 0 tirags Nous nous intérssons ici à la probabilité d l événmnt «N» PanaMaths [ 5-7 ] Mai 00 R

6 On a : P( N ) P( N ) P( N 0) < R R R L événmnt «NR 0» corrspond à «Obtnir uniqumnt ds bouls blanchs» 0 A chaqu tirag, la probabilité d obtnir un boul blanch st égal à : n Ls tirags étant indépndants, on a : P( NR 0) n D où : P( NR ) n + 0 Chrchons maintnant la plus ptit valur d n d tll sort qu ctt probabilité soit strictmnt supériur à 0, : P NR > 0, > 0, < 0 n+ 0 n n < ( 0 ) < 0 > 0 n+ 0 n n+ 0 > 0 0 n> n > Comm 0 0 4,5, l ntir chrché st 5 5 st la plus ptit valur d l ntir n tll qu la probabilité d obtnir au moins un boul roug au cours d cs 0 tirags soit strictmnt supériur à 0, Qustion a Notons, qu nous avons affair ici à un loi xponntill d paramètr 0,0 D après l modèl proposé, on a : 0,0 0,0 0,0 0,0 0 0,5 0, 0 x x 0 P Z dx + 0 La probabilité qu l jouur ait bsoin d tirr au plus bouls pour avoir un boul blanch vaut : P( Z ) 0, PanaMaths [ 6-7 ] Mai 00

7 Qustion b On chrch ici : P( Z 60 Z ) P ( Z 60) > Z > P ( < Z 60) P( Z > ) Puisqu nous avons affair à un loi xponntill d paramètr 0,0, nous avons 60 0,0x P Z 60 0, 0 dx dirctmnt : < Rtrouvons c résultat général (valabl pour un loi admttant un dnsité) Nous considérons ls événmnts «Z 60» t «< Z 60» Il sont incompatibls t on a alors : P Z 60 P Z < Z 60 P Z + P < Z 60 D où : ( ) ,0x 0,0x 0,0x P < Z 60 P Z 60 P Z 0, 0 dx 0, 0 dx 0, 0 dx > Par aillurs : P( Z ) P( Z ) Alors : 0 0 ( 60 > ) Z > ( 60) P( < Z 60) P( Z > ) P Z Z P Z 60 0,0x 0,0 dx 0,0x ,6 0,5 La probabilité conditionnll d l événmnt : «la jouur a tiré au maximum 60 bouls pour tirr un boul blanch» sachant l événmnt «l jouur a tiré plus d bouls pour tirr un boul blanch» st égal à : P Z 60 Z > P Z 60 0,5 0, 0, Z > PanaMaths [ 7-7 ] Mai 00

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