FONCTION EXPONENTIELLE

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1 FONCTION EXPONENTIELLE Vérifier les acquis p 38 I) Fonctions exponentielles de base q 1. Fonction f : x q x, avec q > 0 Déclic activité 1 2 p 70 Définition : Soit q un réel strictement positif. La suite de terme général u n = q n, pour tout entier naturel n, est une suite géométrique de raison q. La fonction exponentielle de base q est le prolongement de cette suite à n réel. Elle est donc définie pour tout x de par f(x) = q x, avec q + Propriété : Cette fonction est dérivable sur Pour tout réel x, f(x) > 0 Exemple : f(x) = 1.3 x pour tout x de. Propriété : On prolonge les résultats sur les variations des suites géométriques, aux fonctions de base q, avec q > 0. Si q > 1, la fonction x q x est croissante sur Si 0 < q < 1, la fonction x q x est décroissante sur Si q = 1, la fonction x q x est constante sur Exo 3 4 p 41 Exo 43 à 45 p 48 Exo 94 p 57 (logique) 2. Relation fonctionnelle et propriétés algébriques Déclic activité 3 p 71 Page 1 sur 8

2 Théorème : Soit f une fonction exponentielle de base q > 0 ( donc f(x) = q x, pour tout x de ) f(x + y) = f(x) f(y) pour tous réels x et y (elle transforme une somme en produit) ie : q x + y = q x q y pour tous réels x et y Propriétés : Soit q un réel strictement positif q 0 = 1 et q 1 = q q x = 1 q x pour tout réel x q y x = qy q x pour tous réels x et y. q n x = ( q x n ) pour tout entier relatif n et pour tout réel x Pour tout entier naturel n > 0, on a 1 n n = 1, donc ( q1/n ) n = q. q 1/n est appelé racine nième de q Exemples : simplifier les expressions suivantes q 3a q 5 = q3a + 5 = 3 9x 4 5/2 = (4 1/2 ) 5 = 2 5 = 32 Exo 5 à 8 p 41 Exo 36 à 38 p 48 II) Déclic activité 4 p 71 Exponentielle de base e 1. Fonction exponentielle Définition : La fonction exponentielle de base e, notée exp, est la seule fonction exponentielle de base q > 0, telle la dérivée en 0 vaille 1 : exp (0) = 1 Conséquence : exp : x e x pour tout x de exp(1) = e > 1 donc la fonction exp est croissante sur. Page 2 sur 8

3 e x > 0 sur donc exp(x) > 0 sur la fonction exponentielle transforme une somme en produit o e x + y = e x e y o e x y = ex e y Exemples o e x = 1 e x o e n x = ( e x n ) e 3x + 1 e x + 2 = e 3x + 1 x + 2 = e 2x + 3 e x (e x + 2 e x ) = e 2x x² e x 2x e 2x = x e x (x 2 e x ) pour tout entier relatif n Propriété (résolution d équation) : Soit x et y deux réels e x = e y x = y e x < e y x < y Exemples e x = 1 e x = e 0 x = 0 e 3x 1 = e x + 2 3x 1 = x + 2 4x = 3 x = 3 4 e x² 4 = 1 e x² 4 = e 0 x² 4 = 0 x² = 4 x = 2 ou x = 2 Résoudre les inéquations suivantes : e 2x + 1 e x 2 e x² 4 > 1 Solution : e 2x + 1 e x 2 2x + 1 x 2 x 3 donc S = ; 3 e x² 4 > 1 e x² 4 > e 0 x² 4 > 0 x² > 4 x < 2 ou x > 2 donc S = ; 2 2 ;+ Exo 48 à 51 p Propriétés analytiques Page 3 sur 8

4 Théorème : La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. Si f(x) = e x alors f (x) = e x Conséquence : exp est une fonction croissante sur Exemple : Soit f la fonction définie sur par f(x) = (5x + 1) e x La fonction f est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur et f (x) = 5 e x + (5x + 1) e x = e x (5 + 5x + 1) = e x (5x + 6) Exo 53 à 61 p III) Fonction e u Définition : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction f définie sur I par f(x) = e u(x) est appelée fonction exponentielle d une fonction u. Exemple : Donner la fonction u dans les fonctions exponentielles de la fonction u suivantes : f(x) = e -0.4x + 2 sur f(x) = e 2x² - 1 sur f(x) = sur 2 ; + Théorème : La fonction f = e u est dérivable sur I et sa dérivée est : f (x) = u (x) e u(x) pour tout x de I. Exemple : reprendre les fonctions de l exemple précédent et calculer la dérivée de ces fonctions. Conséquence : comme e u(x) > 0 pour tout x de I, le signe de f (x) ne dépend que du signe de u (x) sur I. Donc la fonction x e u(x) a le même sens de variation que la fonction u sur I. Exemple : en reprenant les exemples précédents en déduire les variations des fonctions précédentes. Exo 63 à 71 p Exo 81 à 83 p p p p 59 DM exo 102 p 59 déclic exo 146 p 102 Page 4 sur 8

5 Méthode 1 : Connaître la représentation graphique de la fonction x q x, q > 0 Exemple : Soit q > 1. On pose f(x) = (q 1) x pour tout x de et c f sa courbe représentative. 1. Discuter suivant les valeurs de q le sens de variation de f 2. Construire c f pour q = 5 2 Méthode 1. Pour connaître le sens de variation de la fonction x q x, il faut savoir si quand q = 1 ou q > 1 ou 0 < q < 1 2. q = 5 > 2 et on applique le résultat précédent 2 Résolution 1. q 1 = 1 q = 2 donc f est constante q 1 > 1 q > 2 alors f est strictement croissante sur. 0 < q 1 < 1 1 < q < 2 alors f est strictement décroissante sur 2. q = 5 > 2 donc f es strictement croissante sur 2 Page 5 sur 8

6 Méthode 2 : Connaître la fonction exponentielle Exemple : On pose f(x) = e x + x pour tout x de 1. Calculer la dérivée de f et étudier le sens de variation de f 2. Donner l allure de la courbe représentative de f Méthode 1. f est la somme de deux fonctions usuelles On utilise : e x > 0 sur 2. Pour construire la courbe de f, une fois les variations obtenues, on calcule les coordonnées de quelques points Résolution 1. f est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur f (x) = 1 + e x pour tout x de. e x > 0 pour tout x de Donc e x + 1 > 0 pour tout x de Donc f (x) > 0 pour tout x de Donc f est strictement croissante sur. 2. La calculatrice donne les valeurs suivantes f(0) = 1 f(1) 3.72 f(2) 9.39 f( 1) f( 2) Page 6 sur 8

7 Méthode 3 : Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture Exemple : Simplifier les écritures suivantes 1. f(x) = 2 x x f(x) = Méthode 1. On utilise la relation fonctionnelle et la propriété 3 2. On utilise les propriétés 3, 4 puis 1 Résolution 1. f(x) = 6 2 x 2. f(x) = 4 x Page 7 sur 8

8 Méthode 4 : Etudier les fonctions du type e u Exemple : On pose f(x) = e x² 1. Préciser l ensemble de définition de f 2. Calculer la dérivée de f 3. Etudier le sens de variation de f sur son ensemble de définition et dresser son tableau de variation 4. Construire la courbe représentative de f Méthode 1. f est de la forme e u 2. f (x) = u (x) e u(x) 3. Le sens de variation est donné par le signe de la dérivée. Le tableau de variation permet de résumer les résultats obtenus. Résolution 1. f(x) = e u(x) avec u(x) = x² La fonction u est définie sur donc f est définie sur. 2. u (x) = 2x donc f (x) = 2x e x² 3. e x² > 0 sur donc f (x) est du signe de 2x Si x = 0 alors f (x) = 0 Si x < 0 alors f (x) > 0 Si x > 0 alors f (x) < 0 Donc f est strictement décroissante sur 0 ; + et croissante sur ; 0 4. Pour construire la courbe de f, une fois les variations obtenues, on calcule les coordonnées de quelques points Il semble que la courbe soit symétrique par rapport à l axe des ordonnées ce qui confirmé par le fait que f( x) = f(x) pour tout x de, donc deux points d abscisses opposées ont même ordonnée 4. f(0) = 1 ; f(1) 0.37 ; f( 1) 0.37 ; f(-2) ; f(2) Page 8 sur 8