Fonction exponentielle

Transcription

1 Fonction exponentielle Définition de la fonction exponentielle Théorème Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que f # = f et f 0 = 1 L existence de cette fonction est admise. Unicité (ROC) Soit f une fonction dérivable sur R telle que f # = f et f 0 = 1 1 ère étape : Montrons d abord que f ne s annule jamais sur R. Considérons la fonction φ définie sur R par φ x = f(x) f( x) Les fonctions x f(x) et x f( x) sont toutes les deux dérivables (résultat préliminaire) donc le produit est dérivable. φ # x = f # x f x + f x f # x Or par hypothèse la fonction f est telle que f # = f Donc φ # x = f x f x f x f x = 0 Pour tout x R, φ # x = 0 donc φ est constante sur R. = f # x f x f x f # x Or φ 0 = f 0 f 0 = 1. Donc pour tout x R, φ x = 1 = f(x) f( x) Donc pour tout x R, f(x) 0 et f x = 3 4(5) 2 ème étape : On suppose qu il existe une fonction g différente de f, dérivable sur R et telle que g = g et g(0) = 1. On considère la fonction 8. Elle est bien définie sur R car f ne s annule pas et elle est dérivable sur R 4 comme quotient de deux fonctions dérivables. 8 4 # = 8 9 4:84# 4 ; Comme f # = f et g # = g, on a La dérivée est nulle donc la fonction # = 8 9 4:84# 4 ; = 84:84 4 ; = 0 est constante et 8(5) 4(5) = 8(<) 4(<) = 1 On en déduit que g x = f(x). Il existe donc une unique fonction f telle que f # = f et f 0 = 1 Définition On appelle fonction exponentielle, l unique fonction f dérivable sur R telle que f # = f et f 0 = 1 On note provisoirement cette fonction exp. N. Duceux LFIB - TS 1

2 Conséquences immédiates La fonction exponentielle est dérivable sur R et exp (x) = exp (x). Pour tout nombre réel x, exp(x) 0 et exp x = 3?5@ (5) Propriétés algébriques Les propriétés suivantes sont fondamentales et caractéristiques de la fonction exponentielle. Théorème Relation fonctionnelle Quels que soient les réels a et b, exp a + b = exp a exp (b) La fonction exponentielle transforme les sommes en produit. On considère la fonction g définie sur R par g x =?5@ (5CD) La fonction g est dérivable sur R et g x =?5@9 5CD =?5@ (5CD) = g(x) De plus g 0 = = 1 On en déduit que pour tout x réel g x = exp (x). En particulier exp a =?5@ (ECD) d où exp a + b = exp (a) exp (b) Corollaire Pour tous réels a et b et pour tout entier relatif n : 1) exp( b) = 3?5@D 2) exp a b =?5@ (E) 3) exp na = exp (a) G 1) On a démontré que pour tout réel x, exp x exp x = 1. D où le point 1. 2) Le point 2 découle de la relation fonctionnelle appliquée aux réels a et b et du point 1 du corollaire. 3) Montrons le point 3 par récurrence sur N. Soit a un réel et pour tout entier naturel n, soit la propriété : exp na = exp (a) G Initialisation La propriété (0) est vraie car exp 0 a = exp 0 = 1 et exp (a) < = 1 N. Duceux LFIB - TS 2

3 Hérédité Hypothèse de récurrence : Soit n un entier naturel. On suppose que exp na = exp (a) G exp n + 1 a = exp ( na + a = exp na exp a = exp a G exp a = exp (a) GC3 Conclusion La propriété est vraie pour n = 0 et si elle est vraie pour n alors elle est vraie pour n + 1. Elle est donc héréditaire. Donc la propriété est vraie pour tout entier naturel n. Extension à Z Considérons maintenant un entier n négatif, alors n est positif. D après ce qui précède pour les entiers naturels, on a : exp na = exp (a) :G 3 3 = 3?5@ (E) P?5@(E) Or, exp na = et exp (a) :G =?5@ (GE) La propriété 3 est donc vraie pour tout entier relatif n. G donc 3?5@ (GE) = 3?5@(E) G Notation e x Définition On pose exp 1 = e Le nombre e admet pour valeur approchée 2,71828 à 10 :V près. Conséquence D après le point 3 du corollaire exp n = (exp 1 ) G = e G pour tout entier relatif n. La fonction exponentielle prolonge à R la fonction définie sur Z par n e G et elle garde la propriété de transformer une somme en produit. D où, on convient d écrire : Pour tout nombre réel x, exp x = e 5 Propriété Les propriétés de l exponentielle déjà rencontrées s écrivent avec la nouvelle notation : Pour tous réels a et b et pour tout entier relatif n : 1) e ECD = e E e D 3) e E:D =?X 2) e :D = 3? Y 4) ege = (e E ) G En particulier e < = 1 et e 3 = e? Y Exercice 1 1) Simplifier les nombres : 3 e Z 3? ;? 2) Montrer que pour tout réel x, [\ ;?;]? \] ; e e :5 ;?]^;? ]? ] :3 = 3 3:? [] et?] :3? ] C3 = 1 `?[] 3C? []? ]^_ ; (e5 + e :5 )` ;?;][_? ] ; N. Duceux LFIB - TS 3

4 Étude de la fonction exponentielle Théorème La fonction exponentielle est strictement positive sur R. x R, e 5 > 0 Quelque soit x R, e 5 = e ] ; ` Donc e 5 positif. De plus la fonction exponentielle ne s annule jamais sur R. Donc e 5 > 0. Théorème - Variation La fonction exponentielle x e 5 est strictement croissante sur R Quelque soit x R, e 5 # = e 5 > 0 La dérivée est strictement positive donc la fonction est strictement croissante. Conséquence Quelque soit les réels a et b 1) a = b e E = e d 2) a < b e E < e d 3) a < 0 e E < e < = 1 Ces équivalences sont utilisées lors de la résolution d équations et d inéquations Exercice 2 Résoudre dans R les équations suivantes : a) e 5 = e b) e Z5Cf = 3? c) e 5; = e g Exercice 3 Résoudre dans R les inéquations suivantes : a) e :f5:z > 1 b) e 5; :Z5 e :` 0 N. Duceux LFIB - TS 4

5 Tableau de variation et courbe représentative de x e x x 0 + exp(x) + + exp(x) 0 Représentation graphique de la fonction exponentielle Remarque La tangente à C en 0 a pour équation y = exp # 0 x 0 + exp 0. Soit y = x + 1 Exercice 4 Amérique du Nord Mai 2011 (5 points) Partie A On considère la fonction g définie sur 0; + par g x = e 5 x 1. 1) Étudier les variations de la fonction g. 2) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x. 3) En déduire que pour tout x 0; +, e 5 x > 0. Partie B On considère la fonction f définie sur 0; 1 par f x =?] :3? ] :5. N. Duceux LFIB - TS 5

6 La courbe C représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthonormé est donnée en annexe. Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l épreuve. On admet que f est strictement croissante sur [0; 1]. 1) Montrer que pour tout x 0; 1, f(x) 0; 1. 2) Soit D la droite d équation y = x a) Montrer que pour tout x 0; 1, f x x = 3:5 8(5)? ] :5 b) Étudier la position relative de la droite D et de la courbe C sur 0; 1 N. Duceux LFIB - TS 6