TESTS DE COMPARAISON DE DEUX VARIANCES
|
|
- René Beaudin
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 TESTS DE COMPARAISON DE DEUX VARIANCES À l occasion de la rénovation du BTSA, il nous a semblé nécessaire d aborder la notion de test de comparaison de deux variances. Celle-ci apparaît dans le référentiel du BTSA module M4 (famille) objectif 3 : «La comparaison des variances à l aide d un test de Fisher est mise en œuvre dans des études d homogénéité de lots». Ce test est souvent utilisé pour valider l hypothèse de leur égalité (appelée homoscédasticité ). La comparaison des variances s avère donc utile comme test complémentaire lorsqu on souhaite tester l égalité de deux moyennes (cas des petits échantillons indépendants). Le test de comparaison de deux variances est également utilisé dans le cadre d une analyse de variance ou d un test sur le coefficient de détermination. Cependant, lorsqu on s intéresse aux dispersions d un même caractère dans deux populations, la comparaison des variances constitue alors une étude intrinsèque (il s agit dans ce cas d un test à part entière). On lui trouve un intérêt particulier lorsque deux méthodes de mesures sont comparées par la variabilité des résultats fournis. Celle dont la variance est la plus faible est alors considérée comme la plus précise. Exemple En Argentine, une expérimentation a été menée en 009 dans le but de résoudre des problèmes liés à l intensification de l agriculture et particulièrement à une nouvelle méthode d engraissement des bovins. La race traditionnelle A.Angus n étant pas adaptée à ce système d élevage, un croisement : A.Angus x Charolaise a été créé. L objectif est d obtenir des animaux mieux adaptés à ces nouvelles pratiques tout en maintenant une homogénéité comparable à celle de race traditionnelle. Le caractère étudié est le GMQ (Gain Moyen Quotidien) exprimé en kg. Les résultats observés sur deux lots (ici au sens " échantillons") sont les suivants : - pour le lot : race pure, taille de l échantillon : 6, variance : 0,6. - pour le lot : race croisée, taille de l échantillon :, variance : 0,37. Peut-on considérer que le GMQ du croisement A.Angus x Charolaise donne des résultats aussi homogènes que celui de la race pure? (on prendra un seuil de risque de 0,05). Exemple Dans un élevage de canards prêts à gaver, une expérimentation relative à l alimentation a été menée. Ces canards sont traditionnellement nourris au maïs grain complémenté avec du soja, du colza et du tournesol. Pour des raisons économiques, l expérience consiste à remplacer le soja par des drèches de maïs (le soja est importé du Brésil alors que le maïs est cultivé sur place). On définit ainsi deux types d alimentation : - Type A : alimentation traditionnelle : soja, colza, tournesol. - Type B : colza, tournesol, le soja a été remplacé par des drèches de maïs. Le problème est de savoir si l alimentation de type B ne va pas provoquer une plus grande dispersion du poids des canards. Le caractère étudié est donc le poids des canards exprimé en grammes. Homoscédasticité : Étymologie : Composé du préfixe «homo» qui signifie même et de la racine «scédasticité» qui vient du grec «σκεδαση» qui signifie dispersion. 8 ENFA - Bulletin n 0 du groupe PY-MATH - Décembre 00
2 Les résultats sont donnés ci-dessous : - Échantillon extrait de la population des canards dont l alimentation est de Type A : taille 50, variance s = Échantillon extrait de la population des canards dont l alimentation est de Type B : taille 50, variance : s = Précisions sur les notations utilisées dans cet article : Dans l exemple : On définit la variable aléatoire X (respectivement X ) qui, à chaque vache de race A.Angus (respectivement A.Angus x Charolaise) prélevée au hasard, associe son GMQ. Ces deux variables sont supposées distribuées normalement de variances respectives σ et σ. Soit S (respectivement S ) la variable aléatoire qui à chaque échantillon de n vaches A.Angus (respectivement n vaches A.Angus x Charolaise) associe sa variance notée s (respectivement s ). Les échantillons sont supposés aléatoires simples et indépendants. Dans l exemple : Les notations sont analogues en remplaçant dans le paragraphe ci dessus «les vaches de race A.Angus» par «les canards engraissés avec l alimentation de type A», et «les vaches de race A. Angus x Charolais» par «les canards engraissés avec l alimentation de type B». Les hypothèses sont les même que dans l exemple. Quelques précisions sur la loi de Fisher Snedecor : Définition Si U et V sont deux variables aléatoires indépendantes distribuées respectivement selon les U lois de χ (ν ) et de χ ν (ν ), alors la loi de la variable aléatoire : W = est distribuée selon V ν la loi de Fisher-Snedecor à (ν ; ν ) degrés de liberté (ν degrés de liberté au numérateur et ν degrés de liberté au dénominateur), notée F(ν ; ν ). Conséquence immédiate : Si W est une variable aléatoire distribuée selon la loi F(ν ; ν ), alors est distribuée selon la W loi F(ν ; ν ). Propriété Le quantile d ordre α de la loi F(ν ; ν ), est l inverse du quantile d ordre α de la loi F(ν ; ν ). On a donc la relation : f α (ν ; ν ) = f α (ν ; ν ). On note f α (ν ; ν ) le nombre réel tel que P( ) F < f α (ν ; ν ) = α. ENFA - Bulletin n 0 du groupe PY-MATH - Décembre 00 9
3 Démonstration : W est distribuée suivant la loi de Fisher Snedecor à (ν ; ν ) ddl. W prend donc des valeurs strictement positives. Soit a > 0, P(W a) = P W a D autre part, P W a = P W < a. La loi de W étant continue, celle de W aussi, P W < a = P W a Ainsi P W a = P W a En posant P(W a) = α, on alors P W a = α. Par conséquent : P W a = α ou encore P W a = α. La loi de Fisher Snedecor étant continue, α étant défini, a est unique et s exprime en fonction de α : a = f α (ν ; ν ) P(W a) = α P W a = α avec la notation : a = f α(ν ; ν ) et d après la propriété, a = f α(ν ; ν ). On obtient donc : f α (ν ; ν ) = f α (ν ; ν ). Cas d échantillons issus de populations gaussiennes Or, si on dispose de deux échantillons aléatoires simples et indépendants de tailles respectives n et n issus de deux lois mères gaussiennes, alors les variables aléatoires n S et n S σ sont indépendantes et distribuées respectivement selon les lois du χ () et du χ (n ). Sous l hypothèse d égalité des variances (σ = σ ), on en déduit que la variable aléatoire n S est distribuée selon la loi de F(n n S ; n ). n Test bilatéral : Hypothèses : H 0 : "σ = σ " et H : "σ σ " σ Sous l'hypothèse H 0, la variable F = F( ; n ) n S n S n est distribuée selon la loi de Fisher Snedecor 0 ENFA - Bulletin n 0 du groupe PY-MATH - Décembre 00
4 Dans ce cas, le test de comparaison étant bilatéral, on rejette H 0 au seuil de risque α dans les deux cas suivants : On a la relation suivante P D où la règle de décision : f obs f α ; ν ) ou f obs f α (ν (ν ; ν ) f α ( ; n ) < F < f α ( ; n ) = α. n s Si f obs = f α n s ; n ) (n., f α (n ; n ), on rejette H 0 au seuil de n risque α, dans le cas contraire, on n'est pas en situation de rejeter H 0. f α/ f -α/ zone de rejet de H 0 zone de non rejet de H 0 Exemple : Eléments de correction : zone de rejet de H 0 Hypothèses : H 0 : "σ = σ " et H : "σ σ " La variable aléatoire F = n S n S n est distribuée selon la loi de F(5 ; 0). Calcul de la valeur observée : f obs = n s n s n = 6 0,6 5 0,37 0 0,7. ENFA - Bulletin n 0 du groupe PY-MATH - Décembre 00
5 On détermine les valeurs critiques au risque de 0,05 : f 0,05 (5 ; 0) = f 0,975 (0 ; 5),76 0,36 et f 0,975 (5 ; 0),57. 0,7 [0,36 ;,57]. On ne peut pas en déduire que les variances du caractère GMQ des deux populations sont différentes, donc on accepte H 0. Test unilatéral Hypothèses : H 0 : "σ = σ " et H : "σ > σ " Règle de décision : si f obs = n s n s n > f α ( ; n ), on rejette H 0 au seuil de risque α. f α zone de non rejet de H zone de rejet de H 0 0 Exemple : Eléments de correction Hypothèses : H 0 : "σ = σ " et H : "σ > σ " n S n La variable aléatoire F = n S Calcul de la valeur observée : f obs = est distribuée selon la loi de F(49 ; 49). n s n n s = 05 63,. On détermine la valeur critique au risque de 0,05 : f 0,95 (0,49 ; 0,49),607 et, <,607. On ne peut rejeter H 0. En conclusion, on ne peut pas dire que l alimentation de type B provoque une plus grande dispersion du poids des canards. ENFA - Bulletin n 0 du groupe PY-MATH - Décembre 00
6 Toujours bon à savoir Comment tracer une courbe de Fisher? Il suffit de connaître la fonction densité de probabilité. La fonction densité associée à une variable aléatoire obéissant à la loi de Fisher Snedecor F ν, ν est la fonction f définie sur [0 ; + [ par : f (x) = k constante réelle telle que - + f(t) dt =. Prenons un exemple (arrangeant!) avec ν = 4 vet ν =. 8x On montre que k = 8 et donc que : f (x) = ( + x) 3. x + ν ( ν ) ν x ν + ν où k désigne la Il ne vous reste alors plus qu à utiliser votre grapheur préféré pour représenter la courbe. Fisher et Excel : Fonctions du tableur relatives à la loi de Fisher : LOI.F ; INVERSE.LOI.F et TEST.F LOI.F : Fonction qui renvoie la probabilité de dépasser une valeur donnée. LOI.F(,7;3;5) renvoie la valeur 0,563. Interprétation : La loi de probabilité de F est la loi de Fisher F(3 ; 5) alors P(F,7) 0,563. INVERSE.LOI.F : Une probabilité étant donnée, cette fonction renvoie la valeur a telle que la probabilité de dépasser a est la probabilité donnée. Exemple : INVERSE.LOI.F(0,98;3;5) renvoie la valeur 0,057. Interprétation : La loi de probabilité de F étant la loi de Fisher F(3 ; 5) alors P(F 0,057) 0,98. INVERSE.LOI.F(0,563;3;5) renvoie la valeur,7. 0,563,7 ENFA - Bulletin n 0 du groupe PY-MATH - Décembre 00 3
7 TEST.F : Sous l hypothèse d égalité des variances de deux populations, cette fonction renvoie la probabilité d obtenir une telle différence entre les variances des deux échantillons. échantillon issu d'une population échantillon issu d'une population 6 46, Variances s = 4,4 s = 40,76 Test de variance 0, Il s agit d un test bilatéral, Excel ne donne pas la possibilité de faire un test unilatéral. Si les variances des deux populations sont égales et si le caractère étudié est distribuée selon des lois normales dans les deux populations, alors la probabilité de voir un tel écart sur les variances des deux échantillons est d'environ 0,05 : la loi de probabilité de F étant la loi de Fisher F (4 ; 4) alors : 4 3 P s 4 3 F 4 s F 4 0,05. 3 s = 3 s P Remarque : Les données prises dans cet exemple pour interpréter la valeur renvoyée par la fonction TEST.F ne sont pas très pédagogiques dans la mesure où il semble difficile de prendre une décision au risque de 5 % puisque l on se trouve à la limite. L intérêt est de faire comprendre la valeur obtenue. Si la valeur renvoyée est nettement inférieure à 0,05, on en déduit alors si que H 0 est vraie la probabilité d obtenir un tel rapport est faible. On préfère alors rejeter l hypothèse d égalité des variances des deux populations dont sont extraits les deux échantillons. Si la valeur obtenue au test est nettement plus grande que 0,05, on en déduit alors que le rapport n est pas assez grand (ou proche de zéro pour l inverse) pour mettre en doute H 0. On ne rejette donc pas l hypothèse d égalité des variances des deux populations. Pour aller plus loin, voici un exercice en guise de prolongement Énoncé : Retrouver la relation entre les lois de W et en utilisant les densités. W Indications de correction : Si W est à valeurs strictement positives de densité f et si a pour densité g, on a la relation W pour tout x positif, g(x) = x f x pour tout x strictement positif. On peut alors retrouver la relation entre les lois de W et lorsque W est distribué selon une loi de F. W Pour démontrer la relation précédente entre f et g il suffit d écrire les relations entre les fonctions de répartition et d en déduire les relations entre les fonctions dérivées. 4 ENFA - Bulletin n 0 du groupe PY-MATH - Décembre 00
8 Bibliographie : - Gilbert SAPORTA : Probabilités Analyse des données et statistique, éd Technip Éditions. - Pierre DAGNELIE : Théorie et méthodes statistiques, Volumes et, éd. Les presses Agronomiques de Gembloux. - Bruno SCHERRER : Biostatistique, éd. Gaëtan Morin. - Michel VILAIN : Les outils mathématiques des méthodes expérimentales, éd. Tec et Doc. - Jean Jacques DAUDIN, Stéphane ROBIN et Colette VUILLET : Statistique inférentielle, idées démarches, exemples, Société française de statistique, Presse universitaire de Rennes. - Pascal KAUFFMANN : Statistique information estimation tests, éd. Dunod. - Centre d Enseignement et de Recherche de Statistique Appliquée : Aide mémoire-pratique des techniques statistiques pour ingénieurs et techniciens supérieurs. éd. Ceresta. - Brigitte CHAPUT : «BTSA : enseigner la statistique inférentielle» Stage ENFA. - Yadolah DODGE : Premiers pas en statistique, éd. Springer. ENFA - Bulletin n 0 du groupe PY-MATH - Décembre 00 5
Cours (7) de statistiques à distance, élaboré par Zarrouk Fayçal, ISSEP Ksar-Said, 2011-2012 LES STATISTIQUES INFERENTIELLES
LES STATISTIQUES INFERENTIELLES (test de Student) L inférence statistique est la partie des statistiques qui, contrairement à la statistique descriptive, ne se contente pas de décrire des observations,
Plus en détailBiostatistiques Biologie- Vétérinaire FUNDP Eric Depiereux, Benoît DeHertogh, Grégoire Vincke
www.fundp.ac.be/biostats Module 140 140 ANOVA A UN CRITERE DE CLASSIFICATION FIXE...2 140.1 UTILITE...2 140.2 COMPARAISON DE VARIANCES...2 140.2.1 Calcul de la variance...2 140.2.2 Distributions de référence...3
Plus en détailChapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse. José LABARERE
UE4 : Biostatistiques Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. Plan I. Introduction
Plus en détailAnalyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés
Analyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés Professeur Patrice Francour francour@unice.fr Une grande partie des illustrations viennent
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailTESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple
TESTS D'HYPOTHESES Etude d'un exemple Un examinateur doit faire passer une épreuve type QCM à des étudiants. Ce QCM est constitué de 20 questions indépendantes. Pour chaque question, il y a trois réponses
Plus en détailChapitre 6 Test de comparaison de pourcentages χ². José LABARERE
UE4 : Biostatistiques Chapitre 6 Test de comparaison de pourcentages χ² José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. Plan I. Nature des variables
Plus en détailTests paramétriques de comparaison de 2 moyennes Exercices commentés José LABARERE
Chapitre 5 UE4 : Biostatistiques Tests paramétriques de comparaison de 2 moyennes Exercices commentés José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés.
Plus en détailAnalyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes
Analyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes Biostatistique Pr. Nicolas MEYER Laboratoire de Biostatistique et Informatique Médicale Fac. de Médecine de Strasbourg Mars 2011 Plan 1 Introduction
Plus en détailTSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1
TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun
Plus en détailTests de comparaison de moyennes. Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année 2009-2010 UE «Introduction à la biostatistique»
Tests de comparaison de moyennes Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année 2009-2010 UE «Introduction à la biostatistique» Test de Z ou de l écart réduit Le test de Z : comparer des paramètres en testant leurs différences
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailTABLE DES MATIÈRES. PRINCIPES D EXPÉRIMENTATION Planification des expériences et analyse de leurs résultats. Pierre Dagnelie
PRINCIPES D EXPÉRIMENTATION Planification des expériences et analyse de leurs résultats Pierre Dagnelie TABLE DES MATIÈRES 2012 Presses agronomiques de Gembloux pressesagro.gembloux@ulg.ac.be www.pressesagro.be
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailTABLE DES MATIÈRES. Bruxelles, De Boeck, 2011, 736 p.
STATISTIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE Tome 2 Inférence statistique à une et à deux dimensions Pierre Dagnelie TABLE DES MATIÈRES Bruxelles, De Boeck, 2011, 736 p. ISBN 978-2-8041-6336-5 De Boeck Services,
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailPrincipe d un test statistique
Biostatistiques Principe d un test statistique Professeur Jean-Luc BOSSON PCEM2 - Année universitaire 2012/2013 Faculté de Médecine de Grenoble (UJF) - Tous droits réservés. Objectifs pédagogiques Comprendre
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailPeut-on imiter le hasard?
168 Nicole Vogel Depuis que statistiques et probabilités ont pris une large place dans les programmes de mathématiques, on nous propose souvent de petites expériences pour tester notre perception du hasard
Plus en détailEXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG
Exploitations pédagogiques du tableur en STG Académie de Créteil 2006 1 EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Commission inter-irem lycées techniques contact : dutarte@club-internet.fr La maquette
Plus en détailStatistiques Décisionnelles L3 Sciences Economiques & Gestion Faculté d économie, gestion & AES Université Montesquieu - Bordeaux 4 2013-2014
Tests du χ 2 Statistiques Décisionnelles L3 Sciences Economiques & Gestion Faculté d économie, gestion & AES Université Montesquieu - Bordeaux 4 2013-2014 A. Lourme http://alexandrelourme.free.fr Outline
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailFeuille 6 : Tests. Peut-on dire que l usine a respecté ses engagements? Faire un test d hypothèses pour y répondre.
Université de Nantes Année 2013-2014 L3 Maths-Eco Feuille 6 : Tests Exercice 1 On cherche à connaître la température d ébullition µ, en degrés Celsius, d un certain liquide. On effectue 16 expériences
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailTESTS D HYPOTHÈSE FONDÉS SUR LE χ². http://fr.wikipedia.org/wiki/eugénisme
TESTS D HYPOTHÈSE FONDÉS SUR LE χ² http://fr.wikipedia.org/wiki/eugénisme Logo du Second International Congress of Eugenics 1921. «Comme un arbre, l eugénisme tire ses constituants de nombreuses sources
Plus en détailRéseau SCEREN. Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la. Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel.
Ce document a été numérisé par le CRDP de Bordeaux pour la Base Nationale des Sujets d Examens de l enseignement professionnel. Campagne 2013 Ce fichier numérique ne peut être reproduit, représenté, adapté
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailIntroduction à la Statistique Inférentielle
UNIVERSITE MOHAMMED V-AGDAL SCIENCES FACULTE DES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES SMI semestre 4 : Probabilités - Statistique Introduction à la Statistique Inférentielle Prinemps 2013 0 INTRODUCTION La statistique
Plus en détailNOTE SUR LA MODELISATION DU RISQUE D INFLATION
NOTE SUR LA MODELISATION DU RISQUE D INFLATION 1/ RESUME DE L ANALYSE Cette étude a pour objectif de modéliser l écart entre deux indices d inflation afin d appréhender le risque à très long terme qui
Plus en détailTable des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailFORMATION CONTINUE SUR L UTILISATION D EXCEL DANS L ENSEIGNEMENT Expérience de l E.N.S de Tétouan (Maroc)
87 FORMATION CONTINUE SUR L UTILISATION D EXCEL DANS L ENSEIGNEMENT Expérience de l E.N.S de Tétouan (Maroc) Dans le cadre de la réforme pédagogique et de l intérêt que porte le Ministère de l Éducation
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailRessources pour le lycée général et technologique
éduscol Ressources pour le lycée général et technologique Ressources pour la classe de terminale générale et technologique Exercices de mathématiques Classes de terminale S, ES, STI2D, STMG Ces documents
Plus en détail3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.
3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions
Plus en détailM2 IAD UE MODE Notes de cours (3)
M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de
Plus en détailEstimation et tests statistiques, TD 5. Solutions
ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études
Plus en détailProbabilités conditionnelles Loi binomiale
Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard
Plus en détailReprésentation d une distribution
5 Représentation d une distribution VARIABLE DISCRÈTE : FRÉQUENCES RELATIVES DES CLASSES Si dans un graphique représentant une distribution, on place en ordonnées le rapport des effectifs n i de chaque
Plus en détailSOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique
SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des
Plus en détailMesures et incertitudes
En physique et en chimie, toute grandeur, mesurée ou calculée, est entachée d erreur, ce qui ne l empêche pas d être exploitée pour prendre des décisions. Aujourd hui, la notion d erreur a son vocabulaire
Plus en détailTableau 1 : Structure du tableau des données individuelles. INDIV B i1 1 i2 2 i3 2 i4 1 i5 2 i6 2 i7 1 i8 1
UN GROUPE D INDIVIDUS Un groupe d individus décrit par une variable qualitative binaire DÉCRIT PAR UNE VARIABLE QUALITATIVE BINAIRE ANALYSER UN SOUS-GROUPE COMPARER UN SOUS-GROUPE À UNE RÉFÉRENCE Mots-clés
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détail1 Définition de la non stationnarité
Chapitre 2: La non stationnarité -Testsdedétection Quelques notes de cours (non exhaustives) 1 Définition de la non stationnarité La plupart des séries économiques sont non stationnaires, c est-à-direqueleprocessusquiles
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailExercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?
Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version
Plus en détailExercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?
Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version
Plus en détailLa valeur présente (ou actuelle) d une annuité, si elle est constante, est donc aussi calculable par cette fonction : VA = A [(1-1/(1+k) T )/k]
Evaluation de la rentabilité d un projet d investissement La décision d investir dans un quelconque projet se base principalement sur l évaluation de son intérêt économique et par conséquent, du calcul
Plus en détailLA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING»
LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» Gilbert Saporta Professeur de Statistique Appliquée Conservatoire National des Arts et Métiers Dans leur quasi totalité, les banques et organismes financiers
Plus en détailSession d accompagnement de la rénovation du BTSA GEMEAU Bordeaux, mai 2011. Atelier n 4. Formation en milieu professionnel EPREUVE E7- SPV/SPS
Session d accompagnement de la rénovation du BTSA GEMEAU Bordeaux, mai 2011 Atelier n 4 Formation en milieu professionnel EPREUVE E7- SPV/SPS L épreuve 7 permet d évaluer la capacité intégrative 10 du
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailProbabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de
Plus en détail# let rec concat l1 l2 = match l1 with [] -> l2 x::l 1 -> x::(concat l 1 l2);; val concat : a list -> a list -> a list = <fun>
94 Programmation en OCaml 5.4.8. Concaténation de deux listes Définissons maintenant la fonction concat qui met bout à bout deux listes. Ainsi, si l1 et l2 sont deux listes quelconques, concat l1 l2 constitue
Plus en détailProbabilité et Statistique pour le DEA de Biosciences. Avner Bar-Hen
Probabilité et Statistique pour le DEA de Biosciences Avner Bar-Hen Université Aix-Marseille III 2000 2001 Table des matières 1 Introduction 3 2 Introduction à l analyse statistique 5 1 Introduction.................................
Plus en détailProbabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
Plus en détailIntroduction aux Statistiques et à l utilisation du logiciel R
Introduction aux Statistiques et à l utilisation du logiciel R Christophe Lalanne Christophe Pallier 1 Introduction 2 Comparaisons de deux moyennes 2.1 Objet de l étude On a mesuré le temps de sommeil
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailMises en relief. Information supplémentaire relative au sujet traité. Souligne un point important à ne pas négliger.
Cet ouvrage est fondé sur les notes d un cours dispensé pendant quelques années à l Institut universitaire de technologie de Grenoble 2, au sein du Département statistique et informatique décisionnelle
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailTP 3 diffusion à travers une membrane
TP 3 diffusion à travers une membrane CONSIGNES DE SÉCURITÉ Ce TP nécessite la manipulation de liquides pouvant tacher les vêtements. Le port de la blouse est fortement conseillé. Les essuie tout en papier
Plus en détailProbabilités Loi binomiale Exercices corrigés
Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailLoi binomiale Lois normales
Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli
Plus en détailCAPTEURS - CHAINES DE MESURES
CAPTEURS - CHAINES DE MESURES Pierre BONNET Pierre Bonnet Master GSI - Capteurs Chaînes de Mesures 1 Plan du Cours Propriétés générales des capteurs Notion de mesure Notion de capteur: principes, classes,
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailEPREUVES AU CHOIX DU CANDIDAT. Durée : De 09 h 00 à 12 h 00 (Heure de Yaoundé, TU + 1)
1 CYCLE MST-A 30 JUIN 2010 10 ème Promotion 2010 / 2012 CONCOURS D ENTREE A L IIA DROIT EPREUVES AU CHOIX DU CANDIDAT Durée : De 09 h 00 à 12 h 00 (Heure de Yaoundé, TU + 1) Le candidat traitera au choix
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailL intérêt technico-économique. avec simulations à l'appui
L intérêt technico-économique Titre de du l'engraissement diaporama des mâles avec simulations à l'appui Christèle PINEAU Institut de l'elevage Christele.Pineau@idele.fr Matthieu COUFFIGNAL ARVALIS, Institut
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailTP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options
Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce
Plus en détailApplication sur le Dispositif en Blocs Complètement Randomisés
Roger Vumilia. KIZUNGU Directeur de l Expérimentation Agricole à l INERA Professeur Associé Faculté des Sciences Agronomiques Université de Kinshasa Utilisation des Logiciels de base dans la Recherche
Plus en détailLois de probabilité. Anita Burgun
Lois de probabilité Anita Burgun Problème posé Le problème posé en statistique: On s intéresse à une population On extrait un échantillon On se demande quelle sera la composition de l échantillon (pourcentage
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailLe calcul du barème d impôt à Genève
Le calcul du barème d impôt à Genève Plan : 1. Historique Passage d un système en escalier à une formule mathématique 2. Principe de l imposition Progressivité, impôt marginal / moyen ; barème couple/marié
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailmathématiques mathématiques mathématiques mathématiques
mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques mathématiques
Plus en détailExercice du cours Gestion Financière à Court Terme : «Analyse d un reverse convertible»
Exercice du cours Gestion Financière à Court Terme : «Analyse d un reverse convertible» Quand la trésorerie d une entreprise est positive, le trésorier cherche le meilleur placement pour placer les excédents.
Plus en détailF7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ
Auteur : S.& S. Etienne F7n COUP DE BOURSE, NOMBRE DÉRIVÉ TI-Nspire CAS Mots-clés : représentation graphique, fonction dérivée, nombre dérivé, pente, tableau de valeurs, maximum, minimum. Fichiers associés
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailBien choisir sa variété de maïs ensilage
Bien choisir sa variété de maïs ensilage Le maïs ensilage n est pas une culture difficile à cultiver. Pour choisir sa variété, l agriculteur dispose aujourd hui d une multitude de critères : attention
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailBTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL
BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par
Plus en détailGuide de rédaction d un protocole de recherche clinique à. l intention des chercheurs évoluant en recherche fondamentale
V E R S I O N A V R I L 2 0 1 2 C E N T R E D E R E C H E R C H E C L I N I Q U E É T I E N N E - L E B E L D U C H U S Guide de rédaction d un protocole de recherche clinique à l intention des chercheurs
Plus en détailDETERMINATION DE L INCERTITUDE DE MESURE POUR LES ANALYSES CHIMIQUES QUANTITATIVES
Agence fédérale pour la Sécurité de la Chaîne alimentaire Administration des Laboratoires Procédure DETERMINATION DE L INCERTITUDE DE MESURE POUR LES ANALYSES CHIMIQUES QUANTITATIVES Date de mise en application
Plus en détailTD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires
TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver
Plus en détailRelation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire
CHAPITRE 3 Relation entre deux variables : estimation de la corrélation linéaire Parmi les analyses statistiques descriptives, l une d entre elles est particulièrement utilisée pour mettre en évidence
Plus en détailJoueur B Pierre Feuille Ciseaux Pierre (0,0) (-1,1) (1,-1) Feuille (1,-1) (0,0) (-1,1) Ciseaux (-1,1) (1,-1) (0.0)
CORRECTION D EXAMEN CONTROLE CONTINU n 1 Question de cours Question 1 : Les équilibres de Cournot et de Stackelberg sont des équilibres de situation de duopole sur un marché non coopératif d un bien homogène.
Plus en détailOscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté
Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à
Plus en détail