, f(x) est l image de l élément x de E par f.

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1 I- Rppels : I- 1 Déinition d une onction : Soient E et F deu intervlles de R ou une réunion d intervlles de R Déinition 1: Une onction ssocint un élément de l ensemble E (ensemble de déprt dns l ensemble F(ensemble d rrivé est une reltion de E dns F dont les éléments ont u plus une imge dns F On écrit : : E F (, ( est l imge de l élément de E pr I- Ensemble de déinition : Déinition : Soit une onction, lors : - l ensemble des réels qui ont une imge pr s ppelle l ensemble de déinition de noté D ; - tout réel de D une imge et une seule pr l onction II- Générlités sur les onctions II- 1 Églité de deu onctions : Déinition : Soit et g deu onctions déinies respectivement sur D et D g Les onctions et g, sont égles si, et seulement si : D D g et pour tout D, ( g( Eemple 1: Soit les onctions : égles? Solution : On remrque que D R {, } 4 9 et g : et g sont-elles et D g R ( ( Or, l onction peut s écrire sous l orme suivnte : ( ( Donc mlgré à ce que les deu onctions et g ient l même epression, elles ne sont ps égles, cr elles n ont ps le même ensemble de déinition II- Restriction de à un intervlle I : Déinition 4: Soit une onction déinie sur D et I un intervlle quelconque de D On ppelle restriction de à l intervlle I, l onction déinie pour tout I D pr : ( ( osseini@mts-stnr Pge 1

2 Eemple : Que peut-on dire des onctions : 5 6 déinie sur D ] ; ] [ ; [ et g : ( ( déinie sur D g [ ; [ Solution : Ici, on remrque que : 5 6 ( (, et sur [ ; [ ( > 0 et ( 0 d où 5 6 ( (?, donc et g ont même epression mis pour utnt, elles ne sont ps égles cr elles n ont ps le même ensemble de déinition En revnce, on remrque que D g D, ce qui nous permet de dire que sur D g, ; (g( donc l onction g est l restriction de à l intervlle D g [ [ II- Opértion sur les onctions : Nottions : Soient et g deu onctions déinies respectivement sur D et D g, et λ un réel quelconque Les onctions g et g sont déinies sur D D D g, λ et λ sont déinies sur D ( g( ( g( ( λ( ( λ ( g ( ( g( (λ ( λ ( Si pour tout de D, g( 0, lors l onction quotient g g ( g ( ( pr est l onction déinies sur D, pr : II- 4 Fonctions ssociées : (représenttion grpique des onctions ssociées Soit une onction déinie sur un ensemble de déinition et soit C s courbe représenttive dns un repère ( ; i, j O et g une onction déinie pr g((-α β, lors C g s obtient à prtir de C pr une trnsltion de vecteur V α i β j α représente, le déplcement orizontl de l courbe de C β représente, le déplcement verticl de l courbe de C Eemple : L courbe C g de l onction g déinie sur R pr : ( ( 4 à prtir de l courbe C vec g s obtient : pr une trnsltion de vecteur V i 4 j osseini@mts-stnr Pge

3 II- 5 L étude de l prité d une onction : Déinition 5: Le pln est muni d un repère ortonormé ( ; i, j Une onction est pire si : O pour tout D,, - D et (-( C est symétrique pr rpport à l e (oy Une onction est impire si : pour tout D, - D et (- -( C est symétrique pr rpport à l origine O du repère Eemple 4: L onction : est déinie sur D R-{ ; 0 ; } Solution: L ensemble D, est symétrique pr rpport à zéro et, pour tout D, - D et on : ( ( ( ( ( Donc l onction est pire et C est symétrique pr rpport à l e (oy Eercice : L onction g : 9 est déinie sur D g ] ;[ Démontrer que g est impire Solution: Comment montrer qu une onction donnée, n est ps pire ou n est ps impire? Remrques : * Si l ensemble de déinition d une onction donnée n est ps symétrique pr rpport à zéro, lors elle n est ni pire ni impire * Pour montrer qu une onction n est ps pire, il suit de trouver deu réels opposés pprtennt à D qui n ont ps l même imge * Pour montrer qu une onction n est ps impire, il suit de trouver deu réels opposés pprtennt à D dont les imges ne sont ps opposées Eemple 5: Soit une onction déinie pr : ( 4 Or, toute onction polynôme est déinie sur R donc est déinie sur R (ensemble centré en 0 et pourtnt n est ni pire ni impire, en eet : ( 1 9, ( 1 et ( Alors n est ni pire ni impire Donc ( ( et ( ( osseini@mts-stnr Pge

4 Corollire (Sens de vrition et l prité * Soit est une onction pire sur D Soit [, b] (vec <b un intervlle contenu dns D R, lors les vritions de sur [, b] et [b,] sont de sens contrires * Soit est une onction impire sur D Soit [, b] (vec <b un intervlle contenu dns D R, lors le même sens de vrition sur [, b] et sur [b,] Eercice : Soit l onction déinie pr : ( 4 1 Déterminer l ensemble de déinition D, puis justiier que est pire Montrer que est strictement décroissnte sur l intervlle [0; ] En déduire les vritions de sur D tout entier Solution: II- 6 L étude de l périodicité d une onction : Déinition 6: Le pln est muni d un repère ortogonl ( ; i, j O Une onction est de période T (l période l plus petite ( ou T-périodique si : pour tout D,, T D et -T D et pour tout D, ( T ( et l courbe C est invrinte pr l trnsltion de vecteur V T i osseini@mts-stnr Pge 4

5 Remrques : - Si, pour tout D, lors T D et -T D, on dit que l ensemble D est T-périodique 0 ;T - Si est une onction T-périodique, il suit de l étudier sur D [ ] - Si est une onction T-périodique, lors pour tout réel D, on : kt D, pour tout k Z, et ( kt ( et dns ce cs, on obtient C pr l trnsltion de vecteur V kt i - Etnt donnée une onction déinie sur [0; T ] de sorte que (0 (T: On construit une onction T-périodique g sur R de sorte qu elle coïncide vec sur [0; T ] Comment clculer l période d une onction trigonométrique? Règles :1 l période T des onctions isolées du type: (sin(α β et (cos(α β s obtient pr : T π vec α 0 α Cr π π cos α β cos ( α π β cos(α β ( α α l période T d une somme de onctions du type : ( sin( α 1 sin( α s obtient d bord pr l recerce des périodes des onctions : sin( α1 et sin( α, qui sont π π respectivement : T 1 et T puis le plus petit multiple commun des deu périodes α α 1 l recerce de l période T d un produit de onctions du type : ( sin( α ( α 1 sin, psse pr une trnsormtion du produit en somme à l ide de l ormule trigonométrique 1 sin( α 1 sin( α [ cos( α1 α cos( α1 α ], puis on pplique l règle précédente Eercice 4: Etudier l périodicité des onctions et g déinies respectivement pr : ( sin²( sin ( et g ( cos sin Solution: osseini@mts-stnr Pge 5

6 Pge 6 II- 7 Centre de symétrie d une courbe : Téorème 1: Soit une onction déinie sur son ensemble de D, et C s courbe représenttive dns un repère ortonormé ( j, i ; O Soit I( ; b un point du pln et M ( ; y, l imge d un point M (; y C dns l symétrie de centre I, on lors : y' y b ' y b y' ' L courbe représenttive C dmet le point I( ; b comme centre de symétrie si, et seulement si, pour tout R tel que D, on it : b ( ( D Démonstrtion : Eemple 6: Soit l onction déinie sur R-{ } pr ( et C s courbe représenttive Démontrer que C dmet le point I( ;4 pour centre de symétrie Solution: 1 ère métode : ( L ppliction du téorème Pour tout réel 0, ( D et (- D ( ( ( ( ( ( L courbe C dmet donc le point I( ;4 pour centre de symétrie Ou une dérivée du téorème précédent : Téorème : (dmis C dmet le point I( ; b comme centre de symétrie, si et seulement si: ( ( : b D D

7 Eercice 5: Appliction du téorème précédent à l eemple 6 ème métode : (métode de cngement de repère ppliquée à l eemple 6 On se plce dns le repère ortonormé ( ; i, j repère ortonorml ( I ; i, j, vec I( ; 4 ( O ; i, j Soit M ( ; y un point de C dns le repère ( ; i, j Soit M, le même point mis dns le repère ( ; i, j O et dns ce repère on déinit églement le O, donc OM i y j I, on lors M ( X ; Y et IM X i Y j D près l reltion de Csles, OM OI IM ; ce qui nous permet d écrire : i y j i 4 j X i Y j X On en déduit que : D où l éqution y ( X i (4 Y j y 4 Y dns le repère ( ; i, j O s écrir 4 ( X Y, dns le repère ( ; i, j ( X I, ou encore : osseini@mts-stnr Pge 7

8 4 4X X Y 4 X 4 4X X 4X Y X X 1 Y X X 1 Considérons l onction g déinie sur R-{ 0 }, pr g( X, on sit que : X pour tout X R-{ 0 }, -X R-{ 0 } ( X 1 X 1, d où g( X g( X X X Donc g est impire et C est symétrique pr rpport à l origine du repère, dns ( I ; i, j signiie que C est symétrique pr rpport à I dns le repère ( O ; i, j, cel II- 8 Ae de symétrie d une courbe : Téorème : Soit une onction déinie sur son ensemble de déinition D, et C s courbe représenttive dns un repère ortonormé ( ; i, j O C, dmet l droite d éqution comme e de symétrie si, et seulement si, pour tout réel tel que D, on it : D ( ( Démonstrtion : Eemple 7: L onction : est déinie sur R, soit C s courbe 6 10 représenttive Démontrer que C dmet l droite d éqution pour e de symétrie Solution : 1 ère métode : ( L ppliction du téorème 4 osseini@mts-stnr Pge 8

9 Pge 9 Pour tout réel, ( R et (- R On : ( ( ( ( ( ( On en déduit que : ( ( On conclut que C dmet l droite d éqution pour e de symétrie Ou une dérivée du téorème précédent : Téorème 4: Soit une onction déinie sur son ensemble de D, et C s courbe représenttive dns un repère ortonormé ( j, i ; O Soit l droite d éqution, et M ( ; y, l imge d un point M ( ; y C dns l symétrie d e, on lors : y y ' C dmet l droite d éqution pour e de symétrie, si : ( ( : D D Démonstrtion : Eercice 6: Appliction du téorème précédent à l eemple 7

10 Suite de l ppliction du téorème précédent à l eemple 7 : ème métode : (métode de cngement de repère ppliquée à l eemple 7 On se plce dns le repère ortonormé ( ; i, j repère ortonorml ( I ; i, j, vec I( ; 0 ( O ; i, j Soit M ( ; y un point de C dns le repère ( ; i, j Soit M, le même point mis dns le repère ( ; i, j O et dns ce repère, on déinit églement le O, donc OM i y j I, on lors M ( X ; Y et IM X i Y j D près l reltion de Csles, OM OI IM ; ce qui nous permet d écrire : i y j i 0 j X i Y j X On en déduit que : ( X i Y j y Y D où l éqution y dns le repère ( O ; i, j s écrir : 6 10 X X Y dns le repère ( I ; i, j X 6 X 10 X ( ( 1 X Considérons l onction g déinie sur R, pr g ( X, on sit que : X 1 X X pour tout X R, -X R, d où g ( X g( X 1 X 1 ( X Donc g est pire et C est symétrique pr rpport à l e des ordonnées, dns ( I ; i, j signiie que C est symétrique pr rpport à l droite d éqution dns le repère ( ; i, j II- 9 Sens de vrition Téorème (opértions 5: (dmis, cel O Soient et g deu onctions déinies sur le même ensemble D et I D et soit k un réel non nul 1 Si k>0, les onctions k et ont le même sens de vrition sur I Si k < 0, les onctions k et sont de sens de vrition contrire sur I Si et g sont toutes deu onctions croissntes sur I, lors g est croissnte sur I 4 Si et g sont toutes deu onctions décroissntes sur I, lors g est décroissnte sur I 5 Une onction et son inverse 1 ont des sens de vritions contrires sur tout intervlle I où l onction ne s nnule ps et ne cnge ps de signe osseini@mts-stnr Pge 10

11 Remrques: A priori, on ne peut rien dire des vritions de g sur un intervlle où et g ont des sens de vrition contrires Même si on connît le sens de vrition de deu onctions et g, on ne peut rien conclure d une çon générle sur le sens de vrition des onctions quotient g et produit g 1 Eemple 8: Étudier le sens de vrition de l onction : déinie sur R-{ 0 } 1 1 Solution: On remrque que peut s écrire sous l orme : ( 1 Si on pose pour tout R-{ 0 }, g( et (, on lors : ( g( ( Sur l intervlle I ] ; 0[, g est une onction crrée, vec > 0, donc g est décroissnte sur I ; est une onction inverse, donc décroissnte sur I ; on en déduit que est décroissnte 0, cr g et sont de monotonies contrires sur sur I, mis on ne peut rien dire de sur ] [ ] 0, [ 1 Eercice 7: Étudier et compléter le tbleu de vrition de l onction : 1 déinie sur R-{ 1,1} Solution: g ( ( osseini@mts-stnr Pge 11

12 II- 10 Composition de onctions : Déinition 7: Soient et g, deu onctions déinies respectivement sur I et J telles que pour tout réel de I, ( J L onction composée de suivie de g, notée g, est l onction déinie sur I telle que : ( g ( g( ( g ( g ( g ( ( ( Eemple 9: Soit l onction déinie sur ] ; [ ] 1; 1[ ] 1; [ Solution : 1 pr Ecrire comme l composée de trois onctions de réérence ( 1 l 1 1 X g X X 1 Donc g l t t t Eercice 8: et g, sont deu onctions déinies sur R respectivement pr : : 1 et g : 1 Déinir les onctions g et g b A-t-on g g? Solution : osseini@mts-stnr Pge 1

13 II- 11 Sens de vrition d une onction composée Téorème (vrition de g 6: Soient et g, deu onctions telles que soit monotone sur un intervlle I et g soit monotone sur un intervlle J tels que pour tout I, ( J 1 Si et g ont même sens de vrition, lors l onction composée g est croissnte sur I Si et g ont des sens de vrition contrires, lors l onction composée g est décroissnte sur I Démonstrtion : 1 Soient 1 et deu réels de I tels que 1 <, ( 1 et ( pprtiennent à J * Si et g sont toutes deu croissntes sur les intervlles concernés, lors : pr l onction croissnte, on : ( 1 ( ; pr l onction g croissnte, on : g(( 1 g( ( Donc l onction g est croissnte sur I * Si et g sont toutes deu décroissntes sur les intervlles concernés, lors : pr l onction décroissnte, on : ( 1 ( ; pr l onction g décroissnte, on : g(( 1 g( ( Donc l onction g est croissnte sur I Soient 1 et deu réels de I tels que 1 <, ( 1 et ( pprtiennent à J * Si et g sont telles que soit croissnte sur I et g décroissnte sur J lors : pr l onction croissnte, on : ( 1 ( ; pr l onction g décroissnte, on : g(( 1 g( ( Donc l onction g est décroissnte sur I * Si et g sont telles que soit décroissnte sur I et g croissnte sur J lors : pr l onction décroissnte, on : ( 1 ( ; pr l onction g croissnte, on : g(( g( ( 1 Donc l onction g est décroissnte sur I osseini@mts-stnr Pge 1

14 1 Eercice 9: L onction : 5 Étudier le sens de vrition de Solution: est déinie sur R-{ } 0 II- 1 Fonction minorée, mjorée, bornée : Déinition 8: Soit une onction déinie sur un intervlle I * On dit que est minorée pr un réel m sur I, si, et seulement si, pour tout réel I, m ( * On dit que est mjorée pr un réel M sur I, si, et seulement si, pour tout réel I, ( M * Si est à l ois minorée et mjorée sur un intervlle I, lors on dit que est bornée sur I Eercice 10: Démontrer que l onction : déinie sur[ 0 ; [ est bornée sur cet intervlle Solution : osseini@mts-stnr Pge 14

15 Eercices à ire à l mison Eercice 1: Après voir déinit l ensemble de déinition de ccune des onctions suivntes, étudiez les: ( 4 ; g ( ; ( 1, l( Eercice : Centre de symétrie d une onction omogrpique b Une onction omogrpique est une onction déinie pr : :, où,b,c et d c d d sont des réels donnés, tels que R c d Démontrer que C dmet le point I de coordonnées I, comme centre de symétrie c c Appliction : Soit g une onction déinie pr g ( 1 Déterminer les coordonnées du point Ω, centre de symétrie de C g Eercice : Ae de symétrie d une onction du nd degré Une onction polynôme du nd degré est une onction déinie pr : : ( α β, où, α et β sont des réels donnés, tels que R* Démontrer que C dmet l droite d éqution : α comme e de symétrie Appliction : Soit g une onction déinie pr g ( 8 7 Déterminer l éqution l e de symétrie de symétrie de C g Eercice 4: 1 Soit l onction déinie pr : 4 Démontrer que C dmet l droite d éqution : 1 comme e de symétrie Soit g l onction déinie pr g : 6 Démontrer que C g dmet le point I de coordonnées I( 1, 1 comme centre de symétrie Eercice 5: 1 Soient et g deu onctions pires déinies sur un même intervlle I Que peut-on dire de l prité des onctions g, g, g g et Même question lorsque et g sont impires Puis vec pire et g impire Voici un eemple concret : osseini@mts-stnr Pge 15

16 Eercice 6: Étudier l prité des onctions suivntes: Eercice 7: (, g( 1 1 Soit une onction pire déinie sur R, telle que, pour tout réel positi, ( Déterminer une epression de sur ],0], puis sur ] ; [ Eercice 8: Soit : l onction déinie sur R pr : ( l onction g déinie sur l intervlle [ [ 1 Déterminer les ensembles de déinition des onctions g et g Pour D g, donner l epression de ( g ( D, donner l epression de ( g ( b Pour g Etudier le sens de vritions de l onction g 4 Représenter grpiquement l onction g 1 ; ; pr g( 1 Eercice 9:Soient les tbleu de vritions de deu onctions et g : ,5 4 (,5 1 0 On considère l onction g - -1 g( Clculer les imges de 0, 1,, 6, 7 pr g b Montrer que, si [ ;6 ],( pprtient à [ 1 ; ] En déduire le sens de vrition de g sur [ ;6 ] c Etudier le sens de vrition de g sur [ 6 ; [ Eercice 10: 6 Soit l onction déinie sur R { 1} pr ( 1 c 1 Déterminer,b et c tels que ( b 1 Etudier le sens de vrition de sur son ensemble de déinition 0, Déinir le mimum et le minimum de sur [ ] 4 Soit g l onction déinie pr ( 1 ( g ( g Déterminer Dg, puis l epression de osseini@mts-stnr Pge 16

17 Eercice 11: Les courbes ci-dessous sont celles des onctions u et v, respectivement sur [ 0,6] et sur [ 1,5] 1 Dresser leur tbleu de vrition En déduire le tbleu de vrition de l composée v u osseini@mts-stnr Pge 17