Devoir de synthèse n 1

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1 Mathématiques Lycée IBN KHALDOUN - RADES Devoir de sythèse 4 e Maths Mardi Durée : heures Prof : ABIDI Farid Exercice :(pts) Répodre par Vrai à Faux et avec justificatio à chacue des trois propositios suivates ) Soit f(x) = cos x alors, pour tout x > 0, f x cos x x ) Si adjacetes v est ue suite décroissate et covergete vers 0, alors les suites v et v ) Soit u réel de l itervalle,, l écriture expoetielle de i i ta Exercice : (5 poits) est sot cos e i Das le pla orieté, soit u rectagle ABCD tel que AB=AD et AB, AD O ote I et J les milieux respectifs des segmets [AB] et [CD] et K le symétrique de I par rapport à (DC) ) Motrer que le quadrilatère ICKD est u carré ) O pose f = S IC t AB S IJ a) Caractériser l'applicatio S BC S IJ b) E déduire que f est ue rotatio dot o précisera l'agle et le cetre ) O pose g = t S IK IC Motrer que g est la symétrie glissate d axe (AJ) et de vecteur IC M R M M g M 4) Pour tout poit M du pla, o pose et D, Motrer que M et M sot symétriques par rapport à la droite (IK) Exercice : (6 poits) Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormé direct O,u,v Soit l'équatio (E) : z z² - ia²z + 6ia² = 0 où a est ombre complexe o ul ) a- Vérifier est ue racie de (E) b- Résoudre das l'équatio (E) ) O désige par I, A, M' et M" les poits d'affixes,, (+i)a et (+i)a O pose a = x + iy avec x et y sot deux réel o uls à la fois a- Motrer que : ( A, M' et M" sot aligés ) si, et seulemet si, (a = i, où * ) b- Motrer que : ( AM' et AM sot orthogoaux) si, et seulemet si, ( a ) Page -

2 Mr ABIDI Farid Devoir de sythèse - Décembre 0 4M Das toute la suite de l exercice, o pred a = ( i) ) Motrer que le triagle AM'M" est équilatéral, de ses direct et de cetre I 4) Soit R la rotatio de cetre I qui trasforme A e M' et R' la rotatio de cetre A qui trasforme M' e M" a- Doer les écritures complexes de R et R' b- E déduire l écriture complexe de f = R R Caractériser f Exercice 4: (6 poits) Soit f ue foctio défiie et deux fois dérivables sur O doe la courbe représetative (C) de la foctio dérivée f ' de f (C) passe par les poits A(0,) et B(, ) L'axe des abscisses est ue asymptote à (C) O suppose que f() et que la courbe représetative ( Γ ) de f admet ue asymptote horizotale au voisiage de ) Par lecture graphique, répodre aux questios suivates: a) Détermier le ses de variatio de f b) ( Γ ) admet-elle u poit d'iflexio? Justifier votre répose c) Détermier f, et e déduire que f '(x) pour tout x ) Motrer que l'équatio f(x) = x admet ue solutio uique das, ) Motrer que pour tout x, f(x) x ) Soit u la suite réelle défiie sur par 0 u et u f u, pour tout etier aturel a) Motrer que pour tout etier aturel, o a : u b) Motrer que pour tout etier aturel, o a : u u c) E déduire que pour tout etier aturel, o a : u et calculer la limite de la suite u Page -

3 Mr ABIDI Farid Devoir de sythèse - Décembre 0 4M Exercice : ) Faux Corrigé E effet : Si f(x) = cos alors, pour tout x > 0, x f x cos si si x x x x x x ) Vrai E effet : Si v est ue suite décroissate et coverge vers 0 alors, v coverge vers 0 D où pour tout etier, v v et Aisi, les suites v et v sot adjacetes ) Vrai E effet : Soit u réel de l itervalle,, o a cos 0 Exercice : i i i i i i e e cos cos cos e i ta si i cos isi e cos est croissate et lim v v lim v 0 ) ABCD est u rectagle, I milieu de [AB] et J milieu de [CD] doc AIJD et IBCJ sot deux carrés isométriques et adjacets d où IC = ID et Page -

4 Mr ABIDI Farid Devoir de sythèse - Décembre 0 4M IC,ID IC,IJ IJ,ID doc le triagle ICD est isocèle et rectagle e I 4 4 Comme J est le symétrique de I par rapport à (CD) alors le quadrilatère ICKD est u carré ) Soit f = S IC t AB S IJ a) O a : t IJ BC doc IB S S t t BC IJ IB AB b) f = IC IJ IC BC IJ IJ IC BC S t S S S S S S S R R AB B, CB,CI B, ) O pose g = t S IK IC g = t S t S t t S IC IC IC t S IK IC ID IC ID IC AJ SIC SIC t S IC AJ Aisi, g est la symétrie glissate d axe (AJ) et de vecteur IC 4) Pour tout poit M du pla, o pose M t M et M gm AB M f M M f M doc M gm gf M g f M g f t S t S t t S t S t S S S S Car IC AJ AB AJ IC BA AJ ICBA AJ BJ AJ AJ IC IC S S t t IC t IC AJ doc BJ ID IC AJ BJ Aisi, M et M sot symétriques par rapport à la droite (IC) Exercice : Soit l'équatio (E) : z z² - ia²z + 6ia² = 0 où a est ombre complexe o ul ) a- ² - ia² + 6ia² = ia² + 6ia² = 0 doc est ue racie de (E) b- Pour tout z de, z z² - ia²z + 6ia² = (z )( z² + bz + c ) = z + (b )z² +(c b)z c D où par idetificatio : Par suite, (E) Or b b 0 c b ia c ia c 6ia z z ia 0 z ou z ia ia i a i a, alors les solutios de l équatio (E) sot :, (+i)a et -(+i)a ) O désige par I, A, M' et M" les poits d'affixes,, (+i)a et (+i)a O pose a = x + iy avec x et y sot deux réel o uls à la fois x y O a : ( + i) a = ( + i)(x + iy) = x y +i(x + y) doc AM x y et x y AM x y a- A, M' et M" sot aligés AM et AM sot coliéaires Page -

5 Mr ABIDI Farid Devoir de sythèse - Décembre 0 4M dét AM, AM 0 x y x y x y x y 0 x yx y x y 0 6(x y) 0 y x a x i Aisi : A, M' et M" sot aligés si, et seulemet si, (a = i, où * ) b- ( AM' et AM sot orthogoaux) AM AM 0 x y x y x y x y 0 x y x y x y 0 x y 9 x y 0 9 x y 9 0 x y x y a ) si a= ( i) alors ( + i)a= i i AM' = i et AM"= i IA IM IM z z z i i 0 doc IA IM IM 0 doc I est le cetre de gravité du triagle AM M i AM,AM arg arg arg arg i i i 4 i i i i arg 6 Doc le triagle AMM équilatéral et de ses direct 4) Soit R la rotatio de cetre I qui trasforme A e M' et R' la rotatio de cetre A qui trasforme M' e M" a- R est la rotatio de cetre I() et d agle doc l écriture complexe de la rotatio R est : i i i i i i z' e z z' e z z' e z e z' z R est la rotatio de cetre A() et d agle doc l écriture complexe de la rotatio R est : i i i i i i z' e z z' e z z' e z e z' z b- L écriture complexe de f = R R est : i i z' z Page -

6 Mr ABIDI Farid Devoir de sythèse - Décembre 0 4M i i z z avec i i z' z D où i i i i i i i z z z z Aisi, f est la symétrie cetrale de cetre J i Exercice 4: ) a) Pour tout x réel, f (x) > 0 doc f est strictemet croissate sur b) La foctio f admet u maximum e 0 doc la dérivée secode f de f s aule e 0 e chageat de sige d où la courbe ( Γ ) de f admet u poit d'iflexio d abscisse 0 c) f, lim fx,f 0, x O e déduit que pour tout x, 0 fx doc f '(x) ) Soit pour tout x, g(x) = f(x) x Page -

7 Mr ABIDI Farid Devoir de sythèse - Décembre 0 4M g est cotiue et dérivable sur, Pour tout x, g (x) = f (x) < 0 doc g est strictemet décroissate sur, g, lim g x,g lim f x x,f x x O a : d ue part : f() > alors f() > 0 et d autre part : la courbe (Γ) de f admet ue asymptote horizotale au voisiage de + doc la limite de f e + est fiie d où lim f x x Il e résulte : g,,f et 0 g, x Aisi, l équatio g(x) = 0 admet ue uique solutio α das, ) f est dérivable sur, et pour tout x de,, f '(x) Doc pour tout x, f(x) f x f x x ) Soit u la suite réelle défiie sur par 0 u et u f u, pour tout etier aturel a) O a : u0 doc u0 O suppose que : u, pour u certai rag, et o démotre que u u f u f u Comme est strictemet croissate sur alors : Doc pour tout etier aturel, u b) Pour tout etier aturel, u doc f u c) O a : u doc u 0 0 O suppose que : u u u u u 0 u u, doc u Or u u, pour u certai rag, et mo motre que : Page -

8 Mr ABIDI Farid Devoir de sythèse - Décembre 0 4M O coclue : pour tout etier aturel, o a : u Comme alors lim 0 Il e résulte : lim u 0 Page -