Cours - Méthodes. 1. Repérage sur le cercle trigonométrique. A. Enroulement de la droite numérique. B. Le radian. DÉFINITION : Cercle trigonométrique

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1 Dans ce chapitre, on munit le plan du repère orthonormé ;,.. Repérage sur le cercle trigonométrique A. Enroulement de la droite numérique DÉFNTN : Cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique C est le cercle de centre et de rayon. l est muni d un sens de parcours appelé sens direct, qui est le sens inverse des aiguilles d une montre. Avec ce choix, on dit que le plan est orienté. RAPPEL : Les points et sont situés sur le cercle trigonométrique. Soit K K K le point de coordonnées ; dans le repère ;,. La droite K a pour équation x =. C est une droite numérique pour laquelle on considère le repère ; K dont l origine est et tel que K =. n enroule la demi-droite K autour du cercle C dans le sens inverse des aiguilles d une montre. Ainsi, à tout nombre réel x positif correspond un unique point-image M sur le cercle C. Sur la figure, on voit K le point-image de K sur le cercle trigonométrique. En enroulant la demi-droite correspondant aux nombres réels négatifs dans le sens des aiguilles d une montre, on fait également correspondre à tout nombre réel x négatif un point M sur le cercle C. Dans chacun de ces deux cas, on dit que x a pour point-image M sur le cercle C. Si x est un nombre obtenu à partir de x en ajoutant ou en enlevant un nombre de tours k, k Z, alors x et x ont le même point-image sur C. Ainsi, un point du cercle est l image d une infinité de réels positifs et négatifs. PRPRÉTÉ Tout nombre réel x a un point-image unique sur le cercle C. S il existe k Z tel que x = x+k, alors x et x ont le même point-image sur le cercle C. B. Le radian DÉFNTN : Radian La mesure en radian d un angle est égale à la longueur de l arc du cercle trigonométrique qu il intercepte. β = rad 9 Chapitre G. Angles orientés et trigonométrie

2 Exemple Un angle plat 80 mesure exactement radians, soit environ, radians. NTATN : Le radian est noté rad. Cette notation est omise en général, contrairement à celle du degré. PRPRÉTÉ Les mesures des angles en degré et en radian sont proportionnelles. MÉTHDE Convertir entre degrés et radians Ex. p. 0 Calculer les nombres x, y et z dans le tableau suivant de conversion entre degrés et radians. Mesure en degré 0 0 y Mesure en radian 0 x z 80 0 = donc x = rad. rad est la moitié de rad, donc y est la moitié de 80 degrés, c est-à-dire y = 90 et z = = 5.. Mesures d un angle orienté DÉFNTN : Angle orienté Soit #» u et deux vecteurs non nuls. n définit les points M et N tels que #» M et #» N sont leurs représentants respectifs d origine. Soit M et N les points d intersection des demi-droites M et N avec le cercle trigonométrique. Soit x et y deux nombres réels qui ont pour points-images M et N, alors y x est une mesure en radian de l angle orienté #» u,. REMARQUES : #» Si M est le point-image du réel x, alors, M #» = x. Un angle orienté a une infinité de mesures différentes. Cependant, elles sont toutes égales à un nombre entier de fois près, c est-à-dire à un nombre k près k Z, ou encore modulo. n ne le notera pas systématiquement mais c est important de le savoir car une division ou une multiplication peut s avérer problématique. L équation x = + k est équivalente à x = + k. Cette égalité entre x et est alors réalisée modulo et non modulo. PRPRÉTÉ : Mesure principale L angle orienté #» u, a une unique mesure α dans l intervalle, ; appelée mesure principale. Exemple #» Dans le repère orthonormé ;,, on a l égalité, #» =. Chapitre G. Angles orientés et trigonométrie 95

3 MÉTHDE Déterminer la mesure principale d un angle orienté Ex. p. 0 Pour obtenir la mesure principale : soit la mesure de l angle est dans l intervalle ;, c est alors la mesure principale ; soit la mesure de l angle est strictement supérieure à. n retranche, plusieurs fois si nécessaire, jusqu à obtenir une mesure dans ; ; soit la mesure de l angle est inférieure ou égale à. n ajoute, plusieurs fois si nécessaire, jusqu à obtenir une mesure dans ;. #» u, = 9. Quelle est la mesure principale de l angle orienté #» u,? 9 n est pas la mesure principale de #» u, car 9 ;. Combien de fois faut-il retrancher pour obtenir la mesure principale? n retranche : 9 9 = = 7. Mais 7 ;. n retranche donc de nouveau : 7 7 = = 5. 5 ;. La mesure principale de 9 est donc 5. PRPRÉTÉS Relation de Chasles pour les angles Soit #» u, et #» w trois vecteurs non nuls, alors #» u, +, #» w = #» u, #» w. Caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs #» u et sont colinéaires si, et seulement si, #» u, = 0 ou #» u, =. REMARQUES : La relation de Chasles pour les angles orientés est plus difficile à utiliser, en pratique, que la relation de Chasles pour les vecteurs. En effet, on peut écrire AB, #» AC+ #» AC, #» AD #» = AB, #» AD. #» l est parfois intéressant dans les exercices d écrire que la somme des angles d un triangle est égale à dans le sens trigonométrique : AB, #» AC+ #» BC, #» BA+ #» CA, #» CB #» =. A #» u #» w AB, #» AD #» D C PRPRÉTÉ B Soit #» u et deux vecteurs non nuls., #» u, #» u = #» u, #» #» v u #» u, #» u, #» u #» u, = #» u, + #» u, #» u #» u, #» u #» u,, #» u #» u #» u, = #» u, #» u, #» u, = #» u, + 9 Chapitre G. Angles orientés et trigonométrie

4 PREUVE #» u, +, #» u = #» u, #» u d après la relation de Chasles. n a #» u, +, #» u = 0 et donc, #» u = #» u,. #» u, = #» u, #» u+ #» u, +, d après la relation de Chasles. r #» u, #» u =, = donc #» u, = + #» u, = #» u,. #» u, = #» u, #» u+ #» u, d après la relation de Chasles et #» u, #» u =. Donc #» u, = #» u, +. De la même manière qu en : #» u, = #» u, +, et, =. Donc #» u, = #» u, +. PRPRÉTÉ : Généralisation de la propriété précédente Soit #» u et deux { vecteurs non nuls et k et k deux nombres réels non nuls. #» u, si k et k de même signe k #» u, k = #» u, + sinon. EXEMPLES : #» u, = #» u, et #» u, = #» u, +.. Cosinus et sinus d un réel et d un angle orienté A. Repérage à l aide du cosinus et du sinus THÉRÈME : Coordonnées d un point du cercle trigonométrique Soit x un nombre réel et M le point-image de x sur le cercle trigonométrique C. Le point M a pour coordonnées cos x ; sin x. PREUVE Soit M le point-image d un réel x tel que x 0 ;. n note respectivement P et Q les projetés orthogonaux de M sur et. Dans le triangle PM rectangle en P : cos x = P. r M = donc P = cos x. M Par conséquent, le point M a pour abscisse cos x. n montre de même que sin x = PM M. r PM = Q et M =, on en déduit que Q = sin x et, par conséquent, M a pour ordonnée sin x. 0 ; Si x /, on peut démontrer le théorème en utilisant des symétries. Q x M P EXEMPLES : Le nombre réel 0 a pour point-image ; 0 donc cos 0 = et sin 0 = 0. Le nombre réel a pour point-image 0 ; donc cos = 0 et sin =. PRPRÉTÉS Pour tout nombre réel x et pour tout entier relatif k : cos x +sin x = cos x et sin x cosx+k = cos x et sinx+k = sin x Chapitre G. Angles orientés et trigonométrie 97

5 PREUVE Soit M le point-image du nombre réel x. Ses coordonnées sont cos x ; sin x et M C donc M =, ce qui se traduit par x M x +y M y = c est-à-dire cos x +sin x =, d où la conclusion. L égalité entraîne immédiatement cos x et sin x car les deux expressions cos x et sin x sont positives ou nulles. r quel que soit un réel, x est équivalent à x, d où le résultat. Soit M le point-image du nombre réel x+k. Les points M et M sont confondus. ls ont donc même abscisse et même ordonnée. MÉTHDE Calculer sin x quand on connaît cos x Ex. p. 0 n utilise l égalitécos x +sin x = pour calculer sin x. n détermine le signe de sin x en utilisant l intervalle auquel appartient x : si la mesure principale de x appartient à 0 ;, alors sin x > 0 ; sinon si la mesure principale de ; 0, alors sin x < 0. n conclut sur la valeur exacte de sin x. Calculer sin sachant que cos =. cos + sin = est équivalent à sin = cos soit sin = = =. Donc sin = r 0 ; donc sin > 0. En conclusion, sin =. ou sin = REMARQUE : n calcule la valeur exacte de sin x quand on connaît cos x de la même façon. Si la mesure principale de x ;, alors cos x 0 sinon cos x < 0. NTATN : n note souvent cos x et sin x au lieu de cos x etsin x.. VALEURS PARTCULÈRES : x 0 cos x sin x 0 REMARQUE : n note la symétrie du tableau. Elle est liée à la symétrie par rapport à la bissectrice de Î qui passe par le pointimage de. Pour mémoriser ce tableau, il suffit donc de se rappeler des trois valeurs suivantes :, et Chapitre G. Angles orientés et trigonométrie

6 B. Angles associés PRPRÉTÉ : Angles associés Pour tout nombre réel x : cos x = cos x sin x = sin x cos x = cos x sin x = sin x cos+x = cos x sin+x = sin x N x +x x Mx x x P + x Q x Pour tout nombre réel x : cos x = sin x sin x = cos x cos + x = sin x sin + x = cos x M + x M x + x Mx x x y = x Chapitre G. Angles orientés et trigonométrie 99

7 REMARQUE : Les points et sont symétriques respectivement de et de par rapport au point. Ce sont les points-images de et cos = cos = 0 : et sin = 0 sin. = MÉTHDE Calculer une mesure des angles associés Ex. p. 07 n sait que cos =. En déduire cos et cos. En appliquant directement la formule cos x = cos x, il vient cos De même, on peut remarquer également que = + et donc : cos = cos + = cos = car cos+x = cos x. C. Formules de duplication PRPRÉTÉ Quels que soient les nombres a et b : = cos =. cosa+b = cos a cos b sin a sin b sina+b = sin a cos b+sin b cos a cosa b = cos a cos b+sin a sin b sina b = sin a cos b sin b cos a PREUVE Admis ici. n obtient cette égalité à partir de l égalité en remplaçant b par b : cosa b = cosa+ b = cos a cos b sin a sin b = cos a cos b+sin a sin b sina+b = cos a+b = cos a b Et donc d après sina + b = cos a cos b+sin a sinb. cos r x = sin x sin x = cos x. n en déduit donc sina+b = sin a cos b+cos a sin b. n remplace b par b dans l égalité. Cela donne : sina b = sina+ b = sin a cos b+sin b cos a = sin a cos b sin b cos a PRPRÉTÉS cos a = cos a sin a = cos a = sin a sin a = sin a cos a PREUVE En remplaçant b par a dans la formule de la propriété précédente, on obtient la formule de duplication suivante : cos a = cos a sin a r cos a+sin a = donc on peut remplacer sin a par cos a dans la formule précédente et on obtient cos a = cos a cos a = cos a, formule qui a été conjecturée dans l activité p. 9. En remplaçant cos a par sin a, on obtient également : cos a = sin a sin a = sin a En remplaçant b par a dans la formule de la propriété précédente, on obtient la formule de duplication suivante : sin a = sin a cos a. 00 Chapitre G. Angles orientés et trigonométrie

8 MÉTHDE 5 Utiliser une formule de duplication Ex. 5 p. 07 n sait que cos x = 0,, calculer cos x. Calculer cos 8 à l aide de cos. En utilisation la propriété précédente : cos x = cos x = 0, = 0, 0 = 0, 98 n peut remarquer que = donc cos 8 = cos 8 = cos et on peut en déduire cos 8 8 en résolvant l équation précédente : = cos 8, soit cos 8 = +. r 0 8 ; donc cos 8 > 0 et on en déduit que cos 8 = +.. Équations et inéquations trigonométriques A. Équations cos x = a ou sin x = a avec a R MÉTHDE Résoudre cos x = a avec x R Ex. 9 p. 07 Cela revient à chercher les points-images sur le cercle dont l abscisse est égale à a. Pour résoudre l équation cos x = a pour x R, on résout d abord cette équation dans ;. Dans le cas général, a ;. l existe un unique nombre b dans 0 ; tel que a = cos b. Les solutions de cos x = cos b sont par conséquent b et b. Une valeur approchée de b peut être obtenue à l aide de la calculatrice : on met la calculatrice en mode radians puis on utilisey a. L ensemble des solutions dans R est obtenu en soustrayant ou en ajoutant un nombre entier de fois : b+k et b+k, k Z. b b a M M Résoudre dans ; puis dans R l équation cos x =. n sait que cos =. L équation cos x = cos a deux solutions dans l intervalle ; : et. Dans R, cette équation a une infinité de solutions. Les deux solutions précédentes sont encore valables plus toutes celles que l on obtient en ajoutant ou en soustrayant un nombre entier de fois. Les solutions sont + k et + k, k Z. Chapitre G. Angles orientés et trigonométrie 0

9 MÉTHDE 7 Résoudre sin x = a avec x R Ex. 50 p. 07 Pour résoudre l équation sin x = a pour x R, on résout d abord cette équation dans ;. Dans le cas général a ;, il existe un unique nombre b dans ; tel que a = sin b. L équation est donc équivalente à sin x = sin b, ce qui est équivalent à x = b ou x = b. L ensemble des solutions dans R est obtenu en soustrayant ou en ajoutant un nombre entier de fois : b+k et b+k, k Z. Résoudre l équation sin x = dans R. n remarque que l équation est équivalente à sin x = sin Les solutions de cette équation dans ; sont x = et x = = sur le cercle sont A et B. dont les points-images Les solutions dans R sont donc : + k et + k, k Z B A B. néquation du type cos x a ou sin x a avec a, intervalle donné MÉTHDE 8 Résoudre une inéquation trigonométrique Ex. 5 p. 07 Résoudre l inéquation cos x > dans ;. L équation cos x = est équivalente à cos x = cos dont les solutions dans ; sont et. Les nombres dont le point-image sur le cercle a une abscisse supérieure strictement à sont compris strictement entre et dans le sens trigonométrique. REMARQUES : L ensemble des solutions de l inéquation se lit donc sur le cercle : S = ;. Des cas particuliers peuvent se présenter, il faut faire attention à traduire cos x a resp. sin x a par : on cherche les nombres réels dont le point-image sur le cercle a une abscisse resp. ordonnée supérieure ou égale à a. L intervalle de résolution n est pas toujours ;. L intervalle 0 ; est un autre intervalle possible pour décrire le cercle trigonométrique. L ensemble des solutions de l inéquation cos x > dans 0 ; est S = 0 ; ;. C D 0 Chapitre G. Angles orientés et trigonométrie