Le Test et son Corrigé

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1 Géométrie, Génie Mécanique 3 avril 9 hugoparlier@epflch Le Test et son Corrigé Exercice 1 pts) Expliquer la notion de courbure orientée La notion de courbure orientée concerne les courbes planaires, c est à dire des courbes se trouvant dans R De plus, pour pouvoir parler de courbure orientée ces courbes doivent être régulières, c est à dire dérivable et avec un vecteur tangent non nul au point où l on calcul Pour une telle courbe c : I R, on définit la courbure orientée kc, t) au point ct) comme étant la quantité kc, t) = αt) ċt) où α : I R est une fonction angulaire une fonction continue qui exprime l angle entre le vecteur tangent et le vecteur e 1 ) En valeur absolue elle correspond à la courbure habituelle mais elle peut être négative Si elle est positive cela signifie que la courbe tourne dans le sens trigonométrique et si elle est négative cela signifie qu elle tourne dans le sens des aiguilles d une montre On peut aussi remarquer d autres choses sur la courbure orientée, comme par exemple le fait que l inverse de sa valeur, si elle est non-nulle, correspond, au signe près, au rayon du cercle de courbure Donc il faut prendre le corrigé au dessus comme un exemple d une bonne réponse mais pas la seule réponse possible

2 Exercice 1 pts) On considère la courbe régulière γ : I R 3 définie par où I = [, ln1)] γt) = e t sint), e t sint) + ), e t cost), t I a) Calculer la longueur de la courbe γ b) Donner le repère de Frenet {Tt), Nt), Bt)} γt) de la courbe γ c) Calculer la courbure κγ, t) et la torsion τγ, t) de la courbe γ au point γt) a) La longueur l de la courbe γ est donnée par On a l = ln1) γt) dt γt) = e t sint) + cost)), ) e t sint) + cost)), e t cost) sint)) Il vient γt) = e t sint) + cost)) + cost) sint)) ) = e t cos t) + sin t)) ) = 8 e t, d où γt) = e t On obtient l = ln1) e t dt = [ e t ] ln1) = 1 1) = b) Les vecteurs Tt), Nt) et Bt) du repère de Frenet de la courbe γ au point γt) sont donnés par γt) Tt) = γt), Nt) = Tt) Ṫt) et Bt) = Tt) Nt) Calculons Tt) On a γt) Tt) = γt) 1 = e t sint) + cost)), ) e t sint) + cost)), e t cost) sint)) e t = 1 sint) + cost), sint) + cost), ) cost) sint)) Calculons Nt) On a Tt) = 1 cost) sint), cost) sint), sint) + cost)) )

3 3 Il vient Ṫt) = 1 cost) sint)) + sint) + cost)) ) = 1 cos t) + sin t) )) = 1, d où Ṫt) = 1 On obtient Tt) Nt) = Ṫt) = 1 cost) sint), cost) sint), ) sint) + cost)) Enfin, calculons Bt) = Tt) Nt) Posons Bt) = B 1 t), B t), B 3 t)) On a B 1 t) = sint) + cost)) + cost) sint)) ) = cos t) + sin t) )) =, B t) = sint) + cost)) + cost) sint)) ) = cos t) + sin t) )) =, B 3 t) = 1 sint) + cost))cost) sint)) sint) + cost))cost) sint))) = ) Ainsi, Bt) =,, c) Calculons la courbure κγ, t) et la torsion τγ, t) de la courbe γ au point γt) On a κγ, t) = Ṫt) γt) = 1 e = t e t et Ḃt), Nt), Nt) τγ, t) = γt) = γt) =

4 Exercice 3 1 pts) On considère la droite D passant par les points p =, 3) et q = 6, ), ainsi que la symétrie σ D par rapport à D a) Trouver A O) et b R tels que: σ D x) = Ax + b b) Imaginons que le segment [p, q] soit un miroir Un observateur situé au point, voit-il les points 13, 3) et 13, ) dans le miroir? Justifier Indication: faire un dessin et calculer l image du point, par la symétrie σ D ) a) Notons α le plus petit angle entre la droite D et l axe Ox 1 Alors σ D x) = τ q ρ α σ 1 ρ α τ q x) On observe que α = arctan3/) de sorte que sinα) = 3/ et cosα) = / attention au sens) Ainsi, ) ) ) ) ) / 3/ 1 / 3/ 6 6 7/ / 18/ σ D x) = x )+ = x+ 3/ / 3/ / ) ) / 7/ 1/ b) Pour qu un point soit visible depuis le point dans le miroir, il faut que le segment qui relie σ D ) au point en question intersecte la droite D entre les points p et q ) ) ) 13 On calcule σ D ) = Notons D la droite passant par et L équation 3 de la droite D est donnée par x = 3/ x 1 +9/ et celle de D par x = /1 x 1 /1 ) En ) 16/9 résolvant ce système d équations, on obtient comme intersection le point 1/9, 7 ) 13 qui appartient donc au segment reliant p à q Ainsi, le point est visible dans le miroir 3 depuis le point ) ) 13 La droite passant par et est la droite y = de sorte que l intersection avec ) /3 la droite D se fait au point qui est à l extérieur du segement reliant p à q Ainsi, le ) 13 point n est pas visible dans le miroir depuis le point

5 Exercice 1 pts) Soit β : [, 1] R, la courbe définie par: a) Donner les points de contrôle de β βt) = + 9t + 6t t 3, 1t + 1t ) b) Dessiner la courbe en utilisant l algorithme de Casteljau) et dessiner les vecteurs tangents aux extrémités Quel est le signe de la courbure orientée de β? a) On note βt) = β 1 t), β t)) Il s agit d exprimer β i t) pour i = 1, dans la base {B t), B 1 t), B t), B 3 t)} des polynômes de Bernstein où Pour i = 1, on a B t) = 1 t) 3, B 1 t) = 31 t) t, B t) = 31 t)t, B 3 t) = t 3 β 1 t) = + 9t + 6t t 3 = b 1, B t) + b 1,1 B 1 t) + b 1, B t) + b 1,3 B 3 t) = b 1, 1 3t + 3t t 3 ) + b 1,1 3t 6t + 3t 3 ) + b 1, 3t 3t 3 ) + b 1,3 t 3 et, en identifiant les coefficients, on trouve le système suivant qu il faut résoudre : b 1, = 3b 1, +3b 1,1 = 9 3b 1, 6b 1,1 +3b 1, = 6 b 1, +3b 1,1 3b 1, +b 1,3 = d où b 1, = b 1,1 = 1 b 1, = 6 b 1,3 = 9 Pour i =, on procède de même : b, = 3b, +3b,1 = 3b, 6b,1 +3b, = 1 b, +3b,1 3b, +b,3 = d où b, = b,1 = b, = b,3 = 1 Ainsi, β i t) = 3 k= b i,kb k t) pour i = 1, et les points de contrôle sont alors donnés par voir le Théorème 18) : p = b 1,, b, ) =, ), p 1 = b 1,1, b,1 ) = 1, ), p = b 1,, b, ) = 6, ), p 3 = b 1,3, b,3 ) = 9, 1) b) Pour donner l allure de la courbe, on applique l algorithme de Casteljau ici il n y a pas de dessin, mais il faut faire comme dans le séries d exercices) Pour dessiner les vecteurs tangents, on calcule voir le Lemme 1) : β) = 3p 1 p ) p = 31, ), )) = 9, ), β1) = 3p 3 p ) p 3 = 39, 1) 6, )) = 9, 9) Comme β est convexe et parcourue de gauche à droite, sa courbure orientée est positive