Chapitre 10 Suites numériques. Table des matières. Chapitre 10 Suites numériques TABLE DES MATIÈRES page -1

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1 Chapitre 10 Suites numériques TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 10 Suites numériques Table des matières I Exercices I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I-7 II Cours II-1 1 Définition et modes de génération d une suite numérique II-1 1a Définition et vocabulaire II-1 1b Modes de générations d une suite II-1 1c Utilisation du tableur pour afficher les termes d une suite II-1 1d Exemples d algorithmes permettant de calculer un terme de rang donné.... II-2

2 Chapitre 10 Suites numériques TABLE DES MATIÈRES page -2 1e Exemples d algorithmes permettant d obtenir une liste de termes II-2 2 Suites arithmétiques II-2 2a Définition d une suite arithmétique II-2 2b Somme de termes successifs d une suite arithmétique II-2 3 Suites géométriques II-3 3a Définition d une suite géométrique II-3 3b Somme de termes successifs d une suite géométrique II-4 III Calculatrices III-1 1 TI III-1 1a Suites u n = f(n) III-1 1b Suites définies par récurrence u n+1 = f(u n ) III-2 2 CASIO III-3 2a Suites u n = f(n) III-3 2b Suites définies par récurrence u n+1 = f(u n ) III-4

3 Chapitre 10 Suites numériques I EXERCICES page I-1 I Exercices Modes de génération d une suite numérique. 1 Pour une école, quelqu un achète 50e de matériel et des stylos à 1,50epièce. On appelle n le nombre de stylos achetés et p n le montant total en euros pour n stylos achetés. A B 1 Nombre de stylos n Montant total Pn Partie A Suite et tableur Ouvrir un tableur et compléter la feuille de calcul pour que les nombres de stylos figurent dans la colonne A (0 ; 1 ; 2 ; etc. jusqu à 10) et les montants correspondants dans la colonne B. Voir ci-dessous. 1. Saisir 0 en A2, puis recopier vers le bas. 2. Saisir une formule en B2, puis recopier vers le bas. On dit que les montants successifs de la colonne B forment une suite numérique. 3. Écrire la formule saisie en B2 : Écrire p n en fonction de n : Partie B Représentation graphique Nous allons utiliser le tableur pour tracer la représentation graphique de la suite (p n ). Sélectionner d abord tout le tableau de A1 à B12, puis ouvrir le menu «Insertion» et cliquer sur «Diagramme...». 1. Type de diagramme : cliquer sur «Lignes» puis sur «Points seuls», puis sur «Suivant» 2. Plage de données Cocher «Série de données en colonnes», «1ère ligne comme étiquette», «1ère colonne comme étiquette» Cliquer sur «Suivant» 3. Série de données : cliquer sur «Suivant» 4. Éléments du diagramme : compléter comme c est indiqué ci-dessous. Titre : «Prix en fonction du nombre de stylos» ; Axe X : «Nombre de stylos n» ; Axe Y : «Prix» Cliquer sur «Terminer» 2 1. Cliquer sur l onglet Feuille 2 et afficher les valeurs successives de la suite définie par u n = 2n+1. On procédera de manière analogue, et on ira jusqu à n = Écrire la formule saisie en B2 : Quelle est cette suite de nombres? A B 1 n Un 2 0 3

4 Chapitre 10 Suites numériques I EXERCICES page I-2 3 La population d une ville en est de habitants. Chacune des années suivantes, la population augmente de 3 % par an, mais chaque année habitants quittent la ville. Ainsi chaque année, la population de l année précédente est multipliée par 1,03, puis on enlève Pour tout entier naturel n, on appelle u n la population de l année n. Cliquer sur l onglet Feuille 3. A B 1 n Un Compléter les cellules comme indiqué ci-dessous et compléter la colonne A jusqu à n = Dans la cellule B3, saisir la formule qui convient et la recopier vers le bas. 3. Recopier ici cette formule : Écrire les calculs détaillés de u 1, u 2, u Dans cette suite, chaque terme est calculé en fonction du précédent, autrement dit, pour tout entier naturel n, u n+1 est calculé en fonction de u n. Donner la formule de calcul de u n+1 en fonction de u n. 6. Tracer la représentation graphique de cette suite avec le tableur. Le mode d emploi a été donné dans la partie B de l exercice sur fiche n o 1. Les suites interviennent dans de nombreux domaines, par exemples : en arithmétique : la suite des nombres entiers naturels, des nombres pairs, des nombres impairs, des multiples de 5, des puissances de dix, etc. l évolution d une population (d habitants, de fourmis, de bactéries, etc.) dans la nature : certaine suites permettent de modéliser la forme de certains coquillages, certaines suites permetttent d approcher des nombres comme 2, π, des solutions d équations, etc. Il y deux façons de définir une suite. Définition en fonction de n : chaque terme u n est calculé en fonction de n, autrement dit, pour tout entier naturel n u n = f(n), comme dans les exercices 1 et 2. Définition par récurrence : chaque terme est calculé en fonction du précédent, autrement dit pour tout entier naturel n u n+1 = f(u n ), comme dans l exercice 3. 4 Cliquer sur l onglet Feuille 4. La suite (u n ) est définie pour tout entier naturel n par : u n+1 = 1 2 u n + 1 et u 0 = 3 1. Faire afficher les termes de cette suite jusqu à u 10, pour cela, procéder comme dans l exercice précédent, c est à dire compléter les cellules A1, A2, B1, B2 ; Compléter la colonne A jusqu à n = 10. Dans la cellule B3, saisir une formule et la recopier vers le bas. 2. Écrire les calculs détaillés de u 1, u 2, u 3.

5 Chapitre 10 Suites numériques I EXERCICES page I-3 5 La suite u est définie pour tout entier naturel n, u n = 6 1. Calculer u 0, u 1, u 2. 5n n On utilise un tableur pour calculer les termes successifs de la suite u (voir ci-contre). On saisit une formule dans la cellule B2 que l on recopie vers le bas jusqu à la cellule B4. a) Quelle formule faut-il saisir dans la cellule B2? b) Quelle formule apparaît dans la cellule B4? A B 1 n Un La suite u est définie par u 0 = et pour tout entier naturel n, u n+1 = 0, 95u n Calculer u 1, u 2, u On utilise un tableur pour calculer les termes successifs de la suite u (voir ci-contre). On saisit une formule dans la cellule B3 que l on recopie vers le bas jusqu à la cellule B4. a) Quelle formule faut-il saisir dans la cellule B3? b) Quelle formule apparaît dans la cellule B4? 1. Voici un algorithme : Entrée : un nombre entier naturel n Traitement u prend la valeur 2n + 1 Sortie : u. a) Exécuter cet algorithme pour n = 0, n = 1, n = 2, n = 3 A B 1 n Un n = 0 u = ; n = 1 u = ; n = 2 u = ; n = 3 u = b) Cet algorithme est lié à une suite, laquelle? c) Quand on entre un nombre entier naturel n, quel est le nombre affiché en sortie? 2. Voici un algorithme : Entrée : un nombre entier n Traitement u prend la valeur 1 Pour des valeurs de k allant de 1 à n de 1 en 1 u prend la valeur 2u + 1 Fin de la boucle «pour» Sortie : u. a) Exécuter cet algorithme pour n = 4. k u 1 b) Cet algorithme est lié à une suite, laquelle? c) Quand on entre un nombre entier naturel n, quel est le nombre affiché en sortie? d) Programmer cet algorithme dans AlgoBox ou à la calculatrice. e) Exécuter ce programme pour n = 20.

6 Chapitre 10 Suites numériques I EXERCICES page I Écrire l algorithme qui permet de calculer p n dans l exercice Même consigne pour u n dans chacun des exercices sur fiche n o 2, 3, 4. 9 La suite u est définie par u 0 = 4 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 3u n Calculer u 1, u 2, u Écrire l algorithme de calcul de u n. 3. Le programmer à la calculatrice. 4. Vérifier le programme pour n = 1, n = 2, n = Utiliser le programme pour calculer u 15 La suite u est définie pour tout entier naturel n, u n = n 2 4n Calculer u 0, u 1, u 2, u Écrire l algorithme de calcul de u n. Utiliser la fiche III CALCULATRICES qui permet d apprendre à utiliser la calculatrice pour étudier une suite (définir la suite, table de valeurs, graphique). Les deux exemples étudiés dans ces fiches sont 12 la suite définie par : u n = n2 2 + n 8 la suite définie par : u n+1 = 1, 2u n + 3 et u 0 = 0 Après les exemples de l exercice précédent, voici un exercice d entraînement : utiliser la calculatrice pour compléter ci-dessous. Pour CASIO : Recursion an=..., Start :..., End :..., a 0 : u n = n 3 5n 2 7 n 0 n Min= u(n )= u(n Min)= u 8 = u 9 = u n+1 = 3u n + 6 u 0 = 5 n Min= u(n )= u(n Min)= u 8 = u 9 = u n+1 = 1, 2u n 15 u 0 = 600 n Min= u(n )= u(n Min)= u u u n = n n n 0 n Min= u(n )= u(n Min)= u u

7 Chapitre 10 Suites numériques I EXERCICES page I-5 Suites arithmétiques. Une suite telle que l on passe d un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, s appelle une suite arithmétique de raison r. Autrement dit, pour tout entier naturel n, u n+1 = u n + r. 13 La suite u est la suite arithmétique de premier terme u 0 = 4 et de raison r = Donner la formule de récurrence, c est à dire, pour tout entier naturel n, donner u n+1 en fonction de u n. 2. Calculer u 1, u 2, u 3, u 4, u Indiquer la formule qui donne u n en fonction de n, pour tout entier naturel n. La suite u est la suite arithmétique de premier terme u 0 = 8 et de raison r = 0, Donner la formule de récurrence. 2. Écrire u n en fonction de n. 3. Calculer u 1, u 2, u 3, u La suite u est définie par u n = n 2 + 3n. a) Calculer u 0, u 1, u 2, u 3. b) La suite u est-elle arithmétique? Justifier par des calculs. 2. Mêmes consignes (a) et (b) pour les suites définies par : (a) u n = 5n (b) u n = 2n + 1 (c) u n = 1 n Dans chacun des cas suivants, u est une suite arithmétique u 0 = 5 r = 2 Calculer u u 1 = 7 r = 4 Calculer u u 7 = 4 r = 10 Calculer u 20. Calculer S = Indication : la somme S a été écrite ci-dessous de deux manières. Ajouter ensemble le premier terme du haut et le premier terme du bas, puis le deuxième terme du haut et le deuxième terme du bas, ainsi de suite jusqu au dernier terme du haut avec le dernier terme du bas. S = S = Calculer les sommes : 1. S = S = S =

8 Chapitre 10 Suites numériques I EXERCICES page I-6 19 La suite u est arithmétique. u 0 = 5 r = 3 Calculer : S = u u Calculer la somme : S = = (u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 = 6 et de raison 7. a) Calculer S = u 0 + u 1 = + u 43 b) Calculer S = u 7 + u 8 = + u 72 Suites géométriques. Une suite telle que l on passe d un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, s appelle une suite géométrique de raison q. Autrement dit, pour tout entier naturel n, u n+1 = qu n. 21 La suite u est la suite géométrique de premier terme u 0 = 5 et de raison q = Donner la formule de récurrence, c est à dire, pour tout entier naturel n, donner u n+1 en fonction de u n. 2. Calculer u 1, u 2, u 3, u 4, u Indiquer la formule qui donne u n en fonction de n, pour tout entier naturel n. La suite u est la suite géométrique de premier terme u 0 = 10 et de raison q = 0, Donner la formule de récurrence. 2. Écrire u n en fonction de n. 3. Calculer u 1, u 2, u 3, u La suite u est définie par u n = n 2 + n. a) Calculer u 0, u 1, u 2, u 3. b) La suite u est-elle géométrique? Justifier par des calculs. 2. Mêmes consignes (a) et (b) pour les suites définies par : (a) u n = 4 n (b) u n = 3n 1 (c) u n = 7 0, 3 n Dans chacun des cas suivants, u est une suite géométrique. 1. u 0 = 3 q = 6 Calculer u u 1 = 5 q = 0, 3 Calculer u u 15 = 4 q = 0, 1 Calculer u 23.

9 Chapitre 10 Suites numériques I EXERCICES page I-7 25 Un article coûte 65eet augmente chaque année de 3 %. On appelle p 0 le prix de départ (p 0 = 65), et p n le prix après n années. 1. Calculer p 1, p 2, p Ces prix forment-ils une suite géométrique? Justifier. 3. Calculer le prix après 7 ans. 4. Après combien d années ce prix dépassera-t-il 100 euros? 26 Calculer en fonction de q la somme : S = 1 + q + q q 30 Indication : développer (1 q)(1 + q + q q 30 ) 27 Calculer les sommes : 1. S 1 = ; 2. S 2 = 1 + 0, 8 + 0, , 8 7 (arrondir à 0,001 près). 28 La suite u est géométrique. u 0 = 5 q = 3 Calculer : S = u u 15

10 Chapitre 10 Suites numériques II COURS page II-1 II Cours 1 Définition et modes de génération d une suite numérique. Le programme de mathématiques de 1 re S indique qu un élève doit savoir 1a modéliser et étudier une situation à l aide de suites ; mettre en œuvre des algorithmes permettant : d obtenir une liste de termes d une suite ; de calculer un terme de rang donné. Définition et vocabulaire Rappel : l ensemble IN est l ensemble des nombres entiers positifs ou nul, on dit aussi «ensemble des nombres entiers naturels». Définition Une suite numérique u est une fonction définie sur IN. L image d un entier naturel n par u est notée u(n) ou u n. Vocabulaire Un nombre n est appelé le rang et u n est appelé terme de rang n. 1b Modes de générations d une suite Il y deux façons de définir une suite : par une relation u n = f(n), ou relation explicite ; par une relation u n+1 = f(u n ), ou relation de récurrence. Exemple 1 (relation u n = f(n) ou relation explicite) u(n) = , 5n ou u n = , 5n u 0 = , 5 0 = 50 u 1 = , 5 1 = 51, 5 u 2 = , 5 2 = 53 Exemple 2 (relation u n+1 = f(u n ) ou relation de récurrence) u 0 = 1 et u n+1 = 2u n + 1 u 0 = 1 u 1 = 2 u = = 3 u 2 = 2 u = = 7 u 3 = 2 u = = 15 Une suite où, pour tout entier naturel n, chaque terme u n est écrit en fonction de n, c est à dire u n = f(n), est une suite définie par une relation explicite. Une suite où chaque terme est défini en fonction du précédent, c est à dire u n+1 = f(u n ) est une suite définie par une relation de récurrence. 1c Utilisation du tableur pour afficher les termes d une suite Relation explicite u n = f(n) Relation par récurrence u n+1 = f(u n ) Exemple 1 : u n = , 5n A B 1 n Un , Formule dans la cellule B2 : =50+1,5*A2 Exemple 2 : u 0 = 1 et u n+1 = 2u n + 1 A B 1 n Un Formule dans la cellule B2 : =2*B2+1

11 Chapitre 10 Suites numériques II COURS page II-2 1d Exemples d algorithmes permettant de calculer un terme de rang donné. Relation explicite u n = f(n) Relation par récurrence u n+1 = f(u n ) Exemple 1 : u n = , 5n Exemple 2 : u 0 = 1 et u n+1 = 2u n + 1 Saisir n u prend la valeur , 5n Afficher u. 1e u prend la valeur 1 Saisir n Pour des valeurs de k allant de 1 à n de 1 en 1 u prend la valeur 2u + 1 Fin de la boucle «pour» Afficher u. Exemples d algorithmes permettant d obtenir une liste de termes. Les deux exemples ci-dessous reprennent les mêmes suites que précédemment, et chacun des deux algorithmes a pour but d afficher une liste de termes, de u p à u n (p n). Relation explicite u n = f(n) Relation par récurrence u n+1 = f(u n ) Exemple 1 : u n = , 5n Exemple 2 : u 0 = 1 et u n+1 = 2u n + 1 u prend la valeur 1 Saisir p et n Saisir p et n Pour des valeurs de k allant de p à n de 1 en 1 Pour des valeurs de k allant de 1 à n de 1 en 1 u prend la valeur , 5n u prend la valeur 2u + 1 Afficher u Si k p afficher u Fin de la boucle «pour» Fin de la boucle «pour» 2 Suites arithmétiques. 2a Définition d une suite arithmétique Définition Une suite telle que l on passe d un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, s appelle une suite arithmétique de raison r. Relation de récurrence pour une suite arithmétique : Pour tout n IN, u n+1 = u n + r Relation explicite pour une suite arithmétique 2b Si u 0 est le premier terme de la suite, pour tout n IN, u n = u 0 + nr ; si u p est le premier terme de la suite, pour tout n p, u n = u p + (n p)r. Somme de termes successifs d une suite arithmétique Somme des entiers de 1 à n Le programme de mathématiques de 1 re S indique qu un élève doit savoir établir et connaître la formule donnant n. Propriété Pour tout entier naturel n 1, on a l égalité : n = Démonstration n(n + 1) 2 Appelons S la somme n, et écrivons cette somme de deux manières : S = (n 1) + n S = n + (n 1)

12 Chapitre 10 Suites numériques II COURS page II-3 Additionnons ces deux égalités membre à membre, on obtient : 2S = (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) + (n + 1) Or le terme n + 1 apparaît n fois dans la somme ci-dessus, donc : n(n + 1) 2S = n(n + 1), par conséquent, on obtient bien : S = 2 Exemples de calculs de sommes de termes successifs d une suite arithmétique 237 ( ) Exemple 1 : = = Exemple 2 La suite u est la suite arithmétique de premier terme u 0 = 5 et de raison r = 3. On veut calculer la somme : S = u 0 + u 1 + u u 38. S = 5 + ( ) + ( ) + + ( ) S = S = ( ) = = Le calcul précédent peut être effectué plus rapidement à l aide de la formule ci-dessous. Propriété La somme S de termes successifs d une suite arithmétique est donnée par l égalité : Nombre de termes (premier terme + dernier terme) S = 2 Reprenons le calcul précédent (suite arithmétique u, u 0 = 5, raison r = 3). S = u 0 + u 1 + u u 38. Nombre de termes : = 39 1er terme : u 0 = 5 dernier terme : u 38 = = ( ) S = = Suites géométriques. 3a Définition d une suite géométrique Définition Une suite telle que l on passe d un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, s appelle une suite géométrique de raison q. Relation de récurrence pour une suite géométrique : Relation explicite pour une suite géométrique si v 0 est le premier terme de la suite : v n = v 0 q n ; si v p est le premier terme de la suite : v n = v p q n p. Pour tout n IN, v n+1 = q v n

13 Chapitre 10 Suites numériques II COURS page II-4 3b Somme de termes successifs d une suite géométrique Somme 1 + q + q q n Le programme de mathématiques de 1 re S indique qu un élève doit savoir établir et connaître les formules donnant 1 + q + + q n. Propriété Pour tout nombre q 1 et pour tout entier naturel n, 1 + q + q q n = 1 qn+1 1 q Démonstration Développons l expression (1 q)(1 + q + q q n ) en disposant ainsi : 1 + q + q q n 1 + q n q q 2 q n q n+1 Tous les termes s annulent deux par deux, sauf le premier et le dernier, on obtient donc : (1 q)(1 + q + q q n ) = 1 q n+1 Puisque q 1, 1 q n est pas nul donc on obtient bien : 1 + q + q q n = 1 qn+1 1 q Exemples de calculs de sommes de termes successifs d une suite géométrique Exemple 1 : = Exemple 2 = = La suite u est la suite géométrique de premier terme u 0 = et de raison q = 1, 06. Calculons la somme u 0 + u u , , , = (1 + 1, , , ) 1 1, 0660 = , 06 Le calcul précédent peut être effectué plus rapidement à l aide de la formule ci-dessous. Propriété La somme S de termes successifs d une suite géométrique est donnée par l égalité : de termes 1 qnombre S = premier terme 1 q Reprenons le calcul précédent (suite géométrique u, u 0 = 1 000, raison q = 1, 06). S = u 0 + u 1 + u u 59. Nombre de termes : = 60 1er terme : u 0 = S = , ,

14 Chapitre 10 Suites numériques III CALCULATRICES page III-1 III Calculatrices 1 TI 82 Lire les explications ci-dessous. Il y a aussi des explications dans le manuel de mathématiques Hyperbole 1 re S page II (rabat de couverture en début de manuel). 1a Suites u n = f(n) Le mode suite Appuyer sur la touche mode puis, sur la 4 e ligne, sélectionner Suit (ou Seq) au lieu de Fct. Prenons comme exemple la suite définie par : u n = n2 2 + n 8 Définition de la suite Appuyer sur la touche f(x), et compléter ainsi nmin=0 u(n)=n 2 /2+n 8 umin= Pour obtenir n, appuyer sur x, t, θ, n. Tableau de valeurs Appuyer sur 2nde [déftable], et compléter ainsi DébTable=0 PasTable=1 Appuyer sur 2nde [table] pour obtenir le tableau de valeurs. Représentation graphique Appuyer sur 2nde [format], et sélectionner f(n) (ou time) en haut à gauche. Appuyer sur fenêtre et compléter comme cela est indiqué ci-dessous, dans la colonne «Écran». Écran nmin=0 nmax=20 PremPoint=1 Pas=1 Xmin=0 Xmax=20 Xgrad=2 Ymin=-70 Ymax=220 Ygrad=50 Explications valeur minimale de n valeur maximale de n même valeur que nmin même valeur que nmax unité de graduation sur l axe (Ox) utiliser le tableau de valeurs (table) pour déterminer Ymin et Ymax unité de graduation sur l axe (Oy) Appuyer sur graphe : on voit alors la représentation graphique de la suite sous la forme d un nuage de points.

15 Chapitre 10 Suites numériques III CALCULATRICES page III-2 1b Suites définies par récurrence u n+1 = f(u n ) Le mode suite : appuyer sur la touche mode, sélectionner Suit au lieu de Fct sur la 4 e ligne. Prenons comme exemple la suite définie par : u n+1 = 1, 2u n + 3 et u 0 = 0 Définition de la suite Appuyer sur la touche f(x), et compléter ainsi nmin=0 u(n)=1.2u(n-1)+3 u(nmin)=0 Pour obtenir u, appuyer sur 2nde [u n ], et pour obtenir n, appuyer sur x, t, θ, n. Tableau de valeurs : 2nde [déftable] (DébTable=0 PasTable=1), puis 2nde [table]. Représentation graphique en nuage de points (exemple : u n+1 = 1, 2u n + 3 et u 0 = 0). On procède comme cela est indiqué plus haut, c est à dire : appuyer sur 2nde [format], sélectionner f(n) en haut à gauche ; appuyer sur fenêtre et saisir les valeurs ci-dessous : nmin=0 nmax=10 Xmin=0 Xmax=10 Xgrad=1 Ymin=-20 Ymax=80 Ygrad=10 appuyer sur graphe. Représentation graphique en escalier ou en spirale (exemple : u n+1 = 1, 2u n + 3 et u 0 = 0). Régler la calculatrice en mode suite. Définir la suite par récurrence comme précédemment. Appuyer sur 2nde [format], et sélectionner Esc en haut. Appuyer sur fenêtre. Choisir les valeurs minimale et maximale de n. Pour notre exemple : nmin=0 nmax=10. Choisir les mêmes valeurs pour Xmin et Ymin et les mêmes valeurs pour Xmax et Ymax, en s aidant du tableau de valeurs (table). Pour notre exemple : Xmin=-20 Xmax=80 Xgrad=10 Ymin=-20 Ymax=80 Ygrad=10 Appuyer sur graphe On voit alors se tracer la droite d équation y = x et la courbe représentative de la fonction f. Appuyer sur trace, puis plusieurs fois sur, ce qui trace un escalier ou une spirale.

16 Chapitre 10 Suites numériques III CALCULATRICES page III-3 2 CASIO Lire les explications ci-dessous. Il y a aussi des explications dans le manuel de mathématiques Hyperbole 1 re S page IV (rabat de couverture en fin de manuel). 2a Suites u n = f(n) Le mode suite : appuyer sur la touche MENU, choisir RECUR appuyer sur la touche EXE. Appuyer sur F3 (TYPE), puis sur F1 (a n ). Prenons comme exemple la suite définie par : u n = n2 2 + n 8 Définition de la suite Compléter l écran ainsi : Recursion an=n 2 2+n 8 (pour la lettre n, appuyer sur F4 puis sur F1 ). Appuyer ensuite sur EXE. Valeurs minimale et maximale de n : appuyer sur F5 (SET) et compléter ainsi : Start:0 End :20 puis sortir avec la touche EXIT. Tableau de valeurs : appuyer sur F6 (TABL). Représentation graphique Ne pas sortir de l écran du tableau de valeurs. Appuyer sur SHIFT [V-Window], puis régler les valeurs de la fenêtre comme cela est indiqué cidessous, dans la colonne «Écran». Écran Explications Xmin :0 valeur minimale de n max :20 valeur maximale de n scale:2 unité de graduation sur l axe (Ox) dot : laisser la valeur indiquée Ymin :-70 utiliser le tableau de valeurs (table) pour déterminer Ymin et Ymax max :220 scale:50 unité de graduation sur l axe (Oy) Sortir avec EXIT. Appuyer sur F6 (G.PLT). On voit alors la représentation graphique de la suite sous la forme d un nuage de points.

17 Chapitre 10 Suites numériques III CALCULATRICES page III-4 2b Suites définies par récurrence u n+1 = f(u n ) Appuyer sur la touche MENU et choisir RECUR Appuyer sur F3 (TYPE), puis sur F2 (a n+1 ). Prenons comme exemple la suite définie par : u n+1 = 1, 2u n + 3 et u 0 = 0 Définition de la suite Compléter l écran ainsi : Recursion a n+1 =1.2a n +3 (pour obtenir a n, appuyer sur F2 ). Appuyer ensuite sur EXE. Valeurs minimale et maximale de n et valeur de u 0 : F5 (SET), et compléter ainsi : Start:0 End :10 a 0 :0 puis sortir avec la touche EXIT. Tableau de valeurs : appuyer sur F6 (TABL). Représentation graphique en nuage de points (exemple : u n+1 = 1, 2u n + 3 et u 0 = 0). Revenir à l écran où l on voit en haut de l écran : Recursion On procède comme cela est indiqué plus haut, c est à dire : appuyer sur F5 (SET), et compléter ainsi : Start:0 End :10 a 0 :0 puis EXIT, appuyer sur SHIFT [V-Window], et saisir les valeurs ci-dessous : Xmin=0 max=10 scale=1 Ymin=-20 max=80 scale=10 puis EXIT, appuyer sur F6 (TABL), puis sur F6 (G.PLT). Représentation graphique en escalier ou en spirale (exemple : u n+1 = 1, 2u n + 3 et u 0 = 0). Revenir à l écran où l on voit en haut de l écran : Recursion Appuyer sur F5 (SET), et compléter ainsi : Start:0 End :10 a 0 :0 puis EXIT. Appuyer sur SHIFT [V-Window], et saisir les valeurs ci-dessous : Xmin=-20 max=80 scale=10 Ymin=-20 max=80 scale=10 puis EXIT, Appuyer sur F6 (TABL), puis sur appuyer sur F4 (WEB), on voit alors se tracer la droite d équation y = x et la courbe représentative de la fonction f. Appuyer plusieurs fois sur EXE ce qui trace un escalier ou une spirale.