C*-algèbres et Théorie des Ensembles

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1 C*-algèbres et Théorie des Ensembles Brice Minaud Paris 7, 14 mars

2 Plan 1 Définition des C*-algèbres Espace de Hilbert Opérateurs bornés Définition Exemples 2 Propriétés de base Quelques définitions Théorème spectral États 3 Filtres quantiques États diagonalisés Ultrafiltres quantiques Hypothèses ensemblistes 4 Autres exemples 2

3 Définition des C*-algèbres Définition des C*-algèbres 3

4 Définition des C*-algèbres Espace de Hilbert Espace de Hilbert Espace de Hilbert Un Espace de Hilbert est un espace vectoriel réel ou complexe muni d un produit scalaire complet (par rapport à la norme associée au produit scalaire) 4

5 Définition des C*-algèbres Espace de Hilbert Espace de Hilbert Espace de Hilbert Un Espace de Hilbert est un espace vectoriel réel ou complexe muni d un produit scalaire complet (par rapport à la norme associée au produit scalaire) En particulier un espace de Hilbert est entièrement déterminé par la cardinalité d une base (= sa caractéristique, cardinalité minimale d un sous-ensemble dense). On dit souvent un espace de Hilbert séparable mais en fait il n y en a qu un seul, l 2 (N). 4

6 Définition des C*-algèbres Opérateurs bornés Opérateurs bornés sur un espace de Hilbert Opérateur Un opérateur sur un espace de Hilbert H est une fonction linéaire H H. Les opérateurs sont munis de la norme : T = sup{ T ξ : ξ H, ξ = 1} 5

7 Définition des C*-algèbres Opérateurs bornés Opérateurs bornés sur un espace de Hilbert Opérateur Un opérateur sur un espace de Hilbert H est une fonction linéaire H H. Les opérateurs sont munis de la norme : T = sup{ T ξ : ξ H, ξ = 1} Opérateur borné Un opérateur T est dit borné ssi T <. On note B(H) l ensemble des opérateurs bornés sur H. On s intéresse aux opérateurs bornés parce qu un opérateur est borné ssi il est continu ssi il est définissable partout. C est la bonne généralisation du cas de dimension finie. 5

8 Définition des C*-algèbres Opérateurs bornés et matrices Opérateurs bornés Sur un espace de Hilbert, on peut prendre une base orthnormale. Soit κ sa cardinalité. Si H est séparable κ = ω. Les vecteurs de H sont les suites de l 2 (κ). B(H) est l ensemble des matrices complexes de taille κ κ de norme bornée (en particulier, lignes et colonnes sont dans l 2 ). 6

9 Définition des C*-algèbres L opération Opérateurs bornés L opération Étant donné un opérateur T, l opérateur T est l opérateur tel que : ξ, ν H, T ξ ν = ξ T ν On appelle T l adjoint de T. 7

10 Définition des C*-algèbres L opération Opérateurs bornés L opération Étant donné un opérateur T, l opérateur T est l opérateur tel que : ξ, ν H, T ξ ν = ξ T ν On appelle T l adjoint de T. L égalité ci-dessus définit entièrement T puisqu un opérateur A est entièrement déterminé par les valeurs Ae 1 e 2 pour e 1, e 2 parcourant une base de H (i.e. sa matrice). On peut vérifier que T est un opérateur linéaire et borné. En fait, si on confond un opérateur avec sa matrice, T est la transconjuguée de T, i.e. la matrice définie par T i,j = T j,i. 7

11 Définition des C*-algèbres Définition C -algèbre : définition concrète Définition Une C -algèbre concrète est une sous-algèbre complète de B(H) pour un certain espace de Hilbert H. Dans le contexte des C -algèbres, quand on parle de sous-algèbre, on sous-entend que l opération est aussi préservée. Pour cette présentation on va aussi supposer que les C -algèbre considérées possèdent une unité. 8

12 Définition des C*-algèbres Définition C -algèbre : définition abstraite Définition Une C -algèbre abstraite est un espace de Banach (espace vectoriel normé complet) réel ou complexe muni d un produit compatible avec la norme : AB A B On parle d algèbre ou C-algèbre de Banach ; 9

13 Définition des C*-algèbres Définition C -algèbre : définition abstraite Définition Une C -algèbre abstraite est un espace de Banach (espace vectoriel normé complet) réel ou complexe muni d un produit compatible avec la norme : AB A B On parle d algèbre ou C-algèbre de Banach ; muni d une fonction lineaire notée satisfaisant (A ) = A, (AB) = B A et A = A On parle alors d algèbre ou C-algèbre de Banach avec involution ; 9

14 Définition des C*-algèbres Définition C -algèbre : définition abstraite Définition Une C -algèbre abstraite est un espace de Banach (espace vectoriel normé complet) réel ou complexe muni d un produit compatible avec la norme : AB A B On parle d algèbre ou C-algèbre de Banach ; muni d une fonction lineaire notée satisfaisant (A ) = A, (AB) = B A et A = A On parle alors d algèbre ou C-algèbre de Banach avec involution ; satisfaisant en plus A A = A 2, dite l égalité C. 9

15 Définition des C*-algèbres Définition C -algèbre : équivalence des définitions On remarque que les C -algèbres sont des C -algèbres abstraites : elles satisfont chacun des axiomes requis. Inversement : Théorème (Gelfand, Naimark, Segal) Toute C -algèbre abstraite est isomorphe à une C -algèbre concrète. Les deux définitions sont donc équivalentes. 10

16 Définition des C*-algèbres Exemples de C -algèbres Exemples Matrices finies. B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple l 2 ou L 2 ). 11

17 Définition des C*-algèbres Exemples de C -algèbres Exemples Matrices finies. B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple l 2 ou L 2 ). l avec le produit point par point et (x i ) = (x i ). 11

18 Définition des C*-algèbres Exemples de C -algèbres Exemples Matrices finies. B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple l 2 ou L 2 ). l avec le produit point par point et (x i ) = (x i ). L idéal K(H) des opérateurs compacts, c est-à-dire la clôture des opérateurs dont l image est de dimension finie. Pour H séparable, A K(H) ssi les approximations finies A Proj span{ei,i n} de A tendent vers A en norme. 11

19 Définition des C*-algèbres Exemples de C -algèbres Exemples Matrices finies. B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple l 2 ou L 2 ). l avec le produit point par point et (x i ) = (x i ). L idéal K(H) des opérateurs compacts, c est-à-dire la clôture des opérateurs dont l image est de dimension finie. Pour H séparable, A K(H) ssi les approximations finies A Proj span{ei,i n} de A tendent vers A en norme. L algèbre de Calkin C(H) = B(H)/K(H) des opérateurs modulo compact. Pour H séparable, analogue au quotient P(ω)/FIN de P(ω) par les ensembles finis. 11

20 Définition des C*-algèbres Exemples de C -algèbres Exemples Matrices finies. B(H) pour un espace de Hilbert H (par exemple l 2 ou L 2 ). l avec le produit point par point et (x i ) = (x i ). L idéal K(H) des opérateurs compacts, c est-à-dire la clôture des opérateurs dont l image est de dimension finie. Pour H séparable, A K(H) ssi les approximations finies A Proj span{ei,i n} de A tendent vers A en norme. L algèbre de Calkin C(H) = B(H)/K(H) des opérateurs modulo compact. Pour H séparable, analogue au quotient P(ω)/FIN de P(ω) par les ensembles finis. C(X) l ensemble des fonctions continues sur un espace compact X, avec le produit usuel et l involution f = f. Toute C -algèbre abélienne est de cette forme. 11

21 Propriétés de base Propriétés de base 12

22 Propriétés de base Quelques définitions Quelques définitions Soit A un opérateur. A est normal ssi A A = AA. A est auto-adjoint ssi A = A. A est positif ssi Aξ ξ 0 pour tout ξ H, ssi A = B B pour un certain B. A est une projection ssi c est une projection orthogonale sur un sous-espace clos, ssi P 2 = P = P. 13

23 Propriétés de base Théorème spectral Théorème spectral Spectre Le spectre d un opérateur A est l ensemble des λ C tels que A λid n est pas inversible. Le spectre d un opérateur est un sous-ensemble compact de C. 14

24 Propriétés de base Théorème spectral Théorème spectral Spectre Le spectre d un opérateur A est l ensemble des λ C tels que A λid n est pas inversible. Le spectre d un opérateur est un sous-ensemble compact de C. Théorème spectral (faible) Si A est un opérateur normal, l algèbre C (A, Id) engendrée par A et l identité est isomorphe à C(σ(A)). 14

25 Propriétés de base Théorème spectral Théorème spectral Spectre Le spectre d un opérateur A est l ensemble des λ C tels que A λid n est pas inversible. Le spectre d un opérateur est un sous-ensemble compact de C. Théorème spectral (faible) Si A est un opérateur normal, l algèbre C (A, Id) engendrée par A et l identité est isomorphe à C(σ(A)). Théorème spectral Si A est une C -algèbre abélienne, A est isomorphe à l ensembles C(X) des fonctions continues sur l espace compact X des homomorphismes A C (munis de la topologie weak ). 14

26 Propriétés de base États États Définition Un état d une C -algèbre A est une forme linéaire continue φ : A C positive, c est-à-dire que l image d un opérateur positif est dans R + ; de norme 1, pour la norme φ = sup{ φ(a) : A = 1}. 15

27 Propriétés de base États États Définition Un état d une C -algèbre A est une forme linéaire continue φ : A C positive, c est-à-dire que l image d un opérateur positif est dans R + ; de norme 1, pour la norme φ = sup{ φ(a) : A = 1}. Les états forment un ensemble convexe. Un état est dit pur ssi c est un point extrême de cet ensemble. 15

28 Propriétés de base États États Définition Un état d une C -algèbre A est une forme linéaire continue φ : A C positive, c est-à-dire que l image d un opérateur positif est dans R + ; de norme 1, pour la norme φ = sup{ φ(a) : A = 1}. Les états forment un ensemble convexe. Un état est dit pur ssi c est un point extrême de cet ensemble. Par exemple dans B(H), si on fixe un vecteur unitaire ξ, la forme A Aξ ξ est un état (d ailleurs pur). Dans C(X), un état est l intégration suivant une mesure de probabilité, et un état est pur ssi c est l évaluation en un point. 15

29 Filtres quantiques Filtres quantiques 16

30 Filtres quantiques État diagonalisé États diagonalisés On se place maintenant dans B(H) pour H séparable. On a déjà noté qu à chaque vecteur unitaire ξ est associé un état pur, dit état vectoriel, A Aξ ξ. 17

31 Filtres quantiques État diagonalisé États diagonalisés On se place maintenant dans B(H) pour H séparable. On a déjà noté qu à chaque vecteur unitaire ξ est associé un état pur, dit état vectoriel, A Aξ ξ. Définition Soit (e i ) i N une base orthonormale de H, et U un utrafiltre sur N. L état : A lim U Ae i e i est dit diagonalisé par la base (e i ) i N. 17

32 Filtres quantiques État diagonalisé États diagonalisés On se place maintenant dans B(H) pour H séparable. On a déjà noté qu à chaque vecteur unitaire ξ est associé un état pur, dit état vectoriel, A Aξ ξ. Définition Soit (e i ) i N une base orthonormale de H, et U un utrafiltre sur N. L état : A lim U Ae i e i est dit diagonalisé par la base (e i ) i N. Théorème (Anderson) Un état diagonalisé est pur. 17

33 Filtres quantiques État diagonalisé États diagonalisés On se place maintenant dans B(H) pour H séparable. On a déjà noté qu à chaque vecteur unitaire ξ est associé un état pur, dit état vectoriel, A Aξ ξ. Définition Soit (e i ) i N une base orthonormale de H, et U un utrafiltre sur N. L état : A lim U Ae i e i est dit diagonalisé par la base (e i ) i N. Théorème (Anderson) Un état diagonalisé est pur. Conjecture (Anderson) Tout état pur de B(H) est diagonalisable. 17

34 Filtres quantiques Filtres quantiques sur B(H) Ultrafiltres quantiques Définition (Farah, Weaver) Un filtre quantique F est un ensemble de projections de B(H) tel que pour tout sous-ensemble fini P 1,..., P n F, P 1 P 2 P n = 1 18

35 Filtres quantiques Filtres quantiques sur B(H) Ultrafiltres quantiques Définition (Farah, Weaver) Un filtre quantique F est un ensemble de projections de B(H) tel que pour tout sous-ensemble fini P 1,..., P n F, P 1 P 2 P n = 1 Un ultrafiltre quantique est un filtre quantique maximal. 18

36 Filtres quantiques Filtres quantiques sur B(H) Ultrafiltres quantiques Définition (Farah, Weaver) Un filtre quantique F est un ensemble de projections de B(H) tel que pour tout sous-ensemble fini P 1,..., P n F, P 1 P 2 P n = 1 Un ultrafiltre quantique est un filtre quantique maximal. Comparer avec un filtre sur N : si on fixe une base orthonormale (e i ) i N et un filtre F sur N, les projections P (e i ) F = Proj span{ei pour F F génèrent un filtre quantique. :i F } 18

37 Filtres quantiques Filtres quantiques sur B(H) Ultrafiltres quantiques Définition (Farah, Weaver) Un filtre quantique F est un ensemble de projections de B(H) tel que pour tout sous-ensemble fini P 1,..., P n F, P 1 P 2 P n = 1 Un ultrafiltre quantique est un filtre quantique maximal. Comparer avec un filtre sur N : si on fixe une base orthonormale (e i ) i N et un filtre F sur N, les projections = Proj span{ei pour F F génèrent un filtre quantique. :i F } La question : un ultrafiltre sur N génère-t-il un ultrafiltre quantique? est une reformulation de Kadison-Singer (i.e. ouvert et difficile). Oui si l ultrafiltre est un Q-point (Reid). P (e i ) F 18

38 Filtres quantiques Filtres quantiques et états Ultrafiltres quantiques Théorème (Farah) Si on fixe un état φ sur B(H), l ensemble F(φ) = {P : P projection, φ(p) = 1} est un filtre quantique. 19

39 Filtres quantiques Filtres quantiques et états Ultrafiltres quantiques Théorème (Farah) Si on fixe un état φ sur B(H), l ensemble F(φ) = {P : P projection, φ(p) = 1} est un filtre quantique. De plus, c est un ultrafiltre quantique ssi φ est pur. 19

40 Filtres quantiques Filtres quantiques et états Ultrafiltres quantiques Théorème (Farah) Si on fixe un état φ sur B(H), l ensemble F(φ) = {P : P projection, φ(p) = 1} est un filtre quantique. De plus, c est un ultrafiltre quantique ssi φ est pur. Si φ est un état vectoriel φ(a) = Aξ ξ, F(φ) est l ensemble des projections sur les sous-espaces contenant ξ. Si φ est diagonalisé par φ(a) = lim U Ae i e i, F(φ) contient les projections P e i U, U U. 19

41 Filtres quantiques Filtres quantiques et états Ultrafiltres quantiques Théorème (Farah) Si on fixe un état φ sur B(H), l ensemble F(φ) = {P : P projection, φ(p) = 1} est un filtre quantique. De plus, c est un ultrafiltre quantique ssi φ est pur. Si φ est un état vectoriel φ(a) = Aξ ξ, F(φ) est l ensemble des projections sur les sous-espaces contenant ξ. Si φ est diagonalisé par φ(a) = lim U Ae i e i, F(φ) contient les projections P e i U, U U. Théorème (Farah) Inversement, pour tout ultrafiltre quantique F il existe un unique état φ tel que F(φ) = F. 19

42 Filtres quantiques Hypothèses ensemblistes Réponses à conjecture d Anderson Théorème (Akemann, Weaver) En supposant l hypothèse du continu CH, il existe un état non diagonalisable. Idée de la preuve. Théorème (Farah) Si on ne peut pas recouvrir les réels par moins de 2 ℵ 0 ensembles maigres (ex. on ajoute 2 ℵ 0 réels de Cohen), il existe un état non diagonalisable. Idée de la preuve. 20

43 Autres exemples Autres exemples 21

44 Autres exemples Autres résultats Théorème (Akemann, Weaver) (CH) Tous les automorphismes de l algèbre de Calkin sont intérieurs (i.e. ils s écrivent A U AU pour un opérateur unitaire U, i.e. un automorphisme de H). Théorème (Farah) (TA/OCA) Il existe un automorphisme externe de l algèbre de Calkin. Théorème (Akemann, Weaver) implique une réponse négative à la conjecture de Naimark. 22

45 Autres exemples Lectures utiles Les slides de cette présentation : archives.html Set Theory and Operator Algebras par Ilijas Farah et Eric Wofsey : c31-appalachian.pdf Set Theory and C -algebras par Nik Weaver (accès ASL requis) : 23