CHAMPS & PARTICULES. électrodynamique quantique. Alain Bouquet. Laboratoire AstroParticule & Cosmologie

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1 CHAMPS & PARTICULES électrodynamique quantique Alain Bouquet Laboratoire AstroParticule & Cosmologie Université Denis Diderot Paris 7, CNRS, Observatoire de Paris & CEA

2 Théorie quantique des champs 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 2

3 Pourquoi une théorie quantique des champs? Le nombre de particules dans un système quantique n est en général pas conservé extension requise de la mécanique quantique à un nombre variable de particules nombre potentiellement infini dans tous l espace champ Champ = quantité ψ définie en tout point de l espace et du temps ψ(x,t) particules i nombre fini de degrés de liberté nombre fini d opérateurs X i et P i champ nombre infini de degrés de liberté champ d opérateurs (x,t) décomposables en sommes d opérateurs de création-annihilation de quanta au point X =(x,t) ou d impulsion-énergie P = (p,e) Longueur de Compton L C = ħ/mc = 1/m pour des quanta de masse m taille maximale où cela a un sens de parler d une seule particule L << L C énergie E >> mc 2 possibilité de produire de nouvelles (paires de) particules nombre variable de particules 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 3

4 De la mécanique quantique à la théorie quantique des champs Théorie à un quanton libre ou en interaction avec un champ extérieur ex: oscillateur harmonique, Schrödinger, Pauli, Dirac et l atome d hydrogène Théorie à n quantons libres ou en interaction entre eux ou avec un champ extérieur ex: physique atomique, moléculaire, physique du solide Théorie à un nombre variable de quantons libres ou en interaction entre eux ou avec un champ extérieur existence d un vide (état sans quanton) existence d opérateurs de création et d annihilation ex: théorie de Dirac du rayonnement, théorie de Fermi de l interaction faible, théorie de Yukawa de l interaction forte, théories de jauge 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 4

5 Lagrangiens Une théorie (quantique) des champs est définie par un lagrangien L (φ, µ φ) qui est une fonction des champs φ et de leurs dérivées spatiotemporelles µ φ avec deux parties : champs libres (~ énergie cinétique) et interactions (~ énergie potentielle) Champ de spin 0 (scalaire) L (φ, µ φ) = ½ µ φ µ φ ½ m 2 φ 2 + µφ 3 + φ 4 interaction à 3 quantons interaction à 4 quantons Champ de spin ½ L (ψ, µ ψ) = ψ* iγ µ µ ψ m ψ* ψ e ψ*γ µ A µ ψ + G ψ*oψ ψ*oψ interaction électromagnétique interaction de Fermi 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 5

6 Interactions Très schématiquement : interaction nucléon-nucléon par échange d un pion Couplage ψψφ des trois champs au point d espace-temps x Champ ψ(x) état à 1 nucléon d énergie-impulsion P 1 Champ ψ(x) autre état à 1 nucléon d énergie-impulsion P 2 Champ φ(x) état à 1 pion d énergie-impulsion P π vertex champs libres propagateur Champ φ(y) état à 1 pion d énergie-impulsion P π vertex Champ ψ(y) autre état à 1 nucléon d énergie-impulsion P 3 Champ ψ(y) autre état à 1 nucléon d énergie-impulsion P 4 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 6

7 perturbations 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 7

8 Interactions et développement perturbatif Lagrangien hamiltonien équations du mouvement (Klein-Gordon, Dirac, Maxwell) hamiltonien = hamiltonien libre H 0 + hamiltonien d interaction H I On ne sait traiter que le cas où l interaction entre champs est assez faible pour que les champs se comportent en première approximation comme des champs libres ceux-ci sont calculés à partir de l hamiltonien libre états à 1, 2 n quantons d énergie impulsion P 1, P 2 P n (ou de positions x 1 ) puis on calcule les corrections successives dues aux interactions développement en série de puissances du couplage g F(p) = F 0 (p) + g F 1 (p) + g 2 F 2 (p) + + g n F n (p) + F étant une quantité mesurable quelconque (charge, amplitude de diffusion ) et p les impulsions (ou les positions) initiales et finales Risques potentiels un ou plusieurs termes de la série sont infinis la série n a pas de sens les termes de la série divergent (g >1 par ex.) la série n a pas de sens la série ne converge pas vers une valeur finie la série n a pas de sens 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 8

9 Développement de Dyson Rappel de mécanique quantique hamiltonien H = H 0 + H I on sait résoudre l équation de Schrödinger pour H 0, mais pas pour H 0 + H I représentation d interaction où les opérateurs évoluent avec H 0 et les états I > avec H I équation d évolution pour I (t)> Éq. de Schrödinger Tomonaga-Schwinger i d/dt I (t)> = H I I (t)> mais est-on plus avancé? Un peu quand même : I (t)> = U(t,t 0 ) I (t 0 )> i d/dt U(t,t 0 ) I (t 0 )> = H I (t) U(t,t 0 ) I (t 0 )> t U(t,t 0 ) =1 i H I (t 1 )U(t 1,t 0 ) dt 1 =1 i H I (t 1 ) dt 1 2 dt 1 dt 2 H I (t 1 )H I (t 2 ) + t 0 t t 0 t t 0 t 1 t 0 développement perturbatif (attention: ce sont des opérateurs, ordonnés en temps) 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 9

10 Les combattants de l infini Termes du premier ordre pour l électrodynamique quantique diffusion Compton (Klein et Nishina 1927) annihilation e + e (Dirac 1930) Bremsstrahlung e ± e ± (Bethe et Heitler 1934) excellent accord avec les observations diffusion Bahba e + e e + e (Bahba 1935) Mais : termes du deuxième ordre infinis période de flottement 1949 : Tomonaga et Schwinger (indépendamment) calculèrent les termes suivants de la série en compensant des infinis entre eux (renormalisation) sur une idée de Bethe 1949 : Feynman parvint au même résultat par la technique des diagrammes 1949 : Dyson démontra l équivalence des approches, et les généralisa prix Nobel de physique 1965 partagé entre Tomonaga, Schwinger et Feynman 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 10

11 Freeman Dyson (1923- ) n 1949 : démonstration de l équivalence des méthodes de Feynman et de Schwinger et Tomonaga n n Professeur à l Institute of Advanced Studies (Princeton) de 1953 à 1994 Travaux sur n n n n n n 25/03/13 la théorie des nombres et les matrices aléatoires la propulsion nucléaire des fusées (projet Orion) de 1957 à 1961 avec Teller, un petit réacteur nucléaire sûr (TRIGA) construit en petite série (70 ex.) de 1958 à maintenant (avec Areva) la sphère de Dyson en 1960 la démonstration en 1966 que la stabilité de la matière est bien une conséquence du principe d exclusion de Pauli (et non de la répulsion électrostatique des électrons périphériques) le climat et l énergie à partir de 1970 avec Alvin Weinberg Alain Bouquet Particules 19 11

12 Diagrammes de Feynman Série de Dyson : somme d intégrales multiples de produits d opérateurs hamiltoniens ordonnés dans le temps ( invariance relativiste pas évidente) dont chacun est un produit de champs d opérateurs eux-mêmes somme d opérateurs de création et d annihilation Le résultat d un processus physique donné est la valeur moyenne entre états initial et final de la somme de la série Chaque terme du développement en série est donc le produit d opérateurs précis, pris en un point particulier de l espace-temps (ou pour une valeur particulière de l énergie-impulsion) Feynman remarqua que chacun d eux pouvait se représenter par des symboles graphiques que l on devait assembler selon des règles précises 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 12

13 Diagrammes de Feynman Diffusion électron-électron Règles de construction simples chaque particule externe (entrante ou sortante) est représentée par une ligne électron électron vertex photon vertex électron électron chaque interaction est représentée par un vertex Deuxième ordre chaque particule interne est représentée par une ligne partant et aboutissant à un vertex (propagateur) pour un processus donné, les particules externes sont fixées, et on trace tous les diagrammes possibles ayant un nombre quelconque de vertex et de propagateurs seule importe la topologie du diagramme NB: Gell-Mann a toujours parlé des diagrammes de Stueckelberg (qui avait utilisé une notation graphique similaire une décennie auparavant) 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 13

14 Diagrammes de Feynman Règles de calcul simples à chaque particule externe est attribué l état libre ayant l impulsion donnée à chaque vertex est attribué le terme d interaction correspondant du lagrangien à chaque propagateur est attribué (l inverse du) terme libre du lagrangien Champ de spin 0 (scalaire) L (φ, µ φ) = ½ µ φ µ φ ½ m 2 φ 2 + µφ 3 + φ 4 propagateur 1/(P 2 + m 2 ) vertex µ vertex λ Champ de spin ½ L (ψ, µ ψ) = ψ* iγ µ µ ψ m ψ* ψ e ψ*γ µ A µ ψ + G ψ*oψ ψ*oψ propagateur 1/(P + m) vertex eγ µ vertex G 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 14

15 Diagrammes de Feynman Un diagramme de Feynman n est pas un petit dessin C est la traduction graphique d un terme du développement perturbatif de l interaction Exemple : diffusion e e e e au premier ordre vertex vertex au point x de l espace-temps vertex au point x de l espace-temps { { propagateur du photon vertex photon d impulsion k masse du photon 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 15

16 Renormalisation 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 16

17 La source des infinis Les boucles! Par exemple : création d une paire électron-positron par un photon gamma P 2 P 2 P 2 P 2 +k P 1 P 1 P 1 = + photon k Conservation de l énergie et de l impulsion P 1 P 2 P 1 P 2 k P 1 P 2 P1 P 2 La quadri-impulsion k n est pas déterminée somme sur toutes les valeurs possibles Propagateurs k 3 dk 1 P 2 +k +m 1 k 1 2 P 1 P 2 k +m ~ lim Λ Λ 0 dk k = lim Λ ln(λ) 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 17

18 La banque de Heisenberg Vertex nucléon-nucléon-pion Explication courante Conservation de l énergie impulsion longueur de Compton L C = 1/m + inégalités de Heisenberg P 1 = P 2 + P π Δx Δp > ½ ħ Problème : nucléon initial de masse 940 MeV, au repos (choix toujours possible) Δt ΔE > ½ ħ incertitude sur la position de l interaction indétermination sur l impulsion des particules indétermination sur leur énergie incertitude sur l instant d interaction Δx ~ L C (π) = 1/m π Δp ~ m π ΔE ~ m π pion de masse 140 MeV + énergie cinétique et nucléon de masse 940 MeV + énergie cinétique (impulsion de recul)?? métaphore fréquente : le nucléon «emprunte» à la banque de Heisenberg l énergie E ~ m π suffisante pour créer un pion mais il doit la rendre avant l échéance Δt ~ 1/m π le pion ne s éloigne que de Δx ~ 1/m π ~ m 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 18

19 Hors de la couche de masse Invariance du lagrangien par translation spatio-temporelle Théorème de Noether l énergie et l impulsion sont toujours conservées Alors? La couche de masse particule (quanton) de masse m énergie-impulsion P = (E, p) P 2 = E 2 p 2 = m 2 E = ± (p 2 + m 2 ) ½ Vertex nucléon-nucléon-pion Énergie P 1 P 2 P π m couche de masse P 1 = (E 1, p 1 ) P 2 = (E 2, p 2 ) P π = (E π, p π ) antiparticules Impulsion P 1 = P 2 + P π Impossible si P 1 2 = P 2 2 = m N 2 et P π 2 = m π 2 Pion virtuel hors de sa couche de masse P π 2 m π 2 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 19

20 Régularisation Rendre convergentes les intégrales au moyen d un «régulateur» Puis se débarrasser du régulateur à la fin des calculs résultat désormais fini : tout va bien, les infinis se sont compensés résultat encore infini : tout va mal, la théorie n est pas utilisable sans renormalisation Régulateurs Arrêter toutes les intégrales en quadri-impulsion à une valeur «de coupure» Λ à la fin, on fera Λ ± justifié physiquement par l idée que la théorie examinée cesse d être valable à très haute énergie très courte distance Changer (fictivement!) la dimension de l espace-temps de 4 à d, et choisir bien sûr d de sorte que les intégrales convergent à la fin, on fera d 4 Et bien d autres méthodes encore 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 20

21 Renormalisation Exemple: couplage photon-électron-positron, quantité mesurable F(p) dépendant a priori des impulsions entrantes et sortantes p développement en série de puissances du couplage «nu» g (celui du lagrangien) F(p) = g + g 2 F 2 (p) + + g n F n (p) + = + + F(p) g g 3 F 3 (p) Régularisation: coupure à p = Λ F Λ (p) = g + g 2 F Λ2 (p) + g 3 F Λ3 (p) + + g n F Λn (p) + où les termes F Λn divergent en Log(Λ) [ou Λ D ] quand le régulateur Λ NB: selon la régularisation choisie (coupure, dimensionnelle ) les calculs intermédiaires sont très différents, mais le résultat de la renormalisation est le même 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 21

22 Renormalisation (suite) Le couplage est expérimentalement mesurable, pour une impulsion p=µ par exemple Classiquement, on écrirait F(µ) = g déterminant ainsi le paramètre g du lagrangien L hypothèse de renormalisabilité est que le remplacement g F(µ) = g R rend finie la correction ainsi que les corrections suivantes Partant du développement en série F Λ (p, g, Λ) = g + g 2 F Λ2 (p) + + g n F Λn (p) + on le réécrit en fonction de F(µ) = g R F Λ (p, g R, µ, Λ) = g R + g R 2 [ F Λ2 (p) F Λ2 (µ) ] + dans notre exemple F 2 dk/k F Λ2 dk/k 2 intégrale convergente quand Λ et le deuxième terme est maintenant fini s il est exprimé en fonction du g R mesuré 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 22

23 Renormalisation (suite et fin) Au 2 ordre F Λ (p, g R, µ, Λ) = g R + g R 2 [ F Λ2 (p) F Λ2 (µ) ] + Notons que la renormalisation revient à compenser le terme infini F Λ2 (p) par un autre terme infini F Λ2 (µ) le terme infini F Λ2 (p) dépend a priori de p tandis que F Λ2 (µ) est indépendant de p compensation non garantie toute théorie n est pas renormalisable renormaliser à l ordre g 2 R n implique pas que les ordres suivants soient aussi finis ce n est pas garanti toute théorie n est pas renormalisable Au 3 ordre F Λ (p, g R, µ, Λ) = g R + g 2 R [ F Λ2 (p) F Λ2 (µ) ] + g 3 R [ F Λ3 (p) F Λ3 (µ) 2 F Λ2 (µ) [F Λ2 (p) F Λ2 (µ) ]] Théorie renormalisable : F (p, g) F Λ (p, g, Λ) F Λ (p, g R, µ, Λ) F (p, g R, µ) fini quand Λ RÉGULARISATION RENORMALISATION 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 23

24 L opinion de Dirac sur la renormalisation 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 24

25 Électrodynamique quantique (QED) Renormalisation de la charge électrique e(µ) Renormalisation de la masse de l électron m(µ) Et c est tout! Mais les calculs ne sont pas simples pour autant : diagrammes à une seule boucle pour la diffusion électron-positron 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 25

26 Couplages variant avec l échelle d énergie ( distance) Renormalisation de la charge e(µ) polarisation du vide la charge de l électron dépend de l énergie ( distance) à laquelle on la mesure basse énergie (Millikan) α = e 2 /ħc = 1/137 haute énergie (LEP) α = 1/128 Paires virtuelles électron-positron positron attiré par l électron central plus proche électron repoussé par l électron central plus loin la charge apparente augmente près de l électron La renormalisation d une constante de couplage g conduit à une constante g R dépendant de l échelle d énergie µ à laquelle elle est mesurée g (et g R ) ont une dimension (énergie) D g R /g (µ/λ) D D > 0 convergence de la série de perturbations à haute énergie ( courte distance). Pour D = 0 variation logarithmique de g R (µ) la théorie est renormalisable 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 26

27 Quelles théories peuvent être renormalisables? Théories renormalisables constante de couplage de dimension positive ou nulle Mais quelle est la dimension des constantes de couplage? Action S = d 4 x L (φ, ψ) sans dimension (avec ħ = 1) L dimension 1/L 4 = E 4 L (φ, µ φ) = ½ µ φ µ φ ½ m 2 φ 2 + µφ 3 + φ 4 champ scalaire φ de dimension 1 (E 1 ) terme m de dimension 1 (heureusement! E = mc 2 ) couplage µ de dimension 1 couplage de dimension 0 théories renormalisables L (ψ, µ ψ) = ψ* iγ µ µ ψ m ψ* ψ e ψ*γ µ A µ ψ + G ψ*oψ ψ*oψ champ spinoriel ψ (fermions) dimension 3/2 terme m de dimension 1 champ vectoriel A µ (électromagnétisme) dimension 1 couplage électromagnétique e de dimension 0 couplage pion-nucléon de dimension 0 théories renormalisables couplage G de Fermi de dimension 2 ( 1/m 2 ) théorie non renormalisable 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 27

28 Groupe de renormalisation Idée ancienne (Pythagore, Euclide, Galilée) d invariance par changement d échelle Groupe des transformations d échelle (Stueckelberg et Peterman1953, Gell-Mann et Low 1954, Bogoliubov et Shirkov 1955) le point µ en énergie où sont mesurées les masses et constantes de couplage est arbitraire règle pour passer d une valeur µ à une valeur µ équations g/ µ = β(g) avec une fonction β(g) dépendant de la théorie g(µ) 1/g U(1) électromagnétisme SU(2) interaction faible SU(3) interaction forte GeV Kenneth Wilson 1971 : application à la matière condensée, aux transitions de phase et aux phénomènes critiques (Nobel 1982) nouveau point de vue sur le sens physique de la renormalisation 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 28

29 Merci de votre attention! 25/03/13 Alain Bouquet Particules 19 29