Vecteurs algébriques et coordonnées polaires 201-1D3-MO

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1 Vecteurs algébriques et coordonnées polaires 01-1D3-MO 1) Introduction Plan cartésien Le plan cartésien est la donnée d un point O dit origine du plan et de deux vecteurs unitaires perpendiculaires l un à l autre, notés i et j : i : vecteur horizontal pointant à droite ; j : vecteur vertical pointant vers le haut Tout vecteur v dans le plan peut être ramené à l origine et présenté comme une somme de multiples scalaires de i et j : v v1i v j On notera plus simplement le vecteur : v v 1 ; v ), où les scalaires v1 et v sont appelées les composantes du vecteur Vecteur algébrique dans le plan cartésien Dans le plan cartésien IR, un vecteur algébrique est un couple de nombres v ; ) Ce vecteur correspond au vecteur géométrique dont l origine se confond avec l origine du plan et dont l extrémité est le point v ; ) v 1 v 1 Un vecteur algébrique comporte donc une longueur ou module, ou norme), une direction et un sens Remarques Il ne faut pas confondre un point et un vecteur dans le plan Le contexte dit s il s agit de l un ou l autre Graphiquement, un vecteur algébrique est toujours une flèche partant de l origine du plan Dans le plan, on a, si on écrit avec les composantes : i 1i 0 j 1;0) j 0i 1 j 0;1) Projection d un vecteur sur un axe La projection d un vecteur algébrique v sur un axe est le vecteur dans la direction de cet axe et dont la composante correspondant à l axe est la même que v Exemple Le vecteur v 3 i j 3;) a pour projection sur l axe des x le vecteur : v x 3 i 3;0) et pour projection sur l axe des y le vecteur : v y j 0;) Théorème Longueur d un vecteur algébrique du plan Le vecteur v v 1 ; v ) a pour longueur : v v 1 v 1

2 Espace cartésien L espace cartésien est la donnée d un point O dit origine de l espace et de trois vecteurs unitaires perpendiculaires deux à deux, notés i, j et k : i : vecteur horizontal pointant à l avant ; j : vecteur horizontal pointant à droite ; k : vecteur horizontal pointant vers le haut Tout vecteur v de l espace peut être ramené à l origine et présenté comme une somme de multiples scalaires de i, j et k : v v1i v j k On notera plus simplement le vecteur : v v1; v;, où les scalaires v1, v et sont les composantes du vecteur Vecteur algébrique dans l espace cartésien Dans l espace cartésien IR 3, un vecteur algébrique est un triplet de nombres v ; v ; ) 1 Ce vecteur correspond au vecteur géométrique dont l origine se confond avec l origine de l espace cartésien et dont l extrémité est le point v ; v ; ) 1 Remarque Il ne faut pas confondre un point et un vecteur dans l espace cartésien Le contexte dit s il s agit de l un ou l autre Graphiquement, un vecteur algébrique est toujours une flèche partant de l origine de l espace cartésien Dans l espace, on a, si on écrit avec les composantes cartésiennes : i 1i 0 j 0 k 1;0;0) j 0i 1 j 0 k 0;1;0) k 0i 0 j 1 k 0;0;1) Théorème Longueur d un vecteur algébrique de l espace Le vecteur v v ; v ; ) a pour longueur : 1 v v 1 v Soit le vecteur de l espace v 4 i 3 j k a) Écrire ce vecteur en utilisant ses composantes b) Représenter graphiquement dans l espace à trois dimensions, en prenant soin de bien illustrer la perspective c) Déterminer la projection de v sur l axe des x, sur l axe des y et sur l axe des z d) Déterminer la norme de ce vecteur Remarque Dans la suite, on présentera les notions et les exemples soit pour des vecteurs soit à composantes, soit pour des vecteurs à 3 composantes On laisse le lecteur déduire les notions et exemples similaires pour l autre situation

3 ) Opérations sur les vecteurs algébriques Somme de deux vecteurs algébriques Soit les vecteurs algébriques v v1; v; et u u1; u; u3) La somme des deux vecteurs est donné par : v u v1; v; u1; u; u3) v1 u1; v u; u3) Autrement dit, la somme est obtenue en additionnant composante à composante Produit par un scalaire Soit le vecteur algébrique v v1; v; et k un scalaire Le produit de v par le scalaire k est donné par : kv k v1; v; kv1; kv; k Autrement dit, le produit est obtenu en multipliant chaque composante par k Remarques Ces définitions sont consistantes avec les définitions correspondantes pour les vecteurs géométriques Ces définitions s adaptent naturellement aux vecteurs du plan en retirant la 3 ème composante La soustraction de vecteurs et la division par un scalaire non nul sont définies comme pour les vecteurs géométriques Soit les vecteurs du plan u ; 3) et v 0;) a) Représenter graphiquement les deux vecteurs dans le plan b) Effectuer u et représenter graphiquement c) Effectuer u v et représenter graphiquement u v d) Effectuer et représenter graphiquement Un vecteur géométrique est défini par deux points, son origine et son extrémité Si le plan ou l espace est muni d axes gradués, ces points ont des coordonnées Il y a toujours un vecteur algébrique équipollent à tout vecteur géométrique Il suffit de ramener l origine du vecteur géométrique vers l origine du système de coordonnées Cette opération équivaut à effectuer une translation de vecteur qui permet en général de déplacer un vecteur géométrique vers un vecteur équipollent, situé ailleurs dans le plan) Exemple Soit le vecteur géométrique, où l origine et l extrémité ont pour coordonnées A ; 1) et B1; 3) La translation qui permet de ramener le point A ; 1) vers l origine du plan peut être représentée sous forme de vecteur : t ; 1) qui représente en fait l opposé du vecteur OA, soit OA ) L extrémité B1; 3) de se retrouve, après translation, au point C3; ) Le vecteur algébrique équipollent à est donc 3; ) En résumé, on a que ce vecteur est donné par : OB OA 1;3) ;1) 1 );3 1) 3;) Vecteur algébrique équipollent à un vecteur géométrique Soit Aa1; a) et Bb1; b) deux points du plan ayant O pour origine, et le vecteur géométrique On obtient le vecteur algébrique correspondant à par : OB OA b1 ; b ) a1; a) b1 a1; b a) 3

4 Remarque Les composantes du vecteur algébrique permettent d obtenir facilement les longueurs des projections de ce vecteur sur les axes correspondants Soit A0; 4; 6), B; 1; 0), C 4; 7; 1) et D0; 1; 0) des points de l espace cartésien, qui définissent les vecteurs géométriques et DC Déterminer : a) le vecteur algébrique équipollent à représenter géométriquement) b) les longueurs des projections de sur les axes x, y, z c) un vecteur unitaire parallèle à d) le vecteur algébrique équipollent à DC e) un scalaire k tel que kdc f) si les vecteurs et DC sont parallèles 3) Coordonnées polaires et cartésiennes dans le plan) Plan polaire Le plan polaire est la donnée d un point O dit origine du plan ou pôle et d une demi-droite de référence partant de ce point et graduée, identifiée au demi-axe Ox du plan cartésien Argument d un vecteur du plan L argument du vecteur v est l angle que fait le vecteur avec le demi-axe Ox le sens positif étant donné dans le sens anti-horaire) Par convention, il sera exprimé par une valeur entre 180 excl) et 180 incl) Vecteur en coordonnées polaires La donnée d un vecteur v en coordonnées polaires est la donnée de son module r et de son argument En notation abrégée : Exemples à compléter v r Donner le vecteur t 3;) en coordonnées polaires et représenter graphiquement Donner le vecteur t 3;) en coordonnées polaires et représenter graphiquement Donner le vecteur t 3; ) en coordonnées polaires et représenter graphiquement Déterminer les composantes cartésiennes du vecteur 110 Remarque Il faut tenir compte de la position de l extrémité du vecteur pour en calculer correctement l argument Conversion : coordonnées cartésiennes a; b) vers les coordonnées polaires r r a b 90 si a 0 et b 0 indéfini si a 0 et b 0 conseil : représenter graphiquement) 1 tan b / a) 180 si a 0 1 tan b / a) sinon Conversion : coordonnées polaires r vers les coordonnées cartésiennes a; b) a = r cos et b = r sin 4

5 On symbolise les forces exercées dans un système physique par des vecteurs La direction et le sens du vecteur indiquent la direction et le sens dans lesquels la force est exercée ; la longueur du vecteur représente la mesure de la force On rappelle que l unité pour mesurer les forces est le newton N) Exemple Un objet soumis à la gravité terrestre subit l action d une force proportionnelle à sa masse, dirigée vers le sol La force exercée par kilogramme étant de 9,8 N, celle subie par un objet de 10 kg est donc de 98 N, celle d un objet de 15 kg est de 147 N, etc Définitions La résultante de deux ou plusieurs forces est la somme vectorielle de ces forces Un système de forces est en équilibre de translation) si la résultante des forces du système est le vecteur nul Le polygone de forces est le polygone obtenu en mettant bout à bout les vecteurs force d un système Si le polygone obtenu est fermé, la résultante est nulle et le système est en équilibre de translation Calculer la résultante des forces illustrées dans le schéma de forces ci-contre Suggestion : déterminer la représentation des vecteurs en coordonnées polaires, convertir ensuite en coordonnées cartésiennes et additionner ensuite composante à composante pour obtenir la résultante) Est-ce que le système de forces est en équilibre de translation? 5

6 Exercices #1 10 points) Soit les points A1,,5), B,-5,0) et C3,7,-3) a) Quelles sont les coordonnées du point D tel b) Quelles sont les coordonnées du point F tel que est trois fois plus grand que celui de CB? CD? AF est un vecteur de sens contraire à celui de CB et dont le module # 10 points) Soit le triangle dont les sommets sont les points A,4,5), B0,4,6) et C-,1,) a) Quel est le périmètre du triangle? b) Est-ce que le triangle est un triangle rectangle? c) Quelle est l aire du triangle? #3 10 points) Déterminez la résultante du système suivant 6

7 Réponses 1 a) 4;0; 8) Démarches D b) F 4;38; 4) a) 13,45u 1 a) D d ; d d 1 ; 1; 7; 5 3 CD d1 3; d 7; d3 3 1 d1 3 CD 7 d 7 D4;0; 8) 5 d3 3 F f ; f f b) AF CB 1 ; 3 f1 1; f ; f3 3 1; 1;3 3CB a) ;0;1 BC CA 3 f1 1 9 f3 5 b) oui c) 3;36; 9 AF 36 f F4;38; 4) ; 3; 4 4;3;3 Périmètre = BC CA , 45u 6,0u 3,89,65 b) L angle au point B, noté, est un angle droit CA BC * BC * CA *cos *5* 9*cos c) Prenons le segment comme base du triangle base hauteur 90 * 5 * Aire d un triangle A 6,0u F1 F F3 3 34,57,9131,3 1,55 17,69 3cos 34,57 ;3sin 34,57,9cos131,3 ;,9sin131,3 1,55cos 17,69 ;1,55sin17,69 R 0, ;, a; b r b r a b, et arctan arctan a, , ,65 La résultante est une force d environ, N qui détermine un angle d environ 89,65 avec le demi-axe Ox 7