Nom : Nombres. Prénom : Calcul. Mémo Maths. Calcul mental. Géométrie. Grandeurs et Mesures. Organisation et gestion de données. Années scolaires :

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1 Nom : Prénom : Nombres Calcul Mémo Maths Calcul mental Géométrie Grandeurs et Mesures Organisation et gestion de données Années scolaires :

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3 SOMMAIRE CAHIER MÉMO DE MATHÉMATIQUES Ce mémo a pour ambition de recenser les règles principales dans le domaine des mathématiques. Il sera conservé deux années, en CM1 et en CM2, dans un souci de continuité pédagogique et de cohérence des apprentissages. L équipe enseignante de l école Louise MICHEL Partie 1 - NOMBRES NUM Compétences page 01 Les nombres entiers 3 02 Les grands nombres 4 03 Ecritures des nombres en lettres 5 04 Comparer les nombres entiers 6 05 Placer des nombres entiers sur une droite graduée 7 06 Décomposer les nombres entiers 8 07 Les fractions (1) 9 08 Les fractions (2) Les fractions décimales Les nombres décimaux (1) Les nombres décimaux (2) Comparer/encadrer les nombres décimaux La numération romaine 15 Partie 2 - CALCUL CAL Compétences page 01 Addition des nombres entiers Soustraction des nombres entiers Multiplication des nombres entiers Division euclidienne Addition des nombres décimaux Soustraction des nombres décimaux Multiplication des nombres décimaux Division décimale La calculatrice 25 Partie 3 CALCUL MENTAL CALM Compétences page 01 Les tables d addition Les tables de multiplication Les compléments à 10, 100, Astuces de calcul mental Les multiples Doubles Moitiés Multiplier par Diviser par 32 Partie 4 GÉOMÉTRIE GÉOM Compétences page 01 Vocabulaire et codage Les instruments de tracé Droites perpendiculaires Droites parallèles Les polygones Les quadrilatères Tracer des quadrilatères Les triangles Tracer des triangles Tracer la hauteur d un triangle Le cercle Programme de construction Réduire et agrandir Se repérer sur un quadrillage La symétrie Les solides Construire des solides 48 Partie 5 GRANDEURS et MESURES MES Compétences page 01 Lire l heure Les durées Les angles Les mesures de longueur Les mesures de masse Le périmètre L aire Les mesures de contenance 57 Partie 6 ORGANISATION et GESTION de DONNÉES DO Compétences page 01 Lire et résoudre un problème Lire et construire un tableau Lire un graphique La proportionnalité Les pourcentages 64

4 PARTIE 1 - NUMÉRATION LES NOMBRES ENTIERS NUM.01 Il existe dix chiffres qui composent tous les nombres : Dans les nombres, la place des chiffres a une signification. Ex : est un nombre à quatre chiffres. Rappel 1 millier = centaine = dizaine = 10 1 unité = Le chiffre des milliers est 2. Il y a deux paquets de est le nombre de milliers. Le chiffre des centaines est 3. Il y a 23 paquets de est le nombre de centaines. Le chiffre des dizaines est 5. Il y a 235 paquets de est le nombre de dizaines. Le chiffre des unités est 1. Il y a billes est le nombre d'unités. mille unités simples c d u c d u à soixante-trois-mille-deux-cents à quatre-cent-vingt-cinq-mille-cent-soixante-dix-neuf Dans : le chiffre des unités de mille est., et le nombre d unités de mille est Dans : le chiffre des dizaines est., et le nombre de dizaines est. 3

5 LES GRANDS NOMBRES NUM.02 Après la classe des mille, on trouve la classe des millions et des milliards. CM2 milliards millions mille unités simples c d u c d u c d u c d u à deux-cent-millions-quatre-mille-trois-cent à quarante-et-un-milliard-cinquante-million l Dans chaque classe, il y a 3 colonnes : - celle des unités (u) - celle des dizaines (d) - celle des centaines (c). l Dans chaque colonne, on ne place qu un seul chiffre. Lorsque l'on écrit un grand nombre sans tableau, on groupe les chiffres 3 par 3 à partir de la droite en laissant un espace entre deux classes (de largeur au plus égale à celle d'un chiffre) pas d'espace 1 espace 1 espace 2 espaces Les nombres sont ainsi plus faciles à lire. Pour lire un grand nombre, on lit les chiffres 3 par 3 en précisant les classes entre les groupes de trois chiffres. Ex : Six-mille-quatre-cent-huit :. Douze-millions-cinq-cent-dix-neuf-mille-deux-cent-vingt-huit :.. 4

6 ÉCRITURE DES NOMBRES EN LETTRES. NUM.03 Pour écrire les nombres jusqu'à un milliard en lettres, il faut seulement... mots. On peut regrouper ces mots en 4 parties : De 0 à 9 De 10 à 19 De 20 à 99 Au-delà de 100 zéro deux quatre six huit un trois cinq sept neuf dix onze douze treize quatorze quinze seize vingt trente quarante cinquante soixante cent mille million milliard Attention! Quand tu entends soixante, n'écris pas trop vite un 6. Écoute la suite. Le chiffre des dizaines peut être un 6 ou un 7. soixante-huit soixante dix huit Quand tu entends quatre vingts, n'écris pas trop vite un 8. Écoute la suite. Le chiffre des dizaines peut être un 8 ou un 9. quatre vingt deux quatre vingt douze Quelques règles pour écrire les nombres correctement Lorsqu on écrit un nombre, on met des tirets «-» entre tous les mots : 73 : soixante-treize : mille-trois-cent-soixante-treize 32 : :. Les règles d accord : tous les mots nombres sont invariables (pas de s au pluriel), sauf: - «cent» et «vingt» prennent un «s» lorsqu'ils sont multipliés par un nombre, à condition qu'il n'y ait rien derrière eux. 800 : huit- 80 : quatre- 816 : huit-.-seize 87 : quatre-.-sept - «million» et «milliard» prennent un «s» lorsque c'est nécessaire : : :. 5

7 COMPARER LES NOMBRES ENTIERS NUM.04 - Comparer des nombres : Lorsque l'on compare deux nombres, on veut savoir lequel est le plus petit (ou le plus grand). Il peut arriver qu'ils soient égaux. Les symboles utilisés sont les suivants : > 6 est «plus grand que» ou «supérieur à» 3 6 > 3 < 5 est «plus petit que» ou «inférieur à» 7 5 < 7 = 10 est «égal à» = 010 La pointe montre le plus petit. l Si deux nombres entiers n'ont pas le même nombre de chiffres, le nombre le plus grand est celui qui a le plus de chiffres. Ex : l Si deux nombres entiers ont le même nombre de chiffres, on compare les chiffres un à un de gauche à droite. Ex : Ranger des nombres : On peut ranger les nombres du plus petit au plus grand : dans l'ordre croissant.... On peut ranger les nombres du plus grand au plus petit : dans l'ordre décroissant Encadrer des nombres : On peut encadrer un nombre par le nombre précédant (juste avant) et le suivant (juste après) : < < < <. On peut encadrer un nombre entre 2 dizaines : < <. < < On peut encadrer un nombre entre 2 centaines : < < < < 6

8 PLACER DES NOMBRES ENTIERS SUR UNE DROITE GRADUÉE NUM.05 Graduer une ligne droite avec les nombres entiers, c'est placer régulièrement les nombres entiers sur cette ligne en les rangeant du plus petit au plus grand. L écart entre chaque graduation est toujours le même sur une même ligne graduée. l On peut graduer une ligne droite en unités. On reporte régulièrement toujours le même segment et on compte de 1 en On dit que le pas (écart) de la graduation est 1. l On peut graduer une ligne droite en dizaines On reporte régulièrement toujours le même segment et on compte de 10 en 10. On dit que le pas (écart) de la graduation est 10. Pour placer exactement 11, 12, 13,..., il faut faire une sous-graduation entre les dizaines. l On peut faire une graduation avec le pas que l'on veut : 100, 1 000, ou même le pas est de le pas est de le pas est de Pour graduer une ligne droite de manière régulière, utilise les carreaux de ton cahier. Si c est une feuille blanche, reporte le centimètre avec ta règle. 7

9 DÉCOMPOSER LES NOMBRES ENTIERS NUM.06 Décomposer un nombre entier, c'est l'écrire en montrant les différentes unités qu'il contient. Ex : est un nombre a quatre chiffres =. unités de mille +. centaines +. dizaines +. unités = = = (... x ) + (... x 100 ) + (... x 10) + (... x 1) Ex : est un nombre a sept chiffres = = (... x..) + (... x..) + (... x..) + (... x..) + ( x ) Ex : est un nombre a douze chiffres = = (... x ) + (... x ) + (... x ) + (... x..) + ( x ) 8

10 LES FRACTIONS (1) NUM.07 Une fraction est un nombre qui représente des parts égales de l'unité. - Dans une fraction, il y a 2 nombres : 1 2 l un nombre pour dire combien de parts on prend : le NUMÉRATEUR. l un nombre pour dire en combien de parts on partage l'unité : le DÉNOMINATEUR. 1 On a partagé l'unité en 8 parts égales. On a colorié 3 parts. La partie coloriée s'écrit : - Certaines fractions ont un vocabulaire spécial : - Un demi, c'est une part d une unité divisée par 2. On écrit : - Un quart, c'est une part d une unité divisée par 4. On écrit : - Un tiers, c'est une part d une unité divisée par 3. On écrit : - Pour le reste, c'est simple : le mot du dénominateur se termine par «ième». Un cinquième : Un sixième : Deux huitièmes : Trois dixièmes : Il faut penser à accorder le mot du dénominateur s il est au pluriel. - On utilise une fraction l pour préciser combien de parts égales on prend dans une unité (ou plusieurs unités). Ø L'unité est partagée en 6 parties égales. On en prend 5. On écrit : l pour repérer des sous-graduations entre deux nombres entiers l pour désigner un rapport entre deux quantités Ex : Dans un bouquet de 15 fleurs, il y a 5 roses. On dit que le bouquet contient de roses, ou bien que les roses représentent du bouquet

11 LES FRACTIONS (2) NUM.08 - Certaines fractions représentent la même part, on dit qu elles sont égales. 1 unité Ici on voit que : - une unité est égale à 2. ou à 4. ou à est égal à est égal à 2.ou à Ex : Colorie 1 de la 1 ère tarte. 4 Colorie 2 de la 2 ème. 8 - Comparer des fractions à 1. l Lorsque le numérateur est inférieur au dénominateur, la fraction est inférieure à 1. Ex : < 1 l Lorsque le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est égale à 1. Ex : = 1 l Lorsque le numérateur est supérieur au dénominateur, la fraction est supérieure à 1. Ex : > 1 CM2 - Décomposer une fraction. Une fraction supérieure à 1 peut être écrite sous la forme d une somme : d un nombre entier (partie entière) + d une fraction inférieure à 1 (partie fractionnée) = = représente 4 unités entières 3 C est plus facile si je connais mes tables! - Ranger des fractions. l Si elles ont le même numérateur, plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite. Plus on est nombreux à partager un gâteau, plus les parts sont petites! 6ème 1.< 1..< 1.. Ex : < < l Si elles ont le même dénominateur, plus le numérateur est grand, plus la fraction est grande. On prend de plus en plus de parts. 1.< 5..< 9.. Ex : < <

12 LES FRACTIONS DÉCIMALES NUM.09 Les fractions qui ont pour dénominateur 10, 100, sont des fractions décimales. Dixièmes et centièmes ü Cette ligne graduée correspond à deux unités entières = unité 1 unité ü Je partage chaque unité en 10 parties égales : ce sont des dixièmes (grandes graduations) = = ü Je partage chaque unité en 100 parties égales : ce sont des centièmes (petites graduations) = = = = Dans une unité Dans un dixième Dans une unité il y a dix dixièmes. il y a dix centièmes. il y a cent centièmes. 1 = = = donc : 2 = = 12 = = 143 = = CM2 Pour aller plus loin : Dans un centième il y a dix millièmes. Parfois, il est préférable de «zoomer» la droite graduée, pour une meilleure lisibilité. 11

13 LES NOMBRES DÉCIMAUX (1) NUM.10 Pour pouvoir écrire les nombres décimaux, il faut placer une virgule après les unités et rajouter des colonnes à droite du tableau des entiers. Nous nous servons des fractions décimales pour écrire la partie décimale. Un dixième = 1 = 0,1 Un centième = 1 = 0,01 Un millième = 1 = 0, Partie entière Partie décimale Classe des mille Classe des Unités CM2 dizaines de mille unités de mille Centaines Dizaines Unités Dixièmes Centièmes Millièmes x x x 100 x 10 x 1, , , A Ce nombre s'écrit 305,62. On n'écrit pas les zéros à gauche de la partie entière, ni les zéros à droite de la partie décimale puisqu ils ne changent pas la valeur du nombre. B 4657 centièmes = 4657 = = 46 unités, 5 dixièmes 7 centièmes = 46, C 895 dixièmes = =. + = unités. dixièmes = A B C D D millièmes = =. + + CM2 =. unités. dixièmes. centièmes. millièmes = Ex : Lire 15,628 15, 628 A gauche de la virgule, c'est la partie entière à droite de la virgule, c'est la partie décimale «quinze virgule six-cent-vingt-huit» ou «quinze unités et six-cent-vingt-huit millièmes» 12

14 LES NOMBRES DÉCIMAUX (2) NUM.11 - Placer des nombres décimaux sur une droite graduée. Les nombres décimaux peuvent être utilisés pour graduer une ligne de plus en plus précisément. Ex : Trouve les nombres indiqués par les flèches, et place les lettres suivantes : A= 43,4 B= 42,86 C= ,01 CM2 : utilisation du «zoom» pour être plus précis. Ex : Placer 4,726 Graduations en unités Zoom sur la graduation en dixièmes Zoom sur la graduation en centièmes Zoom sur la graduation en millièmes CM2 - Décomposer les nombres décimaux. 24,36 = ,36 = (... x 10) + (... x 1) + (... x 0,1) + (... x 0,01) dixièmes centièmes 13

15 COMPARER / ENCADRER LES NOMBRES DÉCIMAUX NUM.12 - Comparer les nombres décimaux (les ranger dans l ordre croissant / décroissant). l La partie entière est différente : le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière. Ex : 3,656 < 9,1 parce que 3 < 9 78,5 7,85 456,2 564,2 l La partie entière est identique : on compare les chiffres après la virgule les uns après les autres, en commençant par les dixièmes jusqu à ce que l on rencontre un chiffre différent. Ex : 14,25 < 14,3 parce que 2 dixièmes < 3 dixièmes 4,5 4,05 8,72 8,9 Si j ai un doute car le nombre de chiffres est différent dans la partie décimale, je peux imaginer qu il y a un zéro dans les rangs équivalents laissés vides. - Encadrer les nombres décimaux. On veut encadrer un nombre décimal entre deux entiers consécutifs (qui se suivent) : - Pour trouver le nombre entier qui précède, on supprime la partie décimale et on conserve la partie entière. - Pour trouver le nombre entier qui suit, on ajoute 1 au premier nombre entier trouvé. + 1 Ex : 2 < 2,66 <.. < 152,4 <.. < 19,87 <. CM2 On veut encadrer un nombre décimal entre deux nombres décimaux au dixième : - Pour trouver le nombre décimal qui précède, on supprime tout ce qui se trouve après le chiffre des dixièmes. On conserve donc la partie entière et le chiffre des dixièmes. - Pour trouver le nombre décimal qui suit, on ajoute 0,1 au premier nombre décimal trouvé. + 0,1 Ex :. < 2,66 <.. < 152,14 <.. < 19,99 <. Si on veut encadrer un nombre décimal entre deux nombres décimaux au centième, millième on suit la même démarche, on supprime ce qui est après le chiffre des centièmes, millièmes 6ème - Arrondir un nombre décimal. De quel nombre est-il le plus proche? Pour savoir, il faut imaginer une frontière. Ex : 18,7 est-il plus proche de 18 ou de 19? 18 La frontière est 19 18,5 (milieu). 18,7 est après la frontière, il est donc plus proche de. 14

16 LA NUMÉRATION ROMAINE NUM.13 Les Romains ont inventé les signes suivants en utilisant leurs doigts. On utilise les chiffres romains I V X pour indiquer les siècles : Nous sommes au XXI ème siècle ( 21ème ) pour nommer les rois : Louis XIV (14) pour indiquer des nombres : les heures d une horloge Louis XVI (16) année de construction d une bâtisse Règles d écriture : - On additionne les signes entre eux, si ceux inscrits à droite sont plus petits. - On n écrit jamais plus de 3 signes semblables à la suite. - Les signes écrits à gauche d un plus grand s en retranchent (soustraction). I II IV V VII VIII X XI XII XV XVI XVIII XX CM2 15 Pour aller plus loin : L C D M

17 PARTIE 2 - CALCUL ADDITION DES NOMBRES ENTIERS 1. LE SENS DE L ADDITION CAL.01 l On effectue une addition pour réunir deux ou plusieurs collections d'objets de même nature. l On effectue une addition pour ajouter des objets à une collection d'objets. l On effectue une addition pour avancer sur la file numérique. Le résultat d'une addition s'appelle une LA TECHNIQUE DE CALCUL : POSER UNE ADDITION EN COLONNES Lorsque l on pose une addition, on place les nombres les uns en-dessous des autres : les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, les centaines sous les centaines On utilise un tableau que l'on peut dessiner ou non. Pour effectuer le calcul, on commence toujours par les unités car on ne sait pas s il y aura des retenues. Addition sans retenue : c d u est la somme des trois nombres 22, 606 et 231. Addition avec retenue : m c d u est la somme des deux nombres 628 et Etape 1 (unités) = 13. J'écris 3 et je retiens 1. Etape 2 (dizaines) = 3 ; = 12. J'écris 2 et je retiens 1. Etape 3 (centaines) = 7 ; = 9. J'écris 9. Etape 4 (unités de mille) J'écris PROPRIETE DE L ADDITION On peut additionner les nombres entiers dans l'ordre que l'on veut. Cela permet de simplifier les calculs en ligne est difficile à effectuer on effectue d'abord = 47 16

18 SOUSTRACTION DE NOMBRES ENTIERS CAL LE SENS DE LA SOUSTRACTION On effectue une soustraction pour calculer la différence entre deux nombres: l Chercher ce qui reste quand on enlève, on retire, on perd des objets de même nature d'une collection. à J'avais 38 billes. J'en ai perdu 15, il m'en reste 38 15, soit 23. l Chercher ce qu'on a enlevé. à Il y avait 38 billes dans le sac. Il en reste 15. On en a enlevé soit 23 l Chercher ce qui manque pour compléter une collection. à J'ai 58 billes. Je voudrais en avoir 92. Il m'en manque 92 58, soit 34. l Reculer sur la file numérique. à = 285 l Calculer un écart. à J'ai 12 ans, tu en as 8. Nous avons 12 8, soit 4 ans d'écart Le résultat d'une soustraction s'appelle une LA TECHNIQUE DE CALCUL : POSER UNE SOUSTRACTION EN COLONNES Lorsque l on pose une soustraction, on place les nombres les uns en-. des autres : les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, les centaines sous les centaines Pour effectuer le calcul, on commence toujours par les. car on ne sait pas si l on aura besoin d une retenue. Soustraction sans retenue c d u Soustraction avec retenue 841 est la différence est la différence entre 865 et 24. entre et 352 Attention : Etape 1 (unités) 5 4 = 1 ; Etape 2 (dizaines) 6 2 = 4 ; Etape 3 (centaines) 8 0 = 8. m c d u Contrairement à l'addition, la soustraction ne permet pas d'effectuer les calculs dans l'ordre que l'on veut! = 22 est possible, mais est impossible Etape 1 (unités) 0 2 = c est impossible. J ajoute donc une dizaine au chiffre d en haut que je reporte en bas sous la colonne d après = 8 Etape 2 (dizaines) Comme j ai ajouté une dizaine au nombre d en haut, il faut que je pense à ajouter la retenue au nombre du bas 7 (5+1) = 7 6 = 1 Etape 3 (centaines) 4 3 = 1 Etape 4 (unités de mille) 2 0 = 2 17

19 MULTIPLICATION DE NOMBRES ENTIERS CAL.03 1 LE SENS DE LA MULTIPLICATION On fait une multiplication pour : l Dénombrer une collection d'objets identiques rangés en lignes et colonnes On a 3 rangées de 6, ou 6 colonnes de 3. On calcule = On écrit 6 3 = 3 6 On lit 6 multiplié par 3 (3 multiplié par 6) ou bien 6 fois 3 (3 fois 6) 6 3 est un produit composé des facteurs 6 et 3. l Calculer la somme de plusieurs nombres égaux = 15 7 = 105 ou 7 15 = tablettes de 24 carrés de chocolat : = 3 24 = 72 carrés. l Calculer le prix d'un nombre d'objets de même valeur. Nombre de livres achetés Prix payé en euros livre coûte 12. L ordre des nombres n a pas d importance : 3 x 4 = 4 x 3 = LA TECHNIQUE DE CALCUL : POSER UNE MULTIPLICATION l Multiplier par un nombre à 1 chiffre - On commence par les unités : 7 x 4 = 28 On pose l'unité 8 sous les unités et on retient 2 dizaines sur le coté. - On multiplie ensuite les dizaines : 7 x 1 = 7 On pense à ajouter la retenue : = 9 Dès que la retenue est comptée, il faut la barrer. l Multiplier par un nombre à 2 chiffres ou plus : Comment calculer 12 23? Avec un tableau : = = = = Ex : 145 x 42 Ex : 145 x 342 On pose la multiplication On s occupe d abord de 3x12 3 X 2 = 6, j écris 6 3 X 1 = 3, j écris 3 - On s occupe ensuite de 20x12 on place un zéro sous les unités 2 X 2 = 4 ; 2 X 1 = 2 - On additionne enfin les deux résultats : = 276 C D U x C D U x

20 LA DIVISION EUCLIDIENNE CAL Le sens de la division On utilise la division euclidienne* pour : *Division euclidienne signifie «division avec reste entier». l Traduire une distribution en parts égales On connait : - la quantité à distribuer (c'est le dividende) ; - le nombre de personnes à qui on le distribue (c'est le diviseur). On cherche : - la part que chacun recevra (c'est le quotient) ; - ce qu'on ne peut plus distribuer (c'est le reste). Ex : On veut distribuer 58 bonbons à 5 enfants en parts égales. 58 bonbons, c est le dividende Combien chacun en recevra-t-il? On écrit : 58 = ( 5 11 ) + 3 dividende diviseur quotien reste e t l Traduire un partage en parts fixées On connait : - ce qu'on a à partager (c'est le..) ; - le contenu de chaque part (c'est le.). On cherche : - le nombre de parts à réaliser (c'est le ) ; - ce qu'on ne peut plus partager (c'est le.). Exemple : On distribue 74 bonbons par paquets de 6. A combien d'enfants peut-on en distribuer? On écrit : 74 = dividende e ( 6 diviseur 12 ) quotien t + 2 reste l Traduire un déplacement par bonds réguliers sur la file numérique l Dans le sens croissant, vers un but à atteindre. Ex : Je pars de 0 et je veux atteindre 43. Combien de bonds de 5 dois-je faire? départ l Dans le sens décroissant, vers l'origine. arrivée J'ai fait 8 bonds de 5, puis 3 pas. On écrit : 43 = (5 8) + 3 Ex : Je pars de 165 et je veux atteindre 0 en faisant des bonds de 25. Combien de bonds vais-je faire? J'ai fait 6 bonds de 25, puis 15 pas. On écrit : 19 arrivée départ 165 = (25 6) + 15

21 2. La technique de calcul Pour effectuer une division, il est très important de connaitre les tables de multiplication, car on cherche «Dans, combien de fois y-a-t-il?» (sans dépasser). - Diviser par un nombre à 1 chiffre. 907 : 4 C D U Je commence par les centaines car 4 rentre dans 9. Etape 1 : En 9, combien de fois 4? 2, car 2 4 = 8. J'écris 2 au quotient. Je pose 9 8 = 1. Etape 2 : J'abaisse le 0 des dizaines. En 10, combien de fois 4? 2, car 2 4 = 8. J'écris 2 au quotient. Je pose 10 8 = 2. Etape 3 : J'abaisse le 7 des unités. En 27, combien de fois 4? 6, car 6 4 = 24. J'écris 6 au quotient. Je pose = 3. Toujours vérifier que le reste est inférieur au diviseur : 3 < 4 - Diviser par un nombre à 2 chiffres. Donc 907 = (226 4) + 3 à 907 : 4 = 226 reste 3 Pour vérifier que mon calcul est juste je peux poser la multiplication, puis ajouter le reste. Je dois retrouver le dividende. 618 : 12 Toujours vérifier que le reste est inférieur au diviseur : 6 < 12 Je constitue d abord le répertoire de la table de X 1 = X 2 = X 3 = X 4 = X 5 = X 6 = X 7 = 84 Etc Ici 12 ne rentre pas dans 6, on commence donc par 61. Etape 1 : En 61, combien de fois 12? je regarde le répertoire 5, car 5 12 = 60. J'écris 5 au quotient. Je pose = 1 Etape 2 : J'abaisse le 8 des unités. En 10, combien de fois 4? 1, car 1 12 = 12. J'écris 1 au quotient. Je pose = 6 Donc 618 = (51 12) + 6 à 618 : 12 = 51 reste 6 Pour vérifier que mon calcul est juste je peux poser la multiplication, puis ajouter le reste. Je dois retrouver le dividende. 20

22 ADDITION DE NOMBRES DÉCIMAUX CAL Le sens de l'addition des décimaux Dans la vie courante, on a souvent besoin d'additionner des nombres décimaux : l pour exprimer des mesures de longueurs, d'aires, de volumes, de masses l pour donner le prix d'un objet ( ex : ce stylo coûte. ) a) La technique de calcul Comme pour les nombres entiers, on peut utiliser la technique de l'addition posée en colonnes : l On place les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, etc les dixièmes sous les dixièmes, les centièmes sous les centièmes. l On place les virgules les unes sous les autres (on fait l arbre à virgules). l On effectue l'addition comme avec les entiers, en faisant attention aux retenues. l Dans le résultat, on n oublie pas la virgule et on la place sous les autres virgules. Addition sans retenue : 4,52 + 3,05 Addition avec retenue : 7, ,8 Partie entière Partie décimale u d m c m on écrit sans colonne : 4, 52 Partie entière Partie décimale on écrit sans colonne : 4, , 0 5 7, , 05 7, 57 L arbre à virgules d u d m c m , 8 7, , 4 5 7, , 8 0..,.. b) Propriété de l'addition On peut écrire un zéro, après le dernier chiffre, pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule (et faciliter l'alignement) Comme pour les nombres entiers, on peut additionner les nombres décimaux dans l'ordre que l'on veut. Cela permet de simplifier les calculs en ligne. 3,5 + 14,76 + 2,5 3,5 + 14,76 est difficile à effectuer ; ,76 = 20,76 On effectue d'abord 3,5 + 2,5. 21

23 SOUSTRACTION DE NOMBRES DÉCIMAUX CAL.06 1 Le sens de la soustraction des décimaux On retrouve toutes les situations de soustraction que l'on avait rencontrées avec les nombres entiers : l Chercher ce qu il reste. Ï J'avais 15,50. J'ai dépensé 3,35. Combien me reste-t-il? l Chercher ce qu'on a enlevé. Ï Il y avait 1,5 L d'eau dans la bouteille. Il reste 0,8 L. Combien a-t-on enlevé? l Chercher ce qu il manque. Ï Il me faut 2,5 kg de sucre. J'ai déjà 1,6 kg. Combien me manque-t-il? l Calculer un écart. Ï Je mesure 1,45 m. Mon frère mesure 1,23 m. Je le dépasse de combien? 2 La technique de calcul La soustraction des décimaux utilise la même technique que celle des entiers: l On place les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, etc les dixièmes sous les dixièmes, les centièmes sous les centièmes, etc l On place les virgules les unes sous les autres (on fait l arbre à virgules). l On effectue la soustraction comme avec les entiers, sans oublier les retenues. l Dans le résultat, on n oublie pas la virgule et on la place sous les autres virgules. Soustraction sans retenue : 6,38 2,03 Partie entière Partie décimale on écrit sans colonne : u d m c m 6, 3 8 6, 38-2, 0 3 4, 3 5-2, 03 4, 35 Soustraction avec retenue : 19,6 7,45 Partie Partie on écrit sans colonne : entière décimale d u d m c m 1 9, 6 1 9, , , 1 5-7, 4 5..,.. L arbre à virgules Il faut écrire un zéro après le dernier chiffre, pour avoir le même nombre de chiffres après la virgule. 3 Propriétés de la soustraction Comme pour les entiers, on ne peut pas effectuer une soustraction dans l'ordre que l'on veut : uniquement le grand nombre moins le petit. Ï 54,62 32,11 = 22,51 mais 32,11 54,62 est impossible. L'ordre a donc une importance. Ï (12,5 5,3) 3,2 = 4 et 12,5 (5,3 3,2) = 10,4 Le résultat est différent! 22

24 MULTIPLICATION DE NOMBRES DÉCIMAUX CAL Le sens de la multiplication On multiplie des décimaux pour : l Calculer l'aire d'un rectangle par exemple. Ex : Un rectangle a pour mesures L =2,5 cm et l = 1,5 cm. Quelle est son aire? l Calculer le prix de plusieurs objets de même prix. Ex : 1 cahier coute 1,80. J'ai acheté 5 cahiers. Combien dois-je payer? l Calculer le prix d'une fraction de l'unité. Ex : La côte de bœuf coute 13,50 le kg. J'en achète 0,750 kg. Combien dois-je payer? l Calculer le total d'une quantité qui se répète. Ex : Une allumette mesure 4,7 cm. Combien mesurent 16 allumettes mises bout à bout? 2 Multiplier un décimal par un entier On veut effectuer la multiplication de 6,82 par 14 = 6, Ï On effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule. 6,82 a deux chiffres après la virgule, le résultat sera donc 100 fois trop grand. Ï On place la virgule dans le résultat pour qu il y ait autant de chiffres après la virgule que dans le(s) décimal(aux) à multiplier. Donc 6,82 14 = 95,48 6ème 3 Multiplier deux décimaux Etape 1 : J'effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule. Etape 2 : Je place la virgule de façon à ce qu'il y ait autant de décimales au résultat qu'au total des chiffres de la multiplication. 23

25 DIVISION DÉCIMALE CAL Le sens de la division décimale Dans certaines situations de division, on doit continuer la division en mettant une virgule. Dans ces cas, le quotient sera décimal. Exemple : On veut partager 6 tartes entre 4 personnes. donc chaque personne aura 1 tarte entière et il reste 2 tartes (division euclidienne). On partage les 2 tartes restantes en 4 parts égales. Chaque personne aura donc 1 tarte et demi = 1,5 2. La technique de calcul Il s'agit de la même technique que la division euclidienne, mais cette fois, au lieu de s'arrêter en ayant un reste, on continue à diviser. Exemple : On veut partager 125 entre 4 enfants. - On commence par diviser la partie entière jusqu au 5. - Le reste n est pas nul, on ajoute une virgule puis un zéro au dividende. On dessine le repère dans les dixièmes du quotient en plaçant correctement la virgule. - On continue avec la partie décimale : on abaisse le 0 des dixièmes. - Le reste n est toujours pas nul, on ajoute encore un zéro au dividende, et un repère dans les centièmes du quotient, puis on abaisse ce zéro. - Le reste est nul la division est terminée. On obtient un quotient au centième (car on a dû ajouter 2 zéros au dividende). Donc 125 : 4 = 31,25 è chaque enfant recevra 31,25 Attention, dans certains cas, la division «ne tombe pas juste», c est-à-dire qu on n obtient jamais un reste nul (=0). Exemple : On veut diviser 128,90 en 3. - On place les repères et la virgule dans le quotient (jusqu aux dixièmes dans un premier temps). - On divise la partie entière (2 étapes), on abaisse le 9 des dixièmes. Le reste n est pas nul. - On ajoute donc un zéro au dividende et un repère dans les centièmes du quotient. On peut continuer ainsi pour les millièmes, les dix-millièmes Le reste est toujours 2, l opération ne se termine pas. On pouvait s en apercevoir dès les centièmes. On dit que 42,96 est une valeur approchée au centième près. 24

26 LA CALCULATRICE CAL.09 Virgule Attention, sur la plupart des calculatrices, l espace entre les classes de nombres est représenté par une apostrophe. Attention, dans un résultat, la calculatrice enlève tous les «zéros inutiles». Ainsi, «7,50» apparaitra comme «7,5». 25

27 PARTIE 3 CALCUL MENTAL LES TABLES D ADDITION CALM.01 26

28 LES TABLES DE MULTIPLICATION CALM.02 Table de 1 Table de 2 Table de 3 Table de 4 Table de 5 0 x 1 = 0 1 x 1 = 1 2 x 1 = 2 3 x 1 = 3 4 x 1 = 4 5 x 1 = 5 6 x 1 = 6 7 x 1 = 7 8 x 1 = 8 9 x 1 =9 10 x 1 =10 0 x 2 = 0 1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 3 x 2 = 6 4 x 2 = 8 5 x 2 = 10 6 x 2 = 12 7 x 2 = 14 8 x 2 =16 9 x 2 =18 10 x 2 =20 0 x 3 = 0 1 x 3 = 3 2 x 3 = 6 3 x 3 = 9 4 x 3 = 12 5 x 3 = 15 6 x 3 = 18 7 x 3 =21 8 x 3 =24 9 x 3 =27 10 x 3 =30 0 x 4 = 0 1 x 4 = 4 2 x 4 = 8 3 x 4 = 12 4 x 4 = 16 5 x 4 = 20 6 x 4 =24 7 x 4 =28 8 x 4 =32 9 x 4 =36 10 x 4 =40 0 x 5 = 0 1 x 5 = 5 2 x 5 = 10 3 x 5 = 15 4 x 5 = 20 5 x 5 =25 6 x 5 =30 7 x 5 =35 8 x 5 =40 9 x 5 =45 10 x 5 =50 Table de 6 Table de 7 Table de 8 Table de 9 Table de 10 0 x 6 = 0 1 x 6 = 6 2 x 6 = 12 3 x 6 = 18 4 x 6 =24 5 x 6 =30 6 x 6 =36 7 x 6 =42 8 x 6 =48 9 x 6 =54 10 x 6 =60 0 x 7 = 0 1 x 7 = 7 2 x 7 = 14 3 x 7 =21 4 x 7 =28 5 x 7 =35 6 x 7 =42 7 x 7 =49 8 x 7 =56 9 x 7 =63 10 x7 =70 0 x 8 = 0 1 x 8 = 8 2 x 8 =16 3 x 8 =24 4 x 8 =32 5 x 8 =40 6 x 8 =48 7 x 8 =56 8 x 8 =64 9 x 8 =72 10 x 8 =80 Table de 11 Table de 12 Table de 15 0 x 11 =0 1 x 11 =11 2 x 11 =22 3 x 11 =33 4 x 11 =44 5 x 11 =55 6 x 11 =66 7 x 11 =77 8 x 11 =88 9 x 11 =99 10 x 11 =110 0 x 12 = 0 1 x 12 =12 2 x 12 =24 3 x 12 =36 4 x 12 =48 5 x 12 =60 6 x 12 =72 7 x 12 =84 8 x 12 =96 9 x 12 = x 12 =120 0 x 15 = 0 1 x 15 =15 2 x 15 =30 3 x 15 =45 4 x 15 =60 5 x 15 =75 6 x 15 =90 7 x 15 =105 8 x 15 =120 9 x 15 = x 15 =150 0 x 9 = 0 1 x 9 =9 2 x 9 =18 3 x 9 =27 4 x 9 =36 5 x 9 =45 6 x 9 =54 7 x 9 =63 8 x 9 =72 9 x 9 =81 10 x 9 =90 0 x 10 =0 1 x 10 =10 2 x 10 =20 3 x 10 =30 4 x 10 =40 5 x 10 =50 6 x 10 =60 7 x 10 =70 8 x 10 =80 9 x 10 =90 10x10=

29 LES COMPLÉMENTS À 10 / 100 / CALM Les compléments à 10 Connaître les compléments à 10, c est connaître les additions de deux nombres dont les résultats font = = = = = = = = = = = Les compléments à = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 100 l Méthode pour trouver le complément à 100 d un nombre qui ne se termine pas par 0 ou 5 : 74 +? = 100 Astuce n 1 : On sait que = 100 Dans ce cas si on ajoute 30 à 74, on va dépasser 100. On obtiendra : 104 Il faut donc prendre moins de 30, (retirer 4) c'est-à-dire «dans les 20» = 104 à 30 4 = 26 à = 100 Astuce n 2 : On cherche à aller à la dizaine supérieure : 74 + = = 80 Puis, on cherche à aller de 80 à 100 : 80 + = = Les compléments à Pour trouver un complément à on utilise la même méthode : 714 +? = =

30 ASTUCES DE CALCUL MENTAL CALM Ajouter 10 c est ajouter une dizaine. Exemple : = = 2. Pour ajouter 9, on ajoute 10 et on retranche 1. Exemple: à = à = 203 à 55 1 = 54 à =. 3. Pour retrancher 9, on retranche 10 et on ajoute 1. Exemple: 56 9 à = à = à = 47 à =. 4. Pour ajouter 11, on ajoute 10 et on ajoute 1. Exemple: à = à =.. à = 56 à =. 5. Pour retrancher 11, on retranche 10 et on retranche 1. Exemple: 45-11à = à =. à 35-1 = 34 à =.. LES MULTIPLES CALM Le multiple d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par un autre. Exemple: Pour trouver les autres multiples de, 8, il suffit de chercher dans la table de "8". 8 x 2 = 16 8 x 3 = 24 8 x 4 = 32 8 x 5 = 40 8 x 6 = 48 8 x 7 = 56 8 x 8 = 64 8 x 9 = 72 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 sont tous des multiples de Quelques règles particulières à retenir Ï Les nombres sont des multiples de 2. 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14.50, 52, 54, 56, 58, Ï Les nombres qui finissent par un ou.. sont des multiples de 5. 0, 5, 10, 15, 20, 25, , 155, 160, Ï Les nombres qui finissent par un.. sont des multiples de 10. 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60,,120, 130,

31 LES DOUBLES CALM.06 Pour trouver le double d un nombre, on le multiplie par deux. Exemple : On cherche le double du nombre : 11 à On calcule : 11 x 2 = 22 On dit que 22 est le double de 11. Astuce pour trouver le double d un grand nombre : Il faut décomposer ce nombre puis doubler chaque nombre obtenu dans la décomposition Exemple : = à = l Il est utile de connaître par cœur certains doubles. (appui sur la table de 2) double de 10 = 20 double de 30 = 60 double de 50 = 100 double de 70 = 140 double de 90 = 180 double de 15 = 30 double de 35 = 70 double de 55 = 110 double de 75 = 150 double de 95 = 190 double de 20 = 40 double de 40 = 80 double de 60 = 120 double de 80 = 160 double de 150 = 300 double de 25 = 50 double de 45 = 90 double de 65 = 130 double de 85 = 170 double de 250 = 500 Certains nombres ne sont pas des doubles ; on les appelle des nombres impairs. Ils se terminent par 1, 3, 5, 7, 9. MOITIÉS CALM.07 Pour trouver la moitié d un nombre, on partage ce nombre en deux parties égales. Exemple : On cherche la moitié de 24. à 24, c est 12 et encore 12. On dit que 12 est la moitié de 24. Astuce pour trouver la moitié d un grand nombre : Il faut décomposer ce nombre puis partager chaque nombre obtenu dans la décomposition. Exemple : = à = l Il est utile de connaître par cœur certaines moitiés. (appui sur la table de 2) moitié de 20 = 10 moitié de 60 = 30 moitié de 100 = 50 moitié de 140 = 70 moitié de 180 = 90 moitié de 30 = 15 moitié de 70 = 35 moitié de 110 = 55 moitié de 150 = 75 moitié de 190 = 95 moitié de 40 = 20 moitié de 80 = 40 moitié de 120 = 60 moitié de 160 = 80 moitié de 300 = 150 moitié de 50 = 25 moitié de 90 = 45 moitié de 130 = 65 moitié de 170 = 85 moitié de 500 = 250 Certains nombres n ont pas de moitié ; on les appelle des nombres impairs. Ils se terminent par 1, 3, 5, 7, 9. 30

32 MULTIPLIER PAR CALM Pour multiplier un nombre entier par 10, 100, Pour multiplier un nombre entier par 10, il suffit de lui rajouter un zéro à la fin. Exemple : 36 x 10 = 360 Pour multiplier un nombre entier par 100, il suffit de lui rajouter deux zéros à la fin. Exemple : 470 x 100 = Pour multiplier un nombre entier par 1 000, il suffit de lui rajouter trois zéros à la fin. Exemple : 275 x = Pour multiplier un nombre décimal par 10, 100, Pour multiplier un nombre décimal par 10, il suffit de déplacer la virgule d un rang vers la droite. Exemple : 3,62 x 10 = 36,2 7,8 x 10 =.. Pour multiplier un nombre décimal par 100, il suffit de déplacer la virgule de deux rangs vers la droite. Exemple : 42,863 x 100 = 4 286,3 8,45 x 100 =. 9,3 x 100 =. Pour multiplier un nombre décimal par 1 000, il suffit de déplacer la virgule de trois rangs vers la droite. Exemple : 3,075 x = ,741 x =. 5,7 x =. Lorsque la virgule n est pas suivie d un chiffre, on la supprime. N oublie pas de compléter les rangs par des zéros si nécessaire. 4. Pour multiplier un nombre par 5 Multiplier par 5, c est multiplier par 10 puis prendre la moitié. Exemple : 26 x 5 =? à26 x 10 = à la moitié de 260 c est 130 à Donc, 26 x 5 = 5. Multiplier un nombre par un nombre à un chiffre sans poser l opération. Combien font 42 fois 3? On décompose à 42 c est ( ) 42 x 3 = on multiplie d abord 40, puis 2 (40 + 2) x 3 = ( 40 x 3) + ( 2 x 3 ) = = 126 Combien font 52 fois 6? 52 x 6 = (. +.) x 6 = (. x 6) + (. x 6 ) = +.. =. 31

33 DIVISER PAR CALM Pour diviser un nombre entier par 2 Diviser un nombre par 2, c est trouver sa moitié Pour diviser un nombre entier par 10, 100, Un nombre entier est un nombre qui a une partie décimale nulle. Exemple : 57 = 57,0 Ï Pour diviser un nombre entier par 10, il suffit de déplacer la virgule d.. rang vers la gauche. Exemple : = 3, =.(à 54,0) 7,3 10 = Ï Pour diviser un nombre entier par 100, il suffit de déplacer la virgule de. rangs vers la gauche. Exemple : = 4, =.. Ï Pour diviser un nombre entier par 1 000, il suffit de déplacer la virgule de trois rangs vers la gauche. Exemple : = 1, = Ne pas oublier de compléter les rangs par des zéros si nécessaire. Exemple : = 0, Pour diviser un nombre décimal par 10, 100, Ï Pour diviser un nombre décimal par 10, il suffit de déplacer la virgule d un rang vers la gauche. Exemple : 3,62 10 = 0,362 Ï Pour diviser un nombre décimal par 100, il suffit de déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche. Exemple : 128,6 100 = 1,286 Ï Pour diviser un nombre décimal par 1 000, il suffit déplacer la virgule de trois rangs vers la gauche. Exemple : 307, = 0,

34 PARTIE 4 GÉOMÉTRIE VOCABULAIRE ET CODAGE GEOM Le point Un point est un endroit précis du plan. On le repère avec une croix ( ). On le nomme avec une lettre majuscule. x A B x C X x D Des points situés sur une même droite sont des points alignés. On dit que les points A, B et C sont alignés et qu ils appartiennent à la droite (d). 2. La droite Une droite est une infinité de points alignés. Sur la feuille, on n en dessine qu une partie mais on peut toujours la prolonger. On nomme une droite entre parenthèses, soit avec une lettre minuscule, soit avec le nom de deux de ses points. A (d) On peut appeler cette droite (d) ou (AB) B 3. Le segment Un segment est un morceau de droite délimitée par deux points appelés extrémités. On nomme un segment à l'aide du nom de ses extrémités, entre crochets. A I On appelle ce segment : [AB] (d) B I est le point d intersection entre le segment [AB] et la droite (d). A I B I est à l'intérieur du segment. On dit que I appartient à [AB]. J est à l extérieur du segment. On dit que J n appartient pas à [AB]. A M B M est le milieu de [AB] alors M se situe à égale distance de A et de B. On note AM = MB 33

35 LES INSTRUMENTS DE TRACÉ GEOM La règle La règle permet de tracer des droites et des segments. Pour tracer une droite passant par deux points, il faut placer la règle juste en-dessous des deux points et tracer sans la bouger. Une règle graduée permet également de mesurer un objet ou un écart entre deux points. Attention Attention, le "o" n'est pas placé au bout de la règle! Pour bien reproduire une figure sur un tableau, un quadrillage, un papier pointé ou uni il est important de prendre les mesures avec application et les reporter en utilisant convenablement la règle graduée (placer correctement le "0" ) ou le compas (positionner avec soin la pointe et ne pas modifier l'écartement lors du déplacement du compas). 2. L équerre Avec une équerre, on peut : vérifier qu'un angle est droit construire un angle droit. 3. Le compas Le compas sert à : dessiner des cercles ou des arcs de cercle reporter des longueurs. 4. Le gabarit Un gabarit, c'est un modèle de l'objet que l'on veut reproduire, découpé dans une feuille de papier épais. Il permet de reproduire la même forme autant de fois que l'on veut. 34

36 DROITES PERPENDICULAIRES GEOM Définition Deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. Dans une phrase, le symbole utilisé est _l_. Sur une figure, le symbole utilisé est un petit carré. 2. Vérifier que deux droites sont perpendiculaires Pour savoir si des droites sont perpendiculaires, on utilise une équerre. 3. Tracer deux droites perpendiculaires Exemple :Je veux tracer la droite perpendiculaire à la droite (d1) et passant par le point A. 1) Je place ma règle sur la droite (d 1 ) 2) Je place un côté de l équerre sur la règle 3) Je fais glisser l équerre sur la règle jusqu à ce que le deuxième côté de l angle droit passe par le point A. 4) Je trace la droite perpendiculaire. 5) Je prolonge la droite perpendiculaire et je marque l angle droit. 35

37 DROITES PARALLÈLES GEOM Définition Deux droites sont parallèles quand elles ne se coupent jamais, même si on les prolonge au-delà de la feuille. La distance qui sépare ces droites est toujours la même. Le symbole utilisé est : // 2. Vérifier que deux droites sont parallèles 1) Je place l équerre sur un côté de l angle droit sur la droite (d 1 ). 2) Je place la règle sur l autre côté de l angle droit de l équerre. (d 2 ) (d 2 ) 3) Je fais glisser l équerre jusqu à la droite (d 2 ). 4) Je vérifie que la droite suit exactement le côté de l équerre. Les droites sont parallèles, on note (d 1 ) // (d 2 ) (d 2 ) 36

38 3. Tracer deux droites parallèles 1) Je place un côté de l équerre sur la droite (d1) 2) Je place la règle sur l autre côté de l équerre 3) Je fais glisser l équerre sur la règle jusqu à ce que le deuxième côté de l angle droit passe par le point A. 4) Je trace la droite parallèle 5) Je prolonge la droite parallèle 37

39 LES POLYGONES GEOM Définition Un polygone est une figure géométrique plane fermée. Elle est composée de segments. Un polygone est donc une ligne droite brisée et fermée Ce polygone possède 5 côtés et 5 sommets. 2. Exemples de polygones ATTENTION!!! Les figures suivantes ne sont pas des polygones. Ligne droite brisée non fermée Ligne fermée mais courbe 3. Les noms des polygones Les polygones qui ont... s'appellent... 3 côtés triangles 4 côtés quadrilatères 5 côtés pentagones 6 côtés hexagones 4. Les polygones réguliers Un polygone régulier est un polygone dont : - tous les côtés ont la même longueur - tous les angles ont la même mesure triangle régulier (équilatéral) quadrilatère régulier (carré) pentagone régulier hexagone régulier 38

40 LES QUADRILATÈRES GEOM Vocabulaire Un quadrilatère est un polygone qui a 4 côtés, 4 sommets, 2 diagonales, 4 angles. 2. Reconnaitre un quadrilatère Pour arriver à reconnaître les quadrilatères, il faut connaître leurs propriétés : - Losange Les côtés opposés sont parallèles : AB // DC et AD // BC Les 4 côtés sont égaux : AB = BC = CD = DA - Carré tous ses côtés sont parallèles 2 à 2 tous ses côtés ont la même longueur tous ses angles sont droits. - Rectangle tous ses angles sont droits. tous ses côtés sont parallèles 2 à 2. les côtés opposés ont la même longueur. le côté le plus long s appelle la longueur (L) le côté le plus court s appelle la largeur (l) 39

41 TRACER DES QUADRILATÈRES GEOM Construction du rectangle Méthode 1 : avec la règle et l équerre 1) Je trace un segment, je mesure la longueur avec la règle. 2) Je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je mesure la largeur. 3) Je recommence pour les deux autres côtés du rectangle. Méthode 2 : avec la règle, l équerre et le compas 1) Je trace un segment, je mesure la longueur avec la règle. 2) Je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité. 3) Je reporte la longueur du segment avec le compas. 4) Je reporte encore la longueur à partir que chaque extrémité déjà tracée. 5) Je relie les extrémités reportées. 2. Construction du carré Méthode 1 : avec la règle et l équerre 1) Je trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle (ou le compas). 2) Je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité, je mesure la même longueur (avec la règle ou le compas). 3) Je recommence pour les deux autres côtés du carré. Méthode 2 : 1) Je trace un segment, je mesure sa longueur avec la règle. 2) Je trace la perpendiculaire au segment à une extrémité. 3) Je reporte la longueur du segment avec le compas. 4) Je reporte encore la longueur à partir que chaque extrémité déjà tracée. 5) Je relie les extrémités reportées. 40

42 LES TRIANGLES GEOM.8 1. Rappel Le triangle est un polygone à trois côtés Le triangle a aussi trois sommets Quand on trace un triangle sans se soucier de la longueur de ses côtés, on dit qu il s agit d un triangle quelconque. 2. Des triangles particuliers Le triangle isocèle Un triangle isocèle est un triangle qui a 2 côtés de même longueur. Le triangle équilatéral Un triangle équilatéral est un triangle qui a 3 côtés de même longueur. Le triangle rectangle Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit (On l appelle ainsi car il forme la moitié d un rectangle). 41

43 TRACER DES TRIANGLES GEOM.9 Ex : Tracer un triangle quelconque dont les côtés font 6 cm, 3cm et 5 cm 1) Je trace un segment de 6 cm 2) J ouvre mon compas de 3 cm, je trace un arc de cercle en mettant la pointe du compas à la première extrémité du segment. 3) J ouvre mon compas de 5 cm, je trace un arc de cercle en mettant la pointe du compas à la deuxième extrémité du segment. 4) Je relie l intersection de ces 2 arcs de cercles avec chaque extrémité du segment. - On utilise cette technique pour tracer les triangles isocèles et équilatéraux. - Pour tracer un triangle rectangle, il nous suffit de connaitre la mesure des cotés qui sont de part et d autre de l angle droit (que l on trace avec l équerre), puis de relier les extrémités. Ex : Triangle rectangle en.. CM2 TRACER LA HAUTEUR D UN TRIANGLE GEOM.10 Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Elle peut être parfois à l extérieur. Le point d'intersection d'une hauteur et d'un côté s'appelle le pied de la hauteur. Dans cet exemple, E est le pied de la hauteur issue A A Dans un triangle rectangle, deux hauteurs sur les trois sont déjà tracées. B E C 42

44 LE CERCLE GEOM Définitions Un cercle est l ensemble des points situés à la même distance d un point appelé centre. On appelle rayon un segment qui va du centre jusqu à un point du cercle. On appelle corde un segment qui relie deux points du cercle. Un diamètre est un segment qui relie deux points du cercle et qui passe par le centre du cercle. La longueur du diamètre correspond au double de la longueur du rayon. Un arc de cercle est une portion de cercle délimitée par deux points. 2. Tracer des cercles Pour tracer des cercles il faut utiliser un compas. 43

45 PROGRAMME DE CONSTRUCTION GEOM Définition Un programme de construction est un texte qui donne des instructions pour tracer précisément une figure géométrique. C Tracer un cercle C de centre O. Tracer un diamètre [AB]. O B A 2. Lire un programme de construction Un programme de construction est un texte de géométrie : il utilise le vocabulaire de géométrie. Il faut s'assurer de bien comprendre tous les mots. Il faut suivre les instructions dans l'ordre où elles sont écrites. Avant de tracer précisément, on doit faire un croquis. On essaie de suivre le programme, rapidement, à main levée. Cela permet de voir si on a bien compris toutes les étapes, et de savoir de quels outils on va avoir besoin. programme brouillon outils Placer 3 points P, Q, R distincts*. Ø crayon * à des endroits différents Tracer un carré ABCD de côté 4 cm. Placer le point M, milieu de [AB]. Placer le point N, milieu de [CD]. Tracer le segment [MN]. Ø crayon Ø règle graduée Ø équerre Tracer une droite (d). Placer un point A sur la droite (d). Tracer la droite (e), perpendiculaire à (d) et passant par A. Placer un point B sur la droite (e), tel que AB = 5 cm. Ø crayon Ø règle graduée Ø équerre Ø compas Tracer le cercle de centre A et de rayon AB. 44

46 RÉDUIRE / AGRANDIR GEOM Réduire une figure Réduire une figure, c'est diviser toutes ses longueurs par le même nombre. Ex : Réduction par 2 8 cm 4 cm 6 cm 3 cm à 8 : 2 = 4 à 6 : 2 = 3 Ex : Réduction par 3, à toi de jouer! - longueur à : 3 = - largeur à : 3 = 9 cm 3 cm 2. Agrandir une figure Agrandir une figure, c'est multiplier toutes ses longueurs par le même nombre. fig. 2 Ex : Agrandissement par 2 pour la figure 2 Ex : Agrandissement par 3 pour la figure 3 fig. 1 fig. 3 Ex : Agrandissement par 2, à toi de jouer! - longueur à x = - largeur à x = 3 cm 2 cm 45

47 SE REPÉRER SUR UN QUADRILLAGE GEOM Vocabulaire du quadrillage On peut se repérer sur un quadrillage en regardant là où se croisent une ligne et une colonne. Les cases La case ( ; ) est coloriée en noir. Les nœuds Le point noir est placé sur le nœud ( ; ). Je colorie : - en rouge la case (B ; 3) - en jaune la case (E ; 1) Je place sur les nœuds : - le point rouge (A ; 4) - le point jaune (F ; 5) 2. Coder un déplacement On code un déplacement par une suite de flèches orientées dans la bonne direction. Ex : Complète le code suivant LA SYMÉTRIE Quand une figure peut être pliée en deux parties superposables on dit que cette figure est symétrique par rapport à cette droite. C est un axe de symétrie de la figure. Une même figure peut en avoir plusieurs. (fig. A) Certaines figures n en ont pas. (fig. B) Fig. A GEOM.15 Fig. B Tracer le symétrique d'une figure par rapport à une droite, c'est compléter la figure pour que la droite devienne axe de symétrie de l'ensemble. La figure symétrique est l'image de la figure de départ (comme dans un miroir). Sur un quadrillage : on peut construire l'image de chaque point en comptant les carreaux entre le point et l'axe de symétrie. L'image se trouve alors au même nombre de carreaux de l'autre côté de l'axe. Les figures ne se superposent pas par pliage, elles ne sont pas symétriques. 46

48 LES SOLIDES GEOM Définition Un solide est un objet en volume. Un solide présente des faces, des arêtes et des sommets Les faces d un solide peuvent être planes ou courbes. Un solide qui n a que des faces planes est un polyèdre. 2. Les différents solides plane courbe Solide Nom Types de faces Nombre d arêtes et de sommets Sphère Cylindre Cône Cube Pavé droit (parallélépipède rectangle) Prisme droit Pyramide à base carrée face courbe faces ( faces planes + face courbe) faces ( face plane + face courbe) faces planes carrées faces planes et rectangulaires (il peut parfois avoir 2 faces carrées). faces planes ( faces rectangulaires + faces triangulaires). faces planes ( faces triangulaires + face carrée) arête sommet arêtes sommet arête sommet arêtes sommets arêtes sommets arêtes sommets arêtes sommets Pyramide à base triangulaire. faces planes triangulaires arêtes sommets Le dessin peut faire apparaître les arêtes cachées, elles sont alors en pointillé. 47

49 CONSTRUIRE DES SOLIDES GEOM.17 Un patron est le dessin des faces de ce solide qui permet, par pliage, de construire le solide. Certains solides peuvent avoir plusieurs patrons. Ex : Le carré, le pavé droit a) Patron du cube Un cube est constitué de 6 faces identiques. Pour construire son patron, il faut «déplier» le cube pour dessiner les 6 carrés à plat. Voici le patron du cube : D autres patrons sont possibles : b) Patron du pavé droit (parallélépipède rectangle) Comme pour le cube, plusieurs patrons sont possibles pour le pavé droit. Un exemple de patron c) Patron du prisme droit (base triangulaire) Un exemple de patron 48

50 PARTIE 5 GRANDEUR ET MESURE LIRE L HEURE MES Les heures et les minutes La petite aiguille ainsi que les nombres indiquent les heures (de 1 à 12). è La petite aiguille est sur le., il est donc... La grande aiguille et les graduations indiquent les minutes. 1h = 60 minutes = un tour de cadran Chaque grande graduation correspond à 5 min : il faut donc multiplier par 5 les nombres du cadran pour trouver le nombre de minutes. è La grande aiguille est sur le., on fait...x =., il donc h et.min. Si nous sommes l après-midi ou le soir, il faut rajouter 12h à l heure affichée. è La petite aiguille est sur le 9, et nous sommes le soir, il est donc 9h +. =.. soit..h et.min. Il faut faire très attention à la position des aiguilles des heures. En effet, celle-ci avance très lentement, mais elle avance! Quand il est 9h10min, la petite aiguille n est plus sur le 9. Elle a légèrement avancé. «Moins dix» «Moins le «Moins quart» le quart» «Moins cinq» «Moins cinq» Quand il est 9h30min, la petite aiguille est à michemin entre le 9 et le 10. «Et «Et demi» demi» «Et quart» Quand il est 9h45min, la petite aiguille est proche du 10! 49 Lorsque la grande aiguille est sur le : - 3 (15 minutes), on dit qu il est «et quart», (10h15 = «dix heures et quart») - 6 (30 minutes), on dit qu il est «et demi», (10h30 = «dix heures et demi») - 9 (45 minutes), on dit qu il est «moins le quart», (10h45 = «onze heures moins le quart») - 10 (50 minutes), on dit qu il est «moins dix», (10h50 = «onze heures moins dix») - 11 (55 minutes), on dit qu il est «moins cinq». (10h55 = «onze heures moins cinq»)

51 LES DURÉES MES Les unités de temps 1 millénaire = 1000 ans 1 siècle = 100 ans 1 an = 12 mois = 365 jours ou 366 jours 1 mois = 28, 29, 30 ou 31 jours 1 semaine = 7 jours 1 jour = 24 heures 1 heure = 60 minutes = secondes 30 minutes = une demi-heure 15 minutes = un quart d heure 45 minutes = trois quarts d heure 1 minute = 60 secondes 1 seconde = 10 dixièmes de secondes Les abréviations : jour [ j heure [ h minute [ min seconde [ s 2. Convertir des durées Convertir les heures en minutes : 3 h 15 min = 3 x 60 min + 15 min = 180 min + 15 min = 195 min 5 h 30 min =... x min +. min =.. min +. min = min (Mêmes calculs pour convertir les minutes en secondes) Convertir les minutes en heures : 260 min = 240 min + 20 min = 4 x 60 min + 20 min = 4 h 20 min 560 min =... min +. min =. X. min =... h. min (Mêmes calculs pour convertir les secondes en minutes) Utilise la table de 60 (Table de 6 avec un zéro) 1 x 60 = 6 x 60 =... 2 x 60 = 7 x 60 = 3 x 60 = 8 x 60 = 4 x 60 =... 9 x 60 = 5 x 60 = 10 x 60 = 3. Calculer les durées Une durée est la différence entre 2 instants, le début et la fin de l'évènement. Pour calculer une durée, on peut s aider de la technique des «ponts». Ex 1 : La séance de Mathématiques débute à 10h30 et finit à 11h15. Combien de temps dure-t-elle? Ex 2 : Un groupe de marcheurs part en randonnée à 9h40 puis revient à 14h15. Combien de temps ont-ils marché? 50

52 LES ANGLES MES Notion d angle Un angle est la mesure de l écartement entre deux demi-droites, les côtés de l angle de même extrémité, le sommet de l angle. La taille d un angle ne dépend pas de la taille de ses côtés! à Ces deux angles sont identiques : 2. Angles droits, aigu et obtus L angle droit. C est un angle particulier. On peut vérifier qu un angle est droit avec une.... L angle aigu. C est un angle plus petit que l angle droit. L angle obtus. C est un angle plus grand que l angle droit. 3. Comparer des angles Pour comparer deux angles : - on construit un gabarit par pliage ou découpage, qui a la même ouverture que l'angle 1, - on pose le gabarit sur l'angle 2, - on voit si l'angle 2 est plus petit, plus grand ou égal à l'angle 1. 51

53 LES MESURES DE LONGUEUR MES Les unités de longueur L'unité principale de mesure des longueurs est le mètre. Tableau des unités de mesure de longueur km hm dam m dm cm mm kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre 1 km = m 1 hm = 100 m 1 dam = 10 m 10 dm = 1 m 100 cm = 1 m mm = 1 m 2. Convertir des longueurs Pour convertir une mesure dans une autre unité, on peut utiliser le tableau des unités de mesure. Règles à respecter : - On place toujours le chiffre des unités dans la colonne de l'unité utilisée. ATTENTION (cm2) : Pour les nombres décimaux, le chiffre des unités est celui juste avant la virgule. à Exemple : 8,7-53,15-103,46 - On ne place qu un seul chiffre par colonne. - Pour convertir dans une unité plus petite, on complète les colonnes vides avec des zéros. (cm2 : on décale la virgule vers la droite pour les nombres décimaux.) - Pour convertir dans une unité plus grande, on enlève les zéros inutiles. (cm2 : on décale la virgule vers la gauche pour les nombres décimaux.) Exemples : 27 dam = cm mm = dm Cm2 : 48,5 hm = cm mm = m 3. Comparer des longueurs ou résoudre des problèmes Pour comparer des longueurs d unités différentes ou résoudre des problèmes avec des unités différentes, il faut convertir les mesures dans la même unité. Exemple 1 : Je veux comparer 7 hm et 340 m. Je convertis 7 hm en m : 7 hm = 700 m à 700 < 340 donc 7 hm < 340 m Exemple 2 : Jean prépare son itinéraire à vélo pour sa prochaine sortie. La première étape fera 5 km, la deuxième 700 dam et la troisième m. Quelle distance Jean va-t-il parcourir (en km)? Je convertis tout en km et je fais le calcul dans le tableau. è Jean va parcourir 14 km

54 LES MESURES DE MASSE MES Les unités de masse L'unité principale de mesure de masse est le gramme. Tableau des unités de mesures de masse kg hg dag g dg cg mg kilogramme hectogramme décagramme gramme décigramme centigramme milligramme 1 kg = g 1 hg = 100 g 1 dag = 10 g 10 dg = 1 g 100 cg = 1 g mg = 1 g 2. Convertir des masses Pour convertir une mesure dans une autre unité, on peut utiliser le tableau des unités de mesure. Règles à respecter : - On place toujours le chiffre des unités dans la colonne de l'unité utilisée. ATTENTION (cm2) : Pour les nombres décimaux, le chiffre des unités est celui juste avant la virgule. - On ne place qu un seul chiffre par colonne. à Exemple : 8,7-53,15-103,46 - Pour convertir dans une unité plus petite, on complète les colonnes vides avec des zéros. (cm2 : on décale la virgule vers la droite pour les nombres décimaux.) - Pour convertir dans une unité plus grande, on enlève les zéros inutiles. (cm2 : on décale la virgule vers la gauche pour les nombres décimaux.) Exemples : 53 dag = cg mg = dg Cm2 : 72,5 hg = cg mg = g 3. Comparer des masses ou résoudre des problèmes Pour comparer des masses d unités différentes ou résoudre des problèmes avec des unités différentes, il faut convertir les mesures dans la même unité. Exemple 1 : Je veux comparer 8 hg et 420 g. Je convertis 8 hg en g : 8 hg = 800 g à 800 < 420 donc 8 hg < 420 g Exemple 2 : Karine prépare son cartable. Elle y met son cahier qui pèse 200 g, sa trousse de 15 dag et son classeur de dg. Quelle masse met-elle dans son cartable (en g)? Je convertis tout en g et je fais le calcul dans le tableau. è Karine met g d affaires dans son cartable, soit 1 kg et 150 g

55 LE PÉRIMÈTRE MES Notion de périmètre Le périmètre d'une figure, c'est la longueur de son contour. 2. Calculer le périmètre Pour un polygone quelconque, on ajoute la longueur de chaque côté. è Exemple : P = AB + BC + CD + DE + EA P = = 12 cm Le périmètre de la figure mesure donc 12 cm. Pour un polygone régulier, on peut déterminer des formules de calcul : 3. Résoudre des problèmes sur le périmètre Exemple : Un agriculteur veut clôturer son pré rectangulaire de longueur 60m et de largeur 25m, en y laissant une ouverture de 8m de large. m Quelle longueur de clôture doit-il installer? è Calcul du périmètre du pré : P = (Formule du périmètre du rectangle) m P = (Calcul) P = (Calcul intermédiaire) m P = m (Résultat) è Calcul de la longueur de la clôture : (On enlève l ouverture) = m è Phrase réponse : 54

56 L AIRE MES La notion d aire L aire d une figure, c est la mesure de sa surface. Il faut bien distinguer l aire (la surface) d une figure de son périmètre (le contour). 2. Mesurer des aires Mesurer l'aire d'une surface, c'est savoir combien il faut de surfaces-unités pour la recouvrir complètement. è Exemples : L aire de cette figure est de unités. L aire de cette figure est de unités. Des figures de formes différentes peuvent avoir la même aire. è Exemple : Ces deux figures ont la même aire : 11 carreaux Deux figures de même aire n ont pas forcément le même périmètre! Le contour de la deuxième figure est plus long que celui de la première. 3. Calculer une aire Pour calculer l aire d une figure simple, on peut utiliser une formule : Aire d un carré : L aire de ce carré est 16 unités d aires, car 4 x 4 = unités è Pour calculer l aire d un carré, on fait donc : côté x côté è Formule : A carré = c x c c c 4 unités Aire d un rectangle L aire de ce rectangle est 8 unités d aires, car 4 x 2 = 8. è Pour calculer l aire d un rectangle, on fait : Longueur x largeur è Formule : A rect. = L x l L l 55

57 Exemples : 3 cm 10 m 3 cm 4 m A = c x c = 3 x 3 = 9 cm 2 (avec cm 2 = cm x cm) A = L x l = 10 x 4 = 40 m 2 (avec m 2 = m x m) 4. Les unités d'aire L'unité principale de mesure d'aire est le mètre carré (m²). Tableau des unités de mesure des aires km² hm² dam² m² dm² cm² mm² Kilomètre carré Hectomètre carré Décamètre carré Mètre carré Décimètre carré Centimètre carré Millimètre carré Les rapports entre les unités sont différents des autres mesures (longueur, masse). è Chaque unité est 100 fois plus grande que l'unité inférieure. Chaque unité du tableau contient donc 2 colonnes. 5. Convertir une aire Pour convertir une aire dans une autre unité, on peut utiliser le tableau des unités d aires. Règles à respecter : - On place toujours le chiffre des unités dans la colonne de droite de l'unité utilisée. ATTENTION (cm2) : Pour les nombres décimaux, le chiffre des unités est celui juste avant la virgule. à Exemple : 8,7-53,15-103,46 - On ne place qu un seul chiffre par petite colonne, soit 2 chiffres par unités. - Pour convertir dans une unité plus petite, on complète les colonnes vides avec des zéros. (cm2 : on décale la virgule vers la droite pour les nombres décimaux.) - Pour convertir dans une unité plus grande, on enlève les zéros inutiles. (cm2 : on décale la virgule vers la gauche pour les nombres décimaux.) Exemples : 81 dam 2 = cm mm 2 = dm 2 Cm2 : 96,5 hm 2 = m dm 2 = km 2 56

58 LES MESURES DE CONTENANCE MES Les unités de contenance La contenance (ou la capacité) d'un objet, c'est la quantité de liquide qu il peut contenir. L'unité principale de mesure de contenance est le litre. Tableau des unités de mesure des contenances kl hl dal L dl cl ml kilolitre hectolitre décalitre litre décilitre centilitre millilitre 1 kl = L 1 hl = 100 L 1 dal = 10 L 10 dl = 1 L 100 cl = 1 L ml = 1 L 2. Convertir des contenances Pour convertir une mesure dans une autre unité, on peut utiliser le tableau des unités de mesure. Règles à respecter : - On place toujours le chiffre des unités dans la colonne de l'unité utilisée. ATTENTION (cm2) : Pour les nombres décimaux, le chiffre des unités est celui juste avant la virgule. - On ne place qu un seul chiffre par colonne. à Exemple : 8,7-53,15-103,46 - Pour convertir dans une unité plus petite, on complète les colonnes vides avec des zéros. (cm2 : on décale la virgule vers la droite pour les nombres décimaux.) - Pour convertir dans une unité plus grande, on enlève les zéros inutiles. (cm2 : on décale la virgule vers la gauche pour les nombres décimaux.) Exemples : 53 dal = cl ml = dl Cm2 : 72,5 hl = cl 913 ml = dal 3. Comparer des contenances ou résoudre des problèmes Pour comparer des contenances d unités différentes ou résoudre des problèmes avec, il faut convertir les mesures dans la même unité. Exemple 1 : Je veux comparer 8 hl et 420 L. Je convertis 8 hl en L : 8 hl = 800 L à 800 < 420 donc 8 hl < 420 L. Exemple 2 : Olivier prépare un cocktail : il mélange 2 L de jus d orange avec 500 ml de limonade et 20 cl de sirop de grenadine. Quelle quantité de boisson obtient-il (en cl)? Je convertis tout en cl et je fais le calcul dans le tableau. è Olivier obtient 270 cl de boisson soit 2L et 70cL

59 PARTIE 6 ORGANISATION et GESTION de DONNÉES LIRE ET RÉSOUDRE UN PROBLÈME DO Qu'est-ce qu'un problème? Un problème se compose toujours : d un énoncé, qui présente une situation, ainsi qu'une série d'informations, sous forme de texte, de tableaux, de dessins, de graphiques, etc. d une ou plusieurs questions. Résoudre le problème, c'est répondre à la question à l'aide de l'énoncé. 2. Lire l'énoncé Lire correctement l'énoncé d'un problème, c'est comprendre la situation, tout en relevant les informations qui vont être utiles. Une seule lecture ne peut pas suffire! Un problème se lit de nombreuses fois. Si on a bien lu l'énoncé, on peut : raconter la situation avec ses propres mots être capable de représenter la situation par un schéma faire la liste de toutes les informations, chiffrées ou non, données dans le problème trier les informations utiles ou non. Attention : Certaines informations ne servent à rien (les données inutiles), d'autres ne sont pas écrites parce qu'on est sensé les connaître (exemple : nombre de jours au mois de janvier) ou parce que l on doit les trouver (problèmes à plusieurs étapes). 3. La question elle peut donner des informations supplémentaires très importantes elle peut utiliser des mots de vocabulaire très précis (à vérifier dans le dictionnaire si besoin) elle va servir de base à la rédaction de la réponse. 4. La stratégie Si on a bien lu et compris le problème, on cherche comment répondre à la question : Le début : de quelle situation on démarre. La fin : à quelle situation on doit arriver. La démarche : le chemin qu on choisit pour atteindre la solution. C'est à ce moment-là qu'il faut faire des calculs, des tris, etc. On doit pouvoir raconter sa stratégie : «Je vais faire ça, et puis ça,... pour trouver ça.» 58

60 5. La vérification Quand on a terminé, on trouve une solution du problème. Il reste à vérifier son travail : Est-ce que l on a relevé les bonnes informations? Est-ce que les nombres, les calculs sont justes? Est-ce que le résultat que l on trouve est possible? Quand on est sûr de son résultat, on peut rédiger une réponse. 6. Les éléments de la réponse : la phrase réponse La phrase réponse doit reprendre les mots de la question. La réponse doit répondre à la question! Exemples : Questions Combien de bonbons lui reste-t-il? A quelle heure arrive-t-elle? Réponses è Il lui reste 9 bonbons. è Quelle somme Arthur doit-il payer? è Astuce : Plus précisément, le sujet et le verbe de la question sont toujours repris. 7. Nombres et unités Quand la question demande de trouver un nombre, il faut toujours vérifier : que ce nombre soit dans la bonne unité. La question donne toujours des informations sur la grandeur attendue. Exemple : La Tour Eiffel mesure 169 millimètres. è La Tour Eiffel mesure 169 mètres. que l on n oublie pas d écrire l unité dans la phrase réponse. Exemple : La Tour Eiffel mesure 169. è La Tour Eiffel mesure 169 mètres. - Qu est-ce qu on cherche? C est la grandeur attendue. Quelle unité va être l unité? La question est: On cherche : La réponse s exprime en : Combien de temps.? une DUREE secondes, minutes, heures, mois A quelle heure.? un HORAIRE.h.min Combien coûte? Combien lui reste-t-il? un PRIX, une DEPENSE, un COUT, une SOMME, un RESTE Unité de monnaie : (Euros), centimes d, $ (Dollars) Combien de Kg? unités de masse une MASSE Quel est le poids? Kg, grammes, etc Combien de litres? une CONTENANCE, un VOLUME unités de volume : L, hl, cl, ml, m³ Combien mesure? Quelle distance? Combien de? Quel est le nombre de? une HAUTEUR, une LONGUEUR, une DISTANCE, une TAILLE une QUANTITE Km, m, cm, mm, unités de longueur Personnes, livres, billes, bonbons, etc Quelle est la surface de? une SURFACE m², km 2 59

61 8. La présentation d un problème à une seule étape Exemple : Une école est constituée de trois classes : un CP-CE1 de 10 filles et 7 garçons, un CE2 de 11 filles et 12 garçons élèves et un CM1-CM2 de 12 filles et 9 garçons. Combien y a-t-il de filles en tout dans cette école? Ce que je cherche : Je cherche le nombre de filles dans l école. Lorsque le problème se résout en une seule étape, «ce que je cherche» correspond à la question du problème. Calcul en ligne : = 33 Un seul calcul permet de répondre à la question. Phrase réponse : Il y a 33 filles dans l école. La phrase reprend les mots de la question, le résultat et l unité correspondante. 9. La présentation d un problème à plusieurs étapes Exemple : Une école est constituée de trois classes : un CP-CE1 de 10 filles et 7 garçons, un CE2 de 11 filles et 12 garçons élèves et un CM1-CM2 de 12 filles et 9 garçons. Y a-t-il plus de filles que de garçons dans cette école? On ne peut pas répondre directement à la question du problème. On doit donc poser et résoudre des étapes intermédiaires. 1 ère étape : Ce que je cherche : Je cherche le nombre de filles dans l école. Lorsque le problème se résout en plusieurs étapes, le premier «ce que je cherche» correspond à la première étape du problème. Calcul en ligne : = 33 Phrase réponse : Il y a 33 filles dans l école. 2 ème étape : Ce que je cherche : Je cherche le nombre de garçons dans l école. Le deuxième «ce que je cherche» correspond à la deuxième étape du problème. Calcul en ligne : = 28 Phrase réponse : Il y a 28 garçons dans l école. Dernière étape : Correspond à la question initiale du problème. Ce que je cherche : Je cherche le groupe le plus nombreux. Calcul en ligne : 28 < 33 Une comparaison permet de répondre à la question. Phrase réponse : Il y a plus de filles que de garçons dans l école. 60

62 LIRE ET CONSTRUIRE UN TABLEAU DO Un tableau est une grille composée de lignes et de colonnes Un tableau permet de présenter clairement un grand nombre d'informations. On trouve dans la même ligne (ou la même colonne) des informations de même nature. Elèves Loïc Marc Julie Greg Noémie Temps 3 min 15 s 4 min 07 s 3 min 32 s 3 min 01 s 3 min 86 s Dans ce tableau, la première ligne contient des prénoms, la deuxième ligne contient des durées. Souvent, on donne un titre à la ligne (ou à la colonne). Dans ce tableau, la première ligne a pour titre «Élèves», la deuxième ligne s'appelle «Temps». 2. Lire une information dans un tableau Pour chercher une information, il faut la chercher au croisement d une ligne et d une colonne. Ex : En saut en longueur, quelle a été la performance de Hugo au 3e essai? On repère la case située à l'intersection de la ligne «Hugo» et de la colonne «3e essai». è Hugo a sauté 208 cm. 3. Relever des informations pour construire un tableau Pour pouvoir construire un tableau, il faut des informations : que l'on peut grouper sous un titre commun en nombre équivalent pour chaque groupe Exemples : On a mesuré la masse de différents animaux. Une gerbille pèse 80 g. Un hamster pèse 110 g. Un lapin nain pèse 900 g. Un chat pèse 4 kg. Un chien pèse 15 kg. On peut ranger les informations en deux groupes : «nom de l'animal» et «poids». Pour chaque animal, on connait son poids. è On peut construire un tableau. Olivier a relevé des informations sur ses copains. Henri aime les glaces. Lucas mesure 1 m 35. Noé habite dans la rue de l'église. Paul raconte des histoires drôles. On peut faire un groupe : «prénom du copain». Mais les informations sur chacun ne forment pas un groupe. è On ne peut pas construire un tableau. Masse de quelques animaux Animal Masse gerbille 80 g hamster 110 g lapin nain 900 g chat 4 kg chien 15 kg On peut présenter les informations en colonnes ou en lignes. En.. En. è Les deux tableaux sont équivalents, mais la présentation est différente. 61

63 LIRE UN GRAPHIQUE DO La représentation graphique La représentation graphique est une manière de présenter des données sous forme de dessin. On a ainsi une représentation visuelle de l'ensemble des données La courbe Température (en C) Le diagramme à barres ou histogramme Taille des élèves de CM2 (en cm) 4 60 Voici différentes représentations graphiques : févr févr févr févr févr févr févr févr Anthony Marie Denis Max Victor 2. Le vocabulaire des graphiques Dans un graphique, les points sont repérés par leurs coordonnées. Pour indiquer les coordonnées, on commence par la valeur horizontale, puis la valeur verticale. Le point D (1;5) Le point E (4;3) Le point F (9;1) 3. Lire des graphiques S utilise pour une évolution. Ex: Températures moyennes à Trifouillis Quelle est la température moyenne au mois de mai? On cherche le mois de mai. On part de «mai» et on trace une ligne verticale jusqu'en haut de la barre. On trace une ligne horizontale jusqu'à la température. On lit la valeur : 15 degrés. Ex: La taille de Lucas A quel âge Lucas mesurait-il 130 cm? On cherche la valeur «130» du coté de la taille. On part de 130 et on trace une ligne horizontale jusqu'à la courbe. On trace une ligne verticale jusqu'à l'âge. On lit la valeur: 7 ans Axe des ordonnées (vertical) D E S utilise pour une quantité F Axe des abscisses (horizontal) 62