Espérance mathématique:

Transcription

1 06//03 v.a. dscrète: spérance mathématque: L espérance mathématque d une v. a. dscrète X, notée (X) est: ( X ) x P( X x ) x p v.a. contnue: L espérance mathématque d une v. a. contnue X, de foncton de densté f est donnée par: ( X ) x f ( x) dx Prof. Mohamed l Merouan Proprétés de l espérance: Soent Xet Ydeux v. a., et αet βdeux réels quelconques, alors: ) ( α ) α ) ( X + α ) ( X ) +α 3 ) ( α X ) α( X ) ) ( X + Y) ( X) + ( Y) 5 ) ( X Y ) ( X ) ( Y ) ( ) 0 6 ) ( X X

2 06//03 Démonstraton: ) ( α ) α? La moyenne d une constante est elle-même! (α)α.p(xα)α.α ) ( X + α ) ( X ) + α? Cas dscret: α α ( X + ) ( x + ) P( X x ) ( X + α ) x P( X x ) + α P( X x ) ( ) ( ) α X + α X + Cas contnu: ( X α ) ( x + α ) f ( x) dx xf ( x) dx + α f ( x dx ( X ) + α + ) 3 3 ) ( α X ) α( X )? Cas dscret: Cas contnu: Démonstraton: ( αx ) αx P( X x ) α x P( X x ) α( X ) ( α X ) αxf ( x) dx α xf ( x) dx α( X ) Prof. Mohamed l Merouan

3 06//03 Démonstraton: ) ( X + Y) ( X ) + ( Y)? Cas dscret: ( X + Y ) ( x + y ) P( X x Y y ),, Mas, P ( X x, Y y ) P( X x ) ( X + Y) x ( ) P X x, Y y + y P( X x Y y ) et P ( X x, Y y ) P( Y y ) Prof. Mohamed l Merouan 5 P ( X x, Y y ) P U( X x ) I ( Y y ) P U ( X x ) I ( Y ) y [( X ) Ω] P I x ( X ) P x Prof. Mohamed l Merouan 6 3

4 06//03 On obtent, donc, Démonstraton: ( X + Y ) xp( X x ) + y P( Y y ) ( X ) ( Y ) + Prof. Mohamed l Merouan 7 Démonstraton: ) ( X + Y) ( X ) + ( Y)? Cas contnu: ( X + Y ) ( x + y) f ( x, y) dxdy ( x + y) f ( x, y) dy dx x f ( x, y) dy + yf ( x, y) dy dx xf X ( x) dx + y f ( x, y) dx dy ( X ) + yf ( y) dy ( X ) ( Y ) Y + Prof. Mohamed l Merouan 8

5 06//03 Démonstraton: 5 ) ( X Y ) ( X ) ( Y )? (X-Y)(X+(-Y))(X)+(-Y)(X)-(Y) ( ) 0 6 ) ( X X (X-(X))(X)-((X))(X)-(X)0 Prof. Mohamed l Merouan 9 Proprété (Théorème de transfert): X v.a. dscrète: S Yφ(X), alors ( Y ) ϕ( x ) P( X x ) X v.a. contnue: S Yφ(X), alors ( Y ) ϕ( x) f ( x)dx Prof. Mohamed l Merouan 0 5

6 06//03 Démonstraton: X v.a. dscrète: Y ϕ( X ) y P ϕ( X ) Où φ(x)(ω){y,y,,y, }. Pour fxé, sot φ - (y ). On a φ - (y ) X(Ω). On note φ - (y ) {x /ЄI }, ensemble des x ayant même mage y ; D où ( ) ( ) ( y ) ( ϕ( X ) y P( X x ) ) I I y P ( X x ) Donc Démonstraton: ( ϕ( X )) ϕ( x P( X x ) ) I Mas, dans un cas général, certanes des valeurs φ(x ), φ(x ),,φ(x ), coïncdent. n regroupant les x ayant même mage y, c est-à-dre les valeurs qu coïncdent et en addtonnant leur probablté, on a: ( Y ) ϕ( x ) P( X x ) Prof. Mohamed l Merouan 6

7 06//03 xemple: Sot Xv.a. dscrète de lo de probabltés: x p / / / n posant YX, d après la proprété précédente, on a: ( Y ) ϕ( x ) p ( 3) (3) 9 Prof. Mohamed l Merouan 3 xemple (sute): Mas, on peut auss écrre la lo de Y: y 0 9 p / / Dans cet exemple, on a φ - (0)0, φ - ({9}){-3,3} ( Y ) Prof. Mohamed l Merouan 7

8 06//03 Démonstraton: (Théorème de transfert) Dans le cas où X v.a. contnue: #La démonstraton sera donnée comme exercce à fare en T.D.# Prof. Mohamed l Merouan 5 xemple: Sot X une v.a. contnue de densté de probablté: 3 ( x ) ; 0 x f ( x) 0 ; autrement Trouver (X ). 3 ( X ) x f x) dx x ( x ) ( dx 0 5 Prof. Mohamed l Merouan 6 8

9 06//03 Proprété: S deux v.a. Xet Ysont ndépendantes, alors on a: (XY)(X).(Y) n effet, s Xet Ysont dscrètes, alors: ( XY ) x y P( X x, Y y ) x y P( X x ) P( Y y ) Car Xet Ysont ndépendantes. Prof. Mohamed l Merouan 7 On en tre Proprété (sute): ( XY ) xp( X x ) y P( Y y ) x P ( X ) ( Y ) ( X x ) ( Y ) Prof. Mohamed l Merouan 8 9

10 06//03 S Xet Ysont contnues: ( XY ) xyf ( x, y) dxdy xyf X ( x) fy ( y) dxdy ( xf x Y ) X ( ) ( ) xf X ( x) ( X ) ( Y ) yf Y ( y) dy dx dx 9 Remarque: La récproque est fausse: (XY)(X)(Y) n mplque pas l ndépendance de X et Y. Prof. Mohamed l Merouan 0 0

11 06//03 xemple: On consdère le couple de v.a. (X,Y) de lo: X P(Yy ) Y - 0 / 0 / 0 / 0 / / 0 / 0 / P(Xx ) / / / Prof. Mohamed l Merouan On a et xemple (sute): ( X ) ; ( Y ) ( XY ) ( )( 3) 0 + ( ) 0 + ( ) ( 3) Mas, l égalté ( 3) ( XY ) ( X ) ( Y ) n entrane pas l ndépendance de X et Y. Il sufft de vérfer, par exemple, que: P( X 0, Y ) P( X 0) P( Y ) 8

12 06//03 Varance: On défnt une mesure de dsperson de X autour de son espérance mathématque, dte varance de X. La varance d une v.a. X, notée Var(X)est défne par: Ou encore: [( X ( )) ] Var ( X ) X Var ( X) ( X ) ( ( X #La vérfcaton de cette dernère formule sera donnée comme exercce à fare en T.D.# )) 3 Écart-type: L écart-type d une varable aléatore X, noté σ(x), est défncommela racnecarréede savarance, σ ( X ) Var( X ) Prof. Mohamed l Merouan

13 06//03 xemple: On lance un dé. On a: P X x,,, L, 6 et ( X ) 3, 5 La varance Var(X) de X sera égale à Var( X) ( X ) ( ( X)) et ( ) ( 3,5 ), 9 σ ( X ) Var( X ),9,7 5 a, b IR,on a : Proprétés: ( ax + b) a Var( X ) ( X c) est mnmum ) Var ) ( ) quand c ( X ) 3)S X et )S X et Y Y sont Var sont Var ndépendantes, alors ( X + Y ) Var( X ) + Var( Y ) ndépendantes, #La démonstraton de ces proprétés sera donnée comme exercce à fare en T.D.# alors ( X Y ) Var( X ) + Var( Y ) 6 3

14 06//03 Varable centrée rédute: S Xest une v.a. non nulle, on appelle varable centrée rédute assocée à Xla v.a. Zdéfne par: X ( X ) Z σ X ( ) On a (Z)0 et Var(Z). Prof. Mohamed l Merouan 7 Varable centrée rédute: n effet, ( Z ) X ( X ) σ ( X ) ( X ( X )) ( X ) ( X ) σ ( X ) σ ( X ) 0 Var ( Z ) X Var σ ( X X ( X ) Var σ ( X ) ( X ) ) σ ( X ) Var σ ( X ) ( X ) 8

15 06//03 Moments (Cas dscrèt): Moment d ordre d une v.a. dscrète X, noté m est: m ( X ) x P( X x ) Moment centré d ordre d une v.a. dscrète X, noté µ est: ( X ( X )) ) ( x ( X ) P( X x ) µ ) Prof. Mohamed l Merouan 9 Moments (Cas contnu): Moment d ordre d une v.a. contnue X, noté m est: m ( X ) Moment centré d ordre d une v.a. X, noté µ est: µ x f ( x dx ) ( X ( X )) ) ( x ( X )) f ( x) dx Prof. Mohamed l Merouan 30 5

16 06//03 Remarques: La varance correspond au moment centré d ordre : Var(X)µ Comme pour l espérance mathématque, s la sére ou l ntégrale correspondante dverge, les moments peuvent parfos ne pas exster. Prof. Mohamed l Merouan 3 Inégalté de Benaymé-Tchebychev: Sot Xune v.a. telle que (X) et Var(X) exstent. Pour tout réel ε>0, on a: P Var( X ) ε ( X ( X ) ε ) #La démonstraton sera donnée comme exercce à fare en T.D.# Prof. Mohamed l Merouan 3 6

17 06//03 Covarance de deux varables aléatores: La covaranceentre deuxv. a. Xet Y, notée Cov(X,Y), est défne par Cov(X,Y)[(X (X))(Y (Y))] ou encore Cas dscrèt: Cov( X, Y) Cas contnue: Cov( X,Y) n m Cov(X,Y)(XY)-(X)(Y) x y P( X x, Y y ) ( X) ( Y) - - x y f(x,y)dx dy ( X ) ( Y ) Prof. Mohamed l Merouan 33 Proprétes: Soent Xet Ydeuxv. a. La covaranceestune forme blnéare symétrque: ) Cov(X,Y)Cov(Y,X) ) Cov(X+Y, Z)Cov(X, Z)+Cov(Y, Z) 3) Cov(λX,Y)λCov(X,Y) Prof. Mohamed l Merouan #La démonstraton de cette proprété sera donnée comme exercce à fare en T.D.# 3 7

18 06//03 Proprétes: S les varables X et Y sont ndépendantes, alors (XY)(X)(Y) et par sute Cov(X,Y)0 La récproque n est cependant pas vrae. Remarque: Pour XY, onretrouvela varancede Xcomme covarance de (X, X): Cov(X, X)[(X-(X))(X-(X))] [(X-(X)) ]Var(X) Prof. Mohamed l Merouan 35 xemple déà vu: Sot le couple de v.a. (X,Y) de lo: X P(Yy ) Y - 0 / 0 / 0 / 0 / / 0 / 0 / P(Xx ) / / / Prof. Mohamed l Merouan 36 8

19 06//03 On a vu que et xemple (sute): ( X ) 0 ; et ( Y ) 0 ( XY ) 0 D où Cov( X, Y ) ( XY ) ( X ) ( Y ) 0 Mas, Xet Ycomme on l a déà vu ne sont pas Indépendantes. Il sufft de vérfer, par exemple, que: P( X 0, Y ) P( X 0) P( Y ) 8 Prof. Mohamed l Merouan 37 Proprétes: On a: Var(X+Y)Var(X)+Var(Y)+Cov(X,Y) #La démonstraton sera donnée comme exercce à fare en T.D.# S les varables Xet Ysontndépendantes, alors, on retrouve: Var(X+Y)Var(X)+Var(Y), résultat déà vu. Prof. Mohamed l Merouan 38 9

20 06//03 Coeffcent de corrélaton entre deux v. a. : Le coeffcentde corrélatonentre deuxv. a. X et Y, de varancesnon nulles, noté est défne par: ( X,Y ) Cov( X, Y ) Cov( X, Y ) ρ ( X, Y ) Var( X ) Var( Y ) σ ( X ) σ ( Y ) Le coeffcent de corrélaton vare entre - et : ρ ( X, Y ) - ρ #La démonstraton sera donnée comme exercce à fare en T.D.# 39 On a: Inégalté de Schwartz: ( XY ) ( X ) ( Y ) #La démonstraton sera donnée comme exercce à fare en T.D.# Prof. Mohamed l Merouan 0 0