Chapitre X : Schéma de Bernoulli Loi Binomiale

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1 Chapitre X : Schéma de Bernoulli Loi Binomiale Extrait du programme : I. Schéma de Bernoulli 1. Epreuve et loi de Bernoulli Définition : On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p toute expérience aléatoire admettant - exactement deux issues : l une appelée succès et notée S, de probabilité d apparition p, et l autre appelée échec, notée E ou S de probabilité d apparition p Exemple : Une urne contient dix boules : 7 bleues et 3 rouges, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard et on considère comme un succès le fait de tirer une boule rouge. Il s agit d une épreuve de Bernoulli avec pour succès S : «Tirer une boule rouge» et pour échec S : «Tirer une boule bleue». Propriété : Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p, la variable aléatoire X, prenant pour valeur 1 si S se produit et 0 sinon, a la loi de probabilité ci-contre : k 0 1 P X k p p Son espérance est E X p et sa variance est V(X p p On dit que X est une variable de Bernoulli de paramètre p, ou que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p. Exemple : A l épreuve de Bernoulli de l exemple ci-dessus est associée la loi de Bernoulli de paramètre p. Elle est définie dans le tableau suivant : k 0 1 P X k

2 2. Schéma de Bernoulli Définition : On appelle schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p, toute expérience aléatoire consistant à répéter n fois de façon indépendante une même épreuve de Bernoulli de paramètre p. Un schéma de Bernoulli peut être représenté par un arbre de probabilité, il aura alors 2 n branches Exemple : Dans l urne de l exemple précédent, on tire une boule puis on la replace dans l urne avant d en choisir une seconde. Les deux tirages sont donc indépendants. On peut modéliser le schéma par un arbre : Point-méthode 27 : Reconnaitre un schéma de Bernoulli a) Dans une classe de Première, il y a 12 garçons et 15 filles. Le professeur choisit au hasard la fiche d un élève. Associer une épreuve de Bernoulli à cette situation. b) Le professeur choisit au hasard la fiche d un élève, puis une autre au hasard. Peut-on associer un schéma de Bernoulli à cette situation? Construire un arbre pondéré lié à cette situation. Solution : a. Une épreuve de Bernoulli existe si : - Chaque épreuve a uniquement 2 issues Lors de chaque épreuve (le choix d une fiche au hasard), on peut décider de considérer comme succès S «L élève choisi est une fille» et comme échec S»l élève choisi est un garçon». On peut donc associer une épreuve de Bernoulli à cette situation. b. Un schéma de Bernoulli existe si : - On a une épreuve de Bernoulli - Répétée à l identique, de façon indépendante des précédentes. Dans ce cas, il n y a pas indépendance entre les 2 épreuves : En effeit, lors du choix de la 1 ère fiche, le professeur a 27 possibilités, mais pour le choix de la seconde, il n a plus que 26 possibilités. On ne peut donc pas associer un schéma de Bernoulli à cette situation. 3. Coefficient binomial Définition : On considère un schéma de n épreuves de Bernoulli. Soit k un entier naturel tel que k n. On appelle coefficient binomial, ou combinaison de k parmi n, le nombre de chemins conduisant à k succès sur l arbre représentant l expérience. Ce nombre se note n k et se lit «k parmi n». Exemple : On reprend l urne contenant les dix boules : 7 bleues et 3 rouges. On tire successivement et avec remise trois boules de cette urne. On peut associer à cette situation le schéma de Bernoulli de paramètre n = 3 et p = 0,3 illustré par l arbre ci-dessous.

3 Il y a 1 seul chemin correspondant à k = 0 donc = 1 Il y a 3 chemins correspondant à k = 1 donc = 3 de même on lit : = 3 et = 1 II. Loi binomiale Définition : On considère une expérience qui suit un schéma de Bernoulli de paramètre n et p. Soit k un entier naturel tel que k n. On associe à l expérience la variable aléatoire X qui donne le nombre total de succès. La loi de probabilité de X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. On la note b n,p Propriété : Si une variable aléatoire X suit une loi binomiale b n,p, alors pour tout entier k compris entre 0 et n, la probabilité que X soit égale à k est : p X k n k p k p n k Exemple : Si on reprend l exemple précédent : Les coefficients binomiaux étant connus, on détermine aisément la loi binomiale b(3 ; 0,3) p(x = 0) = 0,30 0,7 3 = 1 0,3 0 0,7 3 = 0,343 p(x = 1) = 0,31 0,7 2 = 3 0,3 1 0,7 2 = 0,441 p(x = 2) = 0,32 0,7 1 = 3 0,3 2 0,7 1 = 0,189 p(x = 0) = 0,33 0,7 0 = 1 0,3 3 0,7 0 = 0,027 Propriété (admise) : Soit une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale b n,p, E X n p V X n p p Point-méthode 28 : Déterminer une loi binomiale En 2010, en France, il y avait 22% de femmes dans les conseils municipaux. On choisit au hasard, et de manière indépendante, trois membres des conseils municipaux sur le territoire français. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de femmes choisies. a. Justifier que la loi de probabilité X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Quelle est la probabilité que, parmi les trois personnes choisies, exactement deux soient des femmes? Solution : a. La rédaction pour justifier une loi binomiale est à savoir par cœur.

4 On répète n fois, de manière identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli (expliquer l épreuve), dont la proba de succès (expliquer le succès) est p. Alors X suit une loi binomiale de paramètre n et p : X~b ( n;p ) On répète 3 fois, de manière identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli (choisir un membre du conseil municipal), dont la probabilité de succès (choisir une femme) est 0,22. X suit donc une loi binomiale de paramètre 3 et 0,22 : X~ b ( 3;0,22 ) b. P ( X = 2 ) = n 2 p² ( 1 p )n 2 = 3 2 0,22² 0,781 0,113 La probabilité que, sur trois membres choisis, il y ait exactement deux femmes est d environ 0,113. Point-méthode 29 : utilisation de la calculatrice 1. Calculer 10 3 avec la calculatrice. Interpréter le résultat 2. Soit X une variable aléatoire suivant un loi binomiale de paramètres 10 et 0,27 a. Calculer P ( X = 7 ) b. Calculer P( X 5) c. Calculer P( X 3) Solution : 1. TI : - Taper 10 - m >>>PRB3 : combinaison - Taper 3 - ENTRER - Taper 10 - OPTN F6 (>) F3 (PROB) F3(nCr) - Taper 3 Donc 10 3 = 120 Cela veut dire qu il y a 120 chemins à 3 succès lorsqu on réalise une épreuve de Bernoulli 10 fois. 2. a. TI : - ²2 nde var 0 :binomfdp - Taper 10 (valeur de n) puis, - Taper 0.27 (valeur de p) puis, - Taper 7 (valeur de k) On trouve P ( X = 7 ) 0, Menu STAT - F5 (DIST)

5 - F5 (BINM) - F1 (BpD) - Data : Variable - x : 7 (valeur de k) - Numtrial : 10 (valeur de n) - p : 0.27 (valeur de p) b. TI : - 2 nde var alpha A :binomfrep - Taper 10 (valeur de n) - Taper 0.27 (valeur de p) - Taper 5 (valeur de k) On trouve P( X 5) 0,971 - Menu STAT - F5 (DIST) - F5 (BINM) - F2 (Bcd) - Data : Variable - x : 5 (valeur de k) - Numtrial : 10 (valeur de n) - p : 0.27 (valeur de p) c. Les calculatrices ne font pas les calculs avec les, il faut donc d abord repasser aux grâce à l événement contraire. On fera attention de bien décaler la valeur dans ce cas : P( X 3) = 1- P(X 2) TI : - 2 nde var alpha A :binomfrep - Taper 10 (valeur de n) - Taper 0.27 (valeur de p) - Taper 2 (valeur de k) - Taper 1 2 nde rép On trouve : P( X 3) = 1- P(X 2) 0,534 - Menu STAT - F5 (DIST) - F5 (BINM) - F2 (Bcd) - Data : Variable - x : 2 (valeur de k) - Numtrial : 10 (valeur de n) - p : 0.27 (valeur de p)

6 - Menu RUN - Taper 1 2 nde Ans