Exercices d'analyse Complexe - MaPC41

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1 Exercces d'analyse Complexe - MaPC4. Le plan complexe Exercce.. Trouver la parte réelle et magnare des nombres complexes suvants : ( ) 3 + ( 3 ( ( + ) 5 ( ) 3 Exercce.. Trouver module et argument des nombres complexes suvants : ) 3 ) cos π 7 + sn π 7 ( 4 + 3) 3 ( + ) 8 ( 3) 6 Exercce.3. Fare des dessns des sous-ensembles du plan complexe C suvants : {z C Re(z) } {z C z } {z C Re(z) } {z C z } {z C z = } {z C π 4 < arg(z) < π 4 } {z C Re(z) > 0} {z C Im(z) } {z C z } {z C z < } {z C 0 < arg(z) < π 4 }

2 Exercce.4. Le produt scalare entre deux vecteurs v = (x, y) et w = ( x, ỹ) de R est donné par la formule v w = (x, y) ( x, ỹ) = x x + yỹ. Une rotaton R : R R d'un angle θ autour de l'orgne du plan est une applcaton lneare representée par une matrce ( ) cos θ sn θ R =, sn θ cos θ donc ( ) ( ) cos θ sn θ x R(v) =. sn θ cos θ y Verer que la rotaton R preserve le produt scalare entre vecteurs, c'est à dre v w = R(v) R(w). Montrer auss que la multplcaton complexe par e θ d'un nombre complexe z = x + y correspond à une rotaton du vecteur réel (x, y) d'un angle θ.. Seres enteres Exercce.. Trouver le rayon de convergence des seres enteres suvantes : n k z n, k R n= n= [log(n + )] k z n, n=0 n=0 z n (n!) α, α > 0 n= n n n! zn (kn)! n!(n + )!... (n + k )! zn, k R k N 3. Fonctons holomorphes Exercce 3.. Sot f(z) = u(x, y) + v(x, y), où u(x, y) e v(x, y) sont fonctons réelles et z = x + y. On dent f := f x + f y Montrer que, s f(z) est holomorphe, alors ( f ) 0 [hnt : calculer explctement (u + v ) et utlser le fat que, s f(z) est holomorphe, alors on sat que u x = v y

3 u y = v x Exercce 3.. Montrer que l'equaton de Laplace pour une foncton complexe f(z), où z = x + y, f := f x + f y = 0 est equvalente à Exercce 3.3. Calculer f z f et z f z z = 0 pour les fonctons suvantes : f(z) = z f(z) = z a p, a C, < p < f(z) = z a + z b Exercce 3.4. Etant donnée une foncton holomorphe f(z), montrer que : z ( f(z) ) = (z) f(z) f f(z) z Ref(z) = f (z) z Imf(z) = f (z) z z log( + f(z) ) = f (z) ( + f(z) ) Exercce 3.5. Sot f(z) une foncton holomorphe sur un vosnage de 0 C. En utlsant le prncpe du prolongement analytque, montrer que, s f(z) f(z) = 0, alors f(z) est une foncton constante. ] [hnt : rappeller que le prncpe du prolongement analytque dt que les zeros d'une foncton f(z) holomorphe sont solés s et seulement s f(z) 0] 4. Integrales complexes Exercce 4.. Sot f(z) holomorphe sur a < Imz < a, telle que lm z f(z) = 0 et a<imz<a α+ f(z)dz < s a < α < a et que la valeur de α cette ntegrale ne depend pas de α. Exercce 4.. En utlsant l'exercce precedent et en se souvenant que e x dx = π, calculer e x cos(αx)dx, α R. 3

4 Exercce 4.3. Sot f(z) holomorphe sur a < argz < a < π et telle que lm zf(z) = 0 z 0 argz <a lm zf(z) = 0 z argz <a et f(x)dx <. Montrer que f(z)dz < s a < α < a et que la valeur de 0 argz=α cette ntegrale ne depend pas de α. Exercce 4.4. En utlsant l'exercce precedent et en se souvenant que e x dx = π 0 calculer les ntegrales (dtes de Fresnel) cos(x )dx et sn(x )dx Formule ntegrale de Cauchy Exercce 5.. Calculer l'ntégrale de chemn z + (z )(z ) dz en utlsant la formule de Cauchy pour les deux chemns suvants : + + Est-l possble de deformer le premer chemn en l'autre sans sortr du domane d'holomorphe de la foncton ntegrande? Exercce 5.. Calculer l'ntégrale de chemn z (z )(z ) dz en utlsant la formule de Cauchy pour les deux chemns suvants : + + 4

5 Exercce 5.3. Calculer l'ntégrale de chemn z (z + )(z ) dz en utlsant la formule de Cauchy pour les deux chemns suvants : Exercce 5.4. Calculer les ntegrales suvants : sn(z) z+ =3 z + dz z = z + dz e z z = z dz cos z z =4 z π dz z+ = ( + z)(z ) dz 3 cos z z = (z ) dz 3 dz, a, b C, a < r < b, n N z =r (z a) n (z b) e z D z( z) dz 3 pour le domanes suvants : a) D = { z < } b) D = { z < 3 } c) D = { z < } 6. Ponts sngulers solés Exercce 6.. Trouver le ponts sngulers et leur type pour le fonctons suvantes : z sn z cos z (sn z) z z sn z + 5

6 z cos πz z + cot z z ) z (e z e cot π z sn e z 7. Theoreme des resdus Exercce 7.. Sot C r,z0 le cercle de rayon r centré en z = z 0. Calculer les ntegrales suvantes : C,0 z(z ) dz 3 C,0 (sn z) ( ) z π 3 dz C, π (sn z) ( ) z π 3 dz (sn z) z 3 dz, = {z = t 3 < t < 0} {z = t 0 < t < 3} (C 3,0 {z Imz > 0, Rez < 0}) Exercce 7.. Sot f(z) meromorphe sur {Imz > 0} avec poles z = a,..., a n, contnue jusq'à l'axe réel et telle que lm zf(z) = 0. z 0 Imz>0 Montrer que n f(x)dx = π res z=ak f(z) Exercce 7.3. Calculer les ntegrales suvantes : k= x (x + )(x + 9) dx x x + x 4 + 0x + 9 dx x + x 4 + dx (x + ) 3 dx dx, a > 0, b > 0, n N (a + bx ) n 6

7 Exercce 7.4. Calculer, en utlsant le lemme de Jordan, les ntégrale suvantes : + e zt (x )e x x x + dx e x (x + 4x 5) 3 dx cos x (x + x ) dx dz, pour : a) t > 0, b) t < 0 (z ) + cosh zt (z + )(z + ) dz, t > 0 + z sn zt z + dz, t > 0 7