Processus avec sauts et applications au marché de l énergie

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1 Processus avec sauts et applicatios au marché de l éergie Exame du ludi 12 mars h30-16h30 Les deux parties sot à rédiger sur des copies différetes. I Loi biaisée par la taille et loi ifiimet divisible La otatio Z L = Y sigifie que les variables aléatoires Z et Y ot même loi. O ote ϕ Z la foctio caractéristique de Z. Soit X ue variable aléatoire réelle p.s. positive et itégrable. O ote a = E[X]. La loi de X biaisée par la taille est la loi de la variable aléatoire X défiie de la maière suivate : pour toute foctio mesurable borée g : E[g(X ] = 1 a E[Xg(X]. Le but de cet exercice est de motrer le théorème de Steutel 1 2 : X = L X + Y, où Y est ue variable aléatoire positive idépedate de X, si et seulemet si la loi de X est ifiimet divisible. 1. Prélimiaires. (a Vérifier que la foctio F défiie par : F (x = 1 a E[ X1 {X x} ] est ue foctio de répartitio i.e. ue foctio croissate cotiiue à droite telle que lim x + F (x = 1 et lim x F (x = 0. E déduire que la loi de X biaisée par la taille est bie défiie. (b Soit (X, N ue suite de variables aléatoires idépedates de même loi que X. Soit 1. O pose S = =1 X. Motrer que pour g mesurable borée, o a : E[g(S] = 1 a E[X g(s 1 + X ]. E déduire que : S L = S 1 + X, où X est choisi idépedat de (X, N. 2. O suppose que X est ifiimet divisible. E particulier, pour tout N, il existe ue suite de variables aléatoires (X (, N idépedates et de même loi telle que : m X = L S (, où S m ( = X (. O rappelle que X état p.s. positive et itégrable, alors X ( est égalemet p.s. positive et itégrable. (a Déduire de la questio I.1b que : X L = (S ( =1 X ( + Y, où Y est idépedate (X (, N et dot la loi est la loi de X ( 1 biaisée par la taille. 1 W. F. Steutel. Some recet results i ifiite divisibility. Stoch. Pr. Appl. Vol. 1, pp ( Arratia ad L.Goldstei. Size bias, samplig, the waitig time paradox, ad ifiite divisibility : whe is the icremet idepedet? (

2 (b Motrer que (X (, N coverge vers 0 das L 1. E déduire que (S ( X (, N coverge e loi et idetifier la limite. (c Motrer que pour tout K 0, P(Y K P(X K. E déduire que la suite (Y, N est tedue et qu il existe ue sous-suite (Y, N qui coverge e loi vers ue limite Y p.s. positive. (d Motrer que X L = X + Y, où Y est ue variable aléatoire p.s. positive idépedate de X. 3. O suppose que X L = X+Y, où Y est ue variable aléatoire p.s. positive idépedate de X. O ote µ la loi de Y : µ(a = P(Y A. (a Motrer que : ϕ X (u = 1 ia ϕ X(u. (b Motrer que pour ε > 0 suffisamet petit, log(ϕ X (u est bie défii et que pour u ] ε, ε[ : d du log(ϕ X(u = iaϕ Y (u. (c Motrer que pour u ] ε, ε[ : ( ϕ X (u = exp iuaµ({0} + (e iuy 1 a y µ(dy (d E déduire que X est ifiimet divisible et doer so triplet caractéristique. 4. Soit p ]0, 1[ et q = 1 p. Soit Y ue variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p. O rappelle que : P(Y = = pq q 1 pour N, E[Y ] = 1 p et ϕ Y (u = p eiu 1 q e iu Soit X ue variable aléatoire idépedate de Y et de loi géométrique décalée : P(X = = pq pour N, autremet dit X L = Y 1. Motrer que X L = X + Y. E déduire que la loi géométrique décalée est ifiimet divisible et doer so triplet caractéristique. II Géérateur ifiitésimal d u processus de Lévy Sur l espace de probabilité (Ω, F, P soit (X t t 0 u processus de Lévy de triplet de caractéristiques (b, c, F avec b, c + et F mesure sur t.q. F({0} = 0 et (1 x2 F(dx < + et F t = σ(x s, 0 s t. O ote N(dt, dx = δ (s, Xs(dt, dx s>0: X s 0 la mesure poctuelle associée aux sauts de ce processus, Ñ(dt, dx = N(dt, dx F(dxdt et (W t t 0 le mouvemet browie qui apparaît das sa décompositio de Lévy-Itô. O se doe égalemet f, g : deux foctios borées et C 2 ulles e Justifier que pour T > 0 et h : mesurable t.q. P( T ( 0 h(x s ds < + = 1, P t [0, T], t 0 h(x s ds = t 0 h(x sds = 1. Vérifier que la cotiuité de h suffit à assurer que P( T 0 h(x s ds < + = 1. 2.

3 2. Motrer que x, f(x + y f(x f (xy1 { y 1} ( F(dy < + et que x f(x + y f(x f (xy1 { y 1} F(dy est ue foctio cotiue. O ote M f t = f(x t t 0 Lf(X sds où Lf(x = bf (x + c 2 f ( (x + f(x + y f(x f (xy1 { y 1} F(dy. 3. Justifier que M f t = f(x t t 0 Lf(X s ds puis que M f t = t c f (X s dw s + (f(x s + y f(x s Ñ(ds, dy. 4. Motrer que si f est borée, 0 ]0,t] y, sup(f(x + y f(x 2 ( f 2 4 f 2 (1 y 2 x et e déduire que M f t est alors ue F t -martigale de carré itégrable. 5. Vérifier que [L(fg flg glf](x = cf g (x + (f(x + y f(x(g(x + y g(xf(dy. 6. Calculer [M f, M g ] t. Vérifier que [M f, M g ] t t 0 [L(fg flg glf](x sds est ue martigale locale. Lorsque g est borée, vérifier que y, sup (f(x + y f(x(g(x + y g(x 2 f (2 g g (1 y x et e déduire que [M f, M g ] t t 0 [L(fg flg glf](x sds est alors ue martigale de carré itégrable. 7. Exprimer M f t Mg t t 0 [L(fg flg glf](x sds sous forme d ue somme d itégrales stochastiques. E déduire que ce processus est ue martigale locale. Vérifier que ( t E (M g 2 (f(x s s + y f(x s 2 F(dyds 0 4E((M g t 2 t( f 2 4 f 2 (1 y 2 F(dy. E déduire que lorsque f et g sot borées M f t Mg t t 0 [L(fg flg glf](x sds est ue martigale de carré itégrable. 3

4 Correctio I Loi biaisée par la taille et loi ifiimet divisible 1. (a Par croissace de l espérace, o a que F est croissate. Par covergece domiée, o obtiet que F est ue foctio cotiiue à droite telle que lim x + F (x = E[X]/a = 1 et lim x F (x = 0. O e déduit que F est bie ue foctio de répartitio. La loi de X biaisée par la taille est doc bie défiie. (b Soit g ue foctio mesurable borée. O a : [ E[g(S] = 1 a E[S g(s ] = 1 E X g(x + a =1 = 1 a E[X g(s 1 + X ] = E[g(S 1 + X ], ] X i 1 {i } où o a utilisé que (X, i=1 X i1 {i } a même loi que (X, S 1 pour la 4ème égalité, puis que X (et X est idépedat de S 1 pour la derière égalité. O e déduit le résultat. 2. (a C est ue applicatio directe de la questio I.1b. (b O a : i=1 E[ X ( ] = E[X ( ] = 1 E[S( ] = 1 E[X]. O e déduit que (X (, N coverge vers 0 das L 1 et doc e loi. Comme (S (, N coverge e loi vers X, o déduit du théorème de Slutsi que (S ( X (, N coverge e loi vers X. (c Comme X a méme loi que (S ( X ( + Y et que (S ( X ( est positif, o e déduit que pour tout K 0, P(Y K P(X K. Comme Y et X sot positifs, o e déduit que : lim sup P( Y K = 0. K + N Ceci assure que la suite (µ, N, où µ est la loi de Y, est tedue. Le théorème de Prohorov assure que cette suite est relativemet compacte. Doc il existe ue sous-suite (Y, N qui coverge e loi vers ue limite Y. Comme Y est positif pour tout N, o e déduit que Y est positif. (d O a par idépedace : ϕ X (u = ϕ S ( X ( (uϕ Y (u + ϕ X(uϕ Y (u. Ceci démotre le résultat. 3. (a La foctio ϕ X est de classe C 1 car X L 1 et ϕ X (u = E[iX eiux ]. Il viet : ϕ X (u = 1 a E[X eiux ] = 1 ia ϕ X(u. (b Comme ϕ X est cotiue et ϕ X (0 = 1, il existe u itervalle ouvert I coteat 0 tel que ϕ X e s aulle pas sur I. E particulier o a sur I : ϕ X (u = e ψ(u 4

5 et ψ(0 = 0, et ψ aisi détermié est uique. O ote ψ(u = log(ϕ X (u pour u I. Efi, comme ϕ X est de classe C 1, o e déduit que ψ est égalemet de classe C 1. De plus, o a ϕ X (u = ψ (uϕ X (u soit : ψ (u = iaϕ Y (u pour u I. (c Comme ψ(u = 0, o déduit de la questio précédete et du théorème de Fubii que, pour u I : u u ψ(u = ia dv e ivy µ(dy = ia µ(dy dv e ivy 0 0 = iuaµ({0} + (e iuy 1 a y µ(dy. (d L égalité ci-dessus est valable sur tout itervalle ouvert I coteat 0 sur lequel ϕ X e s aule pas. E particulier elle est valable sur I =]u, u + [, où u + = if{u 0; ϕ X (u 0} et u = sup{u 0; ϕ X (u 0} avec les covetios if = + et sup =. E particulier ψ est défii sur ]u, u + [. O remarque que ψ(u a u. Si u + est fii, o a lim u u+ ϕ X (u = 0 mais lim sup u u+ ψ(u < +. Ceci est absurde car ϕ X (u = exp(ψ(u. O e déduit que u + est ifii. De même o motre que u est ifii. Doc la formule ( ϕ X (u = exp iuaµ({0} + (e iuy 1 a y µ(dy. est vraie sur. Ceci assure ( que la loi de X est ifiimet divisible et so triplet caractéristique est aµ({0}, 0, a y 1 (yµ(dy (avec la foctio de trocature ulle. 4. O a a = E[X] = E[Y ] 1 = q/p aisi que ϕ X (u = ϕ Y 1 (u = e iu ϕ Y (u = p/(1 q e iu. O e déduit que : ϕ X (u = 1 i p q ϕ X(u = p 2 e iu (1 q e iu 2 = ϕ X(uϕ Y (u. O e déduit que X = L X + Y avec X itégrable p.s. positive et Y p.s. positive idépedate de X. D après la questio I.3, o obtiet que la loi de X est ifiimet divisible. Comme la loi de Y e charge par {0}, o e déduit que so triplet caractéristique (avec la foctio de trocature ulle est, e utilisat la otatio δ x pour la masse de Dirac e x : ( 0, 0, N 1 q δ (dy. 5