La gestion actif-passif selon un gestionnaire d une dette publique, la CADES

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1 Ralaimiadana.fm Page 1 Mardi, 31. ocobre :04 10 La gesion acif-passif selon un gesionnaire d une dee publique, la CADES Éric Ralaimiadana * Gesion Acif-Passif C.A.D.E.S. I Inroducion L a mission de la CADES (caisse d amorissemen de la dee Sociale es de rembourser les déficis cumulés du régime d assurance-maladie. Nous disposons pour cela d une ressource unique e exclusive affecée par la loi, la conribuion au remboursemen de la dee Sociale (CRDS. Pour répondre à la quesion «commen rembourser de manière opimale», nous nous aidons de nore modèle de gesion acif-passif 1. La gesion d une dee présene des analogies remarquables avec la gesion d acifs. Par exemple, une compagnie assuran une floe de risques donnée, reçoi des primes e consiue un porefeuille d acifs. Elle le compose de manière à opimiser son rendemen, afin de couvrir ses engagemens envers les assurés, ses propres coûs, e de dégager une marge bénéficiaire. Pour sa par, la CADES reçoi une axe don l assiee ainsi que le aux son définis par la loi ; si l assiee flucue de par la naure de ses composanes, le aux de prélèvemen es inchangé depuis l origine. On peu considérer que nous gérons un régime à coisaions définies, celles-ci éan les flux de CRDS, avec pour engagemens les flux d amorissemen de la dee. Si la modélisaion de nore gesion acif-passif emprune largemen aux ouils héoriques de la gesion d acifs, les aricles sur la gesion d une dee srico sensu son rares, ces analyses éan esseniellemen conduies par des eniés en charge de dees «sensibles», soi au sein de l adminisraion des finances publiques d un Éa, d un éablissemen de service public, ou d une grande enreprise. 1. Nous remercions Jean-François Boulier pour nous avoir aimablemen incié à publier ce aricle. Nos remerciemens s adressen égalemen à l (auxarbire(s anonyme(s de «Banque e Marchés» pour son (leur ravail e ses (leurs commenaires for profiables, ainsi qu à MM. Parice Rac Madoux e Chrisophe Frankel pour leurs remarques. Les ravaux de recherche don nore modélisaion se rapproche sensiblemen son ceux de Brennan e Xia (2002 [1]. Les aueurs on déerminé la sraégie opimale d invesissemen dans un univers dépourvu d insrumen procuran un rendemen indexé sur l inflaion, consiué d un acif monéaire, d un acif risqué, e d obligaions à aux fixe nominales. Ils on monré que pour un agen d horizon d invesissemen T fini, en présence d une composane non anicipée de l inflaion non couvere par un insrumen de marché, le porefeuille opimal es la somme de deux porefeuilles : l un procuran le rendemen le plus foremen corrélé à celui d une obligaion indexée de maurié T, e l aure éan le porefeuille de variance minimale au sens de Markowiz (1959 [2], combinan l acif risqué e le monéaire. Leurs résulas on révélé une fore sensibilié à l aversion au risque de l agen : plus elle s élève, d une par, plus l allocaion en un porefeuille répliquan le ire indexé s accroî, e plus la maurié de l obligaion nominale diminue, d aure par. Ils cien dans leur éude les ravaux de Campbell e Viceira (1999 [3], don nore réflexion es égalemen for proche. Ces derniers on résolu par méhode numérique l opimisaion de la sraégie d un invesisseur sans limiaion d horizon, dans le même univers d invesissemen que Brennan e Xia, avec une sraégie die «myope», i.e. à proporions consanes. En exhiban une soluion opimale sous une forme analyique, Brennan e Xia meen en exergue la pere de valeur engendrée par la soluion de la sraégie «myope», ainsi que la sensibilié des résulas à deux caracérisiques du modèle : l horizon, e les paramères de reour à la moyenne des processus de diffusion des variables. Un récen aricle de la revue Banque & Marchés (2004 [4] dresse un éa des lieux des méhodes de gesion des fonds de reraie. Nous relevons plusieurs similiudes au niveau de la modélisaion des processus des variables d inérê, avec Banque & Marchés n 85 novembre-décembre

2 Ralaimiadana.fm Page 2 Mardi, 31. ocobre :04 10 nore approche. Noammen, celle de Cairns (1998 [5] inrodui un flux de reraie sochasique dans la modélisaion d un fonds à presaions définies. La reraie es un pourcenage fixe du salaire, que l aueur modélise par un processus de diffusion non corrélé aux bruis du marché. Par ailleurs, les analyses développées dans les aricles de Svensson e Werner (1993 [6], ainsi que Koo (1998 [7], on une résonance direce avec nore réflexion. Leurs aueurs examinen l opimalié du porefeuille e de la consommaion, dans le cas d un agen doé d un salaire sochasique. Ils inroduisen une source de risque non duplicable par un insrumen négociable, e placen ainsi le problème dans un cadre d incompléude du marché. La suie de l aricle s aricule de la manière suivane. Nous rappelons brièvemen le cadre réglemenaire qui défini le foncionnemen de la CADES. Ensuie, nous décrivons nore représenaion du bilan en élémens simples, qui aboui à une économie régulée par rois variables, le aux cour nominal, le aux d inflaion, e le aux de croissance en volume de la CRDS. Ayan décri les équaions de diffusion suivies par leurs processus, nous exposons nore problème d opimisaion e sa résoluion. Nous décrivons ensuie les ouils d aide à la décision mis en place à parir des résulas de la modélisaion. Nous consacrons une dernière parie à la revue criique du modèle e aux évoluions envisagées, e offrons quelques conclusions sur la gesion de la dee sous l éclairage de la gesion acif-passif. II Rappel Trois exes marquen l hisoire de la CADES : Le exe fondaeur, l ordonnance du 24-janv.-1996, défini sa mission, l apuremen la dee de la Sécurié Sociale, e fixe sa durée d exisence, jusqu au 31-janv L encours de dee s élève à 21 milliards d euros, auxquels s ajouen des versemens annuels de 1.9 milliards d euros à l Éa pendan douze ans. La loi du 19-déc de financemen de la Sécurié Sociale pour 1998 prolonge de cinq ans le manda de la CADES, en lui ransféran 13.3 milliards d euros de dees. Enfin, la loi du 13-aoû relaive à l assurancemaladie lui ransfère 35 milliards d euros au ire des déficis cumulés de ce régime à fin 2004, auxquels s ajoue une dee prévisionnelle limiée à 15 milliards d euros. Elle supprime la référence à une dae fixe de fin, e dispose que ou nouveau défici du régime devra êre financé par une ressource nouvelle. Nous illusrerons par la suie la manière don la problémaique de gesion acif-passif de l éablissemen s es ransformée avec les modificaions de la réglemenaion. III Méhodologie 1. Modélisaion du bilan Le bilan de la CADES peu êre décomposé en quelques grands poses. Le parimoine immobilier hérié lors de sa consiuion ayan éé vendu, l acif consise aujourd hui uniquemen en une créance sur la conribuion prélevée sur l ensemble des revenus naionaux, la CRDS, qui lui es affecée exclusivemen. Le passif es composé d une dee financière, il n y a pas de capial social. A. L acif L assiee de la CRDS es composée des revenus d acivié (67 %, de remplacemen (21 %, de parimoine e de placemen (10 %, des jeux e venes de méaux précieux (2 %. Dans la mesure où cee conribuion es prélevée globalemen sur ous les revenus, une manière simple de modéliser nore recee es de reenir comme «proxy» de son assiee le revenu disponible bru, agréga de la compabilié naionale. Une aure manière consiserai à modéliser séparémen les revenus d acivié e de ransfer, ceux de placemen e de parimoine, e assimiler la croissance du reliqua à une marche aléaoire. Nore choix a éé d aller au plus simple, consaan que l assiee a connu de nombreux changemens ainsi que diverses mesures d exonéraion ciblées, qui n on pas de raison de cesser : ou gain aendu d une modélisaion plus fine par caégorie de revenus es à relaiviser éan données les flucuaions dues aux changemens de périmère. La quesion es ensuie, à aux de prélèvemen consan (0.5 %, de modéliser le ryhme de croissance de ces flux de revenus. Si on s inéresse aux rois premiers poses par ordre d imporance dans l assiee, les salaires e les revenus vieillesse on connu une croissance en volume quasi-consane sur la période Le pose des revenus de placemens a quan à lui connu sur la période une croissance en volume pouvan s assimiler à une endance à laquelle s ajoue un brui blanc. Une modélisaion assez simple de nore acif repose sur les équaions de diffusion de deux processus, le aux de croissance réelle de nore recee, e le aux d inflaion. Ils suiven des processus d Ornsein-Uhlenbeck. La croissance en valeur de l acif es obenue par composiion de ces derniers. Nous noons à l insan, A la valeur de l acif, k son aux de croissance en valeur, g son aux de croissance réelle, e i le aux d inflaion. La dynamique de A es décrie par l équaion de diffusion suivane da A k d e son aux de croissance en valeur es modélisé par ( + d e k d e g i Les équaions de diffusion suivies par ces processus de aux seron développées dans la suie. B. Dynamique de l endeemen ne L endeemen ne varie de la manière suivane : à chaque fin d année, nous consaons le solde enre la CRDS reçue e les flux à décaisser, au ire des empruns en vie, ou d une reprise évenuelle de dee. S il es posiif, nous réduisons la dee par des rachas, s il es négaif, nous devons réempruner. Nous appelons solde de financemen la variaion de dee nee consécuive à l emploi de ce solde, e la noons S. Dans la suie, elle sera indifféremmen appelée capacié d amorissemen. 2 Banque & Marchés n 85 novembre-décembre 2006

3 Ralaimiadana.fm Page 3 Mardi, 31. ocobre :04 10 Pour explicier la dynamique de l endeemen ne, nous adopons les noaions suivanes : soien ˆ la valeur de la dee échue l année L L 1 la valeur en euros courans en, de la dee hériée de l année 1 avan les arrivées à échéance, la dee en fin d année avan ré-allocaion, L * L la valeur en euros courans en, de la dee nee encore en vie, La dynamique de l endeemen ne s écri de manière simple L L 1 S La dee nee consaée l année, avan arrivées à échéance, es la somme de la dee échue en e de la dee en fin d année avan ré-allocaion, ce qui s écri L 1 Lˆ + L* Nous pouvons monrer que la dee nee en fin d année après ré-allocaion s écri où désigne le solde ne de financemen, i.e. le solde S qu on impace des effes du emps e des variaions de marché sur la dee hériée de l année 1, ainsi que des arrivées à échéance. Démonsraion En effe, le solde ne s écri S ne Sne S Lˆ ( L 1 L 1 (2 Le solde de financemen s obien en calculan D, le disponible à la dae, expression dans laquelle V désigne un nouveau flux de dee évenuel, e c les coûs de foncionnemen D A 4 exp Si la variaion de valeur de la dee a rédui celle-ci, ceci accroî le solde de financemen, e inversemen. On ajoue donc à D l opposé de cee variaion de valeur, soi L 1 L 1, pour obenir S (1 S D + ( L 1 L 1 (3 Le solde ne s écri alors Sne D Lˆ (4 La dynamique de l endeemen ne peu alors s écrire ce qui d après (4, redonne l équaion (1 L L* + Sne 1 k u du V + c L L 1 ( D + L 1 L 1 L Lˆ + L * D Le solde ne es donné par (4. Selon son signe, il représene une capacié ou un besoin de financemen. Il consiue le oal des rachas ou abondemens, effecués à haueur des proporions iniiales, de lignes d obligaions exisanes à leurs prix, mesurés en. C. Le passif Nore passif es consiué quasi-exclusivemen par nore porefeuille d endeemen, la CADES n ayan pas de fonds propres. La dee es réparie en rois classes, les insrumens à aux fixe, indexés sur l inflaion inflaion hors abac en France, e à aux variable. Les variables qui gouvernen les élémens du passif son les ainsi les aux d inérê nominaux, e le aux d inflaion. Nous spécifions un modèle de Vasicek [8] pour la courbe des aux. Celui-ci présene le double avanage, d inégrer un mécanisme de reour des aux vers la moyenne, e de permere de recréer la courbe enière à parir du seul aux cour. Il reflèe une caracérisique que monren les éudes économériques, à savoir que les seules variaions du aux cour expliquen à environ 80 % les mouvemens de la courbe. Les variables qui gouvernen les élémens du passif son finalemen les aux d inérê à cour erme e le aux d inflaion. 2. Processus suivis par les variables d inérê Le processus du aux d inérê cour nominal sui l EDS suivane es S ne dr( ab ( r (d + σ r W r ( La formulaion du aux zéro-coupon sur la période [,T] 1 RT ( r, R at ( ( r ( 1 e at ( R Le processus du aux d inflaion es assujei à une EDS idenique à celle du aux cour Tandis que le aux de croissance de la CRDS en volume a pour équaion de diffusion Les rois sources de risque, les mouvemens browniens W r, W i, W g, son reliées par leurs corrélaions insananées croisées,,,, respecivemen. σ r a 2 ( e at ( 2 di( cd ( i (d + σ i W i ( dg( ( m g( d + σ g W g ( ρ r, i ρ g, i ρ g, r Banque & Marchés n 85 novembre-décembre

4 Ralaimiadana.fm Page 4 Mardi, 31. ocobre :04 10 IV Problème d opimisaion 1. Formalisaion Les soldes de financemen cumulés année après année von déerminer nore capacié à amorir la dee. En iéran l équaion dynamique de l endeemen ne, on voi que la variaion de ce dernier enre les années 0 e équivau au cumul des soldes de financemen de chaque période. Opimiser l amorissemen de la dee peu s écrire, en première approche, comme la maximisaion de l espérance du cumul des soldes de financemen annuels. Le programme d opimisaion s écri ainsi max E S l 0 La(les soluion(s du programme d opimisaion consise(n en des pondéraions de porefeuille. Le résula dépend noammen de la règle de re-balancemen adopée. Nous avons choisi pour règle de réallouer chaque porefeuille en mainenan ses allocaions iniiales, ce qui revien à rechercher des srucures-cible de porefeuilles mainenues consanes pendan la durée du manda. Nous noerons ( ϖ k, m le veceur des pondéraions de la dee en chaque classe, repérée par l indice k, e en chaque maurié, repérée par l indice m. Nous cherchons en effe à déerminer une (ou plusieurs srucure(s qui, sur le long erme, nous permee(n d aeindre nore objecif, celui de rembourser la dee au moindre coû pour le conribuable. Dans le cadre d une gesion sur longue période que l on souhaie lisible, le choix de la règle des proporions consanes perme de présener, par exemple à nos auoriés de uelle, des srucures opimales d endeemen par essence non flucuanes au gré des événemens fuurs. La dee éan ranscrie en un porefeuille d obligaions zéro-coupon, oue opéraion de refinancemen ou de racha s effecue aux prix de marché, lesquels ou comme S e Sne, son mesurables en. Nous noerons E k, m ( la valeur finale d un flux payé sur la dee de classe k e de maurié m, B, m le prix en d un zéro-coupon de maurié m. Lorsque le solde ne de financemen es alloué, la valeur courane de la dee devien L L* Sne L où pour un erme X quelconque, X + désigne la parie posiive de X. En effe, si la porion du solde allouée à l amorissemen de l encours E k, m ( excède la valeur de marché de ce dernier calculée l année, ce encours sera racheé en oalié, e le reliqua viendra s ajouer au solde disponible resan. K M B, m E k, m ϖ k, m Sne k l m 1 [ ] Le mécanisme d amorissemen de la dee enraîne que, l année au cours de laquelle l endeemen ne franchi la valeur nulle, le solde de financemen es posiif e excède la valeur courane de la dee consaée en fin d année précédene. Ceci nous perme de représener nore programme d opimisaion sous une forme duale. 2. Forme duale du programme d opimisaion Nous quions momenanémen le cas pariculier de la CADES, pour nous inéresser au cas «sylisé» d une enreprise endeée, sommée par son acionnaire de rembourser ses empruns en y affecan l inégralié de ses recees d exploiaion. Celle-ci a l Éa comme dernier garan. Supposons qu elle se soi engagée auprès de la communaué financière sur une dae probable d achèvemen du remboursemen H, e que son dernier emprun arrive à échéance en cee dae. Deux cas de figure se présenen en dae H : soi l enreprise a bien esimé sa dae d achèvemen du remboursemen, voire es en avance, ce qui se radui par ES ( H EL ( H 1 soi l enreprise a sous-esimé cee dae, auquel cas ES ( H < EL ( H 1 Elle encour en ce cas le risque d une dégradaion de son crédi, e d achever le remboursemen à une dae effecive supérieure à la dae esimée. Développons le dernier cas de figure : la sous-esimaion de la durée d amorissemen signifie pour l enreprise un besoin de financemen de ( L H 1 S H, qui nécessie soi de réempruner dans des condiions de crédi e de liquidié dégradées, soi le recours au dernier garan pour «éponger» le besoin de financemen. Les conséquences envisagées dans ce cas de figure n exisen pas pour la CADES. Nore éablissemen bénéficie en effe de la garanie implicie de l Éa, e ses recees son un prélèvemen sur le revenu naional. Néanmoins, l analyse du risque par l horizon de remboursemen es valide, e nous perme d exprimer la probabilié α de non aeine du remboursemen en foncion du quanile de risque H( α, de la manière suivane α PS H( α L H( α 1 < 0 ( Nous pouvons ainsi écrire nore problème d opimisaion comme la minimisaion d un risque, sous la forme min PL ( H( α 1 S H( α > 0 Nous ne connaissons pas la forme analyique de la densié de probabilié de la variable X S L 1, condiionnellemen à la filraion ( filraion engendrée par les mouvemens browniens W r (, W i (, W g (. La présence de l indice emporel 1 dans l expression de X monre le caracère «pah-dependen» de X, e de sa densié de probabilié condiionnelle. Son expression ne devrai pas êre riviale. 4 Banque & Marchés n 85 novembre-décembre 2006

5 Ralaimiadana.fm Page 5 Mardi, 31. ocobre :04 10 En revanche, nous savons simuler des irages dans la loi condiionnelle de S. C es ce que nous réalisons au cours de nore processus de résoluion. 3. Esimaeur capacié d amorissemen espérée La densié de probabilié condiionnelle de X dépend ainsi du niveau aein en dae par cee variable. Paran d un niveau iniial de dee L 0 en débu d année 0, X dépend du niveau aein par le cumul des soldes enre les années 0 e, noé S c (0,, càd de l événemen S c ( 0, S l l 0 x Nore risque d échec, défini au paragraphe précéden comme le risque α de non aeine du remboursemen à l horizon H( α, s accroî avec la baisse de x. Plus faible es le cumul des soldes, plus il sera difficile de rembourser ô. De manière équivalene, on peu enir le même raisonnemen en considéran au lieu du cumul des soldes, le solde annuel moyen (ou capacié d amorissemen annuel moyenne sur la période enre les années 0 e, que nous noons S, calculé comme sui S 1 --S c ( 0, En effe, la saisique S es une foncion monoone, sricemen croissane, du cumul des soldes de financemen sur la période enre les années 0 e, homohéique de faceur A dee iniiale donnée, plus faible es la capacié d amorissemen annuel moyenne, plus loinain sera l horizon de remboursemen. S es nore esimaeur de la capacié d amorissemen annuel espérée. Nous illusrons par l exemple qui sui, d une dee iniiale de 100 milliards d euros remboursée en 15 ans, le lien enre le niveau réalisé par S, consaé en fin de période, e l horizon de remboursemen. Graphique 1. Remboursemen e capacié d amorissemen annuel espérée un exemple Siuaion Nee (Mds EUR S0 S1 S2 (S0+S1/2 S0 (S0+...+S9/ Horizon (années 7 6,5 6 5,5 5 Capacié d'amorissemen annuel Espérée (Mds EUR Siuaion Nee Capacié d'amorissemen annuel espérée 4. Aversion au risque La saisique S es en même emps une foncion décroissane de l horizon, d allure convexe. La convexié de cee foncion manifese l aversion au risque de la CADES. Nous pouvons en effe écrire qu en deçà d un cerain seuil de capacié d amorissemen annuel réalisée sur la période, l éloignemen de l horizon s accenue de plus en plus pour une même dégradaion de la capacié d amorissemen annuel moyenne. Ainsi, il es une région de valeurs risquées pour le cumul des soldes enre 0 e, e de manière équivalene, pour la capacié d amorissemen annuel moyenne, que nous souhaions évier. La réalisaion de elles valeurs, au risque α en dae, condui à un phénomène de «fuie en avan» de l horizon de remboursemen. 5. Le risque sous l angle de l invesisseur/conribuable Afin d apporer un aure éclairage sur les risques encourus, nous abordons le problème sous l angle d un invesisseur en ire CADES, en même emps conribuable. Plaçons-nous l année H, horizon de remboursemen probable annoncé. Supposons que ce dernier éai déeneur d un ire remboursé à l horizon H, que la CADES ai éé conduie à réempruner, e qu il replace son argen dans la nouvelle émission. Sa richesse, prélèvemens inclus, sera diminuée. En effe, dans l hypohèse où le spread de crédi es inchangé par le repor de la dae d achèvemen du remboursemen, l invesisseur recevra lors du replacemen la même rémunéraion, le aux de rendemen d un ire CADES. Mais il supporera un prélèvemen supplémenaire sur une durée croissan avec l écar enre l horizon esimé en dae 0 e celui qui sera effecivemen réalisé. L analyse peu êre effecuée sous un aure angle : selon la loi sur le financemen de la sécurié sociale voée en aoû 2004, ou défici doi êre comblé par des recees addiionnelles de manière à laisser inchangée la dae de fin de remboursemen. Au lieu de supporer un allongemen de la conribuion, l invesisseur devrai êre prélevé «up-fron» des recees nécessaires pour couvrir le besoin de financemen de la CADES en dae H. Son profil de gain/pere es celui d une posiion vendeuse de «pu», la pere croissan avec l ampliude de l erreur d esimaion commise sur l horizon de remboursemen. Cee analyse éclaire sur l imporance du niveau de probabilié α. Plus on es averse au risque de se romper sur l horizon de remboursemen, e celui consécuif de devoir faire appel à un prélèvemen supplémenaire, plus l on conraindra α à êre pei. 6. Crière d opimalié Le choix du crière d opimalié es un des piliers de oue démarche d opimisaion. Nore variable d inérê, le solde de financemen annuel espéré, consiue une performance brue. Elle n es pas suffisane car elle évacue du crière la porée du risque, don nous avons mesuré l impor- Banque & Marchés n 85 novembre-décembre

6 Ralaimiadana.fm Page 6 Mardi, 31. ocobre :04 10 ance, e ne prend pas en compe l aversion au risque de la CADES. Nous sommes ainsi amenés à reenir pour crière une mesure de performance ajusée du risque. Lorsque l horizon de remboursemen éai fixe, la variable d inérê éai la siuaion nee mesurée à ce horizon. Nous racions la disribuion de cee variable, calculée à ce horizon fixe. La mesure de performance ajusée du risque reenue éai un raio de Sharpe, calculé sur cee disribuion. Les valeurs inermédiaires aeines par la variable d inérê n avaien pas d imporance visible. Dans le cadre nouveau dressé depuis la suppression de la dae-buoir de la CADES elle qu elle éai fixée dans le décre du 19 décembre 1997 se rapporan à la loi de financemen de la sécurié sociale pour 1998, nous arrêons le processus du solde de financemen annuel à la période où la siuaion nee devien posiive. Pour une srucure de dees donnée, nous calculons le «solde annuel espéré» par rajecoires, e simulons sa disribuion. Il convien ensuie d ajuser cee performance brue du risque, afin de rendre compe de la «qualié» de la disribuion. En effe, une sraégie performane doi à la fois opimiser le solde annuel espéré e limier le risque défini plus hau, auquel nous sommes averses. Nous reenons le crière suivan ES ( kσ( S Celui-ci récompense les sraégies qui opimisen le solde annuel espéré, e pénalise celles qui auorisen une fore dispersion. Selon la loi fore des grands nombres, si on posule que la disribuion du solde annuel espéré es gaussienne, 5 % de la disribuion son siués en dehors de l inervalle de rayon 1.96 σ( S cenré en ES (. Nous prendrons pour k cee valeur, qu il es d usage d arrondir à Méhode de résoluion Nous désignons par porefeuilles-cible, les srucures de porefeuilles de dees qui se révèlen opimales sous la grande majorié des scénarios, dans l hypohèse où pour un porefeuille donné, il es réalloué sysémaiquemen suivan sa srucure iniiale pour chaque opéraion de refinancemen ou de racha. Nous adopons en cela la méhode popularisée noammen par Black e Perold (1992 [9], appelée CPPI (Consan Proporion Porfolio Insurance. Nous simulons les scénarios par méhode Mone-Carlo e consruisons numériquemen la disribuion de résulas de chaque srucure de dee sous la méhode de réallocaion ciée. Pour cela nous discréisons les dynamiques de l acif e du passif suivan le schéma d Euler, en re-balançan chaque porefeuille avec ses proporions de dépar. Nore processus d opimisaion consise d abord à choisir le niveau de risque accepable sur la base des profils de résulas simulés pour différens porefeuilles admissibles, don le porefeuille de dees acuel. La variable présenée plus hau, la capacié d amorissemen annuel, consiue une bonne saisique de es. Il perme en effe de bâir la règle de décision suivane : si la capacié d amorissemen annuel es plus grande que le quanile, on accepe la sraégie, T α si la capacié d amorissemen annuel es inférieure au quanile T α, on rejee la sraégie. La probabilié α représene le risque de décider à or que la sraégie considérée es admissible. Ainsi, l on décidera qu une sraégie d endeemen à une capacié d amorissemen espérée suffisane pour achever celui-ci avan l horizon H α, au risque α de se romper ; ce risque es di de «première espèce». La réalisaion du risque de sous-esimaion de la durée d amorissemen a pour conséquence un prélèvemen supplémenaire pour le conribuable. La convexié du profil de risque accenue la «gravié» de cee conséquence, car plus le niveau de capacié es faible, plus l allongemen de la durée d amorissemen s accroî, pour une même diminuion de la capacié d amorissemen. Dans le cas inverse, de suresimaion de la durée d amorissemen, la conséquence es «moins grave» pour le conribuable, puisqu il sera moins prélevé que prévu iniialemen. Nous représenons ci-après les profils (ou disribuions de résulas de deux porefeuilles. Chaque profil peu êre divisé en sraes selon la fréquence cumulée. Les sraes son ainsi délimiées par des niveaux de probabilié cumulée : 0 % ; 5 % ; 10 % ec. Cee probabilié cumulée es précisémen la noion de risque définie plus hau. Graphique 2. Dee courane comparée à un porefeuille «opimal» Profils de risque (* Capacié d'amorissemen annuelle (Mds EUR Le graphique monre par exemple, que le porefeuille don le profil es représené par la courbe en bleu, présene une probabilié de 5 % que son solde annuel espéré ne dépasse pas 3.5 milliards d euros, e la même probabilié de ne pas rembourser avan 21 années. V (*le risque éan la probabilié de ne pas aeindre un seuil de capacié d'amorissemen 6,0 5,5 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 95% 95% 75% 75% 50% Ouils d aide à la décision 1. Fronières d efficience 50% 10% 5% Horizon de remboursemen (nombre d'années Nous comparons ensuie oues les disribuions de résula au niveau de risque α. En les synhéisan par une représenaion dans un plan ayan pour axes, une mesure de performance, e le quanile de la disribuion du solde annuel de risque α, nous obenons une fronière d efficience. Ce quanile sera noé CAaR( α %. Nous avons la capacié de simuler de muliples combinaisons de srucures possibles, selon que nous éudions l effe de la croissance de la par d indexés, de la par à aux variable, ou d un allongemen de maurié des empruns. Nous obenons ainsi plusieurs fronières de porefeuilles, don voici une sélecion. 30% 30% 10% 5% Poref opimal Dee CADES 6 Banque & Marchés n 85 novembre-décembre 2006

7 Ralaimiadana.fm Page 7 Mardi, 31. ocobre :04 10 Graphique 3. Fronières de porefeuilles Risque croissan dans le plan Capacié d'amorissemen Espérée / CAaR 5 % Fronière à 0 % de Taux Variable 100 % TxVariable 100% Index 2. Mesures de performance e de risque Les mesures de performance e de risque que nous avons reenues son usuelles, ou en éan cruciales dans la déerminaion d un opimum. Au vu du graphique figuran dans le paragraphe précéden, le porefeuille réalisan l opimum serai radiionnellemen celui siué le plus en bas e le plus à droie du graphique. Or, il n es pas nécessairemen celui qui maximise le crière d opimalié que nous avons présené au chapire précéden. D une par, le quanile CAaR( α % apparien à la disribuion «simulée» de la capacié d amorissemen annuel. Celle-ci peu présener des disorsions par rappor à une disribuion gaussienne. D aure par le crière proposé fai inervenir l écar-ype, racine carrée du second momen de la disribuion. On sai qu il ne perme pas de rendre compe de elles disorsions. Néanmoins, le crière d opimalié présené a l avanage de consiuer une échelle de mesure grâce à laquelle nous pouvons éablir un classemen des différens porefeuilles. 3. Analyse du risque 70 % TxFixe 30 % TxVariable 30 % TxFixe 70 % Index Fronière à 0 % d'indexés 90 % TxFixe 10 % TxVariable 90 % TxFixe 10 % Index Performance croissane 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 Capacié d'amorissemen Espérée (Mds EUR 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 Capacié d'amorissemen à 5% de risque (de ne pas êre aeine A. Profils d amorissemen e dominance Nous conduisons une analyse du risque au niveau des porefeuilles. En effe, chacun peu êre caracérisé par des profils d amorissemen qui son comparables à niveau de risque égal. Un profil d amorissemen es en fai la rajecoire d amorissemen de la dee correspondan pour une srucure de porefeuille donnée, au quanile de capacié d amorissemen annuel de risque α (%. Nous représenons ci-dessous les profils d amorissemen du porefeuille couran de dees, à différens niveaux de risque. Graphique 4. Amorissemen de la dee selon le niveau de risque (* Siuaion Nee (Mds EUR (* le risque es la probabilié de ne pas aeindre une capacié d'amorissemen Horizon en nombre d'années risque 95% median risque 15% risque 10% risque 5% Un profil sera di meilleur qu un aure, à même niveau de risque, s il franchi plus ô l axe de siuaion nee nulle. Les condiions classiques de dominance sochasique aux «premier» e «second ordre» se raduiron ainsi : un porefeuille domine l aure, au sens de la dominance «au premier ordre», si ses profils son meilleurs à ous niveaux de risque, un porefeuille domine l aure, au sens de la dominance «au second ordre», si ses profils son meilleurs aux niveaux de risque inférieurs ou égaux à 50 %. B. Région de risque Nous pouvons ensuie répondre à la quesion : «quels son les scénarios risqués pour un porefeuille?» En effe, connaissan la région de risque α (% de la capacié d amorissemen annuel espérée, nous sommes en mesure d induire pour chacun des faceurs qui régissen nore économie, les régions représenan le même pourcenage α (% de risque. Nous pouvons ainsi idenifier les combinaisons risquées des faceurs par porefeuille, e en représener, par exemple, la rajecoire médiane. Sur le graphique ci-après, nous faisons figurer les rajecoires médianes, dans la région consiuan 5 % de risque cumulé, des aux cour, aux d inflaion, e aux de croissance de la CRDS en volume, pour le porefeuille de dees de la CADES. Graphique 5. Trajecoires des faceurs à 5 % de risque 3,0% 2,5% 2,0% 1,5% 1,0% 0,5% 0,0% -0,5% Années Les configuraions risquées des faceurs diffèren d un porefeuille à l aure. Passer d une srucure de dee à une aure signifie se déplacer dans l univers des risques décri. Nos simulaions monren que des scénarios de fore hausse des aux cours nominaux n enren pas dans la région de risque à 5 % d un des porefeuilles opimaux recommandés. Ceux-ci son rès faiblemen exposés aux aux cours, ayan une pondéraion faible voire nulle, en aux floan. 4. Analyse de performance 7,0% 6,0% 5,0% 4,0% 3,0% 2,0% 1,0% 0,0% Taux de croissance réelle(éch.g Inflaion(éch.G Taux nominaux cours(éch.d A. Analyse saique Le crière d opimalié consiue une échelle de valeurs sur laquelle nous pouvons classer les porefeuilles par ordre décroissan. Ayan éudié une muliude de combinaisons de srucures possibles, nous avons consrui rois fronières : une avec un poids croissan de la dee à aux variable au dérimen du aux fixe, à par d indexés sur l inflaion nulle, une avec un poids croissan de la dee indexée au dérimen du aux fixe, à par en aux floan nulle, une don une moiié présene une répariion cible de la dee enre aux fixe e indexés, e l aure moiié une variane accordan 10 % à la par à aux variable au dérimen Banque & Marchés n 85 novembre-décembre

8 Ralaimiadana.fm Page 8 Mardi, 31. ocobre :04 10 du aux fixe, les porefeuilles différan par la répariion des mauriés. Elles permeen, en séquence, d évaluer une «cible» du parage enre dee à aux fixe e indexée. Ce parage doi êre réévalué régulièremen, e nous devons à ou le moins eser sa sabilié sur une période d esimaion suffisane. La fréquence de cee évaluaion es acuellemen mensuelle. À parir de cee dernière fronière, nous consruisons un pei nombre de sous-ensembles de porefeuilles combinan les répariions de maurié apparues comme les meilleures, e faisan varier le parage de l exposiion enre dee à aux fixe e indexée sur l inflaion auour de la «cible». Nous procédons à leur évaluaion à inervalles hebdomadaires. Au sein de ces sous-fronières, nous enons de repérer un noyau formé des meilleurs porefeuilles, don nous esons la sabilié. Nous évaluons dans la même analyse le porefeuille de dee couran, e pouvons mesurer le gain procuré en ermes de performances e de profil de risque, s il éai ransformé en l un des porefeuilles du noyau. En effe, nos analyses monren que la srucure de dees courane es dominée par ces porefeuilles. B. Analyse dynamique Lorsque nous comparons la dee courane d une dae de calcul à l aure, il convien de séparer rois effes. Le porefeuille de la dee es consiué de ires, soumis aux variaions du marché. Les paramères du modèle, calibrés sur des prix e aux de marché se modifien avec eux, les simulaions subissen donc ce effe, d un insan d évaluaion à un aure. Il fau ensuie disinguer, l effe de variaion de l encours, ainsi que celui des opéraions réalisées, i.e. d un changemen de srucure, lequel doi êre mesuré à encours de dee consan. Pour cela, il convien d évaluer d une par, le porefeuille de dees couran avec le nouvel encours sous la srucure qui prévalai avan passage des opéraions, càd en faisan comme si on avai conservé la srucure de la dae d évaluaion précédene, e d aure par, cee même dee courane, après passage des opéraions. L écar des mesures de performance enre deux insans d évaluaions, sur la dee ancienne à srucure consane, avec même encours, représene les effes du emps, des variaions de marché, e évenuellemen de nouvelles données (indice d inflaion, encaissemen de CRDS consaé. À un même insan d évaluaion, l écar enre les mesures effecuées sur la dee à srucure consane, avec encours différen, représene l effe de variaion de l encours. Enfin, au même insan d évaluaion, l écar des mesures effecuées sur la dee avec nouvel encours, enre ancienne e nouvelle srucure, représene l effe des opéraions. Ainsi, nous avons simulé en dae du 29-déc.2005 ce que serai devenu le porefeuille d endeemen de la CADES si, lors du rechargemen de 50 milliards d euros, il avai éé consiué suivan sa composiion au 7 mars Nous avons comparé cee évaluaion avec celle de la dee courane de la CADES aux daes du 30 sepembre 2004, le rechargemen éan provisionné, e du 29 décembre Les résulas son synhéisés dans le ableau suivan, au ravers de la performance ajusée du risque décrie en sous-secion 4.6. Tableau 1. Performance ajusée du risque de la dee courane au Nore porefeuille, après reprise de dees de l assurance maladie pour 50 milliards, présenai au 29 décembre 2005 un surcroî de performance de 0.53, au sens de nore crière de performance ajusée du risque. 5. Mesure de performance financière : aux de rendemen inerne Nous présenons en oure une mesure acuarielle e non plus saisique, qui perme de raduire auremen la performance d un porefeuille de dees, e repose sur l analyse suivane. Pour un porefeuille donné, une rajecoire es une séquence de flux consiuée des soldes annuels, calculés en euros courans, qui on permis d aeindre (ou non le remboursemen d une dee iniiale. Pour chaque rajecoire, nous pouvons déerminer le aux d acualisaion pour lequel la somme des soldes annuels acualisés, es égale à la valeur présene de cee dee. A l issue d un jeu de simulaions, chaque porefeuille pourra ainsi êre caracérisé par une disribuion de «aux de rendemen inernes», ou TRI. Cee mesure acuarielle a une raducion financière concrèe, car elle rend simulanémen compe de la capacié de rembourser, e de la viesse de remboursemen. Plus imporans son les soldes annuels, plus ô la dee es amorie, e meilleur es le TRI du porefeuille. Cee mesure perme d éablir un parallèle enre nore éablissemen e un agen qui évalue un proje d invesissemen. L agen connaî le coû oal présen du proje e en esime les flux de recees nees fuures escompées. Ceci lui perme d en évaluer le aux de renabilié. De manière similaire, la CADES a un «proje d endeemen». Elle en connaî la valeur présene, e esime ses flux d amorissemen fuurs, pour en évaluer le TRI. 6. Insrumens d analyse au avec srucure du au avec srucure courane 80 Mds EUR Nore suivi de porefeuilles présene deux voles : évaluer le porefeuille couran de dees en figean différenes «phoographies» de celui-ci au cours du emps. Ceci perme, comme cela a éé exposé en sous-secion 5.4, de comparer sa siuaion présene à celle qu il aurai aeine si aucune opéraion n avai éé effecuée depuis la dernière «phoographie» ; évaluer l ensemble des porefeuilles-cibles, e la disance qui sépare nore dee courane des meilleurs porefeuilles. Ceci perme d esimer au cours du emps, la par de 8 Banque & Marchés n 85 novembre-décembre 2006

9 Ralaimiadana.fm Page 9 Mardi, 31. ocobre :04 10 la performance due à un rapprochemen (ou à une déviaion par rappor à une srucure-cible. En ermes de piloage de la gesion, deux voies son ouveres, qui peuven êre complémenaires : dans une perspecive de risque, paran du porefeuille exisan, e si l on considère opporun de s immuniser conre la zone de risque elle qu analysée par le modèle, on pourra envisager des opéraions de couverure pour se proéger conre les valeurs «risquées» des variables de marché ; dans une perspecive d opimisaion, on aura comme objecif de se rapprocher du noyau des porefeuilles-cibles. Le choix de la direcion dans laquelle on se déplace dépend de la priorié que l on se fixe en ermes d arbirage rendemen/risque, e bien sûr, du conexe du marché. VI Gesion acif-passif e modèle 1. Hypohèses de la modélisaion e valeurs des paramères Le comparimen de dee à aux fixe devrai êre avanagé par une inflaion posiive, ou cyclique, i.e. corrélée posiivemen à la croissance ainsi qu aux aux nominaux. Les résulas du modèle dépendron au premier ordre de l écar ( g τ reel, τ reel désignan le aux nominal déflaé. Plus généralemen, si les hypohèses du modèle conduisen à générer des aux «déflaés» d un comparimen donné, els que l écar ci-dessus soi le plus souven posiif duran la phase d emprun, ce comparimen de dee sera un des meilleurs candidas, noammen en ermes de capacié de remboursemen espérée. Les endances de long erme, les forces de rappel évenuelles, e surou les volailiés des différens faceurs, son donc déerminanes d une par sur les mesures de performance e de risque, d aure par sur les résulas de l opimisaion. Au second ordre, les résulas dépendron des corrélaions enre les faceurs de risque. 2. Règles de ré-allocaion e opimalié des porefeuilles résulans Qu on raisonne sur un crière d uilié de richesse erminale, ou de richesse iner-emporelle, la résoluion de l opimisaion ne peu êre différene, sinon l éablissemen aurai deux soluions pour aeindre un même objecif, l une éan forcémen moins opimale que l aure. Le même raisonnemen par l absurde peu s employer si on compare nore méhode d opimisaion qu on pourrai qualifier d empirique, e une méhode de résoluion analyique du programme formalisé en secion IV, à l aide des ouils du conrôle opimal. La sraégie de refinancemen/replacemen adopée, de ype CPPI, condui à assujeir une conraine a priori sur la soluion du programme. Elle es accepable lorsqu elle correspond à une règle de foncionnemen de l éablissemen, ou modélise sa raionalié dans le fuur. Par exemple dans le cas des assureurs-vie, des règles de dégagemen des plus-values son inégrées à leur sraégie de replacemen. Dans nore cas, cee sraégie condui vraisemblablemen à un comporemen qui n es pas ou le emps opimal. 3. Risque de modèle : des réponses Les résulas son inéviablemen le produi d une par des hypohèses fondamenales du modèle, d aure par des condiions iniiales. Pour nous prémunir conre le risque de modèle, nous avons quelques moyens d acion : effecuer des simulaions du modèle sur des configuraions de marché conrasées dans la mesure où les données le permeen, effecuer des simulaions de manière régulière, procéder à des chocs sur l une ou l aure des hypohèses fondamenales, pour «conrôler» la réponse du modèle, nous doer de modèles alernaifs. 4. Évoluions envisagées Nous avons développé d aures modélisaions, noammen dans un cadre puremen économérique, un modèle Vecoriel Auo-Régressif. Nous avons en oure pu mere en place un modèle quaniaif sur la dee indexée, grâce aux ravaux réalisés par I.Toder (2004 [12], basés principalemen sur l aricle de Jarrow e Yildirim (2002 [10]. Il nous faudra inégrer ce modèle, écri sous la probabilié risque-neure, à la modélisaion de nore économie, sous la probabilié hisorique. Enfin, il rese à résoudre dynamiquemen le programme défini en secion IV pour rouver un porefeuille opimal, à l aide des echniques du conrôle opimal sochasique. 5. Réflexions sur la gesion d une dee Nous sommes sensibles à nore acif de manière prépondérane, comme l a monré la représenaion schémaique de nore bilan. Nous avons la possibilié de modéliser nore acif de manière relaivemen simple, sur un horizon suffisammen long. L exercice es auremen difficile pour nombre d éablissemens, soi sur le plan de la modélisaion d une parie de leur bilan, soi du fai de leur visibilié réduie éan donné un «business cycle» assez cour, de 2 à 5 ans. Nous pouvons uiliser pleinemen nore gesion acifpassif pour gérer la dee sur longue durée. Si nous nous comparons à des invesisseurs insiuionnels comme les assureurs-reraie, nore bilan es d une ceraine manière un miroir du leur. En effe, ils invesissen dans des acifs rapporan un rendemen au moins suffisan pour couvrir des engagemens de reraie ayan une fore indexaion sur les salaires. Nous sommes émeeurs enre aures, d insrumens indexés sur l inflaion, e nore acif croî approximaivemen au ryhme des salaires. Nos processus respecifs d allocaion visen à opimiser un objecif semblable, de signe opposé. Banque & Marchés n 85 novembre-décembre

10 Ralaimiadana.fm Page 10 Mardi, 31. ocobre :04 10 VII Conclusion Le aux nominal que coûe nore dee es lié à son caracère souenable. La dee es souenable an que son monan es au plus égal à la somme des revenus aendus acualisés. Si le aux nominal excède une valeur d équilibre, la dee n es plus souenable. Maîriser l espérance des coûs fuurs e la variabilié de l amorissemen es ainsi au cœur de la gesion de la dee. Il apparien à présen à nore éablissemen d esimer la dae d achèvemen du remboursemen. C es l un des élémens que nous évaluons avec ceraines précauions. Comme nous l avons exposé en sous-secion 4.7, le risque de sous-esimaion s apparene en économérie à un risque de première espèce, e sa gravié es bien plus imporane que celui de suresimaion. La réalisaion de ce risque se raduirai par un surcoû, auquel la CADES es averse par définiion. Références [1] Brennan M.J., Y. Xia (Juin 2002, «Dynamic asse allocaion under inflaion», Journal of Finance [2] Markowiz H (1959, «Porfolio selecion : efficien diversificaion of invesmen», New York, Wiley [3] Campbell J.Y., Luis M. Viceira (1999, «Who should buy long erm bonds», Working Paper, Harvard Universiy [4] Grasselli M. (Oc-Nov 2004, «Méhodes récenes de gesion des fonds de reraie», Banque e Marchés [5] Cairns A.J.G. (1998, «Some noes on he dynamics and opimal conrol of sochasic pension fund models in coninuous ime», preprin [6] Svensson L.E.O., I.M. Werner (1993, «Non-raded asses in incomplee markes», European Economic Review [7] Koo H.K. (1998, «Consumpion and porfolio selecion wih labour income : a coninuous ime approach», Mahemaical Finance [8] Vasicek 0. (1977, «An equilibrium characerizaion of he erme srucure», Journal of Financial Economics [9] Black F., A. Perold (1992, «Theory of Consan Proporions Porfolio Insurance», Journal of Economic Dynamics and Conrol [10] Jarrow R., Y. Yildirim (2002, «Pricing rasury inflaion proeced securiies and relaed derivaives using an HJM model», Working Paper, Cornell Universiy [11] Rober C. Meron (1971, «Opimal consumpion and porfolio rules in a coninuous-ime modem», Journal of Economic Theory [12] Toder I. (Sep 2004, «Modélisaion de la dee indexée inflaion», Mémoire de DEA «Probabiliés e Finances» Universié Pierre e Marie Curie PARIS VI, CADES 10 Banque & Marchés n 85 novembre-décembre 2006

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