Corrigé exercices Systèmes Dynamiques Master (M1) de Physique Feuille 1

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1 Corrigé exercices Systèmes Dynamiques aster de Physique Feuille a Equation d Euler-Lagrange : d L d L mẋ dt dt V k sin[kx] mẍ + V k sin[kx] b La quantité de mouvement associée à x est p L/ ẋ, et l hamiltonien est par définition On trouve que Hp, x pẋ Lx, ẋ, où ẋ p/ Hp, x p2 2 + V cos[kx] Les équations de mouvement associées sont ẋ H p, ṗ H V k sinkx c On cherche les points x, p pour lesquels ẋ ṗ Ceci donne les conditions p et sin[kx], ou bien p et x n π, n Z k Avec la définition de la matrice A V k 2 cos[kx] on trouve avec A V k 2 n+ On cherche les racines du polynôme caractéristique de la matrice A, λ pλ A λ V k 2 n+ λ λ2 + V k 2 n Ceci donne ±i λ ± V k 2 V k 2 si n paire, si n impaire Les points sont donc stables foyers si n est paire et instables si n est impaire, car une valeur propre est positive dans le dernier cas

2 2 a Les équations du mouvement ont la forme générale ẋ k x k φ k x,, x n, k, 2 tel que la solution formelle s écrit voir cours t x k t x k exp dτφ k x τ,, x n τ si x k b Ici la matrice A a la forme A 2 2 αx2 αx 2βx 2, où x,2 sont des points quelconques Les racines du polynôme caractéristique sont alors obtenues par la condition αx 2 λ αx pλ A λ 2βx 2 λ On trouve alors λ αx 2 λ 2 2βx 2 αx 2 λ2βx 2 + λ En général, on n a pas une solution stable, sauf si x 2 c Non, la stabilité λ,2 < est une condition pour un point fixe qui doit être attirant d Avec on calcule V ẋ V + 2 tr{a} α 2βx 2 Dans le cours il a été démontré que V est une condition nécessaire et suffisante pour la conservation du volume de l espace de phases Par conséquent ẋ 2 β α/2 2

3 x t t FIGURE Solution xt de l exercice 2 pour x, β /2 courbe bleue et pour x, β /2 courbe violete La ligne verticale marque une asymptote verticale 3 a Pour la solution de l équation du mouvement on peut utiliser la méthode de séparation de variables, dx xt x 2 βdt dx x x 2 β En effectuant les intégrations on obtient x x βt xt xt t dt βxt Si β >, il y a une explosion singularité pour t βx, tandis que lim t xt pour β < b Dans une équation du type ẋ t βx tx 2 t, la présence de molécules de la sorte 2 catalyse augmente la production de la sorte Si 2, on parle donc d une autocatalyse 3

4 Corrigé exercices Systèmes Dynamiques aster de Physique Feuille 2 a Pour l équation d Euler-Lagrange on obtient d dt L d L ẋ mẍ dt V k sinh kx b Par définition, l hamiltonien est donné par mẍ + V k sinh kx Hp, x pẋ Lx, ẋ, où p L, ẋ ẋx, p Ici p ẋ et par conséquent ẋx, p p/ On obtient Hp, x p2 2 + V cosh kx 2 et les équations du mouvement de Hamilton deviennent ẋ H p, 3 ṗ H V k sinh kx 4 c Pour kx on peut approcher cosh x + x 2 /2, tel que V cosh kx V 2 k2 x 2 Par conséquent, la conservation de l énergie peut exprimée par Hp, x p2 2 + V 2 k2 x 2 E 5 et 5 décrit des ellipses dans l espace de phase voir cours d Les équations 3 et 4 montrent que X c xc p c est le seul point critique possible Avec la matrice dynamique A V k 2 cosh[kx] on trouve A AX c V k 2 4

5 A partir du polynôme caractéristique, λ pλ A λ V k 2 λ λ2 + V k 2, on trouve les valeurs propres de A par la condition pλ On obtient V k λ,2 ±i 2 ce qui indique que X c est un foyer Ceci est confirmé par la forme des trajectoires trouvée en c qui montre que X c est contourné sans jamais l atteindre 2 a Le seul point critique est X c x,c x 2,c Pour la matrice dynamique on trouve ici une matrice constante qui ne dépend pas des coordonnées x, x 2, A 2 2 α β γ A partir du polynôme caractéristique, λ α pλ A λ β λ γ λ2 + γλ + αβ, on trouve les valeurs propres λ,2 γ 2 ± γ 2 4 αβ Il y a trois cas possibles On voit que λ,2 < pour les solutions réelles et R{λ,2 } < pour les solutions conjugée complexes Le point critique est donc un point stable b Avec on obtient Gx, x 2 2 βx2 + 2 αx2 2 6 dg dt βx ẋ + αx 2 ẋ 2 βx αx 2 + αx 2 βx γx 2 αγx 2 2 Pour γ, G est donc une constante du mouvement et 6 montre que Gx, x 2 E définit des ellipses dans l espace de phases Pour γ > ces ellipes deviennent des spirales qui se terminent dans le point critique X c 5

6 c En général, le volume de lespace de phases n est pas conservé, car avec V : ẋ, ẋ 2, V + 2 γ Seulement si γ, le volume de l espace de phases est conservé 3 L énergie totale du système est Et 2ẋT ẋ + V x, dont le premier terme est l énergie cinétique Définissant le vecteur des forces f V x/ on a det dt ẋ T ẍ + ẋ T V x ẋ T ẍ ẋ T f γ ẋ T ẋ La forme canonique pour la seule contrainte linéaire pour ẍ est alors ẋ } T {{ } ẍ ẋ T f γ ẋ T ẋ }{{} A bb Le système d équations linéaire pour le vecteur des paramètres λ, devient dans ce cas spécifique A A T λ b A f, ẋ T ẋ λ γ ẋ T ẋ On trouve alors λ γ et la force contrainte, z A T λ γ ẋ est ici une force de friction qui mène à l équation du mouvement ẍ f γ ẋ 7 6